5.5.1两角差的余弦公式 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“两角差的余弦公式”，通过复习诱导公式，将特殊角换为任意角，建立与两角和差三角函数的联系，引入课题，梳理三角函数知识脉络。 特色在于利用单位圆旋转对称性结合GeoGebra软件推导公式，问题链引导逻辑推理，动手操作与小组合作培养数学抽象与探究能力。例题练习强化数学运算，分层作业兼顾基础与拓展，帮助学生构建知识体系，为教师提供可操作的教学流程和评价依据。

人民教育出版社 普通高中教科书A版 必修第一册 第五章 三角函数 第五单元 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1.两角差的余弦公式 教 学 设 计 蓟州区邦均中学 授课教师：周健 2025年11月1日 教学单元 第五章 三角函数 教学内容 5.5.1两角差的余弦公式 （第1课时） 教学目标 核心价值： 1.引导学生推导两角差的余弦公式，培养学生的创新意识和探索精神； 2.在公式的运用过程中，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。 学科素养： 1.了解两角差的余弦公式的推导过程,体会单位圆上点的坐标的表示方法,培养数学抽象的核心素养； 2.会用两角差的余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简，计算等，提升数学运算的核心素养； 3.熟悉两角差的余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法，强化逻辑推理的核心素养。 关键能力： 1.理解两角差的余弦公式的推导过程，通过对公式的推导，培养学生的分析问题和解决问题的能力； 2.能够运用两角差的余弦公式进行三角函数的化简、求值和证明。 教学重难点 重点：了解两角差的余弦公式的推导过程。 难点：（1）两角差的三角函数与圆的旋转对称性间的联系； （2）会用两角差的余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等。 学情分析 学生在知识结构上已经学习了“三角函数的概念”、“诱导公式”、“三角函数的性质”，知道单位圆是研究三角函数的重要工具，这为学生研究“两角差的余弦公式”提供了理论基础与探究方向。 学生在能力水平上已经具备一定的抽象概括能力、逻辑推理能力以及转化和分析问题的能力，可是如何使学生将已有的知识成功迁移到新知识的学习上，如何利用圆的旋转对称性得到两角差的余弦公式，从而提高发现问题，探索问题和解决问题的能力，实现学习方式的转变，这是本节课需要突破的。 基于以上分析，本节课的教学难点确定为：两角差的余弦公式与圆的旋转对称性间的联系。 突破难点的关键：问题链引导与应用信息技术教学。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、 知识回顾引入新知 复习回顾： 教师提出：观察这组公式，我们发现它们都是特殊角与任意角的和（或差）的三角函数与角的三角恒等关系。现在，我们把公式中的特殊角换为任意角，我们发现它们的共同形式就是两角和与差的三角函数。和角、差角的三角函数间存在着紧密的内在联系，因此不必孤立地一一推导这些公式，只要推导出一个公式作为基础，再利用这种联系性，用逻辑推理的方法就可以得到其他公式。今天，我们选择两角差的余弦公式作为基础开始研究。     一名学生回答幻灯片诱导公式，所有学生思考如果把公式中的特殊角换为任意角，发现它们的共同形式就是两角和与差的三角函数。那么，如何推导这些公式呢？（以两角差的余弦公式为例） 本环节以单元教学为理念，着眼于学生的最近发展区，唤醒学生与所研究内容相关的认知，将前面学习的诱导公式与两角和与差的三角函数建立联系，再提出选择两角差的余弦公式作为基础推导其他公式，引入课题。 二、 深入分析 探究公式 【知识一：两角差的余弦公式：】 教师引言：根据诱导公式的研究经验，我们尝试提出问题：如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α-β的余弦吗？要用到哪些研究方法呢？下面回顾我们以往的研究经验。 问题1：以诱导公式为例，你能简要说明证明过程吗？ 问题2：回顾诱导公式的探究思路，我们利用了哪些研究方法？ 教师：板书总结诱导公式的研究思路：单位圆的特殊对称性——角与角之间的关系——坐标之间的关系——等量代换——三角函数的关系。 探究：与角的正弦、余弦之间的关系； 1.教师引导学生根据三角函数定义，确定在单位圆中需要作出角，角和角，学生动手操作。 教师用GeoGebra数学软件在单位圆中作出角，和角，和学生共同探究公式。 2.教师指出先研究角与的终边不重合的情况，即，的情况。如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1、A1、P。 P1、A1、P点的坐标如何表示？我们探究的是角的三角函数间的关系，所以还是要关注角，我们要在单位圆中找到与角相关的等量关系。 问题3：利用等量关系,结合两点间距离公式，你能否推导公式？ 教师板书两角差的余弦公式。 问题4：当角与角终边重合时，即.两角差的余弦表达式是否仍然成立？ 教师：对于任意角有. 称为差角的余弦公式，简记作 教师对公式进行说明：1.公式中的角都是任意角；2.公式左边的角，右边的角是和；3.公式左边的符号是“”，右边的符号是“”；4.公式的结构特征。 问题1：一名学生上讲台陈述证明过程，教师用PPT展示关键证明步骤。 【预设答案】：作关于直线的对称点，以为终边的角是与角终边相同的角，根据单位圆的对称性，点点坐标之间有等量关系，，根据三角函数的定义，有。 问题2： 学生回答探究思路。 探究： 1. 学生利用直尺，圆规，量角器，通过动手操作，用不同的方法作出角.小组合作探究，教师巡视，深入小组活动，倾听小组交流，用实物投影将学生的探究结果投影在大屏幕上分享，请小组代表陈述本组的探究结果。 2. 学生回答P1、A1、P点的坐标以及等量关系； 【预设答案】；；； 问题3：学生独立思考，在笔记本上推导公式。教师巡视，投影一名学生的推导过程，学生陈述探究过程和结论。 【提示】根据圆的旋转对称性可知， 与重合，从而， 所以AP＝ 根据两点间的距离公式，得 +=+， 化简得: =+ 问题4：学生先独立思考、作答在笔记本上。教师巡视，请一名学生回答问题。 问题1： 将前面学习的诱导公式与两角和与差的三角函数建立联系，再提出选择两角差的余弦公式作为基础推导其他公式，引入课题。学生能够明确学习目的，带着目标开展学习活动。 问题2： 引导学生回顾诱导公式的研究思路，强化单位圆研究三角函数问题的意识和习惯，为接下来探究的余弦指明思考方向。 问题3、4： 公式的推导是发展学生逻辑推理素养的载体，逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证。 三、 学以致用 解决问题 一、 1.教师引言：下面，让我们学以致用，来解决一道数学问题。 例1.利用证明： （1）； （2）. 教师：前面，我们利用单位圆的特殊对称性证明诱导公式。现在我们学习了更一般化的公式——差角的余弦公式，也能证明得到诱导公式。 2.教师开展探究活动：探究利用差角的余弦公式还能得到哪些其他公式或者非特殊角的余弦值。 二、 例2.已知,是第三象限角，求的值 教师活动：规范学生解题格式，最后教师总结这类题目的解题步骤：第一步，确定解题依据的是哪个公式；第二步，与公式相比较，观察题目的形式特点，确定需要求出哪些值；第三步，根据第二步得到的方案先求值，再代入，解决问题。 三、 练习：利用差角的余弦公式求值：. 教师：差角的余弦公式把的三角函数式转化成了，的三角函数式。如果反过来，从右向左使用公式，可以化简这个三角函数式吗？ 一、 1.学生独立思考、作答在笔记本上，教师将学生答案投影在大屏幕上分享，学生陈述证明过程。 2.学生小组探究，小组代表展示探究结果。 二、 请一名学生在黑板上作答，其他同学作答在笔记本上。 三、 学生独立完成这道题，作答在笔记本上.教师巡视，请一名学生回答问题。 一、 例1说明了诱导公式与两角差余弦公式之间的特殊与一般的关系。设置探究活动具有一定的开放性，引导学生自主探究。 二、 通过简单的应用，使学生初步熟记公式，掌握公式的结构形式及其功能。训练学生有序的思维习惯，发展学生的数学运算素养，培养学生程序化的思维习惯. 教师规范解题格式，展示数学的严谨性。 三、 这道题是简单的公式反用。要求学生能够从正、反两个角度使用公式，对公式要有更全面、深刻的理解。目的在于培养学生逆向思维及思维的灵活性。 四、 反馈练习 知识检测 1.已知求的值. 已知，是第二象限角，求的值. 学生独立完成这道题，作答在笔记本上。教师巡视，投影两名学生答案。 通过知识检测，可以了解学生对知识的理解和掌握情况，为教学评价提供依据。 五、 小结提升 布置作业 小结： 教师：学生和老师共同回顾、梳理、总结本节课所学的数学知识、思想方法。 作业： 教科书第217页 练习5 教科书第228页 习题5.5 1题 继续借助推导其他公式或结论 查阅资料探究两角差余弦公式的其他证明方法 学生小组讨论、回答，相互补充，让学生梳理本节课的知识收获。 小结： 培养学生归纳总结能力。让积累数学知识和活动经验，强化学生思维发展。 作业： 落实公式的应用，强化双基；优化作业设计，发挥作业育人功能。 六、 板书设计 5.5三角恒等变换 5.5.1两角差的余弦公式 三角恒等变换 例2： 小结： 诱导公式的研究思路 知识： 探究 解题步骤： 原理： 、 思想方法： 、 差角的余弦公式： 学科网（北京）股份有限公司 $