11.3.2 两数和(差)的平方 课件 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦两数和(差)的平方公式，通过“农夫土地面积”情境引入，引导学生用两种面积表示法推导公式，衔接多项式乘法，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助理解公式来源与结构特征。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过面积法与多项式乘法推导发展推理意识，例题中a、b表示数、单项式、多项式渗透符号意识。口诀总结与分层练习助力掌握，教师使用可提升效率，学生能提升抽象与运算能力。

11.3.2　两数和(差)的平方 第11章　11.3　乘法公式 1.理解并掌握两数和(差)的平方公式的推导过程并能够正确计算.(重点) 2.理解两数和(差)的平方公式的结构特征，灵活应用两数和(差)的平方公式.(难点) 学习目标 情境引入 很久很久以前，两个农夫去森林打猎时救了公主.国王要赏赐他们，这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地，第一个农夫让国王再给他一块边长为b米的正方形土地，第二个农夫让国王把他原来的那块地的边长增加b米.国王说：“你们的要求不是一样的吗？” 你认为他们的要求一样吗？ 一、两数和的平方 问题1　用不同的形式表示情境引入中第二个农夫的田地的总面积，你发现了什么？ 提示　S＝(a＋b)2； S＝a2＋2ab＋b2. 通过对比发现：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 知识梳理 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍，这个公式叫做两数和的平方公式. 注意点：能用两数和的平方公式计算的式子特点： (1)等号左边是一个二项式的平方； (2)等号右边是一个二次三项式，其中两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍. (课本P38例4)计算： (1)(2x＋3y)2； 例1 解　(2x＋3y)2 ＝(2x)2＋2×2x×3y＋(3y)2 ＝4x2＋12xy＋9y2. (2). 解　 ＝(2a)2＋2×2a× ＝4a2＋2ab＋. 反思感悟 在两数和的平方公式中，a，b可以表示数、单项式和多项式. (课本P40练习第1题)计算： (1)(x＋3)2； 跟踪训练1 解　(x＋3)2＝x2＋2·x·3＋32＝x2＋6x＋9. (2)(2x＋y)2. 解　(2x＋y)2＝(2x)2＋2·2x·y＋y2＝4x2＋4xy＋y2. 二、两数差的平方 问题2　如何推导两数差的平方公式？ 提示　我们可以根据多项式的乘法法则直接计算(a－b)2.注意到a－b＝a＋(－b)，也可以利用两数和的平方公式来计算. 即(a－b)2＝[a＋(－b)]2 ＝a2＋2a(－b)＋(－b)2 ＝a2－2ab＋b2. 知识梳理 (a－b)2＝ a2－2ab＋b2. 两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. (课本P39思考)指出图中包含哪些长方形和正方形，你能用图中的面积关系来解释两数差的平方公式吗？ 例2 解　长为a，宽为b的长方形；边长分别为a，b，(a－b)的正方形. (a－b)2＝a2－2ab＋b2. (课本P40例5)计算： (1)(3x－2y)2； 例3 解　(3x－2y)2 ＝(3x)2－2×3x×2y＋(2y)2 ＝9x2－12xy＋4y2. (2). 解　方法一　 ＝＋2××1＋12 ＝m2－m＋1. 方法二　 ＝ ＝12－2×1×m＋ ＝1－m＋m2. 反思感悟 当所给的二项式的符号相同时，就用“和”的平方公式；当所给的二项式的符号不同时，就用“差”的平方公式. (课本P40练习第2题)计算： (1)(x－3)2； 跟踪训练2 解　(x－3)2＝x2－2·x·3＋32＝x2－6x＋9. (2)(2m－3n)2. 解　(2m－3n)2＝(2m)2－2·2m·3n＋(3n)2＝4m2－12mn＋9n2. 计算992. 跟踪训练3 解　992 ＝(100－1)2 ＝1002－2×100×1＋12 ＝10 000－200＋1 ＝9 801. 两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 字母表示：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. ①口诀：“首平方，尾平方，积的2倍放中央(同号得正，异号得负)”. ②a，b可以表示数、单项式和多项式. 课堂小结 1.(a＋1)2的展开式是 A.a2＋1 B.2a＋2 C.a2＋2a＋1 D.a2＋a＋1 √ 随堂演练 2.若(2x－3)2＝4x2＋kx＋9，则k的值是 A.－6 B.6 C.12 D.－12 √ 解析　(2x－3)2＝4x2－12x＋9＝4x2＋kx＋9， ∴k＝－12. 随堂演练 3.计算：(－2m－1)2＝　　　　　　　　.  4m2＋4m＋1 随堂演练 4.计算：(5x－3y)2＝25x2＋　　　　　＋9y2.  解析　根据题意，利用两数差的平方公式得， 原式＝(5x)2－2×5x·3y＋(3y)2 ＝25x2－30xy＋9y2 ＝25x2＋(－30xy)＋9y2. (－30xy) 随堂演练 5.若(x－2)2＝x2＋ax＋b，a，b均为常数，则a＋b＝　　　　　.  解析　∵(x－2)2＝x2＋ax＋b， ∴(x－2)2＝x2－4x＋4＝x2＋ax＋b， ∴a＝－4，b＝4， ∴a＋b＝－4＋4＝0. 0 随堂演练 本课结束 $