训练53二倍角的正弦、余弦、正切公式-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

8.BCD 因为∠C=120°,所以∠A+∠B=60°. :13.解 (1)证明 sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 言.所以tan(A+B)=LA Aan -√3.故A错误. ① 因为 tan A+tan B—√3(1—tan Atan B)—2, sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=÷ ② 所以 tan Atan B—言①,所以 D正确. ①+②并化简，得 sin Acos B=号. ①-②并化简，得cos Asin B=言.又因为 tan A+tan B=2J3②, : Aan -2,∴m-2,lan A=2an B.由①②联立解得 tan A—tan B—厚. (2)∵A+B+C=π, 所以 cos B=√3sin A.故 B,C正确.综上，B,C,D正确. 故选 BCD. :sin C=sin[x-(A+B)]=sin(A+B)=号， ∴tan C=二(△ABC是锐角三角形)。 9.C∵ tan 2a = tan [(α+β)+(a-β)] = -1.2-÷ +kn(k∈Z),∴a=-+÷4n(k∈2). 又∵a为锐角，∴a=晋一吾一警 又：tan(A+B)=-tan C=-4,tan A=2tan B, ∴tan(A+B)=1--A Aan B-1-2ang--· 解得 an B=2+,5或tam B=2(合去), ∴tan A=2+√6. 10.C∵在△ABC中，an C=-tan(A+B),∴n B+ mc=B-A+ =B 1-tan A·tan B,·tan B= 2tan A,∴ 1tan Btan A+tan B---x+ 2tan A 14.解 选择条件①,∵角α的终边经过点P(1,2), ∴tan a=2, 则tan(a+B)=L-tah aanP-2-2nβ=4, 解得tan β一奇. ∵角A为锐角，∴tan A>0,∴n+ta3 选择条件②,∵a∈(0.晋)sin a=唇，2tan A一号，,当且仅当6tan a=2tan/≥2^√6tan A 3 Ptan A=号!时，等号成立，∴aB+mc的最小值 为- :cosa=√1-sma=25:an a-ig-÷. 2的 则 (a+x)= tan(a+β)-(β-4)」11.解 析 tan tan(a+β)-tan((β-4) 号 工 3 1+2x⊥ 22'1+tan(a+β)tan(β-至) 答案 解得tan g-子. 选择条件③,∵a∈(0,吾),sin a+2cos a=√σ :由 si'a+co<a=1,得 sina=Ta=～巫 ∴tan a=Ra-3,tun(a+p)-12.解析 因为 则tan(a+)=L-at aunβ--3umβ-4, 解得tan P=5. 训练五十三 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.m RX-专去 因为a,β.γ∈(o.否),所以a+β∈(0,π). 2.A 因为sin(a+天)=√3,所以 cos [2(α+吾)]-1— 2sin2(a+晋)=1-2×6-音，,故选 A. 又tan(a+β)=T>0,所以a+β∈(0.否), 所以a+β+γ∈(0,π),所以a+β+y=至. 3.D原式 = √2(cos210°+sin210°—2sin 10°cos 10°) -√1+2cos210?-1答案 千 117 =√2|cos 10°-sin 10°|-√2|cos 10°| ∴2sin Bsin C=1-cos Bcos C+sin Bsin C, ∴cos Bcos C+sin Bsin C=1, ∴cos(B-C)=1. =√2(cos 10°—sin 10°)-√2cos 10°=-√2sin 10°.故 选 D. 4.A 因为3cos 2a—8cosα=5,所以3(2cos2a-1)-8cos α= 又∵-180°<B-C<180°,∴B-C=0°, ∴B=C,∴△ABC是等腰三角形.5,所以6cos2a—8cosα-8=0,所以3cos2α-4cos α-4= cos a=- sin(2-a)=sin [-(+a)]=0,解得 cosa=2(舍去)或 因为α∈(0,π), :11.解 析 因 为 所以 sin a=√1-csa=辱 cos(+a),则 sin(于+a)sin(4-a)=言可化为 ≥sin[2(+a)]-言，所以sin(晋+2a)-号，,所以 故选 A. ∵4+a=2-(4-r),5.解析 cos 2a=5.因为a∈(晋，π),所以 2a∈(π,2x),从而 sin 2a=-√1-cx 2a=-2,所以 an 2a-- -2/F,放mn 4a-- ∴sin (4+x)=sin[-(-x)]=cos(-x), 4eo*x-4co2x+1)∴原式= ⋯(一) 答案(2cos2x-1)2 cos22.x cos22a-=-- -== 2cos 2x4sin(4-x)cos(4-x)2sin1(吾-2r) 12.解析 由1-cos 2a=sin acos α, 得1-(1-2sin2a)=sin acos a, 即 2sin2α=sin acos a. ∵a为锐角，∴sina≠0, :2sin a=cos a.即lan a=. 法一 由⋯--+ -202x. Ecos 2x答案 √1-2sin 20°cos 20° 6.解析 2cos210°-√1-cos2160?-1 -1. 答案 1 ,得 tan β=1. ∵β为锐角⋯g=平. 法二 tan β=tan[(β-a)+a] 子 dmetoso)√Z(sin a+cos a)原式=7.解 2sin ac 因为a为第二象限角，且sin a=, 所以sin a+cos a≠0,cos a=-÷. 所以原式=4C。=-√2. ∵β为锐角∴β=4. 去号答案8.D∵2cos(a-晋)=1+sin 2a,∴2cos(a-晋)-1= sin 2a.:cos(2a-晋)=sin 2a∴cos 2a+sin 2a= sin 2n,又cos 2a≠0,∴+an 2a=tan2a,解得tan 2a 13.解 (1)∵anO+mo-6+sn0-smboo= s22o=3.∴sin20=号⋯f(0)=sin 20+2=号 =2+√3.故选 D. (2)∵g(x)=sin 2x+2+2√3cos2x-√3=sin 2x+ V3cos 2x+2=2+2(÷sin2x+os2x)=2+ 2sin(2x+晋)⋯g(0)=2+2sin(20+晋)=2, ∴sin(20+晋)=0,即 20+晋=kπ,k∈Z, 解得0=-否+答，k∈Z. 9.D 由题意，得 sin(2a+晋)=-cos 2a=号，,所以cos 2a =-2,所以sin2a=1-22=.又角a在第四象限 内，所以sina=-√smta=-竖故选 D. 10.B 由sin Bsin C=cos合得sin Bsin C=L+2s?, ∴2sin Bsin C=1+cos A, ∴2sin Bsin C=1+cos[π-(B+C)]=1-cos(B+C), :0∈(0,π),∴.0-吾或0-否∴L=20-或L= 118 14.解 (1)cos215?+cos215?-√3sin 15°·sin 15° ∵x∈[0m]∴2x-晋∈[-音.] 令告<2x一晋<誓，得x∈[晋.膏] [示.]答案 =2cos215°-√3sin215 =1+os 30°-空(1-cos 30) =1+竖-竖×(1-竖)=子 7.解(1)f(x)=4cos ux·sin(aax+干) =2√2sin ax·cos ax+2√2cos2wx =√2(sin 2wx+cos 2ox)+√2 =2sin(2ox+至)+√2. (2)推广：当α+β=30°时， cos^a+cosβ-√3sin asin g=. 证明：∵a+β=30°,∴β=30°-a, cos2a+cos2β-√3sin asin β=cos2a+cos2(30°-a)- √3sin asin(30?-α) 因为 f(x)的最小正周期为π,且w>0, =x:故a=1.从而有=cosa+(osa+÷sina)-√3sina·(÷sa- (2)由(1)知 f(x)=2sin(2x+午)+√2.ine) 若0≤x<吾，则晋<2x+晋<晋.-co/a+osa+os ain a+÷sno-os a sin a+2sin2a=Zcos2a+Zsin2a=子. 训练五十四简单的三角恒等变换 当于<2x+千<雪，即0≤x<晋时，f(x)单调递增； 当否<2x+千<,即晋≤x≤吾时，f(x)单调递减. [0.]综上可知，f(x)在区间 上单调递增，在区间 1.C sin 37.5°cos7.5°=2[sin(37.5°+7.5°+sin(37.5°- 告]上单调递减.7.5°]=÷(sin 45°+sin 30)=√E+1. 故选 C. 8.C∵-√Ssin x+cos x=2(-sinx+÷cosx)= 2.D cos x+cos(x-晋)=cas x+÷os x+in x= /Sos(x-晋)=√3×=1.故选 D. 2sin(x+G)=Asin(x-β)∴-β-+2kπ,k∈Z. ∵β∈(0,2π)β一登..故选 C. ·m-m--J5--1.3.A 因为： 9.A 由积化和差公式得 2sin Bsin C=2{-[cos(B- 且 COSa-=-√3,所以-c?Sa=3 C)-cos(B-C)]}=-cos(B+C)+cos(B-C)=cos A 4.D∵cos a+cosβ=子， ∴2cos?os2 ∵a-β-⋯-, +cos(B-C)=1+cos A,所以 cos(B-C)=1.因为0< B<π,0<C<π,所以一π<B-C<π,所以 B-C=0,即 B=C.故选 A. 10.D∵吾<0<π,∴聋<2<吾， ∴sin号>cos2>0.∴cos2Z?-2. ∴cos±β-}, ∵1-sin 0=sin2号+cos-2sincos =(sin 号-cos号),号(1-cos 0)=sin2号， ∴√T-sin0-√号(1-cos 0 =√(sin2-cos号)-√sm号 =sin号-cos2-sin --cos. ∴cos(a+β)=2cos°±?-1=-3 ∵a∈(π,誓)⋯2∈(否，),5.解析 :cos号=-√+s=-厚 一写答案 6,解析 f(x)=cos x((3sin x-cos z)+-sin2x- 2cos2x=sin(2x一否). (sin2-cos2)=÷,11.解析 由题意得(:1 即1-sin a=÷⋯sin a=号. 119 [· 训练五十三二倍角的正弦、余弦、正切公式 基础练 学考测评 √1-2sin 20°cos 20? 6.- 2cos210?-√1-cos2160°-1 sin 110°sin 20° sin a=5,等于 7.已知α为第二象限角，且 ,求cos2155°-sin2155 A.- √2C. 12B.- D.一吾 sin(a+至) 的值.in 2e+cos 2x sin (a+晋)=堡.则2.(贵阳开学考试)已知 [2(a+晋)]=cos () A.晋 B.-音 c.一音 D.意 3.化简√2-2sin20?-√1+cos 20°的结果是 () A.√2cos 10° B.-√2cos 10° 能力练 逊移运用 C.√2sin 10° D.—2sin 10' 4.已知α∈(0,π),且 3cos 2α-8cosα=5,则 sinα等于 () A.辱 B. D.雪C.13 5.(河北石家庄高一月考)化简： 2cosx-2cos2x+ 2tan(-x)sin2(至+x) = 2cos2(a-否)=1+sin 2a,则 tan 2a的值8.若 为 () A.一鲁 B. C.2-√3 D.2+√3 (2a+x)=2,9.已知角a在第四象限内，sin( 则 sina= () A.- B. c.- D.一吾 105 ?高中数学·必修 第一册 10.在△ABC中,若 sin Bsin C—cos2合,则 △ABC 是 () A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 11.已知 sin(+a)sin(-a)=,,且α∈ (登，π),,则 tan4a= · 12.已知角a,β为锐角，且1-cos 2a=sin acos α, tan(g-a)=5.,则 tan a= ,β= 13.(安徽合肥第一中学高一期末)已知函数 f(x)=sin 2x+2,g(x)= f(x)+ 2√3cos2x-√3. 创新练 素能培优 14.(烟台高一月考)某学习小组在一次研究性 学习中发现，以下三个式子的值都等于同 一个常数. cos215°+cos215?-√3sin 15°sin 15°; cos280°+cos2(-50?)-√3sin 80°sin(—50°); cos2170°+cos2(-140)—√3sin 170°sin(—140°). (1)求出这个常数； (2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广 为一个三角恒等式，并证明你的结论. (1)若角0满足tan Q+ano-3,求 f(0); (2)若圆心角为θ,半径为2的扇形的弧长 为L,且g(O)=2,0∈(0,π),求L. 106