【第二十四章 圆 02-2讲 直线和圆的位置关系】【六大知识点+13大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十四章 圆 02-2讲 直线和圆的位置关系 题型归纳 【题型1. 判断直线和圆的位置关系】……………………………………………… 4 【题型2. 已知直线和圆的位置关系求解】………………………………………… 7 【题型3. 有关切线的概念辨析】…………………………………………………… 12 【题型4. 证明某直线是圆的切线】………………………………………………… 13 【题型5. 切线的性质定理】………………………………………………………… 19 【题型6. 切线的性质和判定综合应用】…………………………………………… 25 【题型7. 应用切线长定理求解】…………………………………………………… 35 【题型8. 应用切线长定理求证】…………………………………………………… 41 【题型9. 三角形内心的应用】……………………………………………………… 45 【题型10. 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】……………………………… 50 【题型11. 三角形内切圆与外接圆综合】…………………………………………… 56 【题型12. 圆与圆的位置关系】……………………………………………………… 61 【题型13. 尺规作图——过圆外一点作圆的切线】………………………………… 64 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 68 知识清单 知识点1 直线和圆的位置关系 1.相交的定义：如图24.2-8（1），直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线. 2.相切的定义：如图24.2-8（2），直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 2.相离的定义：如图24.2-8（3），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离. 3.直线和圆的位置关系的判定：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有 直线和⊙O相交 ⇔ d＜r ； 直线和⊙O相切 ⇔ d=r ； 直线和⊙O相离 ⇔ d＞r . 知识点2 切线 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 【提示】 ① 证明一条直线是圆的切线，题目给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，故要“连半径，证垂直”； ② 已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题，即“见切线，连半径，得垂线”. 知识点3 切线长 1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言：∵PA和PB是⊙O的两条切线 ∴ PA=PB，OP平分∠APB 知识点4 三角形的内切圆与内心 1.内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.内心的定义：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 【提示】 ① 三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，这个距离就是半径； ② 三角形的内切圆有且只有一个. 知识点5 圆与圆的位置关系 两个圆的公共点个数 圆与圆的位置关系 实例 0 相 离 外离 图1中（1） 内含 图1中（5）（6） 1 相 切 外切 图1中（2） 内切 图1中（4） 2 相交 图1中（3） 两圆的位置关系 两圆圆心的距离d与两圆半径r1和r2之间的关系 外离 内含 外切 内切 相交 知识点6 尺规作图——过圆外一点作圆的切线 已知：如图，已知⊙O以及圆外一点P . 求作：过点P作⊙O的切线 . 步骤：（1）如图（1），连接OP，分别以O、P为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于M、N两点，连接MN与OP交于点O’，O’为OP的中点； （2）如图（2），以O’为圆心，OO’为半径画圆，⊙O与⊙O’交于点A，B； （3）如图（3），连接AP、BP，直线AP、BP即为所求.（3） （2） （1） 题型专练 题型1. 判断直线和圆的位置关系 【例1】（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，若圆O的半径为2，点O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】根据直线与圆的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交；由此问题可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵圆O的半径为2，点O到一条直线的距离为2， ∴这条直线与圆相切， 由图可知只有直线与圆相切， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知圆的半径为，如果圆心到直线的距离为，那么这条直线和这个圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切；当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离．解决本题的关键是根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：圆的半径为，圆心到直线的距离为， 又， 圆心到直线的距离小于圆的半径， 直线与圆相交． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【分析】本题考查直线由圆位置关系，判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线的距离为d．①直线和相交，②直线和相切⇔，③直线和相离⇔． 【详解】解：圆心到直线的距离等于的半径， 直线与的位置关系是相切， 故选：． 【变式2】（2025九年级下·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（　　） A．原点在内 B．原点在上 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相交 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系是解题的关键． 根据点坐标，求得点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为，于是得到结论． 【详解】解：∵点坐标， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为， ∵以为圆心，个单位长度为半径作圆， ∴原点在外，与轴相切，与轴相交，故选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·四川德阳·期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交， ∴直线与有2个交点， 故选：B． 【变式4】（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径作圆，则与直线的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系的判定．作于点，根据等腰三角形的性质得出,进而根据勾股定理求得，即可得到圆与直线的位置关系． 【详解】解：如图所示，作于点， ∵， ∴ 在中， ∵的半径是， 与相交， 故选：A． 题型2. 已知直线和圆的位置关系求解 【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出圆心到的距离为2.4，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点，的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ，，， ， 的面积， ，即圆心到的距离， 以为圆心的与边有交点，则的取值范围是：． 故选B． 【例2】（24-25九年级下·福建福州·期中）四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交求解即可． 【详解】解：、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点， 某个圆上的点到直线l的最大距离为8是， 故选：C． 【变式1】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案． 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 【变式2】（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 【变式3】（2024·天津滨海新·一模）的直径为，直线l与相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系的性质． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，得． 【详解】解：∵的直径为，直线l与相交，点O到直线l的距离为d， ∴，即， 故选：B． 【变式4】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 题型3. 有关切线的概念辨析 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列判断正确的是（   ） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查了圆的确定，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可． 【详解】解：A、弧长相等的弧是等弧，错误，应为能够完全重合的弧是等弧，故不符合题意； B、过三点可以确定一个圆，不一定成立，应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意； C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故不符合题意， 故选：C． 【变式2】（2025·江苏无锡·模拟预测）下列判断正确的是（   ） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【分析】本题主要考查了等弧的定义，弧与圆心角之间的关系，确定圆的条件，切线的定义，分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可． 【详解】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，原说法正确，符合题意； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； C、能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，不符合题意； D、经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式3】（2024·全国·二模）下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．垂直于半径的直线是圆的切线 C．两直线平行，同旁内角相等 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，根据切线的定义、平行线的性质、矩形的判定逐一判断即可得出答案．熟练掌握相关概念是解题关键． 【详解】解：A、若，则或，故A选项错误； B、过半径的外端且垂直于圆的半径的直线是切线，故B选项错误； C、两直线平行，同旁内角互补，故C选项错误； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D正确； 故选：D． 题型4. 证明某直线是圆的切线 【例1】（2025·四川广安·模拟预测）下列说法正确的有（         ） A．如果两个角是对顶角，那么它们一定相等 B．长度相等的两段弧是等弧 C．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行． 【分析】本题考查了对顶角相等，等弧，切线的判定，平行公理，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、如果两个角是对顶角，那么它们一定相等，故该选项符合题意； B、完全重合的弧是等弧，长度相等的两段弧不是等弧，故该选项不符合题意； C、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不符合题意； D、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：A 【例2】（2025·辽宁朝阳·三模）如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线； 【分析】本题题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键； 连结，根据，可得，根据，可得，由，可得，进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，是外一点，交于点，．甲、乙两人想作一条通过点与相切的直线，其作法如下： 甲：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则直线即为所求． 乙：过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接，交于点，则直线即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（   ） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．两人都正确 D．两人都错误 【分析】此题考查了切线的判定，根据甲、乙作法，结合切线的判定方法判断即可，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法． 【详解】解：∵以为圆心，长为半径画弧，交于点，， ∴点O在，且为的直径， ∴， ∴， ∵点B在上， ∴为的切线，故甲的做法正确； 根据作图可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点C在上， ∴为的切线，故乙作法正确， 故选：C． 【变式2】（2025·广东清远·二模）如图，在中，． (1)用尺规作图法作斜边边上的垂直平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以为圆心，为半径作，求证：与相切． 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，切线的判定，解题关键是正确作出图形． （1）利用尺规作出线段的垂直平分线； （2）利用切线的判定方法求解． 【详解】（1）解：如图，分别以A、B为圆心，大于的一半的长为半径作圆弧，得到两个交点，过这两点线直线，垂直平分线即为所求； （2）证明：连接， ，， ， 直线垂直平分线段， ， ， ， 又， ， ， 为的半径， 与相切． 【变式3】（2025·广东惠州·二模）如图，是的外接圆，直径． (1)以点C为顶点，BC为边，在的右侧作，交的延长线于点P：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：是的切线． 【分析】本题考查尺规作图（作一个角等于已知角）以及切线的判定．解题关键在于掌握尺规作图的基本方法完成（1）小题；对于（2）小题，要熟练运用圆的性质（同弧所对圆心角与圆周角的关系、半径相等得出角相等 ），通过计算角度来证明直线与半径垂直，从而判定切线． （1）题要求用尺规作图作出 ．需要利用尺规作图的基本方法，比如作一个角等于已知角的方法来完成．具体操作是先以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点，然后以点为圆心，同样长为半径画弧，再通过一定的操作确定 ． （2）要证明是的切线，根据切线的判定定理，需证明 ．连接后，通过圆的性质求出相关角度，进而证明 ．已知，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得 ，又根据 ，在中通过角度计算得出 ． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：连接： ∵（同圆半径相等）， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ， ， ∴ ，即 ． ∵是的半径， ∴是的切线． 【变式4】（2025·江苏·二模）如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线． 【分析】本题考查切线的判定、等弧所对的圆周角相等、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解答的关键．连接，先证明得到，再利用平行线的性质得到，进而利用切线的判定定理可得结论． 【详解】证明：连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，又为的半径， ∴是的切线． 题型5. 切线的性质定理 【例1】（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线定理，需熟练掌握“弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角”得到的度数是解决本题的关键． 根据可求解的度数，再由可求解的度数，根据结合切线定理即可求解． 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 则有， 又∵直线为的切线， ∴， 则， 又∵， ∴， 在中，， 又∵， ∴． 故选：C ． 【例2】（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明． 【详解】（1）解：∵与相切与点， ∴， ∴， ∵， ∴; （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025·福建厦门·二模）如图，，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查切线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．根据切线的性质得出，进而得出的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出的度数即可． 【详解】解：与相切于点， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式2】（2025·河南周口·二模）弦切角定理是指弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 举例来说，假设有一个圆，一条切线与圆相切于点C，一条弦，那么由切线和弦构成的弦切角 与弦AC和切线所夹的弧 对应的圆周角相等． 为了说明这一说法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知： 如图， 内接于， ． 求证： ． 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和性质，切线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先补充好题干内容，再根据切线的性质得，结合半径相等以及三角形内角和性质得，根据圆周角定理得，即可作答． 【详解】解：如图，内接于⊙O，直线与相切于点C，求证：． 连接， ∵直线与相切于点C， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：直线与相切于点C，． 【变式3】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，两个圆是以点O为圆心的同心圆，大圆的弦与小圆相切于C，长为，小圆半径为，求大圆的半径． 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理和勾股定理．关键是构造直角三角形进行解答．连接，先根据切线的性质得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出便可． 【详解】解：连接，如图， ∵为小圆的切线， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， 则大圆的半径为． 【变式4】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，已知直线经过上的点C，有下列条件：①；②直线是的切线；③．请任意选择其中两个条件作为已知，第三个条件作为结论，构成一个真命题，并证明． 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据切线的判定和性质，“三线合一”，三角形全等的判定和性质，进行解答即可． 【详解】解：①②为条件，③为结论；证明如下： 连接，如图所示： ∵直线是的切线； ∴， ∵， ∴； ①③为条件，②为结论；证明如下： 连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵直线经过上的点C， ∴为半径， ∴直线是的切线； ②③为条件，①为结论；证明如下： 连接，如图所示： ∵直线是的切线； ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型6. 切线的性质和判定综合应用 【例1】（2024·湖北襄阳·一模）在中，弦． (1)如图1，比较与的长度，并证明你的结论． (2)如图2，为的直径，过点作的切线与的延长线交于点，若，，求阴影部分的面积． 【分析】（1）可求得，结合即可求得答案； （2）可先求得，进而可知，，根据勾股定理可求得圆的半径长度，结合即可求得答案． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴． ∴． ∴． （2）如图所示，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴． ∴． ∵为的直径， ∴． ∴． ∴． ∴，． 在和中 ∴． ∴． ∴． ∴． 设， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定及性质，牢记圆的基本性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【例2】（2025·内蒙古赤峰·一模）【问题情境】一次数学活动课上，同学们对教材P．102习题12作了深入研讨． 【教材原题】如图，为的直径，与相切于，于．求证：平分． （1）【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下． 如图，为的直径，为上一点，于，平分．那么为的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据． （2）【问题拓展】思进小组同学发现，原题记与交于，三条线段，，有特定的数量关系．请你写出这个数量关系并说明理由． 【分析】（1）先证明原命题正确，再证明，又由是半径，则为的切线．即可证明命题是真命题； （2）如图，在上截取，连接，作于点，证明，则，证明，则，证明，则，即可证明结论成立； 【详解】教材原题：证明：如图，连接， ， ， 与相切于， ， ， ， ， ， 平分， （1）解：这个命题是真命题，理由如下： 如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是半径， ∴为的切线． （2）解：． 理由如下：如图，在上截取，连接，作于点， ∵平分． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，添加合适的辅助线是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E．求证：是的切线； 【分析】本题考查了切线的性质及判定，全等三角形的判定和性质，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．如图，连接，由“垂径定理”可知，垂直平分，所以，可证明，所以，由切线的性质可知， ，所以．即，由此可得结论． 【详解】证明∶ 如图，连接． ，经过圆心， 垂直平分． ． 在和中 ． ． 是的切线， ． ．即． 是的切线． 【变式2】（2025·广东汕头·三模）如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【分析】本题主要综合考查了切线的性质和判定和勾股定理，能运用性质进行推理和计算是解此题的关键． （1）过点O作，先根据切线的性质、同角或等角的余角相等证明，进而可得，，由到圆心距离等于半径的直线是圆的切线即可得出结论； （2）由勾股定理求出，进而可得，再在中，由勾股定理列方程求出的半径． 【详解】（1）解：证明：过点O作， 是的直径，与相切于点A， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 与相切； （2）由（1）证得， ， ，，， ∴ 由（1）证得， ， ， 设的半径为：， ， ， 的半径为． 【变式3】（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使； (2)在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线； (3)在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使． 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，切线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． （1）取格点M，连接，则点M即为所求； （2）取格点E，作直线，则直线即为所求，可证明； （3）取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求．可证明． 【详解】（1）解：如图所示，取格点M，连接，则点M即为所求； （2）解：如图所示，取格点E，作直线，则直线即为所求； （3）解：如图所示，取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求． 【例4】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，，求的长． 【分析】（1）由题意可证，且，可得，即是的切线； （2）由同弧所对的圆周角相等，可得，由余角的性质可得； （3）由题意可得，根据勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 又， ， 是的切线； （2）证明：是的直径， ， ， 由（1）可知是的切线， ， ， ， ， ， 又， ； （3）解：如图，连接， 是半圆弧的中点， ， 在中，，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 题型7. 应用切线长定理求解 【例1】（2025·广东·二模）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【分析】本题可根据切线长定理，将的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将的周长转化为与相关的表达式来求解． 【详解】解：∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 又∵，是的切线，切点分别为，， ∴． 同理，∵，是的切线，切点分别为，， ∴． ． ∴． 又∵， ∴． ∵的周长为，即， ∴，可得， 解得． 故选：C 【例2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由切圆于，切圆于，连接，得到，，里，由勾股定理求出（里）， （2）在中，由勾股定理列式，，所以求出（里），即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，表示圆形城堡， 由题意知：切圆于，切圆于，连接， ，，里， （里）， （里）， （里）， 则大树到城堡南门的距离里； （2）解：设城堡的半径为里， ∴里，（里）， ∵， ∴在中， ， （里）． 城堡的半径为里． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 【变式2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，与相切于点C，线段交于点A，过点A作的切线交于点D．若，，则的半径等于（　　）    A．4 B．5 C．6 D．12 【详解】本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理．根据切线长定理得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的半径等于6， 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 【变式4】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理； （1）根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解； （2）设，则，根据，即可求解． 【详解】（1）∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴ （2）设， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴，解得， ∴ 题型8. 应用切线长定理求证 【例1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以． 【详解】证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知：四边形是的外切四边形，，，，分别是切点，求证：．    【分析】根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解 ． 【详解】根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理得出，，，，是解答本题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【分析】（1）根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解； （2）连接，可得出，，利用圆周角定理求得，，进一步计算得出结论． 【详解】（1）证明：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆中的弧、弦、圆周角之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【变式4】（2025·广东广州·二模）已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连， (1)证明：； (2)若，求的值． 【分析】（1）先由切线长定理求得，，推出垂直平分，再根据圆周角定理求得，利用平行线的判定定理得到； （2）先由垂直平分，得出，，则再结合勾股定理列式，，，计算得出，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：连接交于点Q． 分别与相切， ∴，， 则垂直平分，即， ∵为的直径， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴． 设， 则，， ∴． 设， 则，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质与定理，切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型9. 三角形内心的应用 【例1】（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形的内心和外心性质以及三角形的内角和定理，求三角形的外心的性质得到的度数是解决本题的关键． 根据点O是的外心，可求的度数，由内心的性质可得角平分线的性质，再根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：因为点O是的外心，且， 所以， 在中有，， 又因为点I是的内心， 所以为的角平分线，为的角平分线， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C ． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，请利用尺规作图法作出的内心O．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】本题主要考查了作三角形的内心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，分别作的角平分线，二者所在的直线交于点O，则点O即为所求． 【详解】解：如图所示，分别作的角平分线，二者所在的直线交于点O，则点O即为所求． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是内心，是外心，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：过点I分别作，如图 ∵点I是的内心， ∴，， ∵，， ∴， 即 ∴， ∵点O是的外心， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内心，三角形的外心，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题关键是理解三角形的内心的意义，三角形的外心的意义． 【变式2】（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接，，根据点为的内心，可得和分别平分和，再根据平移，使其顶点与点重合，可得，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长． 【详解】解：如图，连接，， 点为的内心， 和分别平分和， ，， 将平移，使其顶点与点重合， ，， ，， ，， ，， ． 所以图中阴影部分的周长为． 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长． 【分析】本题主要考查了尺规作三角形内切圆，切线长性质定理， 对于（1），作的平分线，再作的平分线，交于点O，过点O作，交于点D，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求作； 对于（2），根据切线长定理得，再结合，可得答案． 【详解】解：（1）如图所示． （2）如图所示， ∵的内切圆与分别相切与点D，E，F， ∴． ∵， ∴， ∴． 则， ∴， 则， 即， 解得． 题型10. 三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例1】（2025·四川泸州·一模）如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了勾股定理，切线的定义，三角形面积公式，熟记勾股定理，三角形面积公式是解题的关键． 设三边内切于点，连接，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，设三边内切于点，连接， 设的半径为， ，，， ， ， ， ， ， ， 故选：A ． 【例2】（2025九年级下·浙江·专题练习）若三角形的三边长分别为，求三角形内切圆的半径． 【分析】本题考查了三角形的内切圆与圆心，勾股定理，三角形面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 先画出图形，过点作交于点，作交于点，连接，由等腰三角形的性质得出，，故点为三角形内切圆的圆心，设内切圆的半径为，由勾股定理求出，再由得出，从而求解． 【详解】解：如图，设，， 过点作交于点，作交于点，交于点，连接， ∵，， ∴，， ∴点为三角形内切圆的圆心，设内切圆的半径为， 根据题意可知：周长为， 在中，， ∴， 由， ， ∴， ∴三角形内切圆的半径为． 【变式1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可． 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 【变式2】（2025九年级下·浙江·专题练习）已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据切线长定理和勾股定理可得，进而可求内切圆的半径．本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质． 【详解】解：如图， 根据题意，得 ， 设圆O是等腰的内切圆，切圆于点D，切圆于点E， 连接， ∴， ∴， ∴， 根据切线长定理可知： ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ， 解得． ∴内切圆O的半径为． 故选：C． 【变式3】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【详解】解：连接，，设． 由切线长定理，得． 与的三边分别切于点D，E，F， ，， ∵ ∴四边形为正方形． 的半径为2，， ，． 在中，， 即， 解得， ，， 的周长为． 【变式4】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）（1）如图①，在中，，，垂足为D．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出的半径，若不可以，请说明理由． 【分析】（1）首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可； （2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点的位置，过点作于，于，于，连接，，，过点作于，设，的半径为，则，再根据勾股定理列出关于的方程得，则，进而得，则，然后根据，得，据此可得的半径． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）可以． 三角形内最大的圆是三角形的内切圆， 所求圆的圆心是△的内心， 作和的平分线，交于点， 则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置， 过点作于，于，于，连接，，，过点作于，如图所示： 设，的半径为， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 点为的内心， ， ， ， 即， ． 【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆和三角形的内心，勾股定理，理解三角形的内切圆是三角形内最大的圆，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式法进行计算是解决问题的关键． 题型11. 三角形内切圆与外接圆综合 【例1】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，关键是掌握三角形外心的定义．由三角形外心的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴点O是的外心． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为3，则其内切圆半径的长为 ． 【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心．等腰三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为3， ∴此直角三角形的斜边长为6， 设等腰两条直角边为， 则， ∴， ∴它的内切圆半径为：， 故答案为． 【变式1】（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．将再次折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，，交于点．则以下结论一定成立的是（  ） A． B． C．点到三边的距离相等 D．点到三个顶点的距离相等 【分析】根据是折痕，可知平分，平分，点为的内接圆的圆心，由此即可求解． 【详解】解：∵是折痕， ∴平分，平分，点为的内接圆的圆心，如图所示， 于，于，于， 选项， 的度数无法确定，与的数量关系也不确定，故选项不符合题意； 选项， 的长度不确定，的数量关系也不确定，故选项不符合题意； 选项，根据角平分的性质可得，，即点到三边的距离相等，故选项符合题意； 选项， ，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形与圆的知识的综合，理解并掌握角平分线的性质，内切圆的知识是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的内切圆，若，则的度数为 ．    【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键． （1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到； （2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【详解】（1）解：如图所示，点D为所求： ∵点是的外心， ∴是的外接圆， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：点是图中的外心，理由如下： 如图，连接， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 题型12. 圆与圆的位置关系 【例1】（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得；当与相交时，圆心距需满足条件，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵，D为中点， ∴，； ∵锐角三角形中，， ∴外接圆心O在上， 连接，由勾股定理得：；      设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：， 即，解得：； 在此范围的半径只有选项B； 故选：B． 【例2】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知和的半径分别为2和3，若，则和的位置关系是 ． 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差），据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵和的半径分别为2和3，且， ∴和的位置关系是外切， 故答案为：外切 【变式1】（2025·上海嘉定·二模）如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，两个圆的半径差的绝对值小于圆心距离，那么这两个圆内含，据此分内含于和内含于两种情况，讨论求解即可． 【详解】解：当内含于时，则， ∴， ∴； 当内含于时，则， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选：C． 【变式2】（2025·上海浦东新·二模）对于命题：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．下列说法正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 【分析】本题考查了命题的判断，圆与圆的位置关系，掌握命题的定义及分类并能运用所学知识判断命题的真假是解题的关键．根据圆与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，①错误； ②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，②正确． 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，的半径是，是外一点，，以P为圆心的圆与相切，的半径是（   ） A．3 B．13 C．3或8 D．3或13 【分析】本题考查了圆的内切和外切的性质．根据两圆的位置关系分内切和外切两种即可解答． 【详解】解：①当与外切时， ∵，的半径是， ∴的半径为；    ②当与内切时， ∵，的半径是， ∴的半径为，    故选：D． 【变式4】（2025·上海杨浦·模拟预测）两个相切的圆半径分别为和，若圆心距，那么的最小值为 ． 【分析】本题考查了圆和圆的位置关系，熟练掌握两个相切的圆分外切和内切两种情况是解题的关键．根据两圆相切可分外切和内切两种情况：外切时，则圆心距等于两圆半径之和；内切时，则圆心距等于两圆半径之差，据此即可求得答案． 【详解】解：根据题意，当两圆外切时，则，即； 当两圆内切时，则，即； 那么的最小值为． 故答案为：． 题型13. 尺规作图——过圆外一点作圆的切线 【例1】（2025·山东青岛·模拟预测）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，点A为直线外一点，求作，使经过点A且与直线相切于点． 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作线段垂直平分线的作法、正确理解题意是解题的关键．根据题意画图即可． 【详解】解：①作的垂直平分线． ②过点作直线的垂线交的垂直平分线于点． ③以点为圆心，长为半径作， 即为所求． 【变式1】（2023·陕西西安·一模）如图，点P是外一点．请利用尺规过点P作的一条切线．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）    【分析】本题主要考查了尺规作圆的切线，切线的判定，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． （1）根据要求作图即可； （2）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据是的半径，且，得出为所求作的一条切线． 【详解】（1）解：如图，补全图形： （2）证明：连接， ∵，且为的半径， ∴为的直径， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线为的切线． 【变式2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，及圆外一点P． 求作：过点P作的一条切线． 作法：①连接；②作的垂直平分线，交于点A；③以A为圆心，的长为半径作弧，交于点B；④作直线． 即直线为所求作的一条切线． 根据上述尺规作图的过程，回答以下问题： (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)求证：直线为所求作的一条切线． 【分析】本题考查切线的定义和尺规作图；作法为：①连接，以为直径作；②与相交于点E，作直线．则直线即为所求． 【详解】解：如图，直线即为所求，    证明：∵是直径， ∴， ∴， ∴是的切线． 【变式3】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法：    (1)在图①中，已知，点P在上，过点P作的切线； (2)在图②中，已知，点Q在外，过点Q作的切线． 【分析】本题考查了作图−复杂作图、也考查了切线的判定．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 （1）以为圆心，大于为半径画弧，再以为圆心，适当长度为半径画弧，分别相交于点M、N， 连接，点P在直线（直线）上，即可得直线过P点作的切线得到直线； （2）连接，作的垂直平分线得到中点O，然后以O点为圆心，为半径作圆交于A、B，则直线、满足条件． 【详解】（1）解：如图①，切线为所作：    （2）解：如图②，切线为所作：      巩固练习 一、单选题 1．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】本题考查了圆的切线性质，直角三角形斜边中线的性质，中位线的定理以及勾股定理求解边长，得到切点为边的中点是解决本题的关键． 首先利用勾股定理可求解边的长度，由直角三角形斜边中线的性质可得，再利用圆的切线的性质可得切点为边的中点，利用中位线的性质可得圆的半径，由求解即可． 【详解】解：因为在中，， 所以， 因为在中，点O为的中点， 所以， 记切点为点E，连接，如图， 所以可知， 所以， 因为点O为的中点， 所以点E为的中点， 所以， 所以圆的半径为3，即， 所以， 即的长为2 ． 故选：D ． 2．（2025·山西·模拟预测）如图，与的边相切于点，与边相交于点．点为优弧上的点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了圆周角定理、切线的性质定理等知识，根据切线的性质得到即可得到根据圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． 与的边相切于点， ， ， ， ， ； 故选：B． 3．（2025·广东广州·二模）如图，点P为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点Q和R，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的定理是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据切线的判定定理得到直线和是的两条切线，利用证明，得到答案． 【详解】解：是的直径， ， ，， 直线和是的两条切线， 在和中， ， ， ，， 判定的定理是， 故选：D． 4．（2025·河南驻马店·三模）下列命题是假命题的是（   ） A．点动成线，线动成面，面动成体 B．正六边形具有不稳定性 C．正五边形可以单独密铺 D．等边三角形的内心和外心重合 【分析】本题考查几何基本概念和命题真假的判断，需逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：选项A：点动成线，线动成面，面动成体是几何基本事实，正确． 选项B：正六边形各边长度固定但角度可变，具有不稳定性（如蜂窝结构可压缩），正确． 选项C：密铺要求图形内角能整除．正五边形内角为，，非整数，无法单独密铺，故为假命题． 选项D：等边三角形的内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）重合于重心，正确． 故选：C． 5．（2025·山东聊城·三模）下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 C．一个正数的立方根小于它的算术平方根 D．直角三角形内切圆的半径等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了判断命题真假，三线合一定理，角平分线的性质，立方根，算术平方根，三角形外接圆等等，根据平方的定义可判断A；等腰三角形底边的中点在顶角的角平分线上，据此可判断B；1的立方根和算术平方根都是1，据此可判断C；直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，据此可判断D． 【详解】解：A、若，有，原命题错误，不符合题意； B、等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，原命题是真命题，符合题意； C、一个正数的立方根小于它的算术平方根，原命题是假命题，例如1的立方根和算术平方根都是1，不符合题意； D、直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半．原命题是假命题，不符合题意； 故选；B． 6．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．比较圆心O到直线上的距离与的半径大小关系，即可得出结论． 【详解】解：直线上有一点到圆心O的距离为， 圆心O到直线上的距离， 的半径， ， 当时，直线与相切； 当时，直线与相交； 直线与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 7．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵，且，，， ∴， 解得：， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：D． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了新定义，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，解题的关键是求出内切圆和外接圆的半径． 本题需计算等腰三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值，通过勾股定理求高，进而计算面积，分别求出两个半径，最后求比值． 【详解】解：如图所示，为等腰底边上的高，点为三角形的外心， ∴， 由三线合一和勾股定理得，， ， 由勾股定理得， 解得， 如图，点为的内心， ， ∴， ∴ 故选：B． 9．（2025·广东广州·二模）如图，是的切线，切点分别为A、B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D．下列结论错误的是（   ）． A． B． C．平分 D． 【分析】连接根据切线长定理判断B；再说明是的垂直平分线，根据等弧所对的圆周角相等得，即可判断B；然后证明，可得，接下来说明是的中位线，根据中位线的性质判断D即可；最后证明，解答A即可． 【详解】解：如图所示，连接 ∵是的切线， ∴． 则B正确； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 则C正确； ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴，即． 则D正确； ∵， ∴， 不能说明这两个三角形全等． 所以A不正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，线段垂直平分线的性质和判定，圆周角定理及推论，相似三角形的判定，中位线的定义和性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 10．（2025·湖北随州·一模）如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了圆内接四边形、三角形内心、三角形内角和定理等知识，理解并掌握圆内接四边形的性质以及三角形内心的定义和性质是解题关键．首先根据邻补角的定义以及圆内接四边形的性质确定的值，结合三角形内心的定义可知平分，平分，进而可得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 11．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，是的弦，过点的切线交的延长线于点，若，则 ． 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，连接并延长，交于点，连接，则，由是的直径得，再根据切线的性质可得，进而由直角三角形两锐角互余即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2025·广东广州·二模）如图，分别与圆相切于两点，点为圆上一点，连接，若，则的度数为 ． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，连接，由圆周角定理得到，由切线的性质得到，据此根据四边形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵分别与圆相切于两点， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2025·湖南株洲·三模）如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以 为半径，可作的内切圆． 【分析】本题考查了三角形内心的定义，等腰三角形的性质，三角形内接圆，根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等，再根据等腰三角形三线合一可得，进而可得当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 【详解】解：根据题意可得点O是的内心，即点到三边的距离相等， ∵， ∴， ∴当以点为圆心，以为半径，可作的内切圆． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为 ．（只写一个） 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆和直线相交即可求解，掌握直线和圆的位置与圆心距d与半径r之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线l与相交，圆心O到直线l的距离为， ∴的半径大于， 故答案为：6（或其他值）． 15．（2025·宁夏银川·一模）如图，在中，，点I是内心，则 ． 【分析】本题考查三角形的角平分线及内心、三角形的内角和定理，熟知三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答的关键．先根据三角形的内角和定理求得，再根据内心定义求得，然后再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点I是的内心， ∴、分别平分、， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 16．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 【分析】本题主要考查切线长定理，正方形的判定和性质，勾股定理．根据题意，连接，根据内切圆的性质可得四边形是正方形，则，根据切线的性质可得，，设的半径为，则，运用勾股定理可得，据此计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直角三角形的内切圆，点为切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∵点为切点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， ∴或（舍去）， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 17．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ． 【分析】由题意可得点在外，从而得出，再由切线长定理可得，，，又，则，所以，可得，故有，，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵过点可以引的两条切线，， ∴点在外， ∴， ∵，是的两条切线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，的半径为， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，切线长定理，勾股定理，求函数解析式，等角对等边，平行线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 18．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）在中，，，，则的外接圆的半径是 ，它的内切圆半径是 ． 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆的半径和内切圆半径． 根据勾股定理得到，进而求出的外接圆的半径，设内切圆半径是r，根据等面积法计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ ∵， ∴即为的外接圆的直径， ∴的外接圆的半径； 设内切圆半径是r， 则， 解得：， 故答案为：， 19．（2025·湖南株洲·三模）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为 ． 【分析】由切线长定理可得，进而有，因此要得到的度数只需得到或的度数；由切线的性质可得，已知，根据即可得到的度数，接下来，在中根据三角形的内角和定理即可完成解答． 【详解】解：∵切于点A，是半径， 分别切于点A、B， ． 故答案为：． 20．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点M落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点E，连接．设点O为的内心，当点O在的内部（包括边界）时，的取值范围是 ． 【分析】当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O在上．此时最短，当点O落在上时，最大，过点M作于点F，于点G，于点K，由角平分线的性质得，证明四边形为矩形，得，，进而证得，得，进而得，，，再根据等角对等边得，即可求解． 【详解】解：当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O为的内心． 四边形为正方形， 为的平分线， 点O在上．此时最短． 如图，当点O落在上时，最大． 过点M作于点F，于点G，于点K． ， ， 是等腰直角三角形， ． ，，，， 四边形是正方形， ． ，，， 四边形为矩形， ， ． ， ， ． 在和中，， ， ， 为等腰直角三角形． 点O为的内心， ， ． 又， ， ， 的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的内切圆与内心及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题 21．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，点为直线l外一点，利用尺规作，使经过点A且与直线l相切于点B． 【分析】本题考查作图复杂作图，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． ①作的垂直平分线．②过点作直线的垂线交的垂直平分线于点．③以点为圆心，长为半径作． 【详解】解：如图，即为所求． 22．（2025·山东济宁·三模）在学习完《直线与圆的位置关系》，李老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线PQ，使PQ与相切于点Q． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接OP，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线OP的上下两侧）： ②作直线AB交OP于点C： ③以点C为圆心，CO为半径作，交⊙O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）； ④连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求作直线． 【根据这个同学作图方法，解答下面问题】 (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合作图，说明PQ是切线的理由； (3)若⊙O半径为5，，求OD的长． 【分析】本题考查了圆的切线的作法与证明，还涉及切线的性质、线段垂直平分线的性质、圆的性质、勾股定理等，解题的关键是熟知圆的相关性质． （1）根据题干提供的方法作出的切线即可； （2）依据直径所对的圆周角是直角可推得半径，则即为的切线； （3）连接．先由勾股定理求得的长，再由线段垂直平分线的性质可设，则，然后利用中的三边关系可求得x的值即可． 【详解】（1）解：画图：如图所示． ； （2）证明：由题意，得：为的直径， ∴． ∴． ∵为的半径， ∴直线为的切线； （3）解：连接OD． ∵，， 在中，． 由作图可知：为的垂直平分线， ∴． 设．， 在中，， ∴． 解得． 即：． 23．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，点F在边上，以为直径的切于点D，交于点E，连接． (1)求证：平分； (2)已知的半径是2，连接，若，求弧的长（结果保留）． 【分析】本题考查了圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及弧长公式的应用．熟练掌握圆的切线性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及弧长公式的应用是解题的关键． （1）连结，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （2）连接交于点H，根据全等三角形的性质得到，推出是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到，根据弧长公式得到结论． 【详解】（1）证明：连结， ∵与相切， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴平分； （2）解：连接交于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弧的长． 24．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在矩形中，，，把矩形折叠，使得点B与边上的点P重合，为折痕，点M，N分别在边，上． (1)请用尺规在图中作出过点M，D，P的；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若直线与过M，D，P三点的相切，求的半径． 【分析】（1）连结，作的垂直平分线，与交于点O，再以点O为圆心，为半径画圆即可； （2）过O作交于E 、交于F ，连接 ，根据切线性质，正方形性质及翻折，可得，从而求解． 【详解】（1）解：在矩形中，由， 则的外接圆是以斜边为直径的圆，作图如下图1： ①分别以A，B为圆心，大于的长度为半径，上下画弧，两弧上下各交于一点，连接这两个点，与交于点O， ②以点O为圆心，为半径画圆， 则圆O即为所作图形． （2）解：过作交于、交于，连接，如图（2）所示： 则四边形是矩形， 是的切线， ， 四边形是矩形，， ， ， 由题意，把矩形折叠，为折痕， 垂直平分， ， 在和中 ， ，， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查正方形性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直线与圆相切的性质、折叠性质、圆的尺规作图，熟练掌握以上知识是解题关键． 25．（2025·河南驻马店·模拟预测）足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长． 【分析】本题考查了切线的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在圆上任取一点D，分别作线段的垂直平分线，相交于点O，则O即为所求， （2）根据题意补全图形，连接，结合切线的性质，可得，，，则，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理得出，代入数值求出的值即可作答． 【详解】（1）解：点O如图所示： （2）解：连接，如图所示 ∵是圆的切线，为切点． ∴，，， 则， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得出， 即， ∴， 解得， ∴． 26．（2025·河南洛阳·三模）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外 方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学， 传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂，从古代的方圆象征到数 学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，O为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，分别与相切于点N，M， E，且，，求的半径； 【分析】此题考查了切线的判定和性质、切线长定理、正方形的性质等知识，熟练掌握切线的判定和性质是关键． （1）通过作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，从而证明直线与圆相切； （2）连接．证明三点在同一条直线， 得到，由及即可得到答案． 【详解】（1）设正方形边长为a，则半径为． 过O作于H， ∵O为正方形对角线交点， ∴ ∴O到的距离等于边长的一半，即，等于半径， ∴与相切． （2）连接． ∵在正方形中，， ∴． ∵分别与相切于点N，M，E， ∴． ∵ ∴， ∴是的垂直平分线， ∵， ∴点在的垂直平分线是上， ∴三点在同一条直线， ∴ ∵ ∴ ∴的半径为． 27．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 【分析】本题考查了三角形的内心，切线长定理，勾股定理，解题的关键是： （1）根据内心的定义求出，，然后根据三角形内角和定理求解即可； （）①由三角形内角和定理得，再根据内心的定义得，进而即可求解； ②画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接，由内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点，即得，，，，利用勾股定理得，设，则，可得，，进而由得，解得，设，利用三角形面积得，最后利用勾股定理即可求解； 【详解】解∶（1）∵点是的内心． ∴平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）①∵在中，， ∴． ∵点是的内心， ∴， ∴； ②如图，画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接， 根据三角形的内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点， ∴，，，， ∵，，， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 28．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在四边形中，，，于点，以为直径的分别交，于点，，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求的度数． 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理等知识点． （1）根据和证明得出，根据，可得，进而即可得证； （2）连接，由已知进而求出，再根据直径所对圆周角等于，得出，，根据同弧所对圆周角相等可得． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即． ∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∴， ∵． ∴． 29．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，，是半圆O的切线，切点分别为，，为半圆O的直径．与的延长线交于点E，连结，． (1)求证：． (2)若，，，请你思考后，从，，三个已知数中选用适当的数，设计出计算半圆O的半径r的一种方案： ①方案中你选用的已知数是_______． ②写出求解过程（结果用字母表示）． 【分析】（1）是半圆O的切线的性质知，，又由于，公共边，由判定； （2）方案一：选用，在中用勾股定理得； 方案二：选用，在中用勾股定理得：； 方案三：选用，在得：； 方案四：选用，由连接，可证，得． 【详解】（1）证明：，是半圆O的切线， ， ，， ； （2）①方案中选用的已知数是，(答案不唯一)． ②方案一：选用， 在中，由勾股定理，得， ， ； 方案二：选用， 分别切半圆于点， ，， 在中，，，，且， 即， 解得：（舍负值）； 方案三：选用， 分别切半圆于点， ，， ， 又， ， ， 即， 解得：（舍负值）； 方案四：选用， 如图，连接， 分别切半圆于点， ，，， ，， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了切线的概念，切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理及全等三角形的判定等知识点的综合运用，解题的关键是掌握以上知识点． 30．（2025·河南周口·三模）科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点是支点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点，且与相切于点．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，连接交于点，延长交于点，为下方的上一点，且，在图1的条件下，若为的中点，求的度数． 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质与判定，作垂线，掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，以的中点为圆心为半径作弧，交于点，作直线，即可求解． （2）根据垂径定理的推论可得，根据切线的性质可得，则得出，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图（1），直线即为所求作的直线； （2）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆 02-2讲 直线和圆的位置关系 题型归纳 【题型1. 判断直线和圆的位置关系】……………………………………………… 4 【题型2. 已知直线和圆的位置关系求解】………………………………………… 5 【题型3. 有关切线的概念辨析】…………………………………………………… 6 【题型4. 证明某直线是圆的切线】………………………………………………… 7 【题型5. 切线的性质定理】………………………………………………………… 9 【题型6. 切线的性质和判定综合应用】…………………………………………… 11 【题型7. 应用切线长定理求解】…………………………………………………… 14 【题型8. 应用切线长定理求证】…………………………………………………… 17 【题型9. 三角形内心的应用】……………………………………………………… 18 【题型10. 三角形周长、面积与内切圆半径的关系】……………………………… 19 【题型11. 三角形内切圆与外接圆综合】…………………………………………… 21 【题型12. 圆与圆的位置关系】……………………………………………………… 22 【题型13. 尺规作图——过圆外一点作圆的切线】………………………………… 23 【巩固练习】…………………………………………………………………………… 25 知识清单 知识点1 直线和圆的位置关系 1.相交的定义：如图24.2-8（1），直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线. 2.相切的定义：如图24.2-8（2），直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 2.相离的定义：如图24.2-8（3），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离. 3.直线和圆的位置关系的判定：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有 直线和⊙O相交 ⇔ d＜r ； 直线和⊙O相切 ⇔ d=r ； 直线和⊙O相离 ⇔ d＞r . 知识点2 切线 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 【提示】 ① 证明一条直线是圆的切线，题目给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，故要“连半径，证垂直”； ② 已知圆的切线时，常连接圆心和切点，得到半径垂直于切线，通过构造直角三角形来解决问题，即“见切线，连半径，得垂线”. 知识点3 切线长 1.切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言：∵PA和PB是⊙O的两条切线 ∴ PA=PB，OP平分∠APB 知识点4 三角形的内切圆与内心 1.内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.内心的定义：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 【提示】 ① 三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，这个距离就是半径； ② 三角形的内切圆有且只有一个. 知识点5 圆与圆的位置关系 两个圆的公共点个数 圆与圆的位置关系 实例 0 相 离 外离 图1中（1） 内含 图1中（5）（6） 1 相 切 外切 图1中（2） 内切 图1中（4） 2 相交 图1中（3） 两圆的位置关系 两圆圆心的距离d与两圆半径r1和r2之间的关系 外离 内含 外切 内切 相交 知识点6 尺规作图——过圆外一点作圆的切线 已知：如图，已知⊙O以及圆外一点P . 求作：过点P作⊙O的切线 . 步骤：（1）如图（1），连接OP，分别以O、P为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于M、N两点，连接MN与OP交于点O’，O’为OP的中点； （2）如图（2），以O’为圆心，OO’为半径画圆，⊙O与⊙O’交于点A，B； （3）如图（3），连接AP、BP，直线AP、BP即为所求.（3） （2） （1） 题型专练 题型1. 判断直线和圆的位置关系 【例1】（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，若圆O的半径为2，点O到一条直线的距离为2，则这条直线可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知圆的半径为，如果圆心到直线的距离为，那么这条直线和这个圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【变式2】（2025九年级下·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（　　） A．原点在内 B．原点在上 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相交 【变式3】（24-25九年级上·四川德阳·期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定 【变式4】（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径作圆，则与直线的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 题型2. 已知直线和圆的位置关系求解 【例1】（2025九年级下·全国·专题练习）在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级下·福建福州·期中）四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·天津滨海新·一模）的直径为，直线l与相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 题型3. 有关切线的概念辨析 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列判断正确的是（   ） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【变式2】（2025·江苏无锡·模拟预测）下列判断正确的是（   ） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．三点确定一个圆 C．长度相等的弧是等弧 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【变式3】（2024·全国·二模）下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．垂直于半径的直线是圆的切线 C．两直线平行，同旁内角相等 D．有一个角是直角的平行四边形是矩形 题型4. 证明某直线是圆的切线 【例1】（2025·四川广安·模拟预测）下列说法正确的有（         ） A．如果两个角是对顶角，那么它们一定相等 B．长度相等的两段弧是等弧 C．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行． 【例2】（2025·辽宁朝阳·三模）如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线； 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，是外一点，交于点，．甲、乙两人想作一条通过点与相切的直线，其作法如下： 甲：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则直线即为所求． 乙：过点作直线，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接，交于点，则直线即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（   ） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．两人都正确 D．两人都错误 【变式2】（2025·广东清远·二模）如图，在中，． (1)用尺规作图法作斜边边上的垂直平分线交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，以为圆心，为半径作，求证：与相切． 【变式3】（2025·广东惠州·二模）如图，是的外接圆，直径． (1)以点C为顶点，BC为边，在的右侧作，交的延长线于点P：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：是的切线． 【变式4】（2025·江苏·二模）如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线． 题型5. 切线的性质定理 【例1】（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【变式1】（2025·福建厦门·二模）如图，，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南周口·二模）弦切角定理是指弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 举例来说，假设有一个圆，一条切线与圆相切于点C，一条弦，那么由切线和弦构成的弦切角 与弦AC和切线所夹的弧 对应的圆周角相等． 为了说明这一说法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知： 如图， 内接于， ． 求证： ． 【变式3】（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，两个圆是以点O为圆心的同心圆，大圆的弦与小圆相切于C，长为，小圆半径为，求大圆的半径． 【变式4】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，已知直线经过上的点C，有下列条件：①；②直线是的切线；③．请任意选择其中两个条件作为已知，第三个条件作为结论，构成一个真命题，并证明． 题型6. 切线的性质和判定综合应用 【例1】（2024·湖北襄阳·一模）在中，弦． (1)如图1，比较与的长度，并证明你的结论． (2)如图2，为的直径，过点作的切线与的延长线交于点，若，，求阴影部分的面积． 【例2】（2025·内蒙古赤峰·一模）【问题情境】一次数学活动课上，同学们对教材P．102习题12作了深入研讨． 【教材原题】如图，为的直径，与相切于，于．求证：平分． （1）【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下． 如图，为的直径，为上一点，于，平分．那么为的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据． （2）【问题拓展】思进小组同学发现，原题记与交于，三条线段，，有特定的数量关系．请你写出这个数量关系并说明理由． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，是的直径，C是上一点，于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E．求证：是的切线； 【变式2】（2025·广东汕头·三模）如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【变式3】（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使； (2)在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线； (3)在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使． 【例4】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，，求的长． 题型7. 应用切线长定理求解 【例1】（2025·广东·二模）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【例2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，与相切于点C，线段交于点A，过点A作的切线交于点D．若，，则的半径等于（　　）    A．4 B．5 C．6 D．12 【变式3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【变式4】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型8. 应用切线长定理求证 【例1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知：四边形是的外切四边形，，，，分别是切点，求证：．    【变式2】（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【变式4】（2025·广东广州·二模）已知点在以为直径的圆上，过点、作圆的切线，交于点，连， (1)证明：； (2)若，求的值． 题型9. 三角形内心的应用 【例1】（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是的内心，点O是的外心，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，请利用尺规作图法作出的内心O．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是内心，是外心，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长． 题型10. 三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例1】（2025·四川泸州·一模）如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025九年级下·浙江·专题练习）若三角形的三边长分别为，求三角形内切圆的半径． 【变式1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【变式2】（2025九年级下·浙江·专题练习）已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【变式3】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【变式4】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）（1）如图①，在中，，，垂足为D．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出的半径，若不可以，请说明理由． 题型11. 三角形内切圆与外接圆综合 【例1】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 【例2】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为3，则其内切圆半径的长为 ． 【变式1】（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．将再次折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，，交于点．则以下结论一定成立的是（  ） A． B． C．点到三边的距离相等 D．点到三个顶点的距离相等 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的内切圆，若，则的度数为 ．    【变式3】（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 题型12. 圆与圆的位置关系 【例1】（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【例2】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知和的半径分别为2和3，若，则和的位置关系是 ． 【变式1】（2025·上海嘉定·二模）如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 【变式2】（2025·上海浦东新·二模）对于命题：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．下列说法正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 【变式3】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，的半径是，是外一点，，以P为圆心的圆与相切，的半径是（   ） A．3 B．13 C．3或8 D．3或13 【变式4】（2025·上海杨浦·模拟预测）两个相切的圆半径分别为和，若圆心距，那么的最小值为 ． 题型13. 尺规作图——过圆外一点作圆的切线 【例1】（2025·山东青岛·模拟预测）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，点A为直线外一点，求作，使经过点A且与直线相切于点． 【变式1】（2023·陕西西安·一模）如图，点P是外一点．请利用尺规过点P作的一条切线．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）    【变式2】（24-25九年级上·河南商丘·期中）下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，及圆外一点P． 求作：过点P作的一条切线． 作法：①连接；②作的垂直平分线，交于点A；③以A为圆心，的长为半径作弧，交于点B；④作直线． 即直线为所求作的一条切线． 根据上述尺规作图的过程，回答以下问题： (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)求证：直线为所求作的一条切线． 【变式3】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法：    (1)在图①中，已知，点P在上，过点P作的切线； (2)在图②中，已知，点Q在外，过点Q作的切线． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2025·山西·模拟预测）如图，与的边相切于点，与边相交于点．点为优弧上的点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·二模）如图，点P为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点Q和R，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的定理是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·河南驻马店·三模）下列命题是假命题的是（   ） A．点动成线，线动成面，面动成体 B．正六边形具有不稳定性 C．正五边形可以单独密铺 D．等边三角形的内心和外心重合 5．（2025·山东聊城·三模）下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 C．一个正数的立方根小于它的算术平方根 D．直角三角形内切圆的半径等于斜边的一半 6．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 7．（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·广东广州·二模）如图，是的切线，切点分别为A、B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D．下列结论错误的是（   ）． A． B． C．平分 D． 10．（2025·湖北随州·一模）如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，是的弦，过点的切线交的延长线于点，若，则 ． 12．（2025·广东广州·二模）如图，分别与圆相切于两点，点为圆上一点，连接，若，则的度数为 ． 13．（2025·湖南株洲·三模）如图，在中，，的角平分线、交于点，则以点为圆心，以 为半径，可作的内切圆． 14．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为 ．（只写一个） 15．（2025·宁夏银川·一模）如图，在中，，点I是内心，则 ． 16．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 17．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ． 18．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）在中，，，，则的外接圆的半径是 ，它的内切圆半径是 ． 19．（2025·湖南株洲·三模）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若，则的度数为 ． 20．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点M落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点E，连接．设点O为的内心，当点O在的内部（包括边界）时，的取值范围是 ． 三、解答题 21．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，点为直线l外一点，利用尺规作，使经过点A且与直线l相切于点B． 22．（2025·山东济宁·三模）在学习完《直线与圆的位置关系》，李老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线PQ，使PQ与相切于点Q． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接OP，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线OP的上下两侧）： ②作直线AB交OP于点C： ③以点C为圆心，CO为半径作，交⊙O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）； ④连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求作直线． 【根据这个同学作图方法，解答下面问题】 (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合作图，说明PQ是切线的理由； (3)若⊙O半径为5，，求OD的长． 23．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，点F在边上，以为直径的切于点D，交于点E，连接． (1)求证：平分； (2)已知的半径是2，连接，若，求弧的长（结果保留）． 24．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在矩形中，，，把矩形折叠，使得点B与边上的点P重合，为折痕，点M，N分别在边，上． (1)请用尺规在图中作出过点M，D，P的；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若直线与过M，D，P三点的相切，求的半径． 25．（2025·河南驻马店·模拟预测）足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型，是圆的切线，为切点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长交射线于点，若，请补全图形，并求的长． 26．（2025·河南洛阳·三模）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外 方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学， 传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂，从古代的方圆象征到数 学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，O为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，分别与相切于点N，M， E，且，，求的半径； 27．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 28．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在四边形中，，，于点，以为直径的分别交，于点，，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，求的度数． 29．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，，是半圆O的切线，切点分别为，，为半圆O的直径．与的延长线交于点E，连结，． (1)求证：． (2)若，，，请你思考后，从，，三个已知数中选用适当的数，设计出计算半圆O的半径r的一种方案： ①方案中你选用的已知数是_______． ②写出求解过程（结果用字母表示）． 30．（2025·河南周口·三模）科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地球！”这运用的是杠杆原理．如图1，表示地球，点是支点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出撬起地球的杠杆（直线），使其经过点，且与相切于点．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，连接交于点，延长交于点，为下方的上一点，且，在图1的条件下，若为的中点，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$