精品解析：河南省濮阳市华龙区濮阳外国语学校2025-2026学年高三上学期第二次质量检测（10月月考）数学试题

濮阳外国语学校2023级高三上学期第二次质量检测 数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合是小于9的正整数，则中元素个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. -2 D. 2 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“acos A＝bcos B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知正数，满足，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数的导函数，的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B 函数有两个极值点 C. 存在，使得成立 D. 在上没有零点 8. 已知定义在R上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于原点对称 D. 直线是的图象的对称轴 10. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C 有三个零点 D. 曲线关于点对称 11. 已知定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ） A. 的周期为8 B. 的最大值为 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是___________． 13. 在中，已知，且，确定的形状___________. 14. 已知曲线与的公切线为，则实数______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值 （1） （2）． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）求函数在区间上值域． 17. 已知函数，. （1）若时，求函数在处切线方程； （2）若，且函数，讨论函数的单调性. 18. 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若不等式恒成立，求整数a的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳外国语学校2023级高三上学期第二次质量检测 数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合是小于9的正整数，则中元素个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求全集中的元素，再求集合A的补集，进而可得元素个数. 【详解】因为是小于9的正整数 ，所以，中的元素个数为5. 故选：B． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定，改量词、否定结论即可得解. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 而命题“”是全称命题， 所以命题“”的否定是“”， 故选：D. 3. 若，则（ ） A. B. C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先由复数求出其共轭复数，再根据复数的乘法运算即得. 【详解】因为，所以，所以， 故选：D． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和弦化切思想即可求解. 详解】由， 因为，所以上式， 故选：B. 5. 已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“acos A＝bcos B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合与正弦定理，求出角A，B的关系，再根据小范围推出大范围，而大范围推不出小范围，即可求解. 【详解】由，故根据正弦定理得，， 即，因此可得或，也就是或， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知正数，满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式由和为定值求乘积的最大值即可判断A；根据基本不等式将式子转化为再求解最值即可判断B；根据基本不等式将式子取平方转化为再求解最值即可判断C；利用基本不等式“1”的巧用求解的最值即可判断D. 【详解】对于A，因为正数，满足，所以，当且仅当时，等号成立，故A不正确； 对于B，因为， 又，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，因为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，故C不正确； 对于D，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以，故D不正确. 故选：B. 7. 已知函数的导函数，的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数有两个极值点 C. 存在，使得成立 D. 在上没有零点 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数的图象，根据导函数与函数的单调性、极值的关系确定函数的单调性和极值，由此可判断A、B、C， 再结合零点存在性定理判断D. 【详解】观察图象可得当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，且仅在时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取极小值，极小值为， 对于A，函数在上单调递增，故A错误； 对于B，函数有一个极值点，故B错误， 对于C，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以取为小于等于的常数，则有恒成立，故C正确 ； 对于D，函数在区间上单调递增，但由于无法确定和的正负， 所以无法判断零点情况，故D错误； 故选：C. 8. 已知定义在R上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可变形为，构造函数，判断其奇偶性、单调性，据此分类解不等式或即可. 【详解】当时，， 所以当时，， 令，则当时，， 故在时，单调递减， 又因为在R上为偶函数，所以在R上为奇函数， 故在R上单调递减，因为，所以， 当时，可变形为，即， 因为在R上单调递减，所以且，得； 当时，可变形为，即， 因为在R上单调递减，所以且，得； 综上：不等式的解集为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于原点对称 D. 直线是的图象的对称轴 【答案】AC 【解析】 【分析】A项，由图象即可得出的值；B项，由图象得出周期的长度，求出周期，即可得出的值；C项，写出的表达式，得出的表达式，令得出，即得出关于原点对称；D项，将代入表达式，求出，写出的对称轴满足的方程，得出不存在整数使得时，，进而得出结论. 【详解】由题意及图得， 在中， ，，故A正确， ∴，，故B错误， ∴， ∵图像过， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴的图象关于原点对称，C正确； 当时，， 当直线满足时，为对称轴， ∴不存在整数使得时，，即， 故D错误； 故选：AC. 10. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C. 有三个零点 D. 曲线关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】，解得，所以在上单调递减，故A正确； 又时，单调递减，单调递增，， 所以时，的值域为，故B错误； 在上单调递减，在和单调递增， ，所以只有一个零点，故C错误； 因为，所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：AD. 11. 已知定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ） A. 的周期为8 B. 的最大值为 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题干条件，整理计算，可得，可判断A的正误；根据的周期性和单调性，可判断B的正误；由题意的一个对称轴为，分析即可判断C的正误；根据的周期性和单调性，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为定义在R上的奇函数满足， 所以，即， 所以，即， 所以周期为8，故A正确； 选项B：由，可得图象关于对称， 因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 因为奇函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，且为一个周期， 所以的最大值为，故B正确； 选项C：图象关于对称，且为最小值，且不等于0， 所以不是的对称中心，故C错误； 选项D：因为在上单调递减，且周期为8， 所以在上单调递减，即在上单调递减，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】运用扇环的定义，两个同心扇形（圆心相同）的面积差利用扇形面积公式求解两个扇形的面积差. 【详解】由题意知， 因为， 由扇形面积公式得: 所以． 故答案为：. 13. 在中，已知，且，确定的形状___________. 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】由已知2cosAsinB=sinC=sin（A+B），结合和差角公式可求得A=B，由，可得a2+b2-c2=ab，利用余弦定理可得C，从而可判断三角形的形状． 【详解】由三角形的内角和公式可得，2cosAsinB=sinC=sin（A+B） ∴2cosAsinB=sinAcosB+sinBcosA ∴sinAcosB-sinBcosA=0， ∴sin（A-B）=0，∴A=B ∵ ∴即 由余弦定理可得cosC= ， ∵， ∴， ∴A=B=C=，故△ABC为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 14. 已知曲线与的公切线为，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，求得切线方程，根据题意，求得，得到切线方程为，再设切点为，结合切点在切线上和，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得，则切线方程为， 即，与公切线重合，可得， 可得，所以切线方程为， 对于函数，可得，设切点为，则 则 ，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将角拆分成，然后利用两角和的正弦展开式展开化简计算即可； （2）利用诱导公式、同角三角函数关系式、正弦余弦的二倍角公式化简即可. 【小问1详解】 由 . 【小问2详解】 . 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）求函数在区间上的值域． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简的表达式，根据正弦函数的周期公式以及单调性即可求得答案； （2）根据，可令，得，结合正弦函数性质，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得 ， 所以最小正周期为； 令， 则， 所以的单调递增区间是． 【小问2详解】 由得，故， 所以， 所以函数在区间上的值域为. 17. 已知函数，. （1）若时，求函数在处的切线方程； （2）若，且函数，讨论函数的单调性. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数及其导数，再分类讨论求出其单调性. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 依题意，，其定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 18. 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦定理进行边角互化即可； （2）利用三角形的面积公式求出然后利用正弦定理结合三角函数的性质求出的取值范围即可. 【小问1详解】 ， 故，即 故， 且，故 【小问2详解】 由正弦定理得， ， 因为是锐角三角形，. 故，即 所以，故， 所以， 故面积的取值范围为. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若不等式恒成立，求整数a的最小值． 【答案】（1），无极大值；（2）2. 【解析】 【分析】（1）将代入，求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性，进而求出极值. （2）不等式等价于在上恒成立，设，利用导数求出的最大值即可求解. 【详解】解：（1）当时，， 令得（或舍去）， ∵当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴，无极大值． （2），即， 即， ∴，即， ∴原问题等价于在上恒成立， 设，则只需． 由，令， ∵，∴上单调递增， ∵， ∴存在唯一的，使得， ∵当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， ∴， ∴即可． ∴，∴，故整数a的最小值为2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $