精品解析：云南省文山壮族苗族自治州文山市第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

文山市第一中学高二年级10月月考 数学试卷 本试卷共4页，共19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知、，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知直线：，：，若，则实数等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知向量，则平面的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 4. 点到直线距离等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（ ） A. B. C D. 6. 过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 若过点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 过点且垂直于直线的直线方程为 D. 直线的倾斜角为120° 10. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC，CC1的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A B. C. 直线B1Q与AD1所成角的余弦值为 D. Q到平面AB1P的距离为 11. 以下四个命题表述正确是（ ） A. 直线恒过定点（-3，-3） B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点（1，2） 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 已知空间向量，且与垂直，则等于__________． 13. 已知平行直线，则与的距离是_______________. 14. 已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是_________ 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，直四棱柱中，底面为正方形，设3，点在线段上，且． （1）求三棱锥的体积； （2）直线与平面所成的角的正弦值． 16. 已知三个顶点坐标为，，. （1）在中，求与边平行中位线所在直线方程； （2）求外接圆的方程. 17. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知点，动点满足到两点的距离之比为.设动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）已知直线过点，且与曲线交于两点，若，求的方程. 19. 已知圆与圆 （1）若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; （2）若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; （3）若r=1，求圆与圆的公切线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文山市第一中学高二年级10月月考 数学试卷 本试卷共4页，共19题，全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知、，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点间距离公式即可求解. 【详解】因为、， 所以， 故选：C. 2. 已知直线：，：，若，则实数等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条直线的斜率乘积等于可得结果. 【详解】因为直线：，：，且， 所以，即. 故选：A. 【点睛】本题考查了由两条直线垂直求参数值，属于基础题. 3. 已知向量，则平面的一个法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设平面的法向量为，然后根据进行求解即可. 【详解】设平面的法向量为，由可得：， 令得：，解得：，. 由此可得：平面的一个法向量为. 又B，C，D三个选项的向量均不共线. 故选：A 4. 点到直线的距离等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式，直接计算，即可得出结果. 【详解】点到直线的距离为. 故选：C 【点睛】本题主要考查求点到直线的距离，熟记公式即可，属于基础题型. 5. 直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可. 【详解】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为， 则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0. 故选：B. 6. 过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程． 【详解】因为过点与， 所以线段AB的中点坐标为，， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 所以线段AB的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆心为， 所以圆的方程为. 故选：A 7. 设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径得最小值，加上半径得最大值. 详解：由题意得，圆， 即，圆心为，半径， 由圆心到直线的距离， 圆上动点到直线的最小距离为，最大距离为， 即的取值范围是，故选B. 点睛：本题考查圆的标准方程及几何性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 8. 若过点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形分析，结合直线的倾斜角以及斜率的关系即可求解. 【详解】如图所示： 当点从点向点运动时，则直线的倾斜角越来越大， 当点与点重合时，直线的倾斜角的最小值为， 由直线倾斜角与斜率的关系可知， 所以， 当点与点重合时，直线的倾斜角的最大值为， 由直线倾斜角与斜率的关系可知， 所以， 又注意到当点从点向点运动时，是连续变化的， 因此满足题意的直线的倾斜角取值范围为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 过点且垂直于直线的直线方程为 D. 直线的倾斜角为120° 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案； 对于B，将代入直线方程，结合截距的定义，可得答案； 对于C，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案； 对于D，根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案. 【详解】对于A，由直线方程，整理可得，当时，，故A正确； 对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B错误； 对于C，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点代入上式，可得，解得，则方程为，故C正确； 对于D，由直线方程，可得其斜率，设其倾斜角为，则，解得，故D错误. 故选：AC. 10. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC，CC1的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A. B. C. 直线B1Q与AD1所成角余弦值为 D. Q到平面AB1P的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为原点，以所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系，可得，从而可判断A，由可判断B，由坐标求出，即可判断C，求出平面的法向量，即可求出点到平面的距离为，即可判断D. 【详解】解：以为原点，以所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 则， ，所以，则， 因为，所以，A正确； 因为，所以，则，B正确； 因为由， 所以直线B1Q与AD1所成角的余弦值为，C不正确； 设平面的法向量为，因为， 则，所以，令，则， 所以点Q到平面AB1P的距离为，D正确. 故选:ABD. 11. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点（-3，-3） B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点（1，2） 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A：将直线整理为，则有，解出这个方程组的解，这个解构成的点就是直线恒过的定点 ；对于选项B：求出圆心到直线的距离，这个距离与半径比较得到所求；对于选项C：两圆有三条公切线，则有两个圆心间的距离等于两个圆的半径和，求解即可；对于选项D：设，由点为直线上一动点，将代入此直线方程整理后得到，求出以为直径的圆的方程，这个圆的方程和圆：相减得到直线的方程，将代入直线的方程得，再求出直线恒过的定点即可. 【详解】对于选项A：将直线整理为，则有，解得， 直线恒过定点，则选项A错误； 对于选项B：圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1. 则选项B正确； 对于选项C：曲线：的圆心为，半径， 曲线：的圆心为，半径， 曲线：与曲线：恰有三条公切线， ，，，则选项C正确； 对于选项D：设，点为直线上一动点，， 即， 以为直径的圆的方程为，即， 圆：和，这两个圆相减得直线的方程为， 代入，得，整理得， 设，解得，即直线经过定点（1，2），则选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分. 12. 已知空间向量，且与垂直，则等于__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因，且与垂直， 所以，解得． 故答案为：5. 13. 已知平行直线，则与的距离是_______________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】由题意，根据两平行线间的距离公式可得. 故答案为：. 14. 已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是_________ 【答案】或． 【解析】 【分析】根据切线夹角分析出，由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得． 【详解】圆，则圆心为，半径， 设两切点为，则，因为，在中，，所以, 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 圆心，所以圆心到直线的距离，解得或． 故答案为：或． 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，直四棱柱中，底面为正方形，设3，点在线段上，且． （1）求三棱锥的体积； （2）直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用锥体的体积公式计算即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出及平面的法向量，利用向量夹角公式计算线面所成的角即可． 【小问1详解】 根据题意可知，，， 所以， 三棱锥的体积． 【小问2详解】 如图所示，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 易知， 所以， 设平面的一个法向量， 则， 取，则，即， 设直线与平面所成角为， ． 即直线与平面所成角正弦值为． 16. 已知三个顶点坐标为，，. （1）在中，求与边平行的中位线所在直线方程； （2）求外接圆的方程. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）分别求出及的中点，即可求出两个中点所在直线的方程，即为所求；（2）设外接圆的方程 ，将三个顶点坐标代入求解即可． 【详解】解：（1）由题意，的中点为，的中点为， 故与边平行的中位线所在直线方程为. （2）设的外接圆方程为 ， 则把，，的坐标代入可得， 解得， 故所求的圆的方程为. 【点睛】本题考查了直线的方程，考查了圆的方程，考查了三角形的中位线，考查学生的计算能力，属于基础题． 17. 如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明即可； （2）求出平面及平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算可得． 【小问1详解】 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设是平面的一个法向量， 则， 取，则，即， 因为，所以， 又平面，∴平面． 【小问2详解】 由（1）知是平面的一个法向量， 是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知点，动点满足到两点的距离之比为.设动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）已知直线过点，且与曲线交于两点，若，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，化简方程即可求得的方程； （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时直接分析即可，斜率存在时根据圆心到直线的距离、半径、半弦长之间的关系求解出的值，由此可求的方程. 【小问1详解】 由条件可知，所以，化简可得， 所以. 【小问2详解】 表示圆心为，半径为的圆； 当直线的斜率不存在时，，因为恒成立， 即与圆没有交点，故不符合题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 圆心到直线距离为， 因为，所以，解得或， 所以的方程为或. 19. 已知圆与圆 （1）若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; （2）若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; （3）若r=1，求圆与圆的公切线方程. 【答案】（1）； （2）； （3），，. 【解析】 【分析】（1）求出两圆的圆心距，再利用两圆相交的充要条件列式求解即得. （2）求出公共弦所在直线的方程，再利用圆的弦长公式计算即得. （3）设出公切线方程，利用点到直线的距离公式列出方程组并求解即可. 【小问1详解】 圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为4， 由圆与圆有两个不同的交点，得，而， 因此，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 当时，圆，此时圆与圆相交，两圆方程相减得直线方程， 点到直线的距离， 所以. 【小问3详解】 当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $