期中考前满分冲刺之填空题覆盖训练（51题）（二十二种覆盖训练）-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

期中考前满分冲刺之填空题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:幂的运算 1．计算 ． 2．计算： ． 覆盖训练02:三角形的外角 3．如图，直线，则 度． 4．如图所示，在中，平分，是高线，，，则的度数为 ． 覆盖训练03:数学原理 5．如图，将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．其中用到的数学原理是 ． 6．炎热的夏天工人师傅在安装空调时一般会采用如图所示方法固定，其依据的数学原理是 ． 覆盖训练04:等腰三角形的性质 7．若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为 ． 8．一个等腰三角形一边长为6，另一边长为4，则三角形的周长为 ． 覆盖训练05:三线合一 9．如图，在中，，AD是的角平分线，则 ． 10．如图，已知，平分，且于点，则 ． 覆盖训练06:关于x、y轴对称的坐标 11．若点和点关于y轴对称，则 ． 12．若点M（3，a），N（a，b）关于x轴对称，则a+b= ． 覆盖训练07:三边关系 13．已知三角形的三边长分别为3，，5，则化简的结果为 ． 14．若a，b，c为三角形三边长，且，，则第三边长c可能是 ． 覆盖训练08:添加条件证全等 15．在和中，，，若使，还需补充的条件为 （只填一个即可） 16．如图，在与中，，要使，则可以添加的条件是 （只需添加一个即可） 覆盖训练09:三角板问题 17．将一副三角板拼成如图所示的图形交于点，则的度数是 ． 18．将一副含和角的直角三角板拼在一起，那么图中的度数为 度． 覆盖训练10:设计轴对称图案 19．如图，在正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用不同的方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．最多有 种方法． 20．在的方格中有四个同样大小的正方形如图摆放，再添涂一个空白正方形，使它与原来的四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添加方法共有 种． 覆盖训练11:角平分线作图与性质 21．小明用尺规在上作图，并留下如图所示的痕迹，若，，，则为 ． 22．如图，在中，，，按如下方法作图：①以B为圆心，以适当长为半径画弧，分别交、于M、N；②分别以M、N为圆心，以大于长为半径画弧．两弧交于P；③作射线交于D，则 ． 覆盖训练12:垂直平分线作图与性质 23．如图所示，在中，，，，分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧分别交于E，F，直线交于点D，连接，则的周长等于 ． 24．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，，则的周长为 覆盖训练13:完全平方式 25．若是完全平方式，则 ． 26．已知关于x，y的多项式是完全平方式，则 ． 覆盖训练14:新定义运算 27．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则= ． 28．定义新运算：，则的值为 ． 覆盖训练15:比较大小 29．已知，试比较a，b，c的大小，用“”将它们连接起来： ． 30．已知，，，比较的大小关系是 （用“>”连接）． 覆盖训练16:阴影部分问题 31．如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为 ． 32．如图，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 33．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 覆盖训练17:正确结论的是 34．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．关于“准直角三角形”，下列说法：①中，，是的角平分线．则是“准直角三角形”．②中，若，，，则是准直角三角形；③若是“准直角三角形”，，，则只能为；④“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 35．如图，在，中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论中：①；②；③；④．正确的是 （填序号） 36．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点F，现有下列结论正确的是 ． ①；②；③平分；④；⑤． 覆盖训练18:折叠问题 37．如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为 ． 38．如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为 ． 39．如图，在中，，，点是的中点，点是边上一个动点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，与相交于点（点不与点重合）若是以为腰的等腰三角形，则度数为 ． 覆盖训练19:全等动点求t 40．如图，在中，、是边、上的两个动点，于点于点．设点、运动的时间是秒．若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当 秒时，和全等．    41．如图，已知在正方形中，，点在边上，且，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为 ． 42．如图，点C在线段BD上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿AC向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动：过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N、设运动的时间为ts，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为 s． 覆盖训练20:最值问题 43．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为 ． 44．如图，是等边三角形，为边的中点，，为中线上的动点，则的最小值是 ． 45．如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为 ． 覆盖训练21:等要是那教学的多种情况 46．如图，，在直线上有一点且使得是以为腰的等腰三角形，则度数应该是 ． 47．如图，已知点P是射线上一动点（P不与B重合），，当 时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形． 48．平面直角坐标系内，点A、B的坐标分别为，在坐标轴上取一点P，使得为等腰三角形，则满足条件的点P有 个． 覆盖训练22:用代数式表示角 49．如图，，点在这两条平行线之间，且，连接并延长，交的延长线于点．若，，则 度．（用含的代数式表示） 50．新定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．如图，在和中，，，且，连接，交于点．当点，，在同一条直线上时， （用含的代数式表示）． 51．如图1，在长方形纸条中，，，点E，F分别为线段上一点，将线段沿折叠，点B的对应点落在纸条外侧；如图2所示，将线段沿进行第二次折叠后点C的对应点落在纸条外侧，设，若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之填空题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:幂的运算 1．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，根据单项式运算法则进行计算即可， 【详解】． 解：， 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先利用法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 覆盖训练02:三角形的外角 3．如图，直线，则 度． 【答案】39 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理等知识，根据求出，根据是的外角，即可求出﹒ 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴﹒ 故答案为：39 4．如图所示，在中，平分，是高线，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据高的定义，结合三角形内角和定理，求得，根据角的平分线定义，得，利用三角形的外角性质解答即可． 本题考查了高，角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质和定理，基本定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分，是高线，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 覆盖训练03:数学原理 5．如图，将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．其中用到的数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形， ∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 6．炎热的夏天工人师傅在安装空调时一般会采用如图所示方法固定，其依据的数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性这一特性是解题的关键．观察图形，空调通过三角形支架固定，思考三角形的特性来确定依据的数学原理． 【详解】解：安装空调时采用三角形支架固定，其依据的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 覆盖训练04:等腰三角形的性质 7．若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为 ． 【答案】100 【分析】根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为， ∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为， ∴等腰三角形的顶角的度数为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键． 8．一个等腰三角形一边长为6，另一边长为4，则三角形的周长为 ． 【答案】或14 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．因为边为4和，没说是底边还是腰，所以有两种情况，分类讨论即可． 【详解】解：当4为底时，其它两边都为， ∵， ∴、、4可以构成三角形， ∴周长为； 当为底时，其它两边都为4， ∵， ∴、4、4可以构成三角形， ∴周长为； 故答案为：或14． 覆盖训练05:三线合一 9．如图，在中，，AD是的角平分线，则 ． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形“三线合一”的性质得到，以及等腰三角形两个底角相等得到，再根据直角三角形两个锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵中，，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形“三线合一”的性质． 10．如图，已知，平分，且于点，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，由得到，是解题的关键． 延长交于点，则可知为等腰三角形，则，，可得出． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ， 故答案为： 覆盖训练06:关于x、y轴对称的坐标 11．若点和点关于y轴对称，则 ． 【答案】16 【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于y轴的对称点的坐标是，即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数；据此可得a、b的值． 本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，学生可以由此发散思维，辨析一下有关坐标轴对称的相应关系． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴，． 解得． ∴． 故答案为：16． 12．若点M（3，a），N（a，b）关于x轴对称，则a+b= ． 【答案】2 【分析】根据题意直接利用关于x轴对称点的性质，得出a，b的值即可． 【详解】解：∵点M和点N关于x轴对称 ∴3=a，a-2+b=0 ∴a=3，b=-1 ∴a+b=2. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题的关键． 覆盖训练07:三边关系 13．已知三角形的三边长分别为3，，5，则化简的结果为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查三角形三边关系及绝对值化简，根据三边关系确定a的取值范围是解题的关键． 根据三角形三边关系定理确定a的取值范围，再化简绝对值表达式． 【详解】解：由三角形三边关系定理，得，且， 解得， 因此当时， ， 故． 故答案为：6． 14．若a，b，c为三角形三边长，且，，则第三边长c可能是 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：a，b，c为三角形三边长，且，， ， 第三边长c可能是2． 故答案为：2（答案不唯一）． 覆盖训练08:添加条件证全等 15．在和中，，，若使，还需补充的条件为 （只填一个即可） 【答案】或或（只填一个即可） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐一分析即可，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加， 在和中， ， ∴， 添加， 在和中， ， ∴， 添加， 在和中， ， ∴， 故答案为：或或（只填一个即可）． 16．如图，在与中，，要使，则可以添加的条件是 （只需添加一个即可） 【答案】或或（任选一个） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知可得，再根据全等三角形的判定逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， 当添加时，由“”可证； 当添加时，由“”可证； 当添加时，由“”可证； 故答案为：或或．（任选一个） 覆盖训练09:三角板问题 17．将一副三角板拼成如图所示的图形交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．是的一个外角，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 是的一个外角， ． 故答案为：． 18．将一副含和角的直角三角板拼在一起，那么图中的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角板的有关计算，根据即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 覆盖训练10:设计轴对称图案 19．如图，在正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用不同的方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．最多有 种方法． 【答案】5 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的相关概念补全图形即可，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图： ， 由图可得，共有种方法， 故答案为：5． 20．在的方格中有四个同样大小的正方形如图摆放，再添涂一个空白正方形，使它与原来的四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添加方法共有 种． 【答案】4 【分析】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．根据题意再添加一个正方形，使它与原来的四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：4． 覆盖训练11:角平分线作图与性质 21．小明用尺规在上作图，并留下如图所示的痕迹，若，，，则为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了三角形的面积，角平分线的作法及性质． 由作图痕迹可知，平分，过点D分别作于点E，于点F，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，平分， 过点D分别作于点E，于点F， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22．如图，在中，，，按如下方法作图：①以B为圆心，以适当长为半径画弧，分别交、于M、N；②分别以M、N为圆心，以大于长为半径画弧．两弧交于P；③作射线交于D，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由三角形内角和定理求出，然后由尺规作图得到，进而求解即可． 【详解】在中，，， ∴， 由作图方法知平分， ∴， ∴． 故答案为：． 覆盖训练12:垂直平分线作图与性质 23．如图所示，在中，，，，分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧分别交于E，F，直线交于点D，连接，则的周长等于 ． 【答案】7 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，可得，则的周长为． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长为． 故答案为：7． 24．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，，则的周长为 【答案】 【分析】本题考查了作图——线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由作图可知，垂直平分，可得，然后由的周长为，然后代入求解即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 覆盖训练13:完全平方式 25．若是完全平方式，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的运用．掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据完全平方公式即可求解． 【详解】解： ， 解得或， 故答案为：或． 26．已知关于x，y的多项式是完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了对完全平方式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：关于x，y的多项式是完全平方式， ， ， 故答案为：． 覆盖训练14:新定义运算 27．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则= ． 【答案】9 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 28．定义新运算：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，通过完全平方公式化简，再根据新定义计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴ ， 故答案：． 覆盖训练15:比较大小 29．已知，试比较a，b，c的大小，用“”将它们连接起来： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方公式逆用，有理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将，然后比较即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 30．已知，，，比较的大小关系是 （用“>”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了幂的大小比较，根据幂的乘方，化成同指数的幂，然后比较底数的大小即可． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 覆盖训练16:阴影部分问题 31．如图，在中，已知分别是的中点，且，那么阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键．根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，进而可求，然后再次使用三角形中线的性质可得答案． 【详解】解：∵为中点， 同理 ∵为中点， 故答案为：2． 32．如图，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 33．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 【答案】3 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由折叠可得阴影部分图形的周长正好等于原等边三角形的周长． 【详解】解：由折叠可得；， 阴影部分图形的周长为． 故答案为：3． 覆盖训练17:正确结论的是 34．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．关于“准直角三角形”，下列说法：①中，，是的角平分线．则是“准直角三角形”．②中，若，，，则是准直角三角形；③若是“准直角三角形”，，，则只能为；④“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，“准直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．由角平分线的定义可得，只要再证明，即可判断①正确．根据，，得出，即可判断②正确；若是“准直角三角形”，得出或，求出或，即可判断③错误；根据三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”，得出，即可判断④正确． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”，故①正确． ∵，， ∴， ∴是“准直角三角形”．故②正确． ∵， ∴，，，， 若是“准直角三角形”，只能是或， ∵， ∴或， 当，，符合题意； 当，，符合题意； ∴若是“准直角三角形”，，，可能为或，故③错误； ∵三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”， ∴， ∴三角形的第三个角大于， ∴“准直角三角形”一定是钝角三角形，故④正确． 综上所述可知：正确的为①②④． 故答案为：①②④． 35．如图，在，中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论中：①；②；③；④．正确的是 （填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，①由，利用等式的性质得到角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项不正确；②由，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①不正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴， 则，故③正确； ④∵， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 36．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点F，现有下列结论正确的是 ． ①；②；③平分；④；⑤． 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 由角平分线的性质可得，由直角三角形的性质可证，由可证，可得，，可得，即可求解． 【详解】解：如图所示：连接、． 平分，，， ，故①符合题意； ，平分， ， ， ， ，， ， 同理：， ，故②符合题意； 由题意可知：， 假设平分，则， 又， ． ． 是否等于不知道， 不能判定平分，故③不符合题意； 在和中， ， ∴， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ∴， ，故⑤不符合题意； ，故④符合题意； 故答案为：①②④． 覆盖训练18:折叠问题 37．如图，将三角形纸片的一角沿着折叠，使点的对应点落在靠近的三等分线上，且，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，根据题意得出，，根据三角形内角和定理求得，进而根据三角形外角的性质求得，进而根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，点的对应点落在靠近的三等分线上，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 38．如图，在中，，，将沿过点B的直线折叠，使点C落在点处，折痕是，延长交边于点M，若是的中点，则图中的的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠性质，全等三角形的性质与判定，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质可得由折叠的性质可得，，证明，即可得到． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 39．如图，在中，，，点是的中点，点是边上一个动点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，与相交于点（点不与点重合）若是以为腰的等腰三角形，则度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查折叠问题，三角形的外角，等边对等角，分，，两种情况，根据折叠的性质，等边对等角结合三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：当时，如图，则：， ∴； 当时，如图，则：， ∵， ∴， ∴； 综上：度数为或； 故答案为：或． 覆盖训练19:全等动点求t 40．如图，在中，、是边、上的两个动点，于点于点．设点、运动的时间是秒．若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当 秒时，和全等．    【答案】或 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定．分两种情况①时，点P从C到A运动，则，，求得；②时，点P从A到C运动，则，，求得． 【详解】解：①时，点从到运动， 则，， 当时，则， 即， 解得：； ②时，点从到运动，则，， 当时，则， 即， 解得：； 综上所述：当秒或秒时，和全等． 故答案为：或． 41．如图，已知在正方形中，，点在边上，且，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得，，，则有两种情况，当时，，当时，，根据的长度建立方程求解即可． 【详解】解：由正方形的性质可得， ∵， ∴； ∵点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动， ∴； ∴当与全等时，只存在和两种情况， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上所述，t的值为2或， 故答案为：2或． 42．如图，点C在线段BD上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿AC向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动：过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N、设运动的时间为ts，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为 s． 【答案】1或3 【分析】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点P在上，点Q在上时；点P在上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：当点P在上，点Q在上时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 当点P在上，点Q第一次从点C返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为1或3． 故答案为：1或3． 覆盖训练20:最值问题 43．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 由基本作图得到垂直平分，则，所以，连接，如图，利用两点之间线段最短可判断的最小值为，再利用等腰三角形的性质得到，然后利用三角形面积公式计算出即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， 连接，如图， ∵（当且仅当M点在上时取等号）， ∴的最小值为， ∵，D点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴长度的最小值为5． 故答案为：5． 44．如图，是等边三角形，为边的中点，，为中线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】12cm 【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ， ， ， ，， 根据面积法可得， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 45．如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称和等边三角形性质，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质，分别作点关于的对称点、，分别连、、交、于、，则可证明此时周长的最小，由轴对称性，可证明为等边三角形，． 【详解】解：分别作点关于的对称点、，分别连接、、交、于、， 由轴对称周长等于 ， 由两点之间线段最短可知，此时周长的最小， ， 由对称得， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 覆盖训练21:等要是那教学的多种情况 46．如图，，在直线上有一点且使得是以为腰的等腰三角形，则度数应该是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分三种情况讨论即可． 根据题意分三种情况讨论：如图，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ①如图：当时，连接， ∵， ∴ ②如图：当时，连接， ∵， ∴ ③如图：当时，连接， ∵， 故答案为：或或. 47．如图，已知点P是射线上一动点（P不与B重合），，当 时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，能分类讨论并画出符合的所有图形是解此题的关键．分为以下5种情况讨论，再根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定分别求解即可． 【详解】解：分为以下5种情况， ①当时，如图， ， ； ②当时，如图， ， ， ； ③当时，如图， ， ， ； ④当时，如图， ， 是等边三角形， ， ； ⑤当时，如图， ， ， ， ； 综上所述，当或或时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形， 故答案为：或或． 48．平面直角坐标系内，点A、B的坐标分别为，在坐标轴上取一点P，使得为等腰三角形，则满足条件的点P有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键． ①以A为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点B，； ②以B为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点A，；③作的垂直平分线，交x轴于点，即可求解． 【详解】解：如图，①以A为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点B，； ②以B为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点A，； ③作的垂直平分线，交x轴于点； ∴符合条件的点P共7个． 故答案为：7 覆盖训练22:用代数式表示角 49．如图，，点在这两条平行线之间，且，连接并延长，交的延长线于点．若，，则 度．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由，，得，则，然后通过三角形内角和即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 50．新定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．如图，在和中，，，且，连接，交于点．当点，，在同一条直线上时， （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明．先证明，得到，，再根据三角形外角的性质得到，而，故可求． 【详解】解：， ，即， 又， ， 点，，在同一条直线上时， ， ． 故答案为：． 51．如图1，在长方形纸条中，，，点E，F分别为线段上一点，将线段沿折叠，点B的对应点落在纸条外侧；如图2所示，将线段沿进行第二次折叠后点C的对应点落在纸条外侧，设，若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质求度数，掌握折叠的不变性是解题的关键． 由长方形以及平行线的性质得到，由折叠得到，而，则，再由得到． 【详解】解：如图： ∵四边形是长方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵长方形， ∴， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $