精品解析：湖北省十堰市郧阳中学2024-2025学年高一上学期10月考试数学试卷

郧阳中学2024级高一10月考试 高一数学试卷 考试时间：2024年10月5日 试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 2. 已知命题有些实数的相反数是正数，则是（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 5. 下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知且，，则、的大小关系是（ ） A B. C. D. 不能确定 7. 对于集合，，定义，，设，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题正确的是（ ） A. “关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是 B. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 命题“”是假命题的实数的取值范围为 11. 已知正实数、满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则___________． 13. 若，，则的取值范围是_________. 14. 记为两数的最大值，当正数变化时，的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集U=R，集合， （1）分别求，． （2）若，求a取值范围． 16. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，且“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17. 解答下列各题. （1）若，求最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 19. 已知为一个数集，集合 （1）设，求集合A； （2）设，证明：若，则； （3）设且，若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郧阳中学2024级高一10月考试 高一数学试卷 考试时间：2024年10月5日 试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再求子集的个数. 【详解】，则集合A的子集个数为. 故选：B 2. 已知命题有些实数的相反数是正数，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】已知有些实数的相反数是正数，即，则. 故选：B 3. 下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，是的不充分不必要条件，A不是； 对于B，是一个必要不充分条件，B是； 对于C，是的一个充分不必要条件，C不是； 对于D，是的一个充分不必要条件，D不是. 故选：B 4. 已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 5. 下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合、元素之间的关系，结合集合与集合之间的有关系逐一判断即可. 【详解】①：根据子集的定义可知，显然本序号不正确； ②：根据子集的定义可知是正确的，显然本序号正确； ③：空集是任何集合的子集，所以本序号正确； ④：空集是任何集合的子集，所以本序号不正确； ⑤：集合是两个元素，是单元素集合，这两个集合不可能相等，所以本序号不正确； ⑥：显然是集合中的元素，所以，因此本序号不正确， 正确的个数是， 故选：B 6. 已知且，，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由作差法比较大小. 【详解】已知.则， 所以， ，因此，. 故选:C. 7. 对于集合，，定义，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与，利用集合交、并、补运算的法则可得到答案. 【详解】集合，， 则，， 由定义可得：且，且， 所以， 选项ABD错误，选项C正确． 故选：C 8. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”. 所以，即实数a的最小值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可. 【详解】若，则同号，且，则成立，故A正确； 若，则，则，即，所以，故B正确； 若，则，故C错误； 若，则，则，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. “关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是 B. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 命题“”是假命题的实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的恒成立问题结合必要不充分条件的定义判断A；由且时，判断B；解不等式结合充分不必要条件的定义判断C；由命题“”是真命题，再由判断D. 【详解】对于A，当时，显然不成立；当时，有，解得，故A正确； 对于B，当且时，，则“且”是“”的充分条件，故B错误； 对于C，由可得或，即“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，命题“”是假命题，则命题“”是真命题，即在上恒成立，即，故D正确； 故选：ACD 11. 已知正实数、满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由基本不等式可得出关于的不等式，可解出的最大值，可判断A选项；由已知可得出，结合基本不等式可判断B选项；由已知可得出，可得出，结合基本不等式可判断C选项；由已知可得出，可得出，结合基本不等式可判断D选项. 【详解】解：选项A，因为，且、为正实数， 由基本不等式可得，即， 即，所以，，则，即的最大值为， 当且仅当时，即当时取等号，故A错误； 选项B，因为，且、为正实数，则， 即，所以，，则， 所以，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为，故B正确； 选项C，因为，所以， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为、为正数，故等号不能成立，即C错误； 选项D，由，知， 所以，， 当且仅当，即时，等号成立，此时，，合乎题意，即D正确． 故选：BD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则___________． 【答案】3或 【解析】 【分析】根据集合的交集的含义结合集合元素的互异性性质，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 又，若，若，则； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意， 当时，，，符合题意， 故或， 故答案为：或 13. 若，，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】令，求出，再由不等式性质求解. 【详解】令，则，解得， 因为，，故. 故答案为： 14. 记为两数的最大值，当正数变化时，的最小值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意分析可得，结合基本不等式运算求解，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可知：， 且，则， 则，当且仅当时，等号成立， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 且，当且仅当，即时，等号成立， 综上所述：当时，可得，即，此时， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集U=R，集合， （1）分别求，． （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集、补集、并集的定义求解. （2）求出时的范围，再取其补集即可得解. 【小问1详解】 集合， 因此或， 所以或. 【小问2详解】 当时，若，则，解得； 若，则或，解得或， 因此当时，的取值范围为， 所以当时，的取值范围. 16. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，进而可得； （2）根据包含关系列不等式求解即可. 小问1详解】 ∵当时，或， ∴或； 【小问2详解】 ∵或，∴， 由“”是“的充分不必要条件得A是的真子集且 又，∴ ∴． 17. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】（1）7； （2）①36；②. 【解析】 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案 【小问1详解】 由题. 当且仅当，即时取等号； 【小问2详解】 ①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元 （2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功 【解析】 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为体育馆前墙长为米，地面面积为， 所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米， 设甲工程队报价为元， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元； 【小问2详解】 根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 19. 已知为一个数集，集合 （1）设，求集合A； （2）设，证明：若，则； （3）设且，若，求的最小值． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过对的不同取值列举集合中的元素，得到集合元素个数； （2）设，则只需能写成形如的形式即可得证； （3）求出，设,整理后利用均值不等式及判别式法求最值得解. 【小问1详解】 集合，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 所以. 【小问2详解】 由，得， 则， 因,则,具备的形式， 故． 【小问3详解】 由题可得，， 设，则，于是， 设，整理得，于是， 解得，因此， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $