精品解析：广东省湛江市2025-2026学年高三上学期10月高考调研测试数学试题

2026年湛江市普通高考调研测试 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某地区的鸿蒙用户中心的客服人员现要从购买智界汽车的50名车主，享界汽车的60名车主，问界汽车的40名车主中用分层随机抽样的方法抽取容量为30的样本进行用户反馈调研，则在智界汽车车主中抽取的人数为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的性质求解. 【详解】按照分层随机抽样，在智界汽车车主中共抽取人． 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的值域求出集合B，再根据集合的补集和交集运算法则求解即可． 【详解】集合， ， 故， ∴． 故选：B． 3. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算和乘方运算求得复数，再根据复数的几何意义即可判断. 【详解】记， 所以z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A． 4. 在直角坐标系xOy中，点到直线上动点的最小距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数形结合思想可得题目所求最小值即为点到直线的距离. 【详解】直线上的点到点的距离的最小值为点到直线的距离． 故选：D 5. 曲线在点处的切线l过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，写出切线方程，即可求得直线经过的定点. 【详解】令函数，则，故， 所以l的方程为，整理得， 所以l经过定点． 故选：D． 6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2． 故选：C 7. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理结合条件得到关于边的一元二次方程，由有两解可得该方程有两个不等正根，列出关于的不等式组，求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 代入，，可得， 由有两解，可得关于b的方程有两个不等正根， 则， 由①解得．由②可解得，故可得. 故选：C． 8. 有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】分别对与计算对应的概率和期望，进而比较大小可得结果. 【详解】当时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为和， 放入后，取出白球的概率分别为1和， 故，． 当时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布， 取出两个白球的概率，此时甲盒中取白球概率为1； 取出两个黑球的概率，此时甲盒中取白球概率为； 取出一白一黑的概率，此时甲盒中取白球概率为， 则， 且放入的两个球中白球数的期望， 则， 则， 所以，又，，故． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个几何体中体积与其表面积的数值之比为的是（ ） A. 底面半径为1，高为2的圆锥 B. 底面半径为1，高为2的圆柱 C. 上、下底面半径分别为，，高为2的圆台 D. 半径为1的球 【答案】BD 【解析】 【分析】利用圆锥、圆柱、圆台和球体的体积和表面积公式逐一计算检验即得. 【详解】对于A，圆锥的体积为，表面积为， 所以，故A错误； 对于B，圆柱的体积为，表面积为， 所以，故B正确； 对于C，圆台的体积为， 表面积为：， 所以，故C错误； 对于D，球的体积为：，表面积为：， 所以，故D正确． 故选：BD． 10. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在区间上先单调递减后单调递增 D. 曲线关于点中心对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换化函数解析式为，根据题设和选项要求，利用余弦型函数的单调区间、值域和对称中心等知识点逐一分析即可判断. 【详解】由题意得 ． 对于A，由题意可得，解得，故A错误； 对于B，由A的分析可得 ．因为，所以的值域为，故B正确； 对于C，当时，，由余弦函数的图象性质可知先单调递减后单调递增，故C正确； 对于D，令，，得，． 令，可得曲线关于点中心对称，故D正确． 故选：BCD． 11. 设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（ ） A. l始终与圆P相离 B. 无最值 C. 存在点P，使得 D. 时，P到l的距离为3 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用圆心到直线的距离与圆的半径比较即得；对于B，先求出的取值范围，再根据等面积求出的表达式，推得，即可判断；对于C，通过计算的斜率，利用，可判断不重合，排除该项；对于D，通过反向思考，由结论作为条件，推出矛盾，从而排除D项. 【详解】 对于A，因抛物线的准线，则，解得，故． 设，则，那么P到l的距离为，即l与圆相离，故A正确； 对于B，设点，则， 因，则四边形AMPN的面积为， 可得，故B正确； 对于C，因为，AP的斜率为，而OP的斜率为， 两者相等当且仅当，而这与题意矛盾，所以与不可能垂直，故C错误； 对于D，运用反向思考，若点P到l的距离为3，则易得，由对称性，不妨取， 则，由已知，且，可得O，M，P三点共线， 由，可得， 此时PM斜率为，而AM的斜率为， 此时，，即AM与PM不垂直，这与题意矛盾，故D错误． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知定义在上的偶函数满足：时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及分段函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，又因为为偶函数，故，故． 故答案为： 13. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式，二倍角公式和弦化切运算即得. 【详解】因为， 所以． 故答案为:． 14. 已知双曲线E：（，）的左，右焦点分别为，，过点的直线与E的左、右两支分别交于M、N两点，与y轴交于点P，线段与E交于点Q．若，，则E的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据向量关系求出N与Q的坐标，代入双曲线的方程列方程组即可求出离心率． 【详解】不妨设，则，记，设， 则， ∵，∴，解得，即， 由可知P是的中点，由中点坐标公式可得点， 将N与Q代入E的方程，可得， 而E的离心率，故， 可得， 故由，可解得． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，圆锥SO中，P，Q为底面圆上两点，，且是边长为4的等边三角形． （1）证明：平面； （2）若，求点S到平面的距离． 【答案】（1） 圆锥的高平面，平面，故，． 在中，，，则．同理，． 由于是边长为4的等边三角形，故． 在中，，故． 由于，，，且平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先由平面证明，求出相关边长，证明，再由线线垂直证明线面垂直即可； （2）依题建系，写出相关点的坐标，求出平面的坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，． 如图所示，以O为原点， ，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，； 由，易得． 则，． 设平面的一个法向量， 则，故可取． 由于， 设点S到平面的距离为d． ， 故点S到平面的距离为． 16. 为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案一 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案二 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况． （1）若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率； （2）试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高． 【答案】（1） （2）采用补贴方案二的补贴额更高 【解析】 【分析】（1）根据条件概率计算公式即可求解； （2）求出两种方案的数学期望并进行比较即可． 【小问1详解】 记事件A：单个家庭补助不低于1100元/月， 事件B：单个家庭共生育2个婴儿， 则， ， ； 【小问2详解】 记根据补贴方案一每月所得的补贴额为，根据补贴方案二每月所得的补贴额为， ， ， ，故采用补贴方案二的补贴额更高． 17. 已知椭圆（）的离心率为． （1）求E的方程； （2）记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件先求出椭圆的半焦距，继而求得短半轴长，即得椭圆方程； （2）先检验当直线的斜率为0时，不合题意，再设，将其与椭圆方程联立，消元后写出韦达定理，利用弦长公式建立方程，求得，即得直线的方程，求出点到直线的距离，即可求得的面积. 【小问1详解】 不妨记E的半焦距为c，则，解得， 故E的方程为． 【小问2详解】 当直线AB的斜率为0时，，不合题意，舍去； 当直线AB的斜率不为0时，记，联立， 消去可得，显然，设，， 则，， 于是， ， 即，可得（舍）或，故， 故：，故O到的距离， 故的面积． 18. 记为递增数列的前n项和，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由得，两式相减，根据与的关系构造关于的关系，结合已知条件即可求出为等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得答案； （2）利用错位相减法即可求解； （3）当时，利用，放缩后再裂项相消即可得证． 【小问1详解】 ∵，∴， 两式相减得， 即，即， 当时，有，解得， 又∵数列单调递增，故， 故只能有， 由等差数列的定义可知是首项和公差均为1的等差数列，故． 【小问2详解】 ， 记数列前n项和为， 则， 则， 两式相减，得． 【小问3详解】 由题，， 当时，，不等式成立； 当时， 故， ． 综上所述，原不等式得证． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若无零点，且有两个不同的极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先求的导数，进而结合二次不等式的性质对分类讨论可得结果； （2）（ⅰ）令，即，结合直线与无交点，并利用（1）的结果得到的取值范围； （ⅱ）由（1）中方程有，，化简可得，利用导数讨论单调性可得结果. 【小问1详解】 由题意可得， 令，则．判别式． ①当，即时，恒成立， 即恒成立，在R上单调递增； ②当，即时，方程有2个实根， 且由求根公式可知该方程的解为， 由二次函数单调性知在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 综上，时，在R上单调递增； 时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 【小问2详解】 （ⅰ）令，即， 由于无零点，则直线与无交点，则； 又有两个不同的极值点,，由（1）知时满足题意，故a的取值范围为． （ⅱ）由（1）中方程有，． 不妨设，． 则 ， 设函数，， 且在上恒成立，故单调递增， 且，． 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湛江市普通高考调研测试 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某地区的鸿蒙用户中心的客服人员现要从购买智界汽车的50名车主，享界汽车的60名车主，问界汽车的40名车主中用分层随机抽样的方法抽取容量为30的样本进行用户反馈调研，则在智界汽车车主中抽取的人数为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在直角坐标系xOy中，点到直线上动点的最小距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 曲线在点处的切线l过定点（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列四个几何体中体积与其表面积的数值之比为的是（ ） A. 底面半径为1，高为2的圆锥 B. 底面半径为1，高为2的圆柱 C. 上、下底面半径分别为，，高为2的圆台 D. 半径为1的球 10. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 的值域为 C. 在区间上先单调递减后单调递增 D. 曲线关于点中心对称 11. 设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（ ） A. l始终与圆P相离 B. 无最值 C. 存在点P，使得 D. 时，P到l的距离为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知定义在上的偶函数满足：时，，则________． 13. 已知，则________． 14. 已知双曲线E：（，）的左，右焦点分别为，，过点的直线与E的左、右两支分别交于M、N两点，与y轴交于点P，线段与E交于点Q．若，，则E的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，圆锥SO中，P，Q为底面圆上两点，，且是边长为4的等边三角形． （1）证明：平面； （2）若，求点S到平面的距离． 16. 为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案一 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案二 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况． （1）若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率； （2）试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高． 17. 已知椭圆（）的离心率为． （1）求E的方程； （2）记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积． 18. 记为递增数列的前n项和，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）证明：． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若无零点，且有两个不同的极值点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $