精品解析：浙江省温州市龙湾初中协作校2025-2026学年上学期九年级期中质量检测 数学试卷

2025学年第一学期龙湾初中协作校九年级期中质量检测 数学试卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案均需填写在答题卡上，请在答题卡相应位置准确填写姓名、准考证号等信息，所有答案不得超过答题区域，否则不得分． 3．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 4．不允许使用计算器计算． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析. 【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意； 选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意； 选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意； 选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意； 综上，只有选项B符合不可能事件的定义， 故选：B． 2. 已知的半径为6，与圆同一平面内一点到圆心的距离为7，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系：若点到圆心的距离大于半径，点在圆外；等于半径，点在圆上；小于半径，点在圆内． 根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心的距离与圆的半径大小即可判断． 【详解】解：∵的半径为6，点P到圆心O的距离为7，， ∴点P在圆外． 故选：A． 3. 如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绕点按顺时针方向旋转90°逐项分析即可． 【详解】A、是由关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意； B、是由绕点按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意； C、与对应点发生了变化，故C选项不符合题意； D、是由绕点按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数． 4. 已知关于的二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数顶点式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为1，当时，随的增大而减小； 综上：只有选项D错误，符合题意； 故选D． 5. 如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理得到，在中利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴在中，， ∴． 6. 袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能为（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是事件发生的可能性大小的判断．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵袋子里有8个红球，m个白球，摸到红球的可能性最大． ∴． 故D选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质及三角形内角和定理，等边对等角；先证明，再结合等边对等角与三角形的内角和定理可得答案 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转，得到，点D在线段的延长线上， ∴, ∴， 故选B． 8. 已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 9. 已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质和勾股定理．熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键． 根据圆的弦长性质，求出经过圆内一点的弦长的取值范围，再据此判断即可． 【详解】解：的半径，， ∴最小弦长， 最大弦长， ∴弦长的取值范围为． 选项A中.，不符合要求． 选项B中.，不符合要求． 选项C中.在弦长的取值范围内，符合要求． 选项D中.，不符合要求． 故选C． 10. 如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ' ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 二、填空题：本大题有6个小题，教数匠每小题3分，共18分． 11. 一只不透明的袋子中装有3个白球，1个红球，这些球除颜色外都相同．若从袋子里任意摸出一个球，则摸出红球的概率为________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有3个白球，1个红球，这些球除颜色外都相同， ∴摸出红球的概率为， 故答案为：． 12. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的平移法则可求解． 【详解】解：将二次函数 的图象向左平移1个单位，根据“左加右减”法则，函数表达式变为 ；再向下平移2个单位，根据“上加下减”法则，函数表达式变为 ． 故答案为 ． 13. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为1：2．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 __． 【答案】 【解析】 【详解】针尖落在阴影区域的概率就是小正方形的面积与大正方形面积的比． 【解答】解：设两直角边分别为x，2x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为x， 所以S大正方形＝5x2，S小正方形＝x2， 则针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 14. 已知直角三角形的两直角边之和为4，则该三角形面积的最大值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 设直角三角形的一条直角边为，表示出另外一条直角边，进而得出面积表达式，再根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】设两直角边分别为 和， 面积 ， ， 二次函数中，二次项系数， 该函数图像开口向下，有最大值， 当时，取得最大值为． 故答案为 2． 15. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由弧确定所在圆的圆心，勾股定理． 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，进而根据勾股定理作答即可． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 、， 与关于直线对称， 即垂直平分； ， 中点坐标是， 则连接与，刚好是正方形的对角线， 即这条正方形对角线垂直平分； 如图所示： 则圆心是， 则圆的半径为. 故答案为：． 16. 已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如表，则下列命题： … 0 1 2 … … 2 2 … ①若，则函数图象的开口向上： ②关于的方程的两个根是和4： ③点在一次函数的图象上： ④代数式的最大值为； 正确的是__________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 根据表格数据，利用二次函数的对称性和点坐标求出参数关系，逐一判断各命题的正确性． 【详解】由表可知，当和时，，故抛物线的对称轴为直线，即，得． 将点代入解析式，得，结合，得． 对于命题①，若，则，则，抛物线开口向下，故错误． 对于命题②，由于对称性，和关于对称轴对称，函数值均为，故方程的两根为和，正确． 对于命题③，点即，满足一次函数，故在直线上，正确． 对于命题④，，当时，最大值为，正确． 故答案为：②③④． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 （1）表格中的值为__________，的值为__________． （2）估计甲员工近期生产的1200件产品中，不合格产品大约有几件？ 【答案】（1）475 ； 0.95 （2）60件 【解析】 【分析】本题考查了总数，频数，频率之间的数量关系，以及用频率估计概率，解题的关键在于掌握利用频率估计概率的方法． （1）根据总数，频数，频率之间的数量关系计算，即可解题； （2）根据题意得出不合格产品的概率为：，然后求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：475，． 【小问2详解】 解：∵不合格产品的概率为：， 不合格产品的数量：（件）． 18. 已知关于的二次函数（，为常数）的图象经过点和． （1）求二次函数的解析式． （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）把点，代入交点式即可求解； （2）根据二次函数的性质，即可求出当时，的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点和， 函数的解析式为． 【小问2详解】 解：， 该函数的顶点坐标为，且函数经过点和， 该函数图象如图所示： 由图象可得，当时，的取值范围为． 19. （1）在图中求作，使满足以线段为弦，且圆心到两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，请求出（1）中所作的的面积．（结果保留π） 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，垂径定理，解直角三角形． （1）作的中垂线，的角平分线，两直线交于点，以点为圆心，长为半径，则即为所求； （2）利用垂径定理求得，解直角三角形求得的半径，即可求得的面积． 【详解】解：（1）如图：即为所求． （2）， ． ， ． 的半径为2， 的面积为． 20. 如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【小问1详解】 证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：设的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴的半径是5. 21. 如图，有，两个转盘，其中转盘被分成4等份，转盘被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． （1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． （2）在（1）的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． （3）记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 【答案】（1） 列表如下： 1 2 3 4 2 4 6 由表格可得点的坐标共种． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数的性质和游戏公平性，准确分析计算是解题的关键． （1）利用树状图或列表法求解即可； （2）由（1）得到符合条件的点的个数，利用概率公式计算即可； （3）根据游戏公平性分析判断即可； 【小问1详解】 列表如下： 1 2 3 4 2 4 6 由表格可得点的坐标共种． 【小问2详解】 当点坐标为或时，点在反比例函数上， 点落在反比例函数图象上的概率为． 【小问3详解】 由（1）中的表格可得：的值分别为3，4，5，6，5，6，7，8，7，8，9，10，共12个， 游戏是公平的， 甲乙获胜的概率都是，即的可能性有6个（的取值为3，4，5，5，6，6）． 又为整数， ． 22. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 【答案】（1）①3，6；②； （2）①8，② 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据， （1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）①根据第一问可知最大高度为8米； ②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值． 【小问1详解】 解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或 ， ∴点A的坐标是， 【小问2详解】 ①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8； ②， 则， 解得（负值舍去）． 23. 已知关于的二次函数（，为常数）， （1）若函数图象对称轴为直线，求的值． （2）若该函数解析式可以写成，求证：． （3）设，，在（2）的条件下，当时，函数的最大值与最小值差为10，求的最大值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识为解题关键． （1）根据二次函数的对称轴为求出结果即可； （2）先将函数解析式展开，得到，从而得到，，即可得出结论； （3）利用二次函数的性质得到函数最大值为1，再结合题意得到函数最小值为，解出，，得到，，从而得出结果． 【小问1详解】 解：， 对称轴为直线， ； 【小问2详解】 证明：， ，， ； 【小问3详解】 解：，，，， 当时，函数最大值为1， 函数的最大值与最小值差为10， 函数最小值为， ， ， ，， ， ，，且两个等号至少有一个可取， ，， 的最大值为． 24. 定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点（、除外），连接，把绕点逆时针旋转，则与重合，点的对应点为．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在等补四边形中，，，若四边形的面积为8，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，求四边形面积的最大值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）是等补四边形，见解析；（2）4；（3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转性质得到，，结合即可判断； （2）根据，得到绕点B顺时针旋转得，即可得到D、G、C三点共线，结合面积即可得到答案； （3）根据旋转得到、、三点共线，得到，结合当时，的面积最大，求解即可得到答案； 【详解】解：（1）是等补四边形， 理由：由旋转得，， ， ， 四边形是等补四边形． （2）如图，，， 将绕点顺时针旋转得， ，，， ， ， 、、三点共线， ， ， （负值舍去）． （3）， 将绕点逆时针旋转使与重合， 得，如图， ，，， ， ， 、、三点共线， ， 当时，的面积最大，为． 四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期龙湾初中协作校九年级期中质量检测 数学试卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．所有答案均需填写在答题卡上，请在答题卡相应位置准确填写姓名、准考证号等信息，所有答案不得超过答题区域，否则不得分． 3．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 4．不允许使用计算器计算． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心 2. 已知的半径为6，与圆同一平面内一点到圆心的距离为7，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 无法确定 3. 如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 最小值为1 D. 当时，随的增大而增大 5. 如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 6. 袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能为（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 10 7. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（ ） A. B. 9 C. D. 10. 如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，教数匠每小题3分，共18分． 11. 一只不透明的袋子中装有3个白球，1个红球，这些球除颜色外都相同．若从袋子里任意摸出一个球，则摸出红球的概率为________ 12. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是__________． 13. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比均为1：2．若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 __． 14. 已知直角三角形的两直角边之和为4，则该三角形面积的最大值为__________． 15. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的半径为__________． 16. 已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如表，则下列命题： … 0 1 2 … … 2 2 … ①若，则函数图象的开口向上： ②关于的方程的两个根是和4： ③点在一次函数的图象上： ④代数式的最大值为； 正确的是__________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 （1）表格中的值为__________，的值为__________． （2）估计甲员工近期生产的1200件产品中，不合格产品大约有几件？ 18. 已知关于的二次函数（，为常数）的图象经过点和． （1）求二次函数的解析式． （2）当时，直接写出的取值范围． 19. （1）在图中求作，使满足以线段为弦，且圆心到两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，请求出（1）中所作的的面积．（结果保留π） 20. 如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，求的半径． 21. 如图，有，两个转盘，其中转盘被分成4等份，转盘被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． （1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． （2）在（1）的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． （3）记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 22. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 23. 已知关于的二次函数（，为常数）， （1）若函数图象对称轴为直线，求的值． （2）若该函数解析式可以写成，求证：． （3）设，，在（2）的条件下，当时，函数的最大值与最小值差为10，求的最大值． 24. 定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【理解定义】 （1）如图1，是等边三角形，在上任取一点（、除外），连接，把绕点逆时针旋转，则与重合，点的对应点为．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，在等补四边形中，，，若四边形的面积为8，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，求四边形面积的最大值．（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $