4.2.1等差数列的概念第2课时课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列概念第2课时，核心涵盖定义、中项、通项公式、性质及新数列构造。课堂导入通过例1构造数列证明、例2用等差中项判断等复习旧知，搭建从旧到新的学习支架，衔接性质探究与应用。 其亮点是以逻辑推理和数学运算为核心素养，通过下标性质证明（如p+q=s+t则ap+aq=as+at）、设备折旧等实际问题，培养数学思维与眼光。采用“复习-探究-应用”结构，总结知识点、方法、题型，配同步练习，助力学生系统掌握，方便教师高效教学。

4.2.1等差数列的概念第2课时（2）P16-P18 陶新军 1（1） 学习目标 核心素养 1.复习等差数列等差中项定义、通项公式； 2.探究等差数列的下标与项的性质； 逻辑推理 3.如何构造新的数列，会证明是等差数列。 逻辑推理 4.应用探究（1）判断证明是等差数列； （2）求等差数列求基本量。 数学运算 1分钟（读） 8=4+4（34） 一、新课引入：复习等差数列定义 例1 已知数列{}满足 (n>1),记 求证：数列{}是等差数列 解： == {}是首项为公差为等差数列 3=2+1（40） 一、新课引入：复习等差中项定义 例2 在数列{}中，若 求该数列{}的通项公式 解：由 得：{}是首项为等差数列 =1+ 3=2+1（40） 一、新课引入：复习等差中项定义 练习2-1在数列{}中，若 A.0 B. C. D .2 解：设 ，， ， =1，=1， 5=1+3+1（22） 二.概念形成：探究等差数列的下标与项的性质课本P17 例3 若{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t， 求证：ap＋aq＝as＋at 证明：设数列{an}的公差为 以+=2+ +=2+ ：p＋q＝s＋t得ap＋aq＝as＋at 例3是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形。你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗? 特别地，（1）当p＋q＝2s(p，q，s∈N*)时，ap＋aq＝_____． （2）a1＋an＝a2＋an－1＝….  5=1+3+1（22） 三.概念深化：探究等差数列的下标与项的性质 练习3-1已知{an}为等差数列，a15＝8，a30＝20，求a45. 3-2 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． 5=1+3+1（22） 三.概念深化：探究等差数列的下标与项的性质 练习3-1已知{an}为等差数列，a15＝8，a30＝20，求a45. 3-2 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． 5=1+3+1（22） 三.概念深化：探究等差数列的下标与项的性质 练习3-1 已知{an}为等差数列，a15＝8，a30＝20，求a45. 3-2 已知递增等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． 6=1+5（7） 四.应用探究：构造新数列，证明是等差数列课本P16 例4 已知等差数列{an}的首项，公差8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}. (1)求数列{}的通项公式. (2)是不是数列{an}的项?若是，它是{an}的第几项?若不是，说明理由. 解：（1）等差数列{an}中，8，求得 等差数列{}中=设公差为有 =+4，求得=2， （2）=，an=+， =58，，是{an}第8项 5=3+2,5=3+2（17） 四.应用探究：构造新数列，证明是等差数列课本P18 练习4-1.已知一个无穷等差数列{an}的首项为，公差为. (1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗?如果是，它的首项和公差分别是多少? (2)依次取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗?如果是，它的首项和公差分别是多少? (3)依次取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗?你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 答案(1)是，首项为 (2)是，首项为 (3)是，首项为 5=3+2,5=3+2（17） 四.应用探究：构造新数列，证明是等差数列课本P18 练习4-2 已知数列{an}，{n}都是等差数列，公差分别为，数列{}满足. (1)数列{}是不是等差数列?若是，证明你的结论;若不是，请说明理由. (2) 若{an}，{n}的公差都等于2，，求数列{}的通项公式. 证明：(1){}是等差数列 数列{}是公差等差数列。 （2）数列{ 5=3+2,5=3+2（17） 四.应用探究：构造新数列，证明是等差数列 由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 3=2+1（40） 四.应用探究：2等差数列实际问题课本P16 例5 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少。经验表明，每经过一年其价值就会减少(为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定的取值范围. 解:设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列{}. 由已知条件，得(n≥2). 由于是与无关的常数，所以数列{}是一个公差为一的等差数列。 因为购进设备的价值为220万元，所以， 于是=+. 根据题意，得即 解这个不等式组，得19<≤20.9. 所以，的取值范围为19<≤20.9. 3=2+1（40） 四.应用探究：2等差数列实际问题 练习5-1 (2024·济南高二检测)某网站全程转播了某场足球赛，为纪念本次足球赛，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个．已知该网站的会员共有1 456人(编号为1号到1 456号，中间没有空缺)，则获得精品足球的人数为 (　　) A．102 B．103 C．104 D．105 3=2+1（40） 四.应用探究：2等差数列实际问题 解：将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为{an}， 由已知an－1是2的倍数，也是7的倍数， 故an－1为14的倍数， 所以{an－1}是首项为0，公差为14的等差数列， 所以an＝14n－13， 令1≤an≤1 456，可得1≤14n－13≤1 456，又n∈N*， 解得1≤n≤104，且n∈N*， 故获得精品足球的人数为104. 五、总结归纳 知识点： 题型： 方法： 作业：本网搜4.2.1等差数列的概念第2课时（求基本量、判断是否等差数列）同步练习 1（40） 1.等差数列定义； 2.等差中项定义； 3.等差通项公式； 4等差性质 1.判断等差数列 2.求基本量； 3.实际问题 1.方程思想 板书设计 1.等差数列定义； 2.等差中项定义； 3.等差通项公式； 4等差性质 5新数列构成 (1)方法一　因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a60也成等差数列， 所以2a30＝a60＋a15，得a60＝44 方法二　设等差数列{an}的公差为d，则a30＝a15＋(30－15)d所以d＝＝，所以a60＝a30＋(60－30)d＝20＋30×＝44. (2)方法一　设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5. 因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9， 所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9， 即(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得d＝±2.d＝－2(舍去） d＝2，则an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N*； (2)方法二　设等差数列的公差为d， 则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5.① 由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45. 将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45， 即(5－2d)(5＋2d)＝9.② 联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2（舍去）， 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N* $