福建省长乐第二中学2025-2026学年高二上学期期中考模拟数学卷1

2025-2026学年第一学期高二数学期中考 模拟卷1 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点A(2,-3,1)关于平面xOz对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆：交于两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A B. C. D. 7. 已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上关于原点对称的两个点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，共线，则 B. 任意向量满足 C. 若是空间的一组基底，且，则四点共面 D. 若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 10. 下列结论不正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 如果，那么直线不经过第三象限 C. 过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 D. 直线恒过定点 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若方程所表示的直线恒过定点，点在以点为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的面积可能为2 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线，，若，则实数的值为___________. 13. 在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 14. 已知两直线，若直线与不能构成三角形，则满足条件的实数为___________.（写出一个即可）. 四、解答题：（本题共5个小题，共77分） 15. 如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，，设，，. （1）试用，，表示向量、； （2）若，求向量与所成的角的余弦值. 16. 已知的顶点，边AC上的高BH所在直线的方程为，边AB上的中线CM所在直线的方程为. （1）求直线AC的方程及点C的坐标；（2）求的面积. 17. 已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆标准方程；（2）已知直线过点且直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程； 18. 如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距 岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向， 试问该船有没有触礁的危险？ 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面，，分别是，的中点． （1）证明：； （2）设为侧棱上的动点，若直线与平面所成角的最大值为， 试求平面与平面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二数学期中考 模拟卷1 答案 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项符合题目要求） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 故选:C. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】由直线方程可知斜率为. 故选：D 3. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】方程表示一个圆， 即， ， 解得， 故选：B. 4. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】直线即，其与间的距离为 ， 故选：C. 5. 已知直线与圆：交于两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由题意得圆：的圆心到直线的距离为， 即直线与圆：相交， 故， 故选：B 6. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由已知可得， 设， ，解得， 即向量在基底下的坐标为. 故选：A. 7. 已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 如图以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，, 则，，， 所以，， 因为，所以， 所以， 即， 当时，， 所以的取值范围是， 故选：C. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上关于原点对称的两个点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 由椭圆的对称性可知四边形为平行四边形，又， 则四边形为矩形， 在中，， 设，即 则，即， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 二、多选题：（共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，共线，则 B. 任意向量满足 C. 若是空间的一组基底，且，则四点共面 D. 若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】CD 【详解】，共线，则或四点共线，故A错误； 向量的数量积运算不满足结合律，故B错误； 若是空间的一组基底，则三点不共线，且，则，即，所以四点共面，故C正确； 若为空间四点，且有（不共线），当时，即时，可得，即，所以三点共线；反之，当三点共线，则，即，化简可得；所以是三点共线的充要条件，故D正确； 故选：CD 10. 下列结论不正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 如果，那么直线不经过第三象限 C. 过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 D. 直线恒过定点 【答案】BC 【详解】A选项，直线中，令得，， 故直线在轴上的截距为，A正确； B选项，不妨设，满足条件，此时直线方程为， 经过第一、二、三象限，故B错误； C选项，当在轴、轴上截距均为0时，设直线方程为， 将代入，故，解得， 故此时直线方程为， 当在轴、轴上截距不为0时，设直线方程为， 将代入得，，解得，此时直线方程为， 故过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为或，C错误； D选项，直线变形，故直线恒过定点，D正确. 故选：BC 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若方程所表示的直线恒过定点，点在以点为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的面积可能为2 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 【答案】AC 【详解】 对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确； 对于选项B，当点P位于椭圆的上，下顶点时，的面积取得最大值，故选项B错误； 对于选项C，由椭圆的定义可得，所以 ，当且仅当时，等号成立，即的最大值为4，故选项C正确； 对于选项D，因为直线，即，令，可得，所以，则圆，所以，故选项D错误. 故选：AC． 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 12. 已知直线，，若，则实数的值为___________. 【答案】1或-2 【详解】因为直线，，， 所以，即， 解得或， 所以实数的值为或. 故答案为：1或-2. 13. 在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________. 【答案】 【详解】如图建立空间直角坐标，设正方体的棱长为， 则， ， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 已知两直线，若直线与不能构成三角形，则满足条件的实数为___________.（写出一个即可）. 【答案】1，，-4（写一个即可） 【详解】依题意，不能构成三角形，分，，过与交点三种情况研究， ①当时，不能构成三角形，此时，解得； ②当时，不能构成三角形，此时，解得； ③当过与的交点时，不能构成三角形，此时联立和的方程，得， 解得，所以与过点，将代入， 解得， 综上，当时，不能构成三角形. 故答案为：1,,−4.(写出其中一个即可) 四、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上） 15. 如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，，设，，. （1）试用，，表示向量、； （2）若，求向量与所成的角的余弦值. 【答案】（1）, （2） 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 因为， ， ， ， 所以， 即向量与所成的角的余弦值为. 16. 已知的顶点，边AC上的高BH所在直线的方程为，边AB上的中线CM所在直线的方程为. （1）求直线AC的方程及点的坐标； （2）求的面积. 【答案】（1）； （2）24 （2）设点坐标为，由中点坐标和点在直线上解方程组求出坐标，再由点到直线的距离公式求出高，然后计算面积即可； 【小问1详解】 因为边AC上的高BH所在直线的方程为，所以边AC的斜率为-1， 又顶点，所以边AC的直线方程为， 所以，解得， 所以直线AC的方程为，点的坐标为. 【小问2详解】 设点坐标为， 由中点坐标公式可得，由点在直线上可得， 又在直线BH上，所以， 联立两方程可得， 又到直线AC的距离为， 所以. 17. 已知圆心为的圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线过点且直线被圆所截得的弦长为6，求直线的方程； 【答案】（1） （2）或 【小问1详解】 法一：，的中点为， 的垂直平分线方程为，即， 将联立可得，即圆的圆心坐标为． 圆的半径为， 所以圆的标准方程为． 法二：设圆的方程为． 由题可得，解得， 所以圆的标准方程． 法三：设圆的方程为 由题可得，解得， 所以圆的标准方程为， 化为标准方程即． 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，由弦长公式得， 故． ①若直线的斜率不存在， 则，此时圆心到直线的距离为1，符合题意． ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则有，解得， 则直线的方程为． 故直线的方程为或． 18. 如图，某海面上有，，三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）若圆区域内有暗礁，现有一船在岛的北偏西方向距岛千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】（1） （2）该船没有触礁的危险 【小问1详解】 根据题意可知， 易知圆的圆心在线段的垂直平分线上，可设圆心， 又可得， 解得，所以半径， 因此圆的方程为. 【小问2详解】 由在岛的北偏西方向距岛千米处，可得； 由行驶方向为北偏东可知行驶直线所在直线斜率为， 因此行驶直线方程为， 圆心到直线的距离为， 即行驶直线与暗礁区域圆相离，因此该船没有触礁的危险. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面，，分别是，的中点． （1）证明：； （2）设为侧棱上的动点，若直线与平面所成角的最大值为，试求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【小问1详解】 证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形. 为的中点,， 又，， 平面，平面，， 而平面，平面，且，平面， 又平面，. 【小问2详解】 法一：由平面，平面可得， 又由（1）可得，，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，设， 则，由，，三点共线可设， 设，则，则， 故，从而， 又平面的一个法向量，设与平面所成角为， 则． 令， 故当时，， 故，即，， 则，，因为，故， 所以点坐标为，则，. 设平面的一个法向量为 则有 取，可得； 同理可得平面的一个法向量， ， 故平面与平面的夹角余弦值为. 法二：为上任意一点，连接，， 由（1）知平面，所以为与平面所成的角， 在中，，且， 所以当最短时，最大， 即当时，最大. 因为，所以， 又，所以，所以， 由（1）知，，两两垂直，故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，分别为，的中点， 所以，，，， ，，， 所以，，， 设平面一法向量为， 则，故， 取，则， 又由平面可得， 因为，平面，平面，，所以平面， 故为平面的一法向量， 所以. 故平面与平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $