14.2三角形全等的判定讲义 -2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

第十四章 全等三角形 第二节 三角形全等的判定 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1 SSS（边边边）判定全等 2 知识点2 SAS（边角边）判定全等 2 知识点3 ASA（角边角）判定全等 3 知识点4 AAS（角角边）判定全等 4 知识点5 HL（斜边、直角边）判定全等 3 知识点6判定定理的选择策略 知识点7三角形的稳定性 题型精讲1用SSS证明三角形全等(SSS) 5 题型精讲2用SSS间接证明三角形全等（SSS） 6 题型精讲3全等的性质和SSS综合(SSS) 7 题型精讲4用SAS证明三角形全等(SAS) 7 题型精讲5用SAS间接证明三角形全等（SAS） 8 题型精讲6全等的性质和SAS综合(SAS) 9 题型精讲7用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS) 11 题型精讲8全等的性质和ASA(AAS）综合（ASA或者AAS) 12 题型精讲9用HL证全等（HL） 7 题型精讲10全等的性质和HL综合(HL) 8 题型精讲11添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合） 9 题型精讲12灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 11 题型精讲13结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 12 题型精讲14连接两点构造全等三角形(全等三角形的辅助线问题） 7 题型精讲15倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 8 题型精讲16旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 9 题型精讲17垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 11 题型精讲18其他模型(全等三角形的辅助线问题） 12 题型精讲19证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 11 题型精讲20全等三角形综合问题 题型精讲21尺规作一个角等于已知角 11 题型精讲22过直线外一点作已知直线的平行线 题型精讲23尺规作图——作三角形 11 题型精讲24利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：掌握三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）及直角三角形特有的HL判定定理，明确“AAA”“SSA”不能判定全等的原因，能规范书写全等证明过程。 2. 过程与方法：通过尺规作图、叠合操作等活动，经历“观察—猜想—验证—归纳”的探究过程，发展几何直观与逻辑推理能力，体会判定定理的本质。 3. 应用与素养：能从复杂图形中分离出全等三角形模型，依据已知条件选择合适判定方法解决边、角关系问题，契合中考对几何推理的基础考查要求。 【新知学习】 【知识点1】SSS（边边边）判定全等 1.若两个三角形的 对应相等，则这两个三角形全等（符号表示：△ABC≌△DEF，需满足 AB=DE、BC=EF、AC=DF）。 2.数学语言：如图：在△ABC与△DEF中： AC = DF AB = DE BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SSS)。 边学边练如图，已知，，求证：． 【知识点2】 SAS（边角边）判定全等 1.若两个三角形的 对应相等，则这两个三角形全等（关键：“夹” 角 —— 两条边之间的角，非其中一条边的对角）。 2.数学语言：如图：在△ABC与△DEF中： AC = DF ∠BAC=∠EDF AB = DE ∴△ABC≌△DEF（SAS)。 【易错提醒】警惕 “SSA” 陷阱 “两边及其中一边的对角对应相等”（如 AB=DE、BC=EF、∠A=∠D，∠A 不是 AB 与 BC 的夹角）不能判定三角形全等，因为会出现 “两种不同形状的三角形”（如一个锐角三角形和一个钝角三角形，满足 SSA 但不全等）。 边学边练下列两个三角形全等的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【知识点3】ASA（角边角）判定全等 1.若两个三角形的 对应相等，则这两个三角形全等（关键：“夹” 边 —— 两个角之间的边，非其中一个角的对边）。 2.数学语言：如图：在△ABC与△DEF中： ∠BAC=∠EDF AB = DE ∠CBA=∠FED ∴△ABC≌△DEF（ASA)。 边学边练如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（    ） A． B． C． D． 【知识点4】AAS（角角边）判定全等 若两个三角形的 对应相等，则这两个三角形全等（可由 “ASA” 推导：三角形内角和为 180°，已知两个角相等，第三个角必相等，转化为 ASA）。 2.数学语言：如图：在△ABC与△DEF中： ∠BAC=∠EDF ∠BCA=∠EFD AB = DE ∴△ABC≌△DEF（ASA)。 边学边练如图，在中，，过上的点E作，且，作．求证：． 【知识点5】 HL（斜边、直角边）判定全等 1.在两个直角三角形中，若 对应相等，则这两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形，不能用于锐角 / 钝角三角形）。 2.数学语言：如图：在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中： AC = A’C’ AB =A’B’ ∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’。 边学边练如图，在与中，，要用“”判定和全等的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【知识点6】判定定理的选择策略 在具体题目中，需根据已知条件快速匹配判定定理，遵循 “先看角、再看边，优先用特殊判定（HL）” 的原则： 已知条件类型 优先选择的判定定理 示例场景 已知三边对应相等 SSS 给出三边长度或通过中点推导三边相等 已知两边及一角（角为夹角） SAS 已知两边和它们的夹角，或能推导夹角相等 已知两角及一边（边为夹边） ASA 已知两角和它们的夹边，或能推导夹边相等 已知两角及一边（边为对边） AAS 已知两角和其中一角的对边，或能推导对边相等 已知直角三角形的斜边和直角边 HL 直角三角形中，给出斜边和一条直角边 边学边练下列三角形中全等的是（  ） A． B． C． D． 知识点7 三角形的稳定性 1.生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的 . 2.三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用.例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用. 题型精讲 题型精讲1用SSS证明三角形全等(SSS) 1、 题型特征 题目中明确给出两个三角形的三组对应边分别相等，或可通过已知条件（如公共边、中点、线段和差）推导出三组对应边相等，需证明两三角形全等。 2、 解题核心步骤 ： 1. 找边：从图形和已知条件中，逐一识别或推导两三角形的三组对应边，标注相等关系（如公共边直接用“公共边相等”表述）。 2. 写格式：严格按“SSS”判定格式书写证明过程，先列出“在△XXX和△XXX中”，再用大括号呈现三组对应边相等，最后写“∴△XXX≌△XXX（SSS）”。 3. 用结论：若需进一步证明边或角相等，可利用全等三角形“对应边相等”“对应角相等”的性质推导。 【易错提醒】 避免对应边标注错误，需确保写出的三组边是“对应边”，而非任意三边。 勿遗漏公共边、中点等隐含的“边相等”条件，这是SSS证明中常见的关键信息。 【例题1】如图，中，已知，要根据“”判定，还需添加条件 ． 【变式训练1】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得，其依据是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【变式训练3】如图，有两组等长的线段．，，将其拼成如下“蝶形图”，可以得出． (1)连接，能得出．的直接依据是___________；（用字母表示） (2)在（1）的条件下，小华认真观察之后说：“”．请判断他的说法是否正确，并说明理由． 题型精讲2用SSS间接证明三角形全等（SSS） 1、 题型特征 题目不直接给出两组三角形的三组对应边相等，需先通过“线段和差、中点定义、角平分线性质、垂直平分线性质”等已知条件，推导出关键的边相等关系，再利用SSS判定两三角形全等。 2、 解题核心步骤 1. 推边：根据已知条件推导隐含的边相等。比如由“M是AB中点”得AM=BM，由“AC=AD，BC=BD”结合公共边CD，推导其他对应边相等。 2. 证全等：整理推导出的三组对应边，按SSS格式规范书写证明过程，先写“在△XXX和△XXX中”，再用大括号列边相等关系，最后得出全等结论。 3. 用性质（可选）：若题目需进一步求角或边，可利用全等三角形的对应角、对应边相等继续推导。 【易错提醒】 推导边相等时，需明确每一步的依据（如“中点定义”“等式性质”），避免逻辑断层。 注意区分“推导的边”与“目标三角形的对应边”，防止将非对应边纳入SSS判定条件。 【例题1】如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【变式训练1】如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【变式训练2】如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    题型精讲3全等的性质和SSS综合(SSS) 1、 题型特征 题目需分两步解决：先通过 SSS判定定理证明两个三角形全等 ，再利用“全等三角形对应边相等、对应角相等”的性质，推导未知边的长度或未知角的度数，常含公共边、中点等隐含条件。 2、 解题核心步骤 1. 证全等 ：分析已知条件，推导三组对应边相等（如利用中点得线段相等、公共边直接用），按SSS格式规范书写全等证明过程。 2. 用性质 ：由全等结论，直接对应得出所需的边或角相等，代入已知数据计算（如求边长、角度和）。 【易错提醒】 证明全等时，需明确标注对应顶点，避免后续利用性质时找错对应边、对应角。 勿跳过全等证明直接用边/角关系，需保证逻辑完整（先证全等，再用性质）。 【例题1】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练1】如图，用尺规作的依据是 ． 【变式训练2】如图所示，点A，B，C，D在一条直线上，．求证： 【变式训练3】如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，请探究与的数量关系． 题型精讲4用SAS证明三角形全等(SAS) 1、 题型特征 题目明确给出（或可直接识别）两个三角形的 两组对应边分别相等 ，且这两组边的 夹角也相等 ，需依据SAS判定定理证明两三角形全等，核心是“边—角—边”的对应关系。 2、 解题核心步骤 1. 找“边—角—边” ：先确定两组相等的对应边，再确认这两组边的公共夹角（或已知相等的夹角），标注对应关系。 2. 写证明 ：按格式书写“在△XXX和△XXX中”，用大括号列出“边=边、夹角=夹角、边=边”，最后写“∴△XXX≌△XXX（SAS）”。 【易错提醒】 混淆“夹角”与“对角”，SAS要求的角必须是两组对应边的 公共夹角 ，不可用非夹角的角代替。 忽略边的对应顺序，需确保列出的边和角是“对应”的（如△ABC的AB对应△DEF的DE，夹角∠B对应∠E）。 【例题1】已知：，，与相交于点．求证：． 【变式训练1】如图，两根钢条，的中点连在一起，，可绕点自由转动，则的长等于内槽宽．那么判定的理由是（   ）    A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 【变式训练2】如图，．求证：． 【变式训练3】在与中，边与边上的中线分别为与．若．求证：． 题型精讲5用SAS间接证明三角形全等（SAS） 1、 题型特征 题目不直接给出“两组边+夹角相等”的完整条件，需先通过 线段和差、中点定义、角平分线性质 等推导关键条件（如补全一组边相等，或推导夹角相等），再用SAS证明全等。 2、 解题核心步骤 1. 推条件 ：根据已知推导隐含条件，如由“点C是AD中点”得AC=CD，由“∠1=∠2”结合公共角得夹角相等。 2. 证全等 ：整理推导后的“边—角—边”条件，按SAS格式规范书写证明过程，明确每一步的依据（如“中点定义”“等式性质”）。 【易错提醒】 推导夹角相等时，需明确角的组成（如∠ABC=∠ABD+∠DBC），避免逻辑断层。 勿将“SSA”误当作SAS，需确认角是两组边的夹角，而非其中一组边的对角。 【例题1】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 【变式训练2】如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 【变式训练3】（1）如图，是的平分线，． 求证：； （2）如图，在中，分别是边上的中线和高，，，求的长． 题型精讲6全等的性质和SAS综合(SAS) 1、 题型特征 题目需先通过 SAS判定定理证明两三角形全等 ，再利用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）解决后续问题（如求线段长度、角度大小，或证明另一组线段相等），是“判定+性质”的连贯应用。 2、 解题核心步骤 1. 证全等（SAS） ：分析已知条件，确认“两组边+夹角相等”（直接给或间接推），规范书写SAS证明过程。 2. 用性质解题 ：由全等结论，对应找出需求的边或角，代入数据计算（如求边长），或继续证明其他结论（如用对应角相等证两直线平行）。 【易错提醒】 证明全等后，需严格按“对应顶点”找对应边、角，避免因对应关系错误导致计算或证明出错。 书写过程中，需注明每一步的依据（如“全等三角形对应边相等”），不可省略关键逻辑。 【例题1】如图，，则的判定依据是 ． 【变式训练1】如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条组成，O为的中点．只要量出的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽的长度．那么判定的理由是 （    ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，在和中，延长交于点，，，，求证：． 【变式训练3】如图，在和中，，，，．连接，相交于点M． (1)证明：； (2)求的度数． 题型精讲7用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS) 1、 题型特征 题目给出（或可推导）两个三角形的 两组对应角分别相等 ，且要么给出“两组角的夹边相等”（ASA），要么给出“其中一组角的对边相等”（AAS），需根据已知条件选择ASA或AAS判定全等。 2、 解题核心步骤 1. 辨类型（ASA/AAS） ： - 若有“两组角+它们的夹边相等”，用ASA； - 若有“两组角+其中一角的对边相等”，用AAS。 2. 写证明 ：按格式列出“角=角、边=边、角=角”（ASA）或“角=角、角=角、边=边”（AAS），结尾标注判定定理。 【易错提醒】 混淆ASA和AAS的条件：ASA的“边”是两组角的夹边，AAS的“边”是非夹边（某一角的对边）。 忽略“三角形内角和”的隐含应用：若已知一组角相等，可通过内角和推导另一组角相等，补全ASA/AAS条件。 【例题1】如图，与相交于点O，，，不添加辅助线，判定的依据是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练1】如图，根据判定，已经具备公共边，添加的条件为 ． 【变式训练2】有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【变式训练3】如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分，平分，且，求的度数． 题型精讲8全等的性质和ASA(AAS）综合（ASA或者AAS) 1、 题型特征 题目需先通过 ASA或AAS证明两三角形全等 ，再利用“全等三角形对应边相等、对应角相等”的性质，解决后续的边/角计算、线段关系证明等问题，核心是“先证全等，再用性质”的逻辑链。 2、 解题核心步骤 1. 证全等（选ASA/AAS） ：分析已知角、边条件，确定用ASA（两角+夹边）或AAS（两角+对边），规范书写证明过程。 2. 用性质推导 ：由全等结论，对应得出所需边/角相等，代入数据计算（如求线段总长），或证明其他结论（如证线段垂直）。 【易错提醒】 选择ASA或AAS时，需结合已知边的位置（夹边/对边），避免判定定理选错导致全等证明无效。 利用性质时，需明确“对应关系”，不可将非对应边、角当作相等关系使用。 【例题1】如图，已知：，，求证：． 【变式训练1】如图，在中，于点平分，且于点，与相交于点．求证： (1)． (2)． 【变式训练2】小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，，求妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度．      【变式训练3】已知如图，E、F在BD上，且，，，求证：与互相平分． 题型精讲9用HL证全等（HL） 1、 题型特征 题目限定为两个直角三角形，已知（或可推导）它们的斜边相等，且一组直角边也相等，需用“斜边、直角边”（HL）判定定理证明全等，HL仅适用于直角三角形。 2、 解题核心步骤 1. 定直角 ：先明确两三角形为直角三角形，标注直角符号（∠XXX=∠XXX=90°）。 2. 列条件 ：按HL格式书写“在Rt△XXX和Rt△XXX中”，用大括号列出“斜边=斜边、直角边=直角边”。 3. 得结论 ：写“∴Rt△XXX≌Rt△XXX（HL）”，注意标注“Rt”和HL。 【易错提醒】 误用HL到非直角三角形：HL是直角三角形特有的判定方法，不可用于锐角或钝角三角形。 忽略直角的证明：若题目未直接说“直角”，需先证明夹角为90°（如垂直定义），再用HL。 【例题1】如图，已知，证明，则应添加的条件是 ． 【变式训练1】如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是 ． 【变式训练2】如图，已知垂足分别为，，求证：． 【变式训练3】如图，在中，于点，为上一点，且． (1)求证：≌ (2)若，试求的面积． 题型精讲10全等的性质和HL综合(HL) 1、 题型特征 题目需先通过 HL判定定理证明两个直角三角形全等 ，再利用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），解决直角三角形中的边/角计算、线段垂直关系证明等问题，是直角三角形特有的“判定+性质”综合。 2、 解题核心步骤 1. 证直角三角形全等（HL） ：先证两三角形为直角三角形（如垂直），再列“斜边=斜边、直角边=直角边”，用HL证全等。 2. 用性质解题 ：由全等结论，推导所需的边/角相等（如求直角边长度），或证明其他关系（如证角平分线）。 【易错提醒】 证明全等时，需先明确“直角”的依据（如“AB⊥CD”得∠ACB=90°），不可直接默认直角。 利用性质时，需注意直角三角形的特殊性（如斜边是最长边），避免对应边找错 【例题1】如图．，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式训练1】如图，在与中，，，求证：．    【变式训练2】如图，在和中，，，与交于点． (1)证明：； (2)求证：． 【变式训练3】如图，在四边形中，过点作于点，且，． (1)若，，求的长； (2)若和的面积分别为和，求的面积． 题型精讲11添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合） 1、 题型特征 题目给出两个三角形的 部分相等条件 （如1组边+1组角相等），要求补充一个条件，使两三角形全等，需结合SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）五种判定定理分析。 2、 解题核心步骤 1. 析已知 ：先列出题目已给的相等条件（如“AB=DE，∠A=∠D”），明确条件类型（边/角）。 2. 对应判定补条件 ： 若已知“边+角”，可补“另一边”（SAS）或“另一角”（ASA/AAS）； 若已知“边+边”，可补“第三边”（SSS）或“夹角”（SAS）； - 直角三角形可补“斜边/直角边”（HL）。 3. 验合理性 ：排除“SSA”等无效条件，确保补充的条件能对应某一判定定理。 【易错提醒】 勿补充“SSA”或“AAA”这类不能判定全等的条件，如已知“AB=DE，BC=EF”，补“∠A=∠D”（SSA）无效。 需考虑多种可能性，如已知“∠A=∠D，∠B=∠E”，可补“AB=DE”（ASA）或“AC=DF”（AAS）。 【例题1】如图，若，再添加一个已知条件是 ，直接用判定． 【变式训练1】如图，已知，若要用“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】如图，与相交于点O，，只添加一个条件，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，已知． （1）若用“”证明，还需添加条件 ． （2）若用“”证明，还需添加条件 ． （3）若用“”证明，还需添加条件 ． 题型精讲12灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 1、 题型特征 题目未指定用哪种判定定理，需根据 已知条件的类型（边、角数量及位置） ，自主选择最合适的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）证明全等，常含公共边、公共角、对顶角等隐含条件。 2、 解题核心步骤 1. 找条件 ：梳理已知条件（显式+隐含），统计相等的边和角的数量（如2角+1边、2边+1角）。 2. 选方法 ： 3边相等→SSS； 2边+夹角→SAS； 2角+夹边→ASA； 2角+对边→AAS； 直角三角形+斜边+直角边→HL。 3. 写证明 ：按所选判定定理的格式，规范书写证明过程，注明依据。 【易错提醒】 忽略隐含条件：如公共边、公共角、对顶角相等，这些往往是选择判定方法的关键。 盲目选择方法：如已知“2角+1边”，需先看边是“夹边”还是“对边”，再选ASA或AAS，不可随意选。 【例题1】如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（    ）去配 A．① B．② C．③ D．①和② 【变式训练1】如图所示，已知三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中和全等的图形是（   ） A．甲 B．乙 C．甲和乙都是 D．都不是 【变式训练2】如图，下面个条件：①；②；③；④．请你以其中两个为已知条件，剩下的两个中的一个为结论，组成一个正确的命题． (1)______（写成的形式，至少写个）； (2)选取其中一个加以证明． 【变式训练3】根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（　　） A． B． C． D． 题型精讲13结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 1、 题型特征 题目先要求进行 基本尺规作图 （如作角平分线、线段垂直平分线、作一个角等于已知角），再根据作图过程中产生的相等条件（如弧长相等→线段相等），证明某两个三角形全等，核心是“作图依据=全等条件”。 2、 解题核心步骤 1. 述作图 ：简要描述尺规作图的关键步骤（如“作∠AOB的平分线OC，步骤为：①以O为圆心画弧交OA、OB于M、N；②分别以M、N为圆心画弧交于C；③连OC”）。 2. 找全等条件 ：由作图得相等线段（如OM=ON，MC=NC）或相等角，确定判定定理（如SSS、SAS）。 3. 证全等：按判定定理格式书写证明过程，注明条件来源（如“由作图知OM=ON”）。 【易错提醒】 作图步骤描述不完整，导致后续全等条件缺乏依据（如漏说“以相同半径画弧”，则MC=NC不成立）。 忽略作图的“等长弧”条件，无法建立线段相等关系，影响全等证明。 【例题1】如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是 （填全等理由） 【变式训练1】（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 【变式训练2】如图，为等边三角形，要在外部取一点，使得和全等，下面是两名同学做法：（    ） 甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求； 乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求． A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【变式训练3】根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 题型精讲14连接两点构造全等三角形(全等三角形的辅助线问题） 1、 题型特征 题目中无现成的全等三角形，需通过 连接某两点 （如连接公共顶点、中点与顶点、对角线）构造出新的三角形，再利用已知条件证明构造后的三角形全等，辅助线作用是“补全全等图形”。 2、 解题核心步骤 1. 作辅助线 ：明确写出辅助线作法（如“连接AC”“连接BD”），在图中标注。 2. 析条件 ：结合已知条件（如AB=CD，AD=BC）和辅助线（公共边AC），找构造后三角形的全等条件。 3. 证全等 ：按判定定理（如SSS、SAS）证明构造的三角形全等，再利用性质解决原问题。 【易错提醒】 辅助线作法描述不规范（如只说“连两点”，未指明具体两点），导致图形关系模糊。 构造三角形后，忽略原已知条件与辅助线的结合（如公共边），找不到全等条件。 题型精讲15倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 1、 题型特征 题目中存在 三角形的中线 （如AD是△ABC的中线，即BD=CD），需通过“延长中线至两倍长度”（如延长AD至E，使DE=AD），连接端点（如连接BE）构造全等三角形，核心是“转移线段/角的位置”。 2、 解题核心步骤 1. 作辅助线 ：写清作法（如“延长AD至E，使DE=AD，连接BE”），标注中点D和DE=AD。 2. 证全等 ：利用“BD=CD（中线定义），∠ADC=∠EDB（对顶角），AD=DE（构造）”，用SAS证明△ADC≌△EDB。 3. 用性质 ：由全等得AC=BE、∠C=∠EBD，将原三角形的边/角转移到△ABE中，解决问题（如证AC=AB）。 【易错提醒】 辅助线作法错误（如延长方向错、未使DE=AD），导致无法构造全等。 忽略中线的“BD=CD”条件，或对顶角相等的隐含条件，影响SAS证明。 【例题1】如图，在中，，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式训练1】如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为 ． 【变式训练2】如图，已知为的中线，，的周长为，则 (1)的周长为多少？ (2)的取值范围是多少？（直接写出答案） 【变式训练3】在中，，中线，则边的取值范围是 ． 题型精讲16旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 1、 题型特征 题目中存在 两组相等的线段 （如AB=AD，AC=AE），且它们的夹角相等（如∠BAD=∠CAE），需通过“旋转图形”（如将△ABC绕点A旋转，使AB与AD重合）构造全等三角形，辅助线本质是“利用旋转的不变性（边相等、角相等）”。 2、 解题核心步骤 1. 定旋转要素 ：确定旋转中心（如点A）、旋转角（如∠BAD）、旋转方向（顺时针/逆时针）。 2. 证全等 ：由旋转得AB=AD、AC=AE、∠BAC=∠DAE（∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC），用SAS证明△ABC≌△ADE。 3. 推结论 ：由全等得BC=DE、∠B=∠D，解决原问题（如求BC长度、证角相等）。 【易错提醒】 无法识别旋转模型，找不到“等线段+等夹角”的关键条件，导致辅助线无从下手。 旋转角计算错误，无法推导∠BAC=∠DAE，影响全等证明。 【例题1】如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（    ）    A．6 B．15 C．12 D．30 【变式训练1】如图，P是等边外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【变式训练3】（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 题型精讲17垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 1、 题型特征 题目中存在 垂直关系 （如AB⊥CD、∠AEC=∠BFD=90°），需通过“过某点作两边的垂线”（如过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F）构造直角三角形，再用AAS或HL证明全等，核心是“利用直角相等的隐含条件”。 2、 解题核心步骤 1. 作辅助线 ：写清垂线作法（如“过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F”），标注直角符号。 2. 证全等 ：利用“∠PEO=∠PFO=90°（垂线定义），∠POE=∠POF（已知），OP=OP（公共边）”，用AAS证明△PEO≌△PFO。 3. 用性质 ：由全等得PE=PF，解决问题（如证OP是角平分线）。 【易错提醒】 垂线作法描述不明确（如未说“垂直于OA、OB”），导致直角三角形的直角边对应错误。 忽略“垂线→直角相等”的条件，无法补全AAS/HL的判定要素。 【例题1】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【变式训练1】如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【变式训练2】如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 题型精讲18其他模型(全等三角形的辅助线问题） 1、 题型特征 除倍长中线、旋转、垂线外的小众模型，如“截长补短模型”（证线段和差）、“一线三垂直模型”（直角三角形共线）等，需根据题目具体条件（如结论为“AB=CD+EF”“有三个直角共线”），灵活作辅助线（截长、补短、作垂线）构造全等。 2、 解题核心步骤 1. 辨模型 ：根据结论或条件识别模型，如结论是“a=b+c”→截长补短；有“∠A=∠B=∠C=90°且共线”→一线三垂直。 2. 作辅助线 ： 截长：在a上截取AD=b，证DC=c； 补短：延长b至E，使DE=c，证AE=a； 3. 证全等 ：利用辅助线构造的线段/角关系，用SAS、AAS等证全等，推导结论。 【易错提醒】 模型识别困难，无法确定辅助线作法（如遇线段和差，想不到截长补短）。 截长/补短后，找不到构造的线段与已知条件的联系，导致全等证明中断。 【例题1】如图，，是的中点，平分，则的度数为 ． 【变式训练1】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【变式训练2】如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【变式训练3】定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （1）如图1，是的平分线，请你在图1中画出一对以所在直线为对称轴的全等三角形． （2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题： ①如图2，在中，，，、分别是、的平分线，、相交于点．猜想和之间的数量关系，直接写出结论． ②如图3，在中，如果，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 题型精讲19证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 1、 题型特征 题目结论为“一条线段=另外两条线段的和（如AB=AC+CD）”或“差（如AB=AC-CD）”，需用“截长法”或“补短法”作辅助线，构造全等三角形，将“和差关系”转化为“线段相等关系”。 2、 解题核心步骤 1. 选方法 ： 截长法：在较长线段AB上截取AE=AC，证EB=CD（需证△AEC≌△ACD得EC=CD，再证EB=EC）； 补短法：延长AC至F，使CF=CD，证AF=AB（需证△CDF是等腰，再证△ABF≌△ACB）。 2. 证全等 ：利用辅助线构造的条件，结合已知证全等，推导线段相等。 3. 得结论 ：由全等得线段相等，代入和差关系，证明原结论。 【易错提醒】 截长/补短的方向错误（如截错线段、延长方向反），导致无法构造全等。 忘记最终需回归“和差结论”，仅证完全等就结束，逻辑不完整。 【例题1】如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【变式训练1】（1）写出判断平面内不同三点A，B，C共线的方法（要求至少三种） （2）求证：在中三条线段中必存在两条线段的长为m，n，使 【变式训练2】如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 【变式训练3】（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 题型精讲20全等三角形综合问题 1、 题型特征 题目包含 多步证明 ，需多次运用全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）和性质，或结合轴对称、角平分线、垂直平分线等知识，解决复杂的边/角关系、图形判定（如证平行、垂直）问题，综合性强。 2、 解题核心步骤 1. 拆问题 ：将复杂问题拆解为多个小目标（如“先证△ABC≌△DEF，再证△DFG≌△EHG”）。 2. 分步证 ：按小目标依次证明，每一步都明确判定定理和依据，利用前一步的全等结论作为后一步的已知条件。 3. 综合推 ：结合所有全等结论和其他知识（如“全等→角相等→两直线平行”），推导最终结论。 【易错提醒】 思路混乱，无法拆解问题，找不到第一步该证哪个三角形全等。 忽略知识间的关联（如全等与角平分线的结合），导致关键条件缺失。 【例题1】根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，C为平行四边形ABDG外一点，连接BC，DC，分别交边AG于点F，E，使BC＝DC，AC＝GD，∠BDC＝60°，若DB＝7，AE＝5，则AB的长为 ． 【变式训练2】如图，在2×2的正方形网格中，线段的端点均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图（1）在中，，，直线经过点，且于点，于点． (1)求证：①；②． (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中结论还成立吗？请说明理由． 题型精讲21尺规作一个角等于已知角 1、 题型特征 基本尺规作图题型，要求“用无刻度的直尺和圆规，作一个角等于已知角（如作∠A'O'B'=∠AOB）”，作图依据是 SSS全等判定定理 （通过等长弧得到相等线段，构造全等三角形）。 2、 解题核心步骤 1. 作射线 ：用直尺作射线O'B'，作为新角的一边。 2. 画弧（已知角） ：以已知角的顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。 3. 画弧（新角） ：以O'为圆心，同一步骤2的半径画弧，交O'B'于N'。 4. 找交点 ：以N'为圆心，MN的长为半径画弧，与步骤3的弧交于M'。 5. 作射线 ：用直尺连接O'M'，则∠A'O'B'=∠AOB。 【易错提醒】 两步画弧的半径不一致（如步骤2和步骤3半径不同），导致MN≠M'N'，无法构造全等。 找交点M'时，半径不是“MN的长”，导致O'M'与O'B'的夹角不等于已知角。 【例题1】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图用尺规作与“已知角相等的角”的过程中，作出的依据是 （填“”或“”或“”或“”）． 【变式训练2】尺规作图：已知，，求作：直线，使经过点，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练3】如图，P为角平分线上一点，E为线段中点． (1)基本尺规作图：作，射线交射线于D，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图形中，求证：．（补全证明过程） 证明：平分 （角平分线的定义） （      ） 为中点 在和中 ． 题型精讲22过直线外一点作已知直线的平行线 1、 题型特征 基本尺规作图题型，要求“用无刻度的直尺和圆规，过直线l外一点P作直线l的平行线”，作图依据是“ 作一个角等于已知角 ”（同位角相等，两直线平行）。 2、 解题核心步骤 1. 连线段 ：过点P作任意直线，交已知直线l于点O，形成∠POA（A在l上）。 2. 作等角 ：以点P为顶点，PO为一边，按“作一个角等于已知角”的方法，作∠OPB=∠POA（B不在l上）。 3. 作直线 ：用直尺连接P、B，直线PB即为所求的平行线（∠OPB=∠POA，同位角相等，两直线平行）。 【易错提醒】 作等角时，角的方向错误（如作的是内错角但位置不对），导致最终直线不平行。 未明确“同位角相等”的依据，仅完成作图，无法说明直线平行的理由。 【例题1】如图，点C在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（   ） A．以点C为圆心，长为半径的弧 B．以点C为圆心，长为半径的弧 C．以点E为圆心，长为半径的弧 D．以点E为圆心，长为半径的弧 【变式训练1】如图，已知，，请用尺规作图法，过点求作一条直线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练2】已知：直线a和直线a外一点P． 要求：尺规作图，不写画法保留作图痕迹 (1)过点作直线的平行线． (2)这种作法的依据是什么？ 【变式训练3】如图，已知点M在的边上，请用直尺和圆规过点M作直线，使．（保留作图痕迹．） 题型精讲23尺规作图——作三角形 1、 题型特征 根据已知条件（如“三边”“两边及夹角”“两角及夹边”），用无刻度直尺和圆规作三角形，作图依据对应全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA），需明确步骤和作图痕迹。 2、 解题核心步骤 以“已知三边a、b、c作△ABC”（SSS）为例： 1. 作边 ：用直尺作线段BC，使BC=a。 2. 画弧找A ：以B为圆心，c为半径画弧；以C为圆心，b为半径画弧，两弧交于点A。 3. 连三边 ：用直尺连接AB、AC，△ABC即为所求。 （若已知“两边及夹角”用SAS，“两角及夹边”用ASA，步骤类似，先作已知边，再作角或弧找顶点） 【易错提醒】 已知“两边及夹角”时，未先作角再作边，导致夹角位置错误。 画弧时半径不符合已知边长，导致三角形的边长度偏差，作图无效。 【例题1】已知和、线段，如下图所示，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，另一个内角等于，且的对边等于（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式训练1】作一个，使． 【变式训练2】作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 已知：如图，线段和． 求作：，使，． 【变式训练3】尺规作图：已知线段a，b和 求作：，使，，（画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 题型精讲24利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 1、 题型特征 题目给出正方形网格（如3×3、4×4网格），网格中有多个分散的角，需通过 找全等三角形 ，将分散的角转移到同一顶点或同一直线上，利用“直角=90°”“平角=180°”计算角度之和。 2、 解题核心步骤 1. 找全等三角形 ：观察网格中的线段长度（如网格边长为1，斜边为√2）和角的位置，确定全等三角形（如△ABC≌△DEF，对应角∠A=∠D）。 2. 转移角度 ：将分散的角（如∠D、∠E）转移到∠A、∠B的位置，使它们在同一顶点汇聚。 3. 算和 ：根据汇聚后的角的组成（如构成直角、平角），计算角度之和（如∠A+∠B+∠C=90°）。 【易错提醒】 无法在网格中识别全等三角形（如忽略斜边为√2的等腰直角三角形），导致角度无法转移。 转移角度时对应关系错误（如将∠D转移到∠B，实际应转移到∠A），导致计算结果错。 【例题1】如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 【拓展培优】 【典例1】如图，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，在中，于点D，E是上的一点，且． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【变式训练2】【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，请直接写出与的数量关系． 【典例2】综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 【变式训练1】【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型． （1）已知，，请在图1和图2中选择一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）在中，，，点D为射线上的一动点（点D不与点C重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，，连接，交直线于点H． ①如图3，当点D在线段上时，求证：； ②如图4，当点D在的延长线上时，若，请直接写出的长． ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 同理得：， ∴； ∴，，； ∵，， ∴， 解得：， ∴． 综上，或5． 【变式训练2】【教材呈现】数学教材中有这样一道习题：“如图，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练3】问题探究： （1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用： （2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【典例3】在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 【变式训练1】（1）回顾：如图①，在中，，于点，则______（选填：“”“”或“”）； （2）探究：如图②，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （3）拓展：如图③，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （4）应用：如图④，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，直接写出与的面积之和_______． 【典例4】如图，在中，，，，、相交于点O，且． (1)与的数量关系是___________； (2)试说明：； (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请在备用图中画出大致示意图，并直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度沿向点B匀速运动．设运动时间为t（s）． (1)如图，连接、，当时，求的值； (2)如图，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当、两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求和的值； (3)如图，当中的点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请求出此时的值． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配． 　 A．（1） B．（2） C．（3） D．（1）和（2） 2．（25-26八年级上·河北·单元测试）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）在和中，给出下列四组条件： ①； ②； ③； ④； 其中，能使的条件共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·期中）古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （    ） A． B． C． D． 6．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·福建·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，已知，请添加一个条件： ，使（写出一个即可）． 10．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图是用尺规作一个角等于已知角的作法（节选），对于作射线O′B′的依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短，你认为 同学的说法是正确的（选填“甲”或“乙”）． 11．（25-26八年级上·西藏日喀则·期中）如图，，要使则需要补充一个条件，这个条件可以是 ．（只需填写一个） 12．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在与中，、相交于点，点在边上，，，．下列结论：①；②；③中，正确的是 （填写所有正确结论的序号）． 三、解答题 13．（2025·云南丽江·一模）如图，，，．求证：． 14．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 15．（2025·西藏·中考真题）如图，，．求证：． 16．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 第二节 三角形全等的判定 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1 SSS（边边边）判定全等 2 知识点2 SAS（边角边）判定全等 2 知识点3 ASA（角边角）判定全等 3 知识点4 AAS（角角边）判定全等 4 知识点5 HL（斜边、直角边）判定全等 3 知识点6判定定理的选择策略 知识点7三角形的稳定性 题型精讲1用SSS证明三角形全等(SSS) 5 题型精讲2用SSS间接证明三角形全等（SSS） 6 题型精讲3全等的性质和SSS综合(SSS) 7 题型精讲4用SAS证明三角形全等(SAS) 7 题型精讲5用SAS间接证明三角形全等（SAS） 8 题型精讲6全等的性质和SAS综合(SAS) 9 题型精讲7用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS) 11 题型精讲8全等的性质和ASA(AAS）综合（ASA或者AAS) 12 题型精讲9用HL证全等（HL） 7 题型精讲10全等的性质和HL综合(HL) 8 题型精讲11添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合） 9 题型精讲12灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 11 题型精讲13结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 12 题型精讲14连接两点构造全等三角形(全等三角形的辅助线问题） 7 题型精讲15倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 8 题型精讲16旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 9 题型精讲17垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 11 题型精讲18其他模型(全等三角形的辅助线问题） 12 题型精讲19证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 11 题型精讲20全等三角形综合问题 题型精讲21尺规作一个角等于已知角 11 题型精讲22过直线外一点作已知直线的平行线 题型精讲23尺规作图——作三角形 11 题型精讲24利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：掌握三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）及直角三角形特有的HL判定定理，明确“AAA”“SSA”不能判定全等的原因，能规范书写全等证明过程。 2. 过程与方法：通过尺规作图、叠合操作等活动，经历“观察—猜想—验证—归纳”的探究过程，发展几何直观与逻辑推理能力，体会判定定理的本质。 3. 应用与素养：能从复杂图形中分离出全等三角形模型，依据已知条件选择合适判定方法解决边、角关系问题，契合中考对几何推理的基础考查要求。 【新知学习】 【知识点1】SSS（边边边）判定全等 1.若两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等（符号表示：△ABC≌△DEF，需满足 AB=DE、BC=EF、AC=DF）。 2.数学语言：如图：在△ABC与△DEF中： AC = DF AB = DE BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SSS)。 边学边练如图，已知，，求证：． 证明：∵在和中， ， ∴ ． 【知识点2】 SAS（边角边）判定全等 1.若两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，则这两个三角形全等（关键：“夹” 角 —— 两条边之间的角，非其中一条边的对角）。 2.数学语言：如图：在△ABC与△DEF中： AC = DF ∠BAC=∠EDF AB = DE ∴△ABC≌△DEF（SAS)。 【易错提醒】警惕 “SSA” 陷阱 “两边及其中一边的对角对应相等”（如 AB=DE、BC=EF、∠A=∠D，∠A 不是 AB 与 BC 的夹角）不能判定三角形全等，因为会出现 “两种不同形状的三角形”（如一个锐角三角形和一个钝角三角形，满足 SSA 但不全等）。 边学边练下列两个三角形全等的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 解：在和中， ， ∴， ∴①②两个三角形全等，其余均不能判断， 故选：A． 【知识点3】ASA（角边角）判定全等 1.若两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，则这两个三角形全等（关键：“夹” 边 —— 两个角之间的边，非其中一个角的对边）。 2.数学语言：如图：在△ABC与△DEF中： ∠BAC=∠EDF AB = DE ∠CBA=∠FED ∴△ABC≌△DEF（ASA)。 边学边练如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理即可求解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由图可知，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“”画出， 故选：A． 【知识点4】AAS（角角边）判定全等 若两个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等，则这两个三角形全等（可由 “ASA” 推导：三角形内角和为 180°，已知两个角相等，第三个角必相等，转化为 ASA）。 2.数学语言：如图：在△ABC与△DEF中： ∠BAC=∠EDF ∠BCA=∠EFD AB = DE ∴△ABC≌△DEF（ASA)。 边学边练如图，在中，，过上的点E作，且，作．求证：． 证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【知识点5】 HL（斜边、直角边）判定全等 1.在两个直角三角形中，若斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等（仅适用于直角三角形，不能用于锐角 / 钝角三角形）。 2.数学语言：如图：在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中： AC = A’C’ AB =A’B’ ∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’。 边学边练如图，在与中，，要用“”判定和全等的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 解：A．已知，补充，，可以根据证明，故不符合题意； B．已知，补充，，可以根据证明，故不符合题意； C．已知，补充，，可以根据证明，故符合题意； D．已知，补充，，可以根据证明，故不符合题意， 故选：C． 【知识点6】判定定理的选择策略 在具体题目中，需根据已知条件快速匹配判定定理，遵循 “先看角、再看边，优先用特殊判定（HL）” 的原则： 已知条件类型 优先选择的判定定理 示例场景 已知三边对应相等 SSS 给出三边长度或通过中点推导三边相等 已知两边及一角（角为夹角） SAS 已知两边和它们的夹角，或能推导夹角相等 已知两角及一边（边为夹边） ASA 已知两角和它们的夹边，或能推导夹边相等 已知两角及一边（边为对边） AAS 已知两角和其中一角的对边，或能推导对边相等 已知直角三角形的斜边和直角边 HL 直角三角形中，给出斜边和一条直角边 边学边练下列三角形中全等的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 解：根据“”可知两个三角形全等， 故选：． 知识点7 三角形的稳定性 1.生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性. 2.三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用.例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用. 题型精讲 题型精讲1用SSS证明三角形全等(SSS) 1、 题型特征 题目中明确给出两个三角形的三组对应边分别相等，或可通过已知条件（如公共边、中点、线段和差）推导出三组对应边相等，需证明两三角形全等。 2、 解题核心步骤 ： 1. 找边：从图形和已知条件中，逐一识别或推导两三角形的三组对应边，标注相等关系（如公共边直接用“公共边相等”表述）。 2. 写格式：严格按“SSS”判定格式书写证明过程，先列出“在△XXX和△XXX中”，再用大括号呈现三组对应边相等，最后写“∴△XXX≌△XXX（SSS）”。 3. 用结论：若需进一步证明边或角相等，可利用全等三角形“对应边相等”“对应角相等”的性质推导。 【易错提醒】 避免对应边标注错误，需确保写出的三组边是“对应边”，而非任意三边。 勿遗漏公共边、中点等隐含的“边相等”条件，这是SSS证明中常见的关键信息。 【例题1】如图，中，已知，要根据“”判定，还需添加条件 ． 【答案】 解：∵，， ∴当时，利用“”可以判定； 故答案为： 【变式训练1】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：在和中 ， 故选：A． 【变式训练2】如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 证明：， ，即， 在和中， 【变式训练3】如图，有两组等长的线段．，，将其拼成如下“蝶形图”，可以得出． (1)连接，能得出．的直接依据是___________；（用字母表示） (2)在（1）的条件下，小华认真观察之后说：“”．请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)SSS (2)正确，见解析 （1）SSS （2）正确 理由：由题可知； ， 在和中，， （AAS）， ． 题型精讲2用SSS间接证明三角形全等（SSS） 1、 题型特征 题目不直接给出两组三角形的三组对应边相等，需先通过“线段和差、中点定义、角平分线性质、垂直平分线性质”等已知条件，推导出关键的边相等关系，再利用SSS判定两三角形全等。 2、 解题核心步骤 1. 推边：根据已知条件推导隐含的边相等。比如由“M是AB中点”得AM=BM，由“AC=AD，BC=BD”结合公共边CD，推导其他对应边相等。 2. 证全等：整理推导出的三组对应边，按SSS格式规范书写证明过程，先写“在△XXX和△XXX中”，再用大括号列边相等关系，最后得出全等结论。 3. 用性质（可选）：若题目需进一步求角或边，可利用全等三角形的对应角、对应边相等继续推导。 【易错提醒】 推导边相等时，需明确每一步的依据（如“中点定义”“等式性质”），避免逻辑断层。 注意区分“推导的边”与“目标三角形的对应边”，防止将非对应边纳入SSS判定条件。 【例题1】如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】见解析 证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式训练1】如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【答案】已知；；；等式的性质；；；；； 证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中，， ∴（）． 故答案为：已知；；；等式的性质；；；；； 【变式训练2】如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 【变式训练3】如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    【答案】/35度 解：连接，，    由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 题型精讲3全等的性质和SSS综合(SSS) 1、 题型特征 题目需分两步解决：先通过 SSS判定定理证明两个三角形全等 ，再利用“全等三角形对应边相等、对应角相等”的性质，推导未知边的长度或未知角的度数，常含公共边、中点等隐含条件。 2、 解题核心步骤 1. 证全等 ：分析已知条件，推导三组对应边相等（如利用中点得线段相等、公共边直接用），按SSS格式规范书写全等证明过程。 2. 用性质 ：由全等结论，直接对应得出所需的边或角相等，代入已知数据计算（如求边长、角度和）。 【易错提醒】 证明全等时，需明确标注对应顶点，避免后续利用性质时找错对应边、对应角。 勿跳过全等证明直接用边/角关系，需保证逻辑完整（先证全等，再用性质）。 【例题1】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 解：根据题意得：， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 即射线是的平分线． 故选：A． 【变式训练1】如图，用尺规作的依据是 ． 【答案】全等三角形的对应角相等 解：由作法得：，，， ， （全等三角形的对应角相等）． 故答案为：全等三角形的对应角相等． 【变式训练2】如图所示，点A，B，C，D在一条直线上，．求证： 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练3】如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，请探究与的数量关系． 【答案】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 题型精讲4用SAS证明三角形全等(SAS) 1、 题型特征 题目明确给出（或可直接识别）两个三角形的 两组对应边分别相等 ，且这两组边的 夹角也相等 ，需依据SAS判定定理证明两三角形全等，核心是“边—角—边”的对应关系。 2、 解题核心步骤 1. 找“边—角—边” ：先确定两组相等的对应边，再确认这两组边的公共夹角（或已知相等的夹角），标注对应关系。 2. 写证明 ：按格式书写“在△XXX和△XXX中”，用大括号列出“边=边、夹角=夹角、边=边”，最后写“∴△XXX≌△XXX（SAS）”。 【易错提醒】 混淆“夹角”与“对角”，SAS要求的角必须是两组对应边的 公共夹角 ，不可用非夹角的角代替。 忽略边的对应顺序，需确保列出的边和角是“对应”的（如△ABC的AB对应△DEF的DE，夹角∠B对应∠E）。 【例题1】已知：，，与相交于点．求证：． 解：∵，，， ∴． 【变式训练1】如图，两根钢条，的中点连在一起，，可绕点自由转动，则的长等于内槽宽．那么判定的理由是（   ）    A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 【答案】B 解：点是，的中点， ，， 又 ， 故选：B． 【变式训练2】如图，．求证：． 【答案】见解析 证明：， ， ， 在和中， ． 【变式训练3】在与中，边与边上的中线分别为与．若．求证：． 【答案】见解析 证明：∵与分别为边与边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴． 题型精讲5用SAS间接证明三角形全等（SAS） 1、 题型特征 题目不直接给出“两组边+夹角相等”的完整条件，需先通过 线段和差、中点定义、角平分线性质 等推导关键条件（如补全一组边相等，或推导夹角相等），再用SAS证明全等。 2、 解题核心步骤 1. 推条件 ：根据已知推导隐含条件，如由“点C是AD中点”得AC=CD，由“∠1=∠2”结合公共角得夹角相等。 2. 证全等 ：整理推导后的“边—角—边”条件，按SAS格式规范书写证明过程，明确每一步的依据（如“中点定义”“等式性质”）。 【易错提醒】 推导夹角相等时，需明确角的组成（如∠ABC=∠ABD+∠DBC），避免逻辑断层。 勿将“SSA”误当作SAS，需确认角是两组边的夹角，而非其中一组边的对角。 【例题1】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 【变式训练1】图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 【答案】A 解：∵可以判定三角形全等， ∴Ⅰ和Ⅱ符合题意． 故选：A． 【变式训练2】如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 （1）解：， ， 又， 添加①无法证得； 添加②根据可证得； 添加③根据可证得； 所有可以添加的条件的序号是②③， 故答案为：②③； （2）添加②， 在与中， )， ； 添加③，在与中， )， ． 【变式训练3】（1）如图，是的平分线，． 求证：； （2）如图，在中，分别是边上的中线和高，，，求的长． 【答案】（）证明见解析；（）． （）证明：∵是的平分线， ∴， 在和中， ∴； （）解：∵是边上的高，，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 题型精讲6全等的性质和SAS综合(SAS) 1、 题型特征 题目需先通过 SAS判定定理证明两三角形全等 ，再利用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）解决后续问题（如求线段长度、角度大小，或证明另一组线段相等），是“判定+性质”的连贯应用。 2、 解题核心步骤 1. 证全等（SAS） ：分析已知条件，确认“两组边+夹角相等”（直接给或间接推），规范书写SAS证明过程。 2. 用性质解题 ：由全等结论，对应找出需求的边或角，代入数据计算（如求边长），或继续证明其他结论（如用对应角相等证两直线平行）。 【易错提醒】 证明全等后，需严格按“对应顶点”找对应边、角，避免因对应关系错误导致计算或证明出错。 书写过程中，需注明每一步的依据（如“全等三角形对应边相等”），不可省略关键逻辑。 【例题1】如图，，则的判定依据是 ． 【答案】 解：∵，且， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条组成，O为的中点．只要量出的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽的长度．那么判定的理由是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：如图： ∵O是的中点， ∴ 又∵与是对顶角， ， ∴（）， ∴， ∴只要量出的长度，可以知道工件内槽的长度是否符合标准， ∴判定的理由是． 故选：A． 【变式训练2】如图，在和中，延长交于点，，，，求证：． 证明：， ， 在和中， ， ， ． 【变式训练3】如图，在和中，，，，．连接，相交于点M． (1)证明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) （1）证明：因为， 所以，即． 在和中， ， 所以． （2）解：由（1）中可得． 由三角形内角和，可得， 因为，所以． 又因为与互补（平角定义）， 所以． 题型精讲7用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS) 1、 题型特征 题目给出（或可推导）两个三角形的 两组对应角分别相等 ，且要么给出“两组角的夹边相等”（ASA），要么给出“其中一组角的对边相等”（AAS），需根据已知条件选择ASA或AAS判定全等。 2、 解题核心步骤 1. 辨类型（ASA/AAS） ： - 若有“两组角+它们的夹边相等”，用ASA； - 若有“两组角+其中一角的对边相等”，用AAS。 2. 写证明 ：按格式列出“角=角、边=边、角=角”（ASA）或“角=角、角=角、边=边”（AAS），结尾标注判定定理。 【易错提醒】 混淆ASA和AAS的条件：ASA的“边”是两组角的夹边，AAS的“边”是非夹边（某一角的对边）。 忽略“三角形内角和”的隐含应用：若已知一组角相等，可通过内角和推导另一组角相等，补全ASA/AAS条件。 【例题1】如图，与相交于点O，，，不添加辅助线，判定的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 解：在和中， ， ∴， 故选：D． 【变式训练1】如图，根据判定，已经具备公共边，添加的条件为 ． 【答案】 解：添加， 在和中 ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】D 解：嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，则需带①④两块玻璃，因为可根据“”判定三角形全等； 故选D． 【变式训练3】如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得． (1)求证：； (2)连接，若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) （1）证明：∵E为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分，，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型精讲8全等的性质和ASA(AAS）综合（ASA或者AAS) 1、 题型特征 题目需先通过 ASA或AAS证明两三角形全等 ，再利用“全等三角形对应边相等、对应角相等”的性质，解决后续的边/角计算、线段关系证明等问题，核心是“先证全等，再用性质”的逻辑链。 2、 解题核心步骤 1. 证全等（选ASA/AAS） ：分析已知角、边条件，确定用ASA（两角+夹边）或AAS（两角+对边），规范书写证明过程。 2. 用性质推导 ：由全等结论，对应得出所需边/角相等，代入数据计算（如求线段总长），或证明其他结论（如证线段垂直）。 【易错提醒】 选择ASA或AAS时，需结合已知边的位置（夹边/对边），避免判定定理选错导致全等证明无效。 利用性质时，需明确“对应关系”，不可将非对应边、角当作相等关系使用。 【例题1】如图，已知：，，求证：． 【答案】见解析 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【变式训练1】如图，在中，于点平分，且于点，与相交于点．求证： (1)． (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 （1）证明：，， ， ． 在和中， ， ． （2）证明：BE平分，且于点E， ． 在和中， ， ． ， ． 【变式训练2】小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，，求妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度．      【答案】 解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵爸爸在距地面高的C处接住她， ∴点E到地面的距离为， ∴点D到地面的距离为， 答：妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度为． 【变式训练3】已知如图，E、F在BD上，且，，，求证：与互相平分． 【答案】见解析 证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，，即与互相平分． 题型精讲9用HL证全等（HL） 1、 题型特征 题目限定为两个直角三角形，已知（或可推导）它们的斜边相等，且一组直角边也相等，需用“斜边、直角边”（HL）判定定理证明全等，HL仅适用于直角三角形。 2、 解题核心步骤 1. 定直角 ：先明确两三角形为直角三角形，标注直角符号（∠XXX=∠XXX=90°）。 2. 列条件 ：按HL格式书写“在Rt△XXX和Rt△XXX中”，用大括号列出“斜边=斜边、直角边=直角边”。 3. 得结论 ：写“∴Rt△XXX≌Rt△XXX（HL）”，注意标注“Rt”和HL。 【易错提醒】 误用HL到非直角三角形：HL是直角三角形特有的判定方法，不可用于锐角或钝角三角形。 忽略直角的证明：若题目未直接说“直角”，需先证明夹角为90°（如垂直定义），再用HL。 【例题1】如图，已知，证明，则应添加的条件是 ． 【答案】答案不唯一，如． 解：∵， ∴， 又， 添加条件，可根据证明； 添加条件，可根据证明； 添加，可根据证明； 添加，可根据证明， 故答案为：答案不唯一，如． 【变式训练1】如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是 ． 【答案】 解：∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定的条件是． 故答案为：． 【变式训练2】如图，已知垂足分别为，，求证：． 【答案】证明见解析 证明：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ． 【变式训练3】如图，在中，于点，为上一点，且． (1)求证：≌ (2)若，试求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)20 （1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴≌（HL）； （2）解：∵≌， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型精讲10全等的性质和HL综合(HL) 1、 题型特征 题目需先通过 HL判定定理证明两个直角三角形全等 ，再利用全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），解决直角三角形中的边/角计算、线段垂直关系证明等问题，是直角三角形特有的“判定+性质”综合。 2、 解题核心步骤 1. 证直角三角形全等（HL） ：先证两三角形为直角三角形（如垂直），再列“斜边=斜边、直角边=直角边”，用HL证全等。 2. 用性质解题 ：由全等结论，推导所需的边/角相等（如求直角边长度），或证明其他关系（如证角平分线）。 【易错提醒】 证明全等时，需先明确“直角”的依据（如“AB⊥CD”得∠ACB=90°），不可直接默认直角。 利用性质时，需注意直角三角形的特殊性（如斜边是最长边），避免对应边找错 【例题1】如图．，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) （1）证明：在和中， ， ∴ （2）解：∵， ∴． 【变式训练1】如图，在与中，，，求证：．    【答案】见详解 证明：在与中，， ， ∴， ∴． 【变式训练2】如图，在和中，，，与交于点． (1)证明：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． （1）证明：∵， ∴在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 【变式训练3】如图，在四边形中，过点作于点，且，． (1)若，，求的长； (2)若和的面积分别为和，求的面积． 【答案】(1) (2) （1）解：如图，过点作的延长线于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴； （2）解：由（）知，，， ∴，， ∴， ∵和的面积分别为和， ∴， ∴， ∴． 题型精讲11添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合） 1、 题型特征 题目给出两个三角形的 部分相等条件 （如1组边+1组角相等），要求补充一个条件，使两三角形全等，需结合SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）五种判定定理分析。 2、 解题核心步骤 1. 析已知 ：先列出题目已给的相等条件（如“AB=DE，∠A=∠D”），明确条件类型（边/角）。 2. 对应判定补条件 ： 若已知“边+角”，可补“另一边”（SAS）或“另一角”（ASA/AAS）； 若已知“边+边”，可补“第三边”（SSS）或“夹角”（SAS）； - 直角三角形可补“斜边/直角边”（HL）。 3. 验合理性 ：排除“SSA”等无效条件，确保补充的条件能对应某一判定定理。 【易错提醒】 勿补充“SSA”或“AAA”这类不能判定全等的条件，如已知“AB=DE，BC=EF”，补“∠A=∠D”（SSA）无效。 需考虑多种可能性，如已知“∠A=∠D，∠B=∠E”，可补“AB=DE”（ASA）或“AC=DF”（AAS）。 【例题1】如图，若，再添加一个已知条件是 ，直接用判定． 【答案】（答案不唯一） 解：首先，明确ASA（角边角）判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 已知，且是和的公共角，即， 此时，若添加条件，则在和中： ， 满足ASA判定定理的“两角及其夹边对应相等”，因此可判定， 综上，添加的条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练1】如图，已知，若要用“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 解：，，用“”证明， 还需添加的一组边相等，即， 故选：． 【变式训练2】如图，与相交于点O，，只添加一个条件，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵，， ∴添加无法判定，故A选项不符合题意； 添加可根据“”判定，故B选项符合题意； 添加无法判定，故C选项不符合题意； 添加无法判定，故D选项不符合题意； 故选B． 【变式训练3】如图，已知． （1）若用“”证明，还需添加条件 ． （2）若用“”证明，还需添加条件 ． （3）若用“”证明，还需添加条件 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 解：（1）添加， 在和中， ， ∴； （2）添加， 在和中， ， ∴； （3）添加， 在和中， ， ∴； 故答案为：；；． 题型精讲12灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 1、 题型特征 题目未指定用哪种判定定理，需根据 已知条件的类型（边、角数量及位置） ，自主选择最合适的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）证明全等，常含公共边、公共角、对顶角等隐含条件。 2、 解题核心步骤 1. 找条件 ：梳理已知条件（显式+隐含），统计相等的边和角的数量（如2角+1边、2边+1角）。 2. 选方法 ： 3边相等→SSS； 2边+夹角→SAS； 2角+夹边→ASA； 2角+对边→AAS； 直角三角形+斜边+直角边→HL。 3. 写证明 ：按所选判定定理的格式，规范书写证明过程，注明依据。 【易错提醒】 忽略隐含条件：如公共边、公共角、对顶角相等，这些往往是选择判定方法的关键。 盲目选择方法：如已知“2角+1边”，需先看边是“夹边”还是“对边”，再选ASA或AAS，不可随意选。 【例题1】如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（    ）去配 A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】A 解：第③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的； 第②块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一样的； 第①块不仅保留了原三角形的两个角还保留了一边，则可根据来配一块与原来一样的玻璃． 故选A． 【变式训练1】如图所示，已知三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中和全等的图形是（   ） A．甲 B．乙 C．甲和乙都是 D．都不是 【答案】B 解：甲中对应边c与原三角形对应边b不对应，且不能证明全等． 乙中对应相等的两角和及其之间的b也相等，利用可以证明全等． 故选：B． 【变式训练2】如图，下面个条件：①；②；③；④．请你以其中两个为已知条件，剩下的两个中的一个为结论，组成一个正确的命题． (1)______（写成的形式，至少写个）； (2)选取其中一个加以证明． 【答案】(1)①②→④，①④→② (2)见解析 （1）解：假设由为条件，有为公共角，由可得，可得，即结论正确， 若为条件，则由可得，得出，结论正确， 故答案为：，； （2）选 证明：，，， ∴ 选 证明：∵，，； ∴， ∴， 【变式训练3】根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：A、三边确定，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不符合题意， B、已知两个角及夹边，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不符合题意， C、已知两边及其中一边的对角，属于“”的情况，不符合全等三角形判定定理，故不能画出唯一的三角形，故本选项符合题意， D、已知两角和其中一角的对边，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不符合题意． 故选：C． 题型精讲13结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 1、 题型特征 题目先要求进行 基本尺规作图 （如作角平分线、线段垂直平分线、作一个角等于已知角），再根据作图过程中产生的相等条件（如弧长相等→线段相等），证明某两个三角形全等，核心是“作图依据=全等条件”。 2、 解题核心步骤 1. 述作图 ：简要描述尺规作图的关键步骤（如“作∠AOB的平分线OC，步骤为：①以O为圆心画弧交OA、OB于M、N；②分别以M、N为圆心画弧交于C；③连OC”）。 2. 找全等条件 ：由作图得相等线段（如OM=ON，MC=NC）或相等角，确定判定定理（如SSS、SAS）。 3. 证全等：按判定定理格式书写证明过程，注明条件来源（如“由作图知OM=ON”）。 【易错提醒】 作图步骤描述不完整，导致后续全等条件缺乏依据（如漏说“以相同半径画弧”，则MC=NC不成立）。 忽略作图的“等长弧”条件，无法建立线段相等关系，影响全等证明。 【例题1】如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是 （填全等理由） 【答案】 解：由作图知：，， 在和中， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 【变式训练1】（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 【答案】（1）或；（2）见详解 解：（1）当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； 当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； （2） 如图，以为圆心，长为半径画弧，交的一边为；再以为圆心，长为半径画弧，交的另一边为，连接；即为所求作的三角形． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确应用三角形内角和定理和直角三角形的性质． 【变式训练2】如图，为等边三角形，要在外部取一点，使得和全等，下面是两名同学做法：（    ） 甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求； 乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求． A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 甲的作法如图一： ∵为等边三角形，是的角平分线 ∴ 由甲的作法可知， 在和中， 故甲的作法正确； 乙的作法如图二： 在和中， 故乙的作法正确； 故选：A． 【变式训练3】根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A、，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、，只有一角一边，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； 故选： D． 题型精讲14连接两点构造全等三角形(全等三角形的辅助线问题） 1、 题型特征 题目中无现成的全等三角形，需通过 连接某两点 （如连接公共顶点、中点与顶点、对角线）构造出新的三角形，再利用已知条件证明构造后的三角形全等，辅助线作用是“补全全等图形”。 2、 解题核心步骤 1. 作辅助线 ：明确写出辅助线作法（如“连接AC”“连接BD”），在图中标注。 2. 析条件 ：结合已知条件（如AB=CD，AD=BC）和辅助线（公共边AC），找构造后三角形的全等条件。 3. 证全等 ：按判定定理（如SSS、SAS）证明构造的三角形全等，再利用性质解决原问题。 【易错提醒】 辅助线作法描述不规范（如只说“连两点”，未指明具体两点），导致图形关系模糊。 构造三角形后，忽略原已知条件与辅助线的结合（如公共边），找不到全等条件。 题型精讲15倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 1、 题型特征 题目中存在 三角形的中线 （如AD是△ABC的中线，即BD=CD），需通过“延长中线至两倍长度”（如延长AD至E，使DE=AD），连接端点（如连接BE）构造全等三角形，核心是“转移线段/角的位置”。 2、 解题核心步骤 1. 作辅助线 ：写清作法（如“延长AD至E，使DE=AD，连接BE”），标注中点D和DE=AD。 2. 证全等 ：利用“BD=CD（中线定义），∠ADC=∠EDB（对顶角），AD=DE（构造）”，用SAS证明△ADC≌△EDB。 3. 用性质 ：由全等得AC=BE、∠C=∠EBD，将原三角形的边/角转移到△ABE中，解决问题（如证AC=AB）。 【易错提醒】 辅助线作法错误（如延长方向错、未使DE=AD），导致无法构造全等。 忽略中线的“BD=CD”条件，或对顶角相等的隐含条件，影响SAS证明。 【例题1】如图，在中，，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 解：延长至点，使得，连接， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 整理得． 故选：B． 【变式训练1】如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为 ． 【答案】 解：如图，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】如图，已知为的中线，，的周长为，则 (1)的周长为多少？ (2)的取值范围是多少？（直接写出答案） 【答案】(1) (2) （1）解：∵为的中线， ∴； ∵的周长； ∴； ∴的周长； （2）解：延长至点，使得，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，； 在中，， ∴， ∴； 【变式训练3】在中，，中线，则边的取值范围是 ． 【答案】 解：延长至E，使，连接． 在与中， ， ∴． ∴． 根据三角形的三边关系，得：， 即． 故答案为：． 题型精讲16旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 1、 题型特征 题目中存在 两组相等的线段 （如AB=AD，AC=AE），且它们的夹角相等（如∠BAD=∠CAE），需通过“旋转图形”（如将△ABC绕点A旋转，使AB与AD重合）构造全等三角形，辅助线本质是“利用旋转的不变性（边相等、角相等）”。 2、 解题核心步骤 1. 定旋转要素 ：确定旋转中心（如点A）、旋转角（如∠BAD）、旋转方向（顺时针/逆时针）。 2. 证全等 ：由旋转得AB=AD、AC=AE、∠BAC=∠DAE（∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC），用SAS证明△ABC≌△ADE。 3. 推结论 ：由全等得BC=DE、∠B=∠D，解决原问题（如求BC长度、证角相等）。 【易错提醒】 无法识别旋转模型，找不到“等线段+等夹角”的关键条件，导致辅助线无从下手。 旋转角计算错误，无法推导∠BAC=∠DAE，影响全等证明。 【例题1】如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（    ）    A．6 B．15 C．12 D．30 【答案】B 解：作交的延长线于点，如图：    设，则 ∵ 解得： ∴ 故选：B 【变式训练1】如图，P是等边外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：如图，连接AP， ∵BP绕点B顺时针旋转60°到BP1， ∴BP=BP1，∠ABP+∠ABP1=60°， 又∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠CBP1+∠ABP1=60°， ∴∠ABP=∠CBP1， 在△ABP和△CBP1中， ∵， ∴△ABP≌△CBP1（SAS）， ∴AP=P1C， ∵P1A：P1C=1：2， ∴AP=2P1A， 连接PP1，则△PBP1是等边三角形， ∴∠BP1P=60°，PP1=PB， ∵∠AP1B=150°， ∴∠AP1P=150°-60°=90°， ∴△APP1是直角三角形， 设P1A=x，则AP=2x， 根据勾股定理，PP1=x， 则PB=x， ∴PB：P1A=x：x=：1． 故选：D． 【变式训练2】 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 （1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式训练3】（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】 如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】 如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）EF=BE+DF，理由见解析；（2）EF=BE+DF，理由见解析；（3）85海里 解：（1）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点G，使DG=BE，连接AG， ∵， ∴∠ADG=∠ABC=90°， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADG， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵，， ∴∠BAE+∠DAF=50°， ∴∠FAG=∠EAF=50°， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF， ∴EF=DG+DF=BE+DF； （2）EF=BE+DF，理由如下： 如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH， ∵，∠ADC+∠ADH=180°， ∴∠ADH=∠ABC， ∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADH， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵ ∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH， ∴∠EAF=∠HAF， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AHF， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF， ∴EF=DH+DF=BE+DF； （3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M， 根据题意得： ∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB， ∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°， ∵OA=OB， ∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD， ∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45， ∴CD=40+45=85海里． 即此时两舰艇之间的距离85海里． 题型精讲17垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 1、 题型特征 题目中存在 垂直关系 （如AB⊥CD、∠AEC=∠BFD=90°），需通过“过某点作两边的垂线”（如过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F）构造直角三角形，再用AAS或HL证明全等，核心是“利用直角相等的隐含条件”。 2、 解题核心步骤 1. 作辅助线 ：写清垂线作法（如“过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F”），标注直角符号。 2. 证全等 ：利用“∠PEO=∠PFO=90°（垂线定义），∠POE=∠POF（已知），OP=OP（公共边）”，用AAS证明△PEO≌△PFO。 3. 用性质 ：由全等得PE=PF，解决问题（如证OP是角平分线）。 【易错提醒】 垂线作法描述不明确（如未说“垂直于OA、OB”），导致直角三角形的直角边对应错误。 忽略“垂线→直角相等”的条件，无法补全AAS/HL的判定要素。 【例题1】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 【变式训练1】如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练2】如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 （1）证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. （2）解：， . 又，， . 题型精讲18其他模型(全等三角形的辅助线问题） 1、 题型特征 除倍长中线、旋转、垂线外的小众模型，如“截长补短模型”（证线段和差）、“一线三垂直模型”（直角三角形共线）等，需根据题目具体条件（如结论为“AB=CD+EF”“有三个直角共线”），灵活作辅助线（截长、补短、作垂线）构造全等。 2、 解题核心步骤 1. 辨模型 ：根据结论或条件识别模型，如结论是“a=b+c”→截长补短；有“∠A=∠B=∠C=90°且共线”→一线三垂直。 2. 作辅助线 ： 截长：在a上截取AD=b，证DC=c； 补短：延长b至E，使DE=c，证AE=a； 3. 证全等 ：利用辅助线构造的线段/角关系，用SAS、AAS等证全等，推导结论。 【易错提醒】 模型识别困难，无法确定辅助线作法（如遇线段和差，想不到截长补短）。 截长/补短后，找不到构造的线段与已知条件的联系，导致全等证明中断。 【例题1】如图，，是的中点，平分，则的度数为 ． 【答案】35° 解：如图，过点作， ∵平分，且是的中点， ∴， 又，且， ∴（HL）， ∴． 又∵，即，， ∴． 故答案为：. 【变式训练1】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【答案】见解析 证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 【变式训练2】如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）AF＝AD+BD 解：（Ⅰ）∵AC＝AE， ∴∠ACF＝∠AEG， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°＝∠CAB， ∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG， ∴∠CAF＝∠EAG， 在△AGE和△AFC中， ， ∴△AGE≌△AFC（ASA）； （Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠AGE＝∠AFC， ∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC， ∴∠AGC＝∠AFG， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠AGC＝∠CFM， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴∠BAC+∠ACM＝180°， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠AGC， ∴∠CFM＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AM＝AF+CM， ∴AD＝AF+BD； （Ⅲ）AD＝AF﹣BD； 过点C作CM⊥AC，交AF于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠G＝∠F， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠G， ∴∠F＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AF＝AM+CM＝AD+BD， 故答案为：AF＝AD+BD． 【变式训练3】定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． （1）如图1，是的平分线，请你在图1中画出一对以所在直线为对称轴的全等三角形． （2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题： ①如图2，在中，，，、分别是、的平分线，、相交于点．猜想和之间的数量关系，直接写出结论． ②如图3，在中，如果，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①FE=FD．②结论FE=FD仍然成立，证明见解析． 解：（1）如图，△OQM与△OQN即为所求作， ∵OP是∠MON的平分线， ∴∠MOP=∠NOP， ∵OM=ON，OP= OP， ∴△OQM≌△OQN； （2）①FE=FD． 如图，在AC上截取AG=AE，连接FG． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAF=∠GAF， 在△EAF和△GAF中， ∵， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴FE=FG， ∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，且∠EAF=∠GAF， ∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°-∠B)=60°， ∴∠AFC=120°， ∴∠CFD=60°=∠CFG， ∴∠AFG=60°， 又∵∠EFA =∠CFD=60°， ∴∠EFA=∠GFA =60°， 在△FDC和△FGC中， ∵， ∴△FDC≌△FGC（ASA）， ∴FD=FG． ∴FE=FD． ②结论FE=FD仍然成立． 在AC上截取如图： 同①可得△EAF≌△HAF， ∴FE=FH，∠EFA=∠HFA． ∵∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB， ∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°-∠B)=60°． ∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°． ∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°． 同①可得△FDC≌△FHC， ∴FD=FH． ∴FE=FD． 题型精讲19证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 1、 题型特征 题目结论为“一条线段=另外两条线段的和（如AB=AC+CD）”或“差（如AB=AC-CD）”，需用“截长法”或“补短法”作辅助线，构造全等三角形，将“和差关系”转化为“线段相等关系”。 2、 解题核心步骤 1. 选方法 ： 截长法：在较长线段AB上截取AE=AC，证EB=CD（需证△AEC≌△ACD得EC=CD，再证EB=EC）； 补短法：延长AC至F，使CF=CD，证AF=AB（需证△CDF是等腰，再证△ABF≌△ACB）。 2. 证全等 ：利用辅助线构造的条件，结合已知证全等，推导线段相等。 3. 得结论 ：由全等得线段相等，代入和差关系，证明原结论。 【易错提醒】 截长/补短的方向错误（如截错线段、延长方向反），导致无法构造全等。 忘记最终需回归“和差结论”，仅证完全等就结束，逻辑不完整。 【例题1】如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 【变式训练1】（1）写出判断平面内不同三点A，B，C共线的方法（要求至少三种） （2）求证：在中三条线段中必存在两条线段的长为m，n，使 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析 解：（1）①，理由如下： ∵， ∴A，B，C共线． ②直线平行直线m，直线 平行直线m，理由如下： ∵直线平行直线m，直线 平行直线m，， ∴A，B，C共线． ③，理由如下： ∵， ∴A，B，C共线． （2）证明：在中．不妨设 ∵ ∴与中至少有一个负数． 当时．记，则有， 当 时．记  ， ，则有使  ， 综上三条线段中必存在两条线段的长为，使． 【变式训练2】如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 【答案】见解析 方法1：补短，构造全等 证明：延长BA至点E，使得AD＝AE，连接CE ∵AD⊥CD ∴∠D＝90° ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC 在△ADC和△AEC中 ∵AD＝AE ∠EAC＝∠DAC AC＝AC ∴△ADC≌△AEC(SAS) ∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15° ∴∠ECB＝∠B＝45° ∴EC＝BE ∴EC＝BE＝CD ∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD 方法2：补短，构造全等 证明：延长DA至点F，使得AF＝AB ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105° ∵CD是∠ACB的角平分线 ∴∠ACD＝15° ∵AD⊥CD， ∴∠D=90°， ∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105° ∴∠EAC＝∠BAC 在△ABC和△AEC中 AB＝AE ∠EAC＝∠BAC AC＝AC ∴△ABC≌△AEC（SAS） ∴∠E＝∠B＝45°, ∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45° ∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB 方法3：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 过点A作AF⊥AB交BC于点F ∵∠B=45°， ∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135° ∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠EAC＝∠ACF 在△AEC和△CFA中 ∠EAC＝∠ACF AC＝AC ∠AEC＝∠AFC ∴△AEC ≌ △CFA(ASA) ∴CE＝AF＝AB ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 方法4：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 在CB延长上取点H，使得AH＝AC ∵∠ABC＝45° ∴∠ABH＝135° ∴∠ABH＝∠AEC ∵AH＝AC ∴∠H＝∠ACB＝30° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠H＝∠EAC 在△ABH和△CEA中 ∠H＝∠EAC AH＝AC ∠ABH＝∠AEC ∴△ABH ≌ △CEA(ASA) ∴AB＝CE ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 【变式训练3】（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①；②问题①中结论仍然成立，理由见解析 （2）G是的中点，理由见解析 解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 题型精讲20全等三角形综合问题 1、 题型特征 题目包含 多步证明 ，需多次运用全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）和性质，或结合轴对称、角平分线、垂直平分线等知识，解决复杂的边/角关系、图形判定（如证平行、垂直）问题，综合性强。 2、 解题核心步骤 1. 拆问题 ：将复杂问题拆解为多个小目标（如“先证△ABC≌△DEF，再证△DFG≌△EHG”）。 2. 分步证 ：按小目标依次证明，每一步都明确判定定理和依据，利用前一步的全等结论作为后一步的已知条件。 3. 综合推 ：结合所有全等结论和其他知识（如“全等→角相等→两直线平行”），推导最终结论。 【易错提醒】 思路混乱，无法拆解问题，找不到第一步该证哪个三角形全等。 忽略知识间的关联（如全等与角平分线的结合），导致关键条件缺失。 【例题1】根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：A. 已知，但在非直角或钝角时无法唯一确定三角形，可能存在两种不同形状，故排除； B. 已知（直角三角形斜边），但未给出另一条边或角，无法确定直角边长度，条件不足，排除； C. 已知（），符合边角边全等判定定理，能唯一确定三角形，符合条件； D. ，因，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，排除； 故选C 【变式训练1】如图，C为平行四边形ABDG外一点，连接BC，DC，分别交边AG于点F，E，使BC＝DC，AC＝GD，∠BDC＝60°，若DB＝7，AE＝5，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质证明△DGE≌△ACE，可得EG=CE=2，过点C作CM⊥EF于点M，利用含30°角的直角三角形可得EM=1，，再利用勾股定理即可求得AC的长，进而得到AB的长． 【详解】∵四边形ABDG是平行四边形， ∴AB=DG，BD=AG=7， ∴AC=GD=AB，EG=AG-AE=7-5=2， ∵BC＝DC，∠BDC＝60°， ∴△BCD为等边三角形， ∴BC=DC=BD=7， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠AGD=∠ABD=60°+∠ABC， ∵∠ACE=60°+∠ACB， ∴∠AGD=∠ACE， 在△DGE和△ACE中， ， ∴△DGE≌△ACE（AAS）， ∴EG=CE=2， 如图，过点C作CM⊥EF于点M， ∵AG∥BD， ∴∠CEF=∠CDB=60°， ∴∠ECM=30°， ∵CE=2， ∴EM=1，， ∴AM=AE-EM=5-1=4， ∴， ∴AB=AC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是得到△DGE≌△ACE． 【变式训练2】如图，在2×2的正方形网格中，线段的端点均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【变式训练3】如图（1）在中，，，直线经过点，且于点，于点． (1)求证：①；②． (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)①成立；②不成立，结论为，理由见解析 （1）①证明：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ； ②证明：由（1）知：， ，， ， ； （2）解：（1）中结论①成立；结论②不成立，结论为， 理由：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 题型精讲21尺规作一个角等于已知角 1、 题型特征 基本尺规作图题型，要求“用无刻度的直尺和圆规，作一个角等于已知角（如作∠A'O'B'=∠AOB）”，作图依据是 SSS全等判定定理 （通过等长弧得到相等线段，构造全等三角形）。 2、 解题核心步骤 1. 作射线 ：用直尺作射线O'B'，作为新角的一边。 2. 画弧（已知角） ：以已知角的顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。 3. 画弧（新角） ：以O'为圆心，同一步骤2的半径画弧，交O'B'于N'。 4. 找交点 ：以N'为圆心，MN的长为半径画弧，与步骤3的弧交于M'。 5. 作射线 ：用直尺连接O'M'，则∠A'O'B'=∠AOB。 【易错提醒】 两步画弧的半径不一致（如步骤2和步骤3半径不同），导致MN≠M'N'，无法构造全等。 找交点M'时，半径不是“MN的长”，导致O'M'与O'B'的夹角不等于已知角。 【例题1】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：由作图知， ∴， ∴，所以依据是， 故选：A． 【变式训练1】如图用尺规作与“已知角相等的角”的过程中，作出的依据是 （填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 解：由作图可知，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】尺规作图：已知，，求作：直线，使经过点，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析． 解：如图，作，则即为所求， 理由：∵， ∴， ∴即为所求． 【变式训练3】如图，P为角平分线上一点，E为线段中点． (1)基本尺规作图：作，射线交射线于D，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图形中，求证：．（补全证明过程） 证明：平分 （角平分线的定义） （      ） 为中点 在和中 ． 【答案】(1)见解析 (2)；；等角对等边; ； （1）解：如图所示， （2）证明：平分 （角平分线的定义） （等角对等边） 为中点 在和中 故答案为：；；等角对等边; ；． 题型精讲22过直线外一点作已知直线的平行线 1、 题型特征 基本尺规作图题型，要求“用无刻度的直尺和圆规，过直线l外一点P作直线l的平行线”，作图依据是“ 作一个角等于已知角 ”（同位角相等，两直线平行）。 2、 解题核心步骤 1. 连线段 ：过点P作任意直线，交已知直线l于点O，形成∠POA（A在l上）。 2. 作等角 ：以点P为顶点，PO为一边，按“作一个角等于已知角”的方法，作∠OPB=∠POA（B不在l上）。 3. 作直线 ：用直尺连接P、B，直线PB即为所求的平行线（∠OPB=∠POA，同位角相等，两直线平行）。 【易错提醒】 作等角时，角的方向错误（如作的是内错角但位置不对），导致最终直线不平行。 未明确“同位角相等”的依据，仅完成作图，无法说明直线平行的理由。 【例题1】如图，点C在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（   ） A．以点C为圆心，长为半径的弧 B．以点C为圆心，长为半径的弧 C．以点E为圆心，长为半径的弧 D．以点E为圆心，长为半径的弧 【答案】D 解：通过作，依据同位角相等两直线平行，得到，所以作图痕迹中弧是以点E为圆心，长为半径的弧， 故选：D． 【变式训练1】如图，已知，，请用尺规作图法，过点求作一条直线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 解：如图所示，即为所求． 【变式训练2】已知：直线a和直线a外一点P． 要求：尺规作图，不写画法保留作图痕迹 (1)过点作直线的平行线． (2)这种作法的依据是什么？ 【答案】(1)见详解 (2)同位角相等，两直线平行 （1）解：如图所示： （2）解：根据作图过程，得出， 故， ∴这种作法的依据是同位角相等，两直线平行． 【变式训练3】如图，已知点M在的边上，请用直尺和圆规过点M作直线，使．（保留作图痕迹．） 【答案】见解析 解：如图，即为所求， ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于点； ②保持半径长度不变，以点为圆心画弧，交射线于点； ③以点为圆心，截取的长度，再以点为圆心，长为半径画弧，交原弧于点； ④作直线即可． 题型精讲23尺规作图——作三角形 1、 题型特征 根据已知条件（如“三边”“两边及夹角”“两角及夹边”），用无刻度直尺和圆规作三角形，作图依据对应全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA），需明确步骤和作图痕迹。 2、 解题核心步骤 以“已知三边a、b、c作△ABC”（SSS）为例： 1. 作边 ：用直尺作线段BC，使BC=a。 2. 画弧找A ：以B为圆心，c为半径画弧；以C为圆心，b为半径画弧，两弧交于点A。 3. 连三边 ：用直尺连接AB、AC，△ABC即为所求。 （若已知“两边及夹角”用SAS，“两角及夹边”用ASA，步骤类似，先作已知边，再作角或弧找顶点） 【易错提醒】 已知“两边及夹角”时，未先作角再作边，导致夹角位置错误。 画弧时半径不符合已知边长，导致三角形的边长度偏差，作图无效。 【例题1】已知和、线段，如下图所示，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，另一个内角等于，且的对边等于（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 解：如图，即为所求． 【变式训练1】作一个，使． 【答案】见解析 解：首先作； 其次，在射线上截取； 最后，以点B为顶点在的同侧作交于点C， 如图所示，作所即为所求． 【变式训练2】作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 已知：如图，线段和． 求作：，使，． 【答案】作图见解析 解：如图，即为所作； 【变式训练3】尺规作图：已知线段a，b和 求作：，使，，（画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 【答案】见解析 解：如图，即为所求． 题型精讲24利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 1、 题型特征 题目给出正方形网格（如3×3、4×4网格），网格中有多个分散的角，需通过 找全等三角形 ，将分散的角转移到同一顶点或同一直线上，利用“直角=90°”“平角=180°”计算角度之和。 2、 解题核心步骤 1. 找全等三角形 ：观察网格中的线段长度（如网格边长为1，斜边为√2）和角的位置，确定全等三角形（如△ABC≌△DEF，对应角∠A=∠D）。 2. 转移角度 ：将分散的角（如∠D、∠E）转移到∠A、∠B的位置，使它们在同一顶点汇聚。 3. 算和 ：根据汇聚后的角的组成（如构成直角、平角），计算角度之和（如∠A+∠B+∠C=90°）。 【易错提醒】 无法在网格中识别全等三角形（如忽略斜边为√2的等腰直角三角形），导致角度无法转移。 转移角度时对应关系错误（如将∠D转移到∠B，实际应转移到∠A），导致计算结果错。 【例题1】如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 【答案】/135度 解：如图， 根据题意得，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【拓展培优】 【典例1】如图，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选：D． 【变式训练1】如图，在中，于点D，E是上的一点，且． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 1）证明：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见详解；（2），证明见详解；（3） （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）分别过点E、D作，垂足分别为F、N，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例2】综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2 解：（1）证明：， ，即． 在和中， ． ． （2）证明：如图1，过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，． ∵， ∴， ， ． 在和中， ． ． ，， ； （3）如图2，过点D作，交的延长线于点H． ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ． ， ． ， 又∵， ∴， ． ， ， ， 即的长为2． 【变式训练1】【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型． （1）已知，，请在图1和图2中选择一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）在中，，，点D为射线上的一动点（点D不与点C重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，，连接，交直线于点H． ①如图3，当点D在线段上时，求证：； ②如图4，当点D在的延长线上时，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②或5． （1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）①过点E作交的延长线于点F，如图； ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F， 由①得， ∴； ∵， ∴， ∴； 设； 当点H在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点H在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，，； ∵，， ∴， 解得：， ∴． 综上，或5． 【变式训练2】【教材呈现】数学教材中有这样一道习题：“如图，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】【小题1】； 【小题2】，理由见解析 解：， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； 解：， 理由如下， ，，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ． 【变式训练3】问题探究： （1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用： （2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），过程见解析；（2），理由见解析；（3） 解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． （2）对于图2，，理由如下： 在上截取，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 对于图3：对于图3，，理由如下：在上截取，使，连接， 同图2法可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【典例3】在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 【答案】举例:见解析；应用：见解析． 解：举例：是中线， ． 在和中， ， ． 应用：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． 【变式训练1】（1）回顾：如图①，在中，，于点，则______（选填：“”“”或“”）； （2）探究：如图②，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （3）拓展：如图③，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （4）应用：如图④，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，直接写出与的面积之和_______． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）成立，证明见解析；（4） 解：（1），理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）证明：∵，D、A、E三点都在直线m上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴. （3）结论成立， 证明：∵， ∴， ， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴. （4）由（3）的结论得， ∴， ∴， 即与的面积之和等于的面积， 如图所示，过A作，既是的高也是的高， ∴， ∵， 又∵， 即， ∴. 故与的面积之和为6. 【典例4】如图，在中，，，，、相交于点O，且． (1)与的数量关系是___________； (2)试说明：； (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请在备用图中画出大致示意图，并直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或 1））解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）证明：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （3）解：存在． ∵， ∴． ①如图2中，当时， ∵， ∴． ∴， ∴， 解得：； ②如图3中，当时， ∵， ∴． ∴， ∴， 解得：． 综上所述，或时，与全等． 【变式训练1】如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度沿向点B匀速运动．设运动时间为t（s）． (1)如图，连接、，当时，求的值； (2)如图，当点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当、两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求和的值； (3)如图，当中的点开始运动时，点同时从点出发，以的速度沿向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请求出此时的值． 【答案】(1)； (2)，或，； (3)． （1）解：， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ； （2）解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ，， ， ， ； 综上所述：，或，； （3）解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去配． 　 A．（1） B．（2） C．（3） D．（1）和（2） 【答案】A 解：带（1）去可以根据“角边角”配出全等的三角形． 故选：A． 2．（25-26八年级上·河北·单元测试）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：由图可知，右上角和右下角可测量，为已知条件，两角的夹边也可测量，为已知条件，故可根据这些条件即可得到与原图形全等的三角形， 即聪聪画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即， 故选：B． 3．（24-25八年级上·全国·期末）在和中，给出下列四组条件： ①； ②； ③； ④； 其中，能使的条件共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 解：①，，，可根据判定； ②，，，可根据判定； ③，，，可根据判定； ④，，，不能判定； 故选：． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，符合题意； B、∵，即，故该选项正确，不符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 5．（25-26八年级上·全国·期中）古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：在和中 ∴， ∴． 故选：D． 6．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级上·福建·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 解：由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：D． 8．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：A．由于，，添加条件，不能用证明，故本选项符合题意； B．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； C．由于，，添加条件，可得，即，可以利用证明，故本选项不符合题意； D．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题 9．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，已知，请添加一个条件： ，使（写出一个即可）． 【答案】或或（答案不唯一） 解：添加：， 在和中， ， ∴． 添加：， 在和中， ， ∴． 添加：， 在和中， ， ∴． 故答案为：或或（答案不唯一）． 10．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图是用尺规作一个角等于已知角的作法（节选），对于作射线O′B′的依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短，你认为 同学的说法是正确的（选填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 解：作射线的依据是两点确定一条直线． 故答案为：甲． 11．（25-26八年级上·西藏日喀则·期中）如图，，要使则需要补充一个条件，这个条件可以是 ．（只需填写一个） 【答案】（答案不唯一） 解：若添加： ∵，， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 12．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在与中，、相交于点，点在边上，，，．下列结论：①；②；③中，正确的是 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②/②① 解：在与中， ∵，，， ∴， ∴，，故②正确； ∴， 即：，故①正确； ∴，即：， ∴， ∴与不一定相等，故③错误； 故答案为：①②． 三、解答题 13．（2025·云南丽江·一模）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 解：， ，即， 在和中， ， ． 14．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．（2025·西藏·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】证明见详解 证明：在和中， ， ∴． 16．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【答案】见解析 解：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $