2.1.2基本不等式 第一课时 课件-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式（a²+b²≥2ab，(a+b)/2≥√ab），从课前回忆旧不等关系切入，通过等腰直角三角形猜想、代数推理及几何直观（圆中直径与弦）递进推导，搭建从特殊到一般的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探索，用代数证明与几何图形双重验证，结合例题及天平称重等实际问题，发展数学眼光（几何直观）和数学思维（逻辑推理），助学生深化理解，教师教学更具层次性与探究性。

2.1.2 基本不等式 第一课时 1 1 课前任务 2 创设情景 3 归纳探索 4 例题讲解 5 课堂练习 6 课后延伸 目 录 CONTENTS 课前任务 1 请同学们回忆一下，在上图中，我们提炼出了什么不等关系？ 1 课前任务 创设情景 2 创设情景 2 在上图中，我们提炼出如下不等关系： 当a≠b时，a2+b2 >2ab． 归纳探索 3 归纳探索 问题1 若图中4个直角三角形的直角边的边长发生变化，使得每个直角三角形都变为等腰直角三角形，这时你发现了什么？ 3 归纳探索 问题1 若图中4个直角三角形的直角边的边长发生变化，使得每个直角三角形都变为等腰直角三角形，这时你发现了什么？ 3 　猜想1 对任意a，b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立. 归纳探索 3 猜想2　对任意正数a，b，　　≥ 　　，当且仅当a=b时等号成立. 问题2 特别地，用 ， 分别代替猜想1中的a，b可以得到什么？ 归纳探索 3 问题3 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明. 归纳探索 3 问题3 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明. 基本不等式 　定理 对任意a，b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立. 推论　对任意正数a，b，　　≥ 　　，当且仅当a=b时等号成立. 归纳探索 3 　　 深化认识 一般地，对于正数a，b，我们把　　 称为a，b的算术平均数， 称为a，b的几何平均数．把不等式 ≥ 　　(a＞0，b＞0)称为基本不等式. 问题3 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数. 归纳探索 3 问题4 如图，以长是a+b的线段为直径作圆O，在直径AB上取点C，使得CA=a，CB=b，过点C作CD⊥AB交上半圆于点D，连接AD和BD．你能利用这个图得到基本不等式吗？ 归纳探索 由已知条件不难证明Rt△ACD∽Rt△DCB，那么 ，则CD2=CA·CB，即 ． 因为OD是圆的半径，故 ．显然，它大于或等于CD，即 当且仅当点C和点O重合时，即a=b时，等号成立． 3 思考 对于任意实数a，b，都有 ≥ 成立吗？ 再次证明对任意正数a，b，　　≥ 　　，当且仅当a=b时等号成立. 例题讲解 4 例题讲解 4 例1 设a，b为正数，证明下列不等式： (1)a +　≥2；　　 (2)　　 ≥2． 证明　(1)因为a， 均为正数，由基本不等式，得 　　　　　　　　　　　　　≥　　　　 ， 当且仅当　　 ，即a=1时等号成立，所以原不等式成立. 　　 (2)因为a，b为正数，所以　， 也为正数，由基本不等式，得 　　　　　　　　　　　　　　≥ ， 当且仅当　　　，即a=b时等号成立，所以原不等式成立. 课堂练习 5 例题讲解 4 例2 对任意三个正实数a，b，c，求证： 　　　　　　a＋b＋c≥　　　　　　　， 当且仅当a＝b＝c时等号成立． 证明　因为a，b，c>0，由基本不等式，得 a＋b≥　　 ，b＋c≥ ，c＋a≥ ， 把上述三个式子的两边分别相加，得 2(a＋b＋c)≥ ， 即 a＋b＋c≥ , 当且仅当a＝b，b＝c，c＝a，即a＝b＝c时等号成立. 课后延伸 6 课后延伸 6 基本不等式 　定理 对任意a，b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立. 推论　对任意正数a，b，　　≥ 　　，当且仅当a=b时等号成立. 课后延伸 6 通过本节课的学习，你对基本不等式有怎样的认识?你能归纳一下基本不等式的研究过程吗?其中体现了哪些你认为重要的思想方法?在应用基本不等式解决实际问题时，需要注意哪些问题? 课后延伸 布置作业 （1）必做作业：课本习题2.1第5，6题 （2）选做作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量．这种说法对吗？并说明你的结论． 6 谢谢观看 $