精品解析：江苏省昆山震川高级中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段测试数学试题

2025-2026学年第一学期震川中学高三年级第一次阶段测试 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数不等式的解法化简集合M，再根据全集求补集. 【详解】由题意， 又， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及对数不等式的解法，属于基础题. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的乘方化简复数，从而得到其虚部. 【详解】因为，又，，， 所以， 所以，所以的虚部为. 故选：C. 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. -54 【答案】B 【解析】 【分析】先确定的范围，从而利用解析式确定的值 【详解】，即 又 故选：． 【点睛】本题考查指数运算和对数运算，要求能熟练应用指数运算法则和对数运算法则，属基础题 4. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及共线向量的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】，则，整理得， 而向量均为非零向量，则反向共线且，有； 反之，若，可能同向共线，也可能反向共线，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 设是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得，进而可得答案. 【详解】因为且， 所以， 故，结合， 解得. 故选：C. 6. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此化简不等式，即可得选项. 【详解】由题意知函数， 令，则， ∴的定义域为，，∴函数为奇函数． 又，∴在上单调递增． 由，得，即，∴， ∴，即． 故选：B． 7. 已知数列的通项公式为，设数列的前n项和为，求的最大值和最小值为 （ ） A. ， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列求和公式得到，再结合的单调性即可求解. 【详解】由， 由等比数列求和公式可得， 当为奇数时，， 又， 所以时，得最大值 当为偶数时，， 又， 所以时，得最小值 由函数，在单调递增， 所以当时，取得最大值， 所以当时，取得最小值， 故选：A 8. 在四面体中，，且四面体的各个顶点均在球的表面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点为，根据已知条件证为的外心，且平面，进而确定外接球球心的位置，并求出半径，即可得球的体积. 【详解】如图，取的中点为，由，则， 连接，又，故，故为的外心， 由题设，易得，所以，即， 又，且、平面，所以平面， 所以球心在上，设球的半径为， 在中，，即，解得， 所以球的体积为． 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，选对但不全的得部分分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. D. 若角的终边过点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A.利用终边相同的角判断；B.利用扇形面积公式求解判断；C.利用诱导公式求解判断；D.利用三角函数的定义求解判断. 【详解】解：A选项，是第二象限角，A错误； B选项，扇形的半径为，面积为，B正确； C选项，，，C错误． D选项，，D正确； 故选：BD． 10. 如图，在等腰梯形中，E为腰的中点，，，N是梯形内（包含边界）任意一点，与交于点O，则（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性运算、三点共线推论、数量积运算及几何意义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A正确； 设，则，因为A，O，C三点共线， 所以，解得，B正确； 由，，可得，结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 易知当点N位于点B时，取得最小值， 最小值为，C错误； 当点N为位于点C时，取得最大值， 最大值为，D正确． 故选：ABD 11. 已知函数及其导函数满足，且，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上有极小值 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】由已知等式变形可得出，设（为常数），根据题中条件求出的值，可求出的解析式，利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用函数的极值与导数的关系可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断CD选项. 【详解】因为函数及其导函数满足， 则，即， 令（为常数），所以，， 因为，可得，所以，， 对于A选项，当时，， 所以，函数在上单调递增，A对； 对于B选项，由可得，且， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，函数在上有极小值，B对； 对于C选项，令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，C错； 对于D选项，，令，可得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，D错. 故选：AB. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式求的最小值，解一元二次不等式即可求实数的取值范围. 【详解】不等式有解，满足即可， 两个正实数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立，得， 则有，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知函数在定义域上不单调，则正整数的最小值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据均有解，结合正弦函数的性质，求出的取值范围，即可得解． 【详解】函数，则， 因为n为正整数，当时，，在上存在递增区间； 若在上存在递减区间，即有解，则， 所以，所以正整数的最小值是． 故答案为：． 14. 如图，A、B两点分别在x、y轴上滑动，为垂足，P点轨迹形成“四叶草”的图形，若，则的面积最大值为_________ . 【答案】## 【解析】 【分析】设，则为锐角，可得出，，由此可得出，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即为所求. 【详解】设，则为锐角，所以，， 因为，则， ， 所以， 令，其中， 则， 因为，则，则， 由，可得，可得， 由，可得，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，. 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 若锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的图像在点处的切线与直线垂直. （1）求边c； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，则根据题意可知，可得，根据可求出，进而得； （2）由（1）根据正弦定理表示出，将面积用关于角A的三角函数表示出来，即可根据的范围求出最值. 【小问1详解】 ， 因为的图像在点处的切线与直线垂直. 依题意， 即 由，得， ， 又在锐角ΔBC中，， ，解得. 【小问2详解】 由（1）知， 根据正弦定理，得得， 同理 ， 由得 所以，    ， 当即时，取到最大值， 因此，的面积最大值为. 16. 如图，在直三棱柱中，，，E为线段的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面,再根据面面垂直的判定定理证明结论即可； （2）作辅助线，找出直线与平面所成角，解直角三角形，即可求得答案 . 【小问1详解】 证明：在直三棱柱中， 平面ABC，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面.因为平面，所以. 又因为，所以. 因为，E为线段的中点， 所以.因为，平面，平面， 所以平面, 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 取的中点F，连接EF，， 则，所以. 因为在直三棱柱中，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面.所以为直线与平面所成的角. 因为，所以，，， 所以. 因为平面，平面，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为. 17. 已知函数f（x）=（a-）x2-2ax+lnx，a∈R （1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （2）求g（x）=f（x）+ax在x=1处的切线方程； （3）若在区间（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）最大值，最小值．（2）；（3）． 【解析】 【分析】(1)求出导函数，明确函数的单调性，即可得到f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值； (2)利用导数的几何意义可得切线斜率g′（1）=a，结合点斜式得到切线方程； (3)求出导函数f′（x）=．对a分类讨论，明确函数的单调性，求出函数的最值即可得到实数a的取值范围． 【详解】（1）当a=1时，，=． 对于∀x∈[1，e]，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在区间[1，e]上单调递增． ∴f（x）max=f（e）=，． （2）g（x）=，g（1）=． g′（x）=（2a-1）x-a+，g′（1）=a． ∴g（x）=f（x）+ax在x=1处的切线方程是=a（x-1），即； （3）函数f（x）=（a-）x2-2ax+lnx， f′（x）==，x >1， （i）当a时，恒有f′（x）＜0， ∴函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减． 要满足在区间（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，则f（1）=-a-≤0即可，解得． ∴实数a的取值范围是． （ii）当a时，令f′（x）=0，解得x1=1，． ①当1=x1＜x2时，即时，在区间（x2，+∞）上有f′（x）＞0，此时f（x）在此区间上单调递增，不合题意，应舍去． ②当x2≤x1=1时，即a≥1，在区间（1，+∞）上有f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，不合题意． 综上（i）（ii）可知：实数a的取值范围是． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，不等式恒成立问题，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 18. 已知函数． （1）若在上为增函数，求的取值范围； （2）已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值； （3）已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由正弦函数的单调性结合条件可列，从而解得的取值范围. （2）由，，可得，从而知的解析式，再由正弦函数的零点，分析即可； （3）原问题可转化为的值域是值域的子集，再根据正余弦函数的图象与性质，分别求得与在对应定义域内的值域，列出关于a的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 因在区间上单调递增， 令，则, 故在区间上单调递增， 故由题意知，则， 于是，解得，故的取值范围为. 【小问2详解】 由题意知， 因为是的一个零点，所以， 即，解得，或， 解得，，或，， 又，所以， 所以， 若在上恰好有6个零点等价于与恰好有6个交点， 令，由，则， 即，与恰好有6个交点， 而从开始从左到右的解依次为, 所以，故n的最大值为. 【小问3详解】 由（2）知， 若对任意，存在，使得成立， 则的值域是值域的子集， 当时，，所以， 即， 当时，，所以， 即， 因为的值域是值域的子集，所以 所以实数a的取值范围为. 19. 已知函数． （1）若，证明：； （2）记数列的前项和为． （i）若，证明：． （ii）已知函数，若，，，证明：. 【答案】（1）证明如下： 设，当时，， 所以在上为增函数，故当时，， 所以当时， 设，当时，， 所以在上单调递增，故当时，， 所以当时， 故当时， 因为，当时，， 所以在上为增函数， 因为当时，，且由， 可得，所以，即， 所以 （2）（i）证明如下： 因为， 所以， 则， 所以， 即， 所以 （ii）证明如下： 函数， 因为当时，， 所以当时，， 所以当时，， 因此， 故，即 因为， 所以当时，， 综上，，所以， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）先构造函数证明，，再由的单调性得出即可证明； （2）（i）利用错位相减法求和后放缩即可得证；（ii）利用函数不等式可得，得出递推关系，累乘后可得，求和即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：在第一步的证明过程中，首先要构造函数，利用导数证明几个不等式，比较难想到，当求出单调性后，得到，再由单调性得到，技巧性很强，一般不容易想到，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期震川中学高三年级第一次阶段测试 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 3. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. -54 4. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的通项公式为，设数列的前n项和为，求的最大值和最小值为 （ ） A. ， B. C. D. 8. 在四面体中，，且四面体的各个顶点均在球的表面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，选对但不全的得部分分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. D. 若角的终边过点，则 10. 如图，在等腰梯形中，E为腰的中点，，，N是梯形内（包含边界）任意一点，与交于点O，则（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 的最大值为 11. 已知函数及其导函数满足，且，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上有极小值 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是________. 13. 已知函数在定义域上不单调，则正整数的最小值是_________. 14. 如图，A、B两点分别在x、y轴上滑动，为垂足，P点轨迹形成“四叶草”的图形，若，则的面积最大值为_________ . 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 若锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的图像在点处的切线与直线垂直. （1）求边c； （2）求面积的最大值. 16. 如图，在直三棱柱中，，，E为线段的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. 17. 已知函数f（x）=（a-）x2-2ax+lnx，a∈R （1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （2）求g（x）=f（x）+ax在x=1处的切线方程； （3）若在区间（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围． 18. 已知函数． （1）若在上为增函数，求的取值范围； （2）已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值； （3）已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，证明：； （2）记数列的前项和为． （i）若，证明：． （ii）已知函数，若，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $