14.1全等三角形及其性质-2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

第十四章 全等三角形 第一节 全等三角形及其性质 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1全等形的概念 2 知识点2 全等三角形的概念 2 知识点3 全等三角形的性质 3 题型精讲1图形的全等 5 题型精讲2全等三角形的概念 6 题型精讲3全等三角形的性质 7 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：理解全等三角形的概念，能识别平移、翻折、旋转变换下的全等三角形及其对应顶点、边、角；掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质，能规范用“≌”表示全等关系。 2. 过程与方法：通过观察、叠合操作，体会“完全重合”的本质，发展几何直观与空间观念，为后续全等判定及几何推理奠基。 3. 应用与素养：能运用性质解决简单的边、角计算问题，契合中考对基础应用的考查要求。 【新知学习】 【知识点1】全等形的概念 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形. 【提示】 （1）全等形的形状相同，大小相等. （2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关. (3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合. 边学边练下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.选项中的两个图形的大小不相等，不是全等图形，所以不符合题意． B.选项中的两个图形能够重合，是全等图形，所以符合题意． C.选项中的两个图形的大小不相等，形状不相同，不是全等图形，所以不符合题意． D.选项中的两个图形的大小不相等，不是全等图形，所以不符合题意． 故选：B． 【知识点2】全等三角形的概念 1.全等三角形的有关概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 2.全等三角形的表示方法全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.这样容易写出对应边、对应角. 边学边练下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【详解】解：A．形状相同的两个三角形不一定全等，例如两个不一样大小的两个等边三角形不全等，故本选项错误； B．面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C．完全重合的两个三角形全等，正确； D．两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误； 故选：C． 【知识点3】全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等。 2.数学语言表示：∠ABCA≌∠A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'. 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等、面积相等、对应边上的中线相等、对应角的平分线相等、对应边上的高相等、但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等. 边学边练如图所示的两个三角形全等，则x的值为 ． 解：∵图中两个三角形全等， ∴边长为3的边所对的角相等， ∴， 故答案为：． 题型精讲 题型精讲1图形的全等 一、题型特征 题目多以选择题、填空题或判断题形式出现，通过呈现两组图形（如平面图形、图案），考查对 “能够完全重合的图形是全等图形” 这一核心定义的理解，常涉及图形的平移、翻折、旋转变换，需判断变换后的图形与原图形是否全等。 二、解题核心步骤 1. 定本质：紧扣 “完全重合” 的定义，判断两组图形的形状、大小是否完全一致（形状看轮廓特征，大小看边长、角度等关键维度）。 1. 析变换：若图形经过平移、翻折、旋转，需明确这三种变换仅改变图形位置，不改变形状和大小，可通过想象叠合或对比关键线段长度、角的度数，确认是否能完全重合。 1. 下结论：若形状、大小均相同，则为全等图形；若存在形状差异（如一个是三角形，一个是四边形）或大小差异（如一个正方形边长为 2，一个为 3），则不是全等图形。 [易错提醒] 1. 混淆 “形状相似” 与 “全等”：认为形状相同（如两个相似三角形）就是全等图形，忽略 “大小必须相等” 的条件。 1. 忽略图形细节差异：如两个图形看似相同，但存在某条边长度不同或某个角角度不同（如一个长方形长 5 宽 3，一个长 5 宽 4），误判为全等。 【例题1】下列各组的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 解：A、两个图形大小不同，不能完全重合，故本选项错误； B、两个图形形状不同，不能完全重合，故本选项错误； C、两个图形能够完全重合，故本选项正确； D、两个图形大小不同，不能完全重合，故本选项错误． 故选：C． 【变式训练1】对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有 个． 解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ②面积相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等， ④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确． 所以只有1个正确， 故答案为：1． 【变式训练2】下列说法正确的是（　　） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个周长相等的图形一定是全等图形 C．全等三角形的角平分线相等 D．两个边长为整数且周长为3的等腰三角形一定是全等图形 解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意； B、两个周长相等的图形不一定是全等图形，故B错误，不符合题意； C、全等三角形的对应角平分线的长度相等，故C错误，不符合题意； D、两个边长为整数且周长为3的等腰三角形一定是等边三角形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练3】图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． （1）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形， ； （2）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形， ． 题型精讲2全等三角形的概念 一、题型特征 题目常结合具体三角形图形，考查对 “能够完全重合的两个三角形是全等三角形” 的定义理解，需识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，或根据 “完全重合” 的性质判断两组三角形是否全等，多以基础填空题、选择题形式出现。 二、解题核心步骤 1. 识对应：若已知两三角形全等（如△ABC≌△DEF），根据 “对应顶点字母顺序确定对应关系”，即 A 对应 D、B 对应 E、C 对应 F，进而确定对应边（AB 对应 DE、BC 对应 EF、AC 对应 DF）和对应角（∠A 对应∠D、∠B 对应∠E、∠C 对应∠F）。 1. 判全等：若未明确全等，需通过叠合想象或对比三边长度、三角角度，确认两三角形是否能完全重合，若能则为全等三角形。 1. 写表示：规范书写全等符号 “≌”，确保对应顶点字母顺序正确（如△ABC≌△DEF，不可写成△ABC≌△DFE），避免对应关系混乱。 [易错提醒] 1. 对应关系标注错误：未按对应顶点顺序书写全等符号，导致后续找对应边、角时出错（如误将△ABC≌△DEF 写成△ABC≌△EDF）。 1. 仅依据部分条件判全等：如仅看到两个三角形有一组边或一组角相等，就判定为全等，忽略 “完全重合” 需三边、三角均对应相等的条件。 【例题1】下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 【答案】B 解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，例如一个三角形的三边长为，另一个三角形的三边长为，但是这两个三角形不全等，原说法错误，不符合题意； B、全等的两个三角形周长一定相等，原说法正确，符合题意； C、任意两个三角形可能全等，原说法错误，不符合题意； D、只有边长相等的等边三角形才全等，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 【答案】 解：A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为， 故答案为：． 【变式训练2】下列说法正确的是（   ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 解：A、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故原说法是错误的； B、全等三角形的周长和面积分别相等，故原说法是正确的； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； D、所有的等边三角形不一定是全等三角形，故原说法是错误的； 故选：B． 【变式训练3】如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 【答案】(1)其他对应边：和，和；其他对应角：和，和 (2)线段和线段的长度分别为和 （1）解：其他对应边：和，和；其他对应角：和，和． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴线段和线段的长度分别为和． 题型精讲3全等三角形的性质 一、题型特征 题目需运用 “全等三角形的对应边相等、对应角相等” 这一核心性质，解决边的长度计算、角的度数求解，或证明两条线段、两个角相等的问题，常结合具体图形（含公共边、公共角、对顶角等隐含条件），以计算题、证明题形式出现，是后续全等判定应用的基础。 二、解题核心步骤 1. 定全等关系：先明确已知的全等三角形（如题目给出△ABC≌△DEF），确定对应顶点、对应边、对应角（可通过全等符号字母顺序或图形叠合关系判断）。 1. 用性质推导： 3. 求边长：若已知一组对应边长度（如 AB=5，AB 对应 DE），则 DE=AB=5；若需求未知边（如求 EF），可先找到其对应边（如 BC），若 BC 长度已知（如 BC=4），则 EF=BC=4。 3. 求角度：若已知一组对应角度数（如∠A=60°，∠A 对应∠D），则∠D=60°；若需求未知角（如求∠F），可先找到其对应角（如∠C），若∠C 可通过三角形内角和求出（如∠A=60°，∠B=50°，则∠C=70°），则∠F=∠C=70°。 1. 验逻辑：确保每一步推导都基于 “对应边相等”“对应角相等” 的性质，标注对应关系（如 “∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE（全等三角形对应边相等）”）。 [易错提醒] 1. 找错对应关系：如将非对应边（如 AB 与 DF）当作对应边计算，或非对应角（如∠B 与∠F）当作对应角求解，导致结果错误。 1. 忽略 “对应” 前提：直接说 “全等三角形的边相等”“角相等”，未强调 “对应”，逻辑不严谨，若后续应用中混淆对应关系，易引发错误。 【例题1】如图，，和，和是对应边，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵， ∴的对应角是． 故选：C． 【变式训练1】如果，若，，，则 ． 【答案】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练3】如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)是直角三角形吗？为什么？ 【答案】(1)的长为1； (2)是直角三角形，理由见解析 （1）解：∵， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ， ∵B，C，D共线， ， ， ， ．即是直角三角形． 【拓展培优】 【典例1】【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 (1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______． 【答案】(1)9 (2)；理由见解析 (3)10 （1）解：，，， ，， ； 故答案为：9． （2）解： 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ． （3）解：延长，过点C作于P，如图所示： ，， ， ，， ， ，， ， 延长，过点C作于F，如图所示： ，， ， ，， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ， 故答案为：10． 【变式训练1】如图，已知，是锐角，，，延长交于点，交于点． （1）的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 解：， ， ， ， ， 在中，， ， ； 解：， ， ， ， ， 【典例2】如图，已知，点E在边上，且，则图中与相等的角有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、全等三角形的性质 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角有4个． 故选B． 【典例3】（动点问题）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 【答案】1或或 【知识点】全等三角形的性质 解：由题意得， ∴， 当点在上，点第一次从上时， ∵与全等， ， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等，， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， ∵与全等，， ， ， 综上所述：t的值为1或或； 故答案为：1或或． 【变式训练1】如图，在中，，，，.点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动；在点出发的同时，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动.直线经过点，且、两点在直线的上方，分别过、两点作于点，于点.设点的运动时间为秒. (1)用含的代数式表示的长； (2)当、两点相遇时，求的值； (3)当与全等时，求的值； (4)当、两点的连线将的周长分成两部分时，直接写出的值. 【答案】(1)当点在上时，；当点在上时， (2) (3)或或 (4)的值为或 （1）解：由题意得，当点在上时，；当点在上时，； （2）解：由题意，得， 解得． ∴当，两点相遇时，的值为； （3）解：当点运动到点时，；当点运动到点时，． 当点在上，点在上时，如图： ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 当时，． ∴， 解得． 当点在上，点在上时，当点，重合时，． ∴． 即， 解得． 当点在上时，点到终点与点A重合，． ∴． 即， 解得． 综上，当与全等时，的值为或或； （4）解：∵当、两点的连线将的周长分成两部分时， ∴其中一部分周长是另一部分周长的或， 点运动到点用时，点运动到点用时， 当点分别在上时，如图： 则，或 ∴，或 解得：（舍），或； 当点重合，点在上时，如图： 则或 ∴或 解得：（舍）或， 综上：当、两点的连线将的周长分成两部分时，的值为或． 【变式训练2】如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒．当 秒时，与全等． 【答案】4或或12． 解：∵，， ， ， ； ①如图1，当点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， 当时，则， 即， 解得； ②如图2，当点与点重合时，则，此时满足， ∵， ， 解得； ③如图3，当点与重合时， 当时，则， 即， 解得； 综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：4或或12． 【变式训练3】如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点运动，同时，点在线段上从点到点运动，它们运动的时间为．当与全等时，求的值． 【答案】或 解：∵， ∴， 当时， 则有， 即， 解得， 当时， 则， 即， 解得， 故答案为：1或4． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 1．（24-25七年级下·贵州·期末）如图，≌，若，，则的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．6 【答案】C 解：∵≌， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 即的长为4． 故选：C ． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）图中的两个三角形全等，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 解：由图可知：边的对角度数为：，边的对角度数为：， ∴边对角度数为：， ∵两个三角形全等，第一个三角形中的对边长是22， ∴的值为． 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期末）下列说法正确的是（   ） A．任意一个非负数都有两个平方根 B．任意两个正方形一定是全等图形 C．三角形的内角中最多有一个钝角 D．两个无理数的和还是无理数 【答案】C 解：A、根据平方根的意义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而0属于非负数，但它的平方根是0，不符合题意； B、∵正方形的边长不一定相同，则任意两个正方形不一定是全等图形，不符合题意； C、根据三角形的内角和为，则三角形的内角中最多有一个钝角，符合题意； D、由题意，取两个无理数为，，则它们的和是4，不是无理数，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，已知点在上，点在上，，，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．12 D．6 【答案】A 解：∵点在上，点在上，， ∴，， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵，， ∴ 又∵， ∴ 故选：C． 6．（2025八年级上·新疆·专题练习）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 解：∵， ∴，故①正确； ， ∴， ∴；故②错误； ，故③正确； 由②知，，故④正确； 故选：C． 7．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）如图，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 8．（24-25七年级下·辽宁·期末）如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 解：， ，， 的面积， 的面积的面积， 阴影的面积的面积 故选：A． 二、填空题 9．（2023·四川成都·中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．    【答案】3 解：由全等三角形的性质得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知，其中，，，则中的的长度为 ． 【答案】 解：∵，，，， ， 故答案为：． 11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 12．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 【答案】5 解：和全等， 分两种情况， ①当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴； ②当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴， ∴， 即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒； 故答案为：5． 三、解答题 13．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，点在上，与相交于点，若，，， (1)求线段的长． (2)求的度数． 【答案】(1)3 (2)130° （1）解： ， ，， ； （2）， ，， ． 14．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，且点E，B，D，F在一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 （1）解：，理由如下： 证明：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，，点A，E，B，D在同一条直线上． (1)若，，求的度数； (2)若，，是奇数，求的长度． 【答案】(1)； (2)8 （1）解：∵， ∴， ∵， ， ∴. （2）解：在中，， ∴， 即， ∴， ∵是奇数， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) （1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 第一节 全等三角形及其性质 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1全等形的概念 2 知识点2 全等三角形的概念 2 知识点3 全等三角形的性质 3 题型精讲1图形的全等 5 题型精讲2全等三角形的概念 6 题型精讲3全等三角形的性质 7 03拓展培优 9 04课堂检测 10 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：理解全等三角形的概念，能识别平移、翻折、旋转变换下的全等三角形及其对应顶点、边、角；掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质，能规范用“≌”表示全等关系。 2. 过程与方法：通过观察、叠合操作，体会“完全重合”的本质，发展几何直观与空间观念，为后续全等判定及几何推理奠基。 3. 应用与素养：能运用性质解决简单的边、角计算问题，契合中考对基础应用的考查要求。 【新知学习】 【知识点1】全等形的概念 定义：能够 的两个图形叫做全等形. 【提示】 （1）全等形的形状相同，大小 . （2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置 . (3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全 . 边学边练下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【知识点2】全等三角形的概念 1.全等三角形的有关概念：两个能 的三角形叫做全等三角形.互相重合的顶点叫做 ，互相重合的边叫做 ，互相重合的角叫做 . 2.全等三角形的表示方法全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.这样容易写出对应边、对应角. 边学边练下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【知识点3】全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等。 2.数学语言表示：∠ABCA≌∠A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'. 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的 、 、对应边上的 、对应角的平分线 、对应边上的高 、但是周长相等的三角形 全等，面积相等的三角形也 全等. 边学边练如图所示的两个三角形全等，则x的值为 ． 题型精讲 题型精讲1图形的全等 一、题型特征 题目多以选择题、填空题或判断题形式出现，通过呈现两组图形（如平面图形、图案），考查对 “能够完全重合的图形是全等图形” 这一核心定义的理解，常涉及图形的平移、翻折、旋转变换，需判断变换后的图形与原图形是否全等。 二、解题核心步骤 1. 定本质：紧扣 “完全重合” 的定义，判断两组图形的形状、大小是否完全一致（形状看轮廓特征，大小看边长、角度等关键维度）。 1. 析变换：若图形经过平移、翻折、旋转，需明确这三种变换仅改变图形位置，不改变形状和大小，可通过想象叠合或对比关键线段长度、角的度数，确认是否能完全重合。 1. 下结论：若形状、大小均相同，则为全等图形；若存在形状差异（如一个是三角形，一个是四边形）或大小差异（如一个正方形边长为 2，一个为 3），则不是全等图形。 [易错提醒] 1. 混淆 “形状相似” 与 “全等”：认为形状相同（如两个相似三角形）就是全等图形，忽略 “大小必须相等” 的条件。 1. 忽略图形细节差异：如两个图形看似相同，但存在某条边长度不同或某个角角度不同（如一个长方形长 5 宽 3，一个长 5 宽 4），误判为全等。 【例题1】下列各组的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有 个． 【变式训练2】下列说法正确的是（　　） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个周长相等的图形一定是全等图形 C．全等三角形的角平分线相等 D．两个边长为整数且周长为3的等腰三角形一定是全等图形 【变式训练3】图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 题型精讲2全等三角形的概念 一、题型特征 题目常结合具体三角形图形，考查对 “能够完全重合的两个三角形是全等三角形” 的定义理解，需识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，或根据 “完全重合” 的性质判断两组三角形是否全等，多以基础填空题、选择题形式出现。 二、解题核心步骤 1. 识对应：若已知两三角形全等（如△ABC≌△DEF），根据 “对应顶点字母顺序确定对应关系”，即 A 对应 D、B 对应 E、C 对应 F，进而确定对应边（AB 对应 DE、BC 对应 EF、AC 对应 DF）和对应角（∠A 对应∠D、∠B 对应∠E、∠C 对应∠F）。 1. 判全等：若未明确全等，需通过叠合想象或对比三边长度、三角角度，确认两三角形是否能完全重合，若能则为全等三角形。 1. 写表示：规范书写全等符号 “≌”，确保对应顶点字母顺序正确（如△ABC≌△DEF，不可写成△ABC≌△DFE），避免对应关系混乱。 [易错提醒] 1. 对应关系标注错误：未按对应顶点顺序书写全等符号，导致后续找对应边、角时出错（如误将△ABC≌△DEF 写成△ABC≌△EDF）。 1. 仅依据部分条件判全等：如仅看到两个三角形有一组边或一组角相等，就判定为全等，忽略 “完全重合” 需三边、三角均对应相等的条件。 【例题1】下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 【变式训练1】已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 【变式训练2】下列说法正确的是（   ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【变式训练3】如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 题型精讲3全等三角形的性质 一、题型特征 题目需运用 “全等三角形的对应边相等、对应角相等” 这一核心性质，解决边的长度计算、角的度数求解，或证明两条线段、两个角相等的问题，常结合具体图形（含公共边、公共角、对顶角等隐含条件），以计算题、证明题形式出现，是后续全等判定应用的基础。 二、解题核心步骤 1. 定全等关系：先明确已知的全等三角形（如题目给出△ABC≌△DEF），确定对应顶点、对应边、对应角（可通过全等符号字母顺序或图形叠合关系判断）。 1. 用性质推导： 3. 求边长：若已知一组对应边长度（如 AB=5，AB 对应 DE），则 DE=AB=5；若需求未知边（如求 EF），可先找到其对应边（如 BC），若 BC 长度已知（如 BC=4），则 EF=BC=4。 3. 求角度：若已知一组对应角度数（如∠A=60°，∠A 对应∠D），则∠D=60°；若需求未知角（如求∠F），可先找到其对应角（如∠C），若∠C 可通过三角形内角和求出（如∠A=60°，∠B=50°，则∠C=70°），则∠F=∠C=70°。 1. 验逻辑：确保每一步推导都基于 “对应边相等”“对应角相等” 的性质，标注对应关系（如 “∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE（全等三角形对应边相等）”）。 [易错提醒] 1. 找错对应关系：如将非对应边（如 AB 与 DF）当作对应边计算，或非对应角（如∠B 与∠F）当作对应角求解，导致结果错误。 1. 忽略 “对应” 前提：直接说 “全等三角形的边相等”“角相等”，未强调 “对应”，逻辑不严谨，若后续应用中混淆对应关系，易引发错误。 【例题1】如图，，和，和是对应边，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】如果，若，，，则 ． 【变式训练2】如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)是直角三角形吗？为什么？ 【拓展培优】 【典例1】【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 (1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______． 【变式训练1】如图，已知，是锐角，，，延长交于点，交于点． （1）的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【典例2】如图，已知，点E在边上，且，则图中与相等的角有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【典例3】（动点问题）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 【变式训练1】如图，在中，，，，.点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动；在点出发的同时，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动.直线经过点，且、两点在直线的上方，分别过、两点作于点，于点.设点的运动时间为秒. (1)用含的代数式表示的长； (2)当、两点相遇时，求的值； (3)当与全等时，求的值； (4)当、两点的连线将的周长分成两部分时，直接写出的值. 【变式训练2】如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒．当 秒时，与全等． 【变式训练3】如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点运动，同时，点在线段上从点到点运动，它们运动的时间为．当与全等时，求的值． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 1．（24-25七年级下·贵州·期末）如图，≌，若，，则的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．6 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）图中的两个三角形全等，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（24-25八年级上·湖南永州·期末）下列说法正确的是（   ） A．任意一个非负数都有两个平方根 B．任意两个正方形一定是全等图形 C．三角形的内角中最多有一个钝角 D．两个无理数的和还是无理数 4．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，已知点在上，点在上，，，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．12 D．6 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025八年级上·新疆·专题练习）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）如图，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 8．（24-25七年级下·辽宁·期末）如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 9．（2023·四川成都·中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．    10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知，其中，，，则中的的长度为 ． 11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 12．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 三、解答题 13．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，点在上，与相交于点，若，，， (1)求线段的长． (2)求的度数． 14．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，且点E，B，D，F在一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论． 15．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，，点A，E，B，D在同一条直线上． (1)若，，求的度数； (2)若，，是奇数，求的长度． 16．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $