精品解析：吉林省长春吉大附中实验学校2025-2026学年高三上学期第二次摸底考试数学试卷

长春吉大附中实验学校 2025-2026学年上学期高三年级第二次摸底考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分150分 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息分形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字台工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀/ 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（ ） A. 4.8 B. 4.9 C. 5.0 D. 5.1 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形中，半径，弧长为，点是弧上动点，点，分别是半径，上的动点，则周长的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，则（ ） A B. C. D. 10. 已知函数是奇函数且上可导，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 函数的周期为4 11. 已知函数，，有两个零点，，则下列结论正确是（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 第II卷（非选择题，共92分， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的最小值为___________． 13. 把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到的图象，则_________；_________. 14. 已知，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 （1）若，求实数的值； （2）若，且、、三点共线，求实数的值． 16. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）设，为第二象限角，求的值. 17. 甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去，约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．规定第一局由甲、乙对战． （1）求进行两局比赛后，比赛结束且甲获胜的概率； （2）求进行两局比赛后，比赛结束的概率； （3）求比赛结束后，甲获胜的概率． 18. 在中，分别是角所对的边，且满足. （1）求的大小； （2）点是边上一点，且满足， ①求的值； ②求的值. 19 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，记作， （ⅰ）求参数的取值范围； （ⅱ）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春吉大附中实验学校 2025-2026学年上学期高三年级第二次摸底考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分150分 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息分形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字台工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀/ 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合子集个数的计算公式即可得. 【详解】集合有3个元素，故集合的真子集个数为. 故选：A. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定判断得解. 【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 故选：B 3. 设，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】用特例说明ACD错误，用不等式的性质证明B正确. 详解】对于A，若，，则，，，∴A错； 对于B，若，则，两边同时除以，则，∴B对； 对于C，若，，，但，∴C错； 对于D，若，，则，，∴，∴D错. 故选：B 4. 下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】A选项，满足要求；B和D选项，不满足奇函数；C选项，不满足最小正周期为. 【详解】A选项，的最小正周期为，且为奇函数，A正确； B选项，为偶函数，不合要求，B错误； C选项，的最小正周期为，C错误； D选项，定义域为R， 且， 故，故不是奇函数，D错误. 故选：A 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过中间值0和1，即可比较大小. 【详解】因为， 所以， 故选：B 6. 中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（ ） A. 4.8 B. 4.9 C. 5.0 D. 5.1 【答案】B 【解析】 【分析】直接代入数据求值即可. 【详解】由题意，得，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，即，代入，得. 故选：B 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的奇偶性和时，，排除选项求解. 【详解】因为，且，则是奇函数，排除选项A； 当时，，故排除选项C； 又，，故排除选项D， 故选：B 8. 如图，在扇形中，半径，弧长为，点是弧上的动点，点，分别是半径，上的动点，则周长的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点关于线的对称，将的周长的最小值转化为线段，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图， 连接，作点关于直线的对称点，关于直线的对称点，连接，分别交，于点，连接，如图所示，则，此时的周长取得最小值，其最小值为的长度.由题意可得,根据对称性可知，在中，由余弦定理可得，所以，即周长的最小值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合两角差的余弦公式，两角和的余弦公式，同角三角函数关系，两角差的正切公式依次判断每个选项的正误即可. 【详解】对于A，由，，得，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数是奇函数且上可导，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. D. 函数的周期为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇函数和可得周期，由等量关系求导可推导其他选项. 【详解】因为为奇函数，，所以， ，所以周期为，所以，A正确； 因为，所以，即，所以函数为偶函数，B正确； 因为，所以关于直线对称， 所以曲线在处的切线的斜率为0，即，C不正确； 因为，所以，即函数的周期为4，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，，有两个零点，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A利用单位圆即判断，对于B画出与的函数图象，利用数形结合即可判断，对于C的最小正周期为，利用图像即可判断，对于D由，，即可判断. 【详解】对于A，设，，作单位圆如图1，与轴交于，则，过点作垂直于轴，交射线于点，连接，由三角函数的定义可知，，，设扇形的面积为，则，即，故， 当时，有不等式，故A正确； 对于B，画出，与的函数图象，如图2， 由图可以看出，，故，，所以，故B正确； 对于C，的最小正周期为，由图象可知，所以，故C正确； 对于D，由，，得，，所以，故D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题，共92分， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可得到答案. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 13. 把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到的图象，则_________；_________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换结论求出变换后的函数解析式，结合条件列方程求结论. 【详解】把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象， 把曲线向左平移个单位长度，可得的图象， 又，故由已知可得，， 所以，，因为， 所以， 故答案：，. 14. 已知，则的最大值为___________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】设，利用辅助角公式结合三角函数的有界性计算即可. 【详解】设，则， 所以， 由辅助角公式得， 其中，当时取得等号， 解得，即的最大值为，不妨取为锐角， 此时有，，符合题意. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知 （1）若，求实数的值； （2）若，且、、三点共线，求实数的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量垂直的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出，的坐标，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程. 【小问1详解】 因，，所以， 因为，所以，解得. 【小问2详解】 因为，， 因为，，三点共线， 所以，所以，解得， 故的值为． 16. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）设，为第二象限角，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数进行三角恒等变换，化为正弦型函数，再根据正弦函数的单调性求解单调递减区间. （2）先根据已知条件求出，再结合角的范围求出，最后利用两角差的余弦公式求出. 【小问1详解】 由题意， 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，. 【小问2详解】 由，得. 因为为第二象限角，所以，，， 所以， 即的值为. 17. 甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去，约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．规定第一局由甲、乙对战． （1）求进行两局比赛后，比赛结束且甲获胜的概率； （2）求进行两局比赛后，比赛结束的概率； （3）求比赛结束后，甲获胜的概率． 【答案】（1）； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设可得甲连胜两局，利用相互独立事件乘法原理来计算即可； （2）由题设可得甲连胜两局或乙连胜两局，再利用独立事件乘法原理来计算即可； （3）分情况讨论，再利用独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式来计算即可. 【小问1详解】 记甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件， 记比赛两局结束且甲获胜为事件，则， 所以. 故进行两局比赛且甲获胜的概率为． 【小问2详解】 记第一局由甲、乙对战两局后比赛结束为事件，则 所以 ， 则两局后比赛结束的概率为. 【小问3详解】 设比赛结束后，甲获胜的概率为， 则， 则比赛结束后，甲获胜的概率为. 18. 在中，分别是角所对的边，且满足. （1）求的大小； （2）点是边上一点，且满足， ①求的值； ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理由边化角，再根据两角和的正弦公式解三角形. （2）①根据正弦定理，列出方程组，进而求出结果； ②方法一：根据两角和的正弦公式和二倍角公式，求出角的值，再根据正弦定理，求出结果； 方法二：根据前面两个小问的结果，列出方程，根据两角和的余弦公式，求出角的值，再根据正弦定理，求出结果. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得：. 由于，则，所以 由于在中，， 代入上式化简得：，则， 由于，所以； 【小问2详解】 ①由于，则， 在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 所以，由于满足， 所以， ②法1.由于在中，， 所以，即， 所以，所以， 由于，则， 所以则或，解得或， 当时，，所以， 当时，，则，与已知矛盾. 综上，. 法2.由①知，又由（1）知 且，在中，， ， 又，故，又，所以， 所以. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，记作，. （ⅰ）求参数的取值范围； （ⅱ）若，证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，得解； （2）（ⅰ）问题转化为在上有两个根，，令，求导判断的单调性和最小值，问题转化为在上有两个根，分离参数，令，求导判断单调性最值，得解；（ⅱ）由（ⅰ）知，，可得，利用分析法转化为即证，令，即证在上恒成立，利用导数判断单调性求出最值得证. 【小问1详解】 当时，， 则，. 又，在处的切线方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题知，在上有两个根，， ，即. 令，则. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 所以问题转化为在上有两个根. 易知，故， 令，则. 当时，，单调递增 当时，，单调递减. 又，时，，时，， 且时，；时，， ，解得，即参数的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，两式相减得 ， 要证， 即证， 即证， 即证， 令，即证在上恒成立. 令， ， 令， ， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增. ， ，得证， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $