精品解析：黑龙江省大庆市实验中学一部2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

大庆实验中学实验一部2023级高三上学期期中考试 数学学科试题 命题人：侯典峰 审题人：罗红雨 说明：1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内. 2.满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解. 【详解】由集合，，得. 故选：A 2. 记为等比数列的前n项和．若则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等比数列的通项公式，结合已知条件列方程组，求出首项和公比，进而得到和的表达式，最后计算出． 【详解】设等比数列的公比为，则，， ，， ，解得，， ，， ， 故选：D． 3. 下列说法正确的个数为（ ） ①命题“，”的否定是“，” ②幂函数对于，都有，则 ③函数（且）的图象所过定点的坐标为 ④已知函数在上单调递增，则的取值范围是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】对①，直接写出存在量词命题的否定，即可判断真假；对②，利用幂函数的定义得或，再结合条件，即可求解；对③，利用对数函数的性质，即可求解；对④，利用分段函数的单调性质，得，得，即可判断真假. 【详解】对于①命题“，”的否定是“，，所以①命题错误； 对于②命题，由幂函数的定义知，，解得或， 又对于，都有，所以为偶函数， 当时，，为偶函数，符合题意； 当时，，为奇函数，不符合题意，故，所以②命题正确； 对于③命题，令，得，此时，故定点坐标为，所以③命题错误； 对于④命题，因为时，由指数函数和对数函数单调性可知单调递增， 所以在上单调递增，则需满足， 即，解得， 则的取值范围是，所以④命题正确，综上，正确的命题个数为2个， 故选：B. 4. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 4050 D. 4052 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的对称中心后利用倒序相加法可求诸函数值的和. 【详解】因为，故，， 令，故，故 故曲线的对称中心为，故， 设， 则， 故即， 故选：C 5. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则解的个数为2 C. 若为锐角三角形，则. D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，根据条件得到或，故为等腰三角形或直角三角形，A错误；B选项，，故无解，B错误；C选项，由正弦函数单调性得到；D选项，由向量数量积公式和余弦定理得到答案. 【详解】A选项，，则或， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形，A错误； B选项，，则，， 故无解，B错误； C选项，若为锐角三角形，则，即， 其中，故， 又在上单调递增，所以，C错误； D选项，， 由余弦定理得，所以，D正确. 故选：D 6. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 7. 已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再比较自变量大小即可得到结果. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以是奇函数，所以， 因为， 在上，， ，故， 所以在上单调递增， 因为，， 又，， 所以， 又单调递增，所以 即. 故选：A. 8. 在正方体中，，为的中点，是正方形内部及边界上一动点，则下列说法正确的个数为（ ） ①平面平面；②当时，点的轨迹长度为；③存在直线与平面内的直线成角；④若分别为的三等分点，则的最小值为. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，连接，通过题中条件可得和平面，从而得到平面平面；对于②，由题中条件得到平面，则，根据和的长度得到的长度，从而得到点的轨迹为该圆在正方形内的圆弧，由的长度得到的长度，从而得到的大小，继而得到的大小，得到的轨迹长度；对于③，从正方体中分离出四棱锥，则，由和的长度得到的长度，则直线与平面内的直线所成的角的最小值为，求出得到，从而得到平面内不存在一条直线与直线成；对于④，建系，写出和的坐标，由分别为的三等分点得到的坐标，设关于平面的对称点为，从而得到的坐标，由三点共线可知的最小值为，求解即可. 【详解】对于①，连接，是正方形，， 平面，平面， ， ，平面， 平面， 平面，， 同理，，又，平面， 平面，平面， 平面平面，故①正确. 对于②，取的中点，连接，则平面，平面， 故，，，， 点是在以为圆心，半径为的圆上运动， 又是正方形内部及边界上一动点， 设该圆与正方形的边交于，与边交于， 的轨迹为该圆在正方形内的圆弧，如图 ，，， ， 的轨迹长度为，故②正确. 对于③，从正方体中分离出四棱锥， 则， ，，， 则直线与平面内的直线中所成的角的最小值为， 又， 即， 故平面内不存在一条直线与直线成，故③错误. 对于④，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，， 分别为的三等分点， ， 设关于平面的对称点为， ， 由三点共线可知的最小值为， 故④正确. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 向量的夹角为 B. 若，则 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量夹角的坐标运算、向量垂直的坐标表示、投影向量的求法、向量平行的坐标表示依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，， ，又， ，A正确； 对于B，，，解得：，B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为，C错误； 对于D，，， ，，解得：，D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 若，则方程有两个不等的实根 C. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由及函数连续性可判断；对B、D，将问题转化为两个函数图象交点的个数问题，画出函数的大致图象，结合图象可判断；对C，当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，求出点坐标，用点到直线距离公式求最值. 【详解】对于A：，由得，又函数在连续， 所以的单调递减区间是，A正确； 对于B：当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，取得最大值，又时，； 时，，所以的图象大致如图： 当时，函数与函数图象有两个交点， 即方程有两个不等的实根，B错误； 对于C：当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 设点，则，解得，此时， 点到直线的距离，C正确； 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 故选：ACD. 11. 在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，1为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，2为半径的圆上，以的角速度按顺时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，下面四个结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 的最小值与最大值的和为 D. 若将看是关于的函数，记为，设，则在上恰有四个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意得，，，，当时，代入计算结合向量数量积坐标运算可判断A；化简得，由正弦函数性质可判定B；化简得，令，，由二次函数性质计算可判定C；化简得，令，计算得，结合选项可判定D. 【详解】由题意可得， 对于A，当时，， ， ， ， 所以，， 所以，故A正确； 对于B，， 因为 ， 即， 当时，， 由正弦函数性质可知，在区间上不单调，故B错误； 对于C， ， 令，则， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， 所以的最小值与最大值的和为，故C正确； 对于D，， 所以， 令，则， 即或，解得或，所以在上，的取值有，所以有五个零点，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则复数的模______． 【答案】 【解析】 【分析】结合的性质对已知复数进行分母实数化，再利用复数模的计算公式求解． 【详解】， ， ． 故答案为：． 13. 已知正项数列的前项和为满足，在数列的每相邻两项，之间依次插入，得到数列则数列的前60项和为______. 【答案】410 【解析】 【分析】根据的关系，结合等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以当时，， 两式相减，得， 因为数列是正项数列， 所以由， 所以数列是公差为的等差数列， 由，所以， 显然也适合，因此， 在数列中按照题中操作， 得到数列的项数为， 所以由，舍去， 因为 所以当时，， 于是数列的前60项和为 ， 故答案为： 14. 一个高为6cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有三个半径都为2cm的铁球，这三个铁球两两相切，并且它们都与圆柱的侧面相切，其中两个铁球与圆柱形容器的下底面相切，第三个铁球与圆柱形容器的上底面相切，则圆柱形容器的容积为______. 【答案】 【解析】 【分析】从上方看可得三个球的投影对应的圆均与圆柱底面圆周相切，只要求出三个球心在底面的投影之间的距离，再求外接圆半径即可求圆柱体积. 【详解】设与下底面相切的两个球的球心分别为、，与下底面的切点分别为、，球与球切点为； 与上底面相切的球的球心为，与上底面的切点为，在下底面的投影为，与球交于； 从方向看，如图1所示： 由于三个球半径都为2，即， 由于圆柱高为6，则，， 则与处于同一高度，即， 由于三个铁球两两相切，则, 则由勾股定理可得. 从圆柱正上方方向看，如图2所示，，, 设下底面为圆，半径为，球在下底面投影为圆，则圆与圆内切， 则，同理， 则，即为三角形外接圆圆心， 在三角形中，由余弦定理可得， 则， 设三角形外接圆半径为，由正弦定理可得， 则，， 则， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求A； （2）若，点D在边上，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意利用余弦定理得，利用正弦定理得，进而求解； （2）先计算，由得，进而得，最后利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理有：， 又由有：， 由正弦定理有：， 又，所以， 所以，即， 又， 所以； 【小问2详解】 由（1）有， 由有：， 又由余弦定理有：， 当时，等号成立， 所以， 所以， 所以面积的最大值为. 16. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）设，函数，对于，，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1）当时，的减区间为，无增区间；当时，的增区间为，减区间为． （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论求解即可； （2）转化问题为，进而求解即可. 【小问1详解】 由题设，， 当时，，在上递减； 当时，令， 当时，，在区间上递减； 当时，，在上递增． 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 由题设对于，，使得， 知，，成立． 由（1）知当时，，，在上递增， 则， 对于，函数单调递增，在上递增， 则， 所以只需，即． 综上：． 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在除端点外的一点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，由是的中点，得且， 又且，则且，四边形是平行四边形， 因此，而平面，平面，所以平面. （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定推理得证. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. （3）假定存在，并设，利用线面角的向量法列式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面且，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，得， ， 设为平面的法向量，则，取，得； 设为平面的法向量，则，取，得； 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设且，，，则， ，， 设为平面的法向量，则， 取，得，又， 由点到平面的距离为，得， 整理得，解得， 所以在线段上存在除端点外的一点，使得点到平面的距离为，此时. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前项和为． ①求；②对，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1） 在数列中，，当时，， 两式相减得，整理得，即， 而，即，则， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，， 经检验当 也符合. （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合及等比数列定义推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得；②按奇偶求出的最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）知，，， 所以 . ②由①知，，， ， 由数列单调递增，得，因此， 由对，，得， 所以的取值范围是． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）当时，，求a的取值范围； （3）求证：． 【答案】（1）极大值，无极小值； （2）； （3）证明：由（2）得，当时，，所以． 当时，，所以． 令，得，即． 所以， 即． 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，从而求出的极值情况； （2）求导，分，和三种情况，结合放缩法，进而得到的单调性，最终得到答案； （3）由（2）得，当时，，所以，令，得，所以. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ， 由，得；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极大值，无极小值． 【小问2详解】 由题意得，． ①当时，， 令，则， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以当时，， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以满足题意． ②当时，令， 所以当时，，所以在上单调递减， 又，所以当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不符合题意． ③当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不符合题意． 综上，实数a的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学实验一部2023级高三上学期期中考试 数学学科试题 命题人：侯典峰 审题人：罗红雨 说明：1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内. 2.满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 记为等比数列的前n项和．若则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的个数为（ ） ①命题“，”的否定是“，” ②幂函数对于，都有，则 ③函数（且）的图象所过定点的坐标为 ④已知函数在上单调递增，则的取值范围是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 4050 D. 4052 5. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则解的个数为2 C. 若为锐角三角形，则. D. 若，则 6. 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，，为的中点，是正方形内部及边界上一动点，则下列说法正确的个数为（ ） ①平面平面；②当时，点的轨迹长度为；③存在直线与平面内的直线成角；④若分别为的三等分点，则的最小值为. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. 向量的夹角为 B. 若，则 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 若，则方程有两个不等的实根 C. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 11. 在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，1为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，2为半径的圆上，以的角速度按顺时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，下面四个结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 的最小值与最大值的和为 D. 若将看是关于的函数，记为，设，则在上恰有四个零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则复数的模______． 13. 已知正项数列的前项和为满足，在数列的每相邻两项，之间依次插入，得到数列则数列的前60项和为______. 14. 一个高为6cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有三个半径都为2cm的铁球，这三个铁球两两相切，并且它们都与圆柱的侧面相切，其中两个铁球与圆柱形容器的下底面相切，第三个铁球与圆柱形容器的上底面相切，则圆柱形容器的容积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求A； （2）若，点D在边上，，求面积的最大值. 16. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）设，函数，对于，，使得，求实数a的取值范围． 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在除端点外的一点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前项和为． ①求；②对，都有成立，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）当时，，求a的取值范围； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $