精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年九年级上学期半期考试数学试题

数学（三） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 首先根据有理数大小的比较方法按顺序从小到大排列，然后可求解． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：A 2. 以下四个图形是四个省市的，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 下列问题适合使用全面调查（普查）的是（ ） A. 检测重庆市的饮水质量 B. 检查音乐节进场观众是否携带违禁品 C. 调查一批盲盒的质量达标情况 D. 了解全国学生每天的运动量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全面调查和抽样调查的识别，解题关键是掌握其概念及操作注意事项． 选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，据此选择即可． 【详解】解：选项，全面检测重庆市所有水源的饮水质量工作量极大，且在实际操作中，抽样调查更能代表整体水质情况，不适合全面调查，选项不符合题意； 选项，为了确保安全，必须对每一位观众进行检查，需要进行全面调查，选项符合题意； 选项，若进行全面调查，成本高且效率低，采用抽样调查的方法更合适，选项不符合题意； 选项，全国学生数量众多，全面调查的难度和成本都很高，采用抽样调查的方法更合适，选项不符合题意． 故选：． 4. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是位似图形的性质，解题关键是熟练掌握位似图形的性质． 根据题意得出，进而利用两个相似三角形的周长比等于相似比，求解即可得出答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ， 位似比为， ， 又的周长为， ． 故选：． 5. 已知，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数大小估算，不等式的性质，先估算得出，则，不等号两边同时加上即可求解，掌握无理数大小估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 故选：． 6. 已知二次函数，其图象上有两点，，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据抛物线开口向上，则距离对称轴越远的点的纵坐标越大求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵， ∴， 故选：A． 7. 用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有颗棋子，第②个图案中有颗棋子，第③个图案中有颗棋子，第④个图案中有颗棋子，……以此类推则第⑧个图案中，棋子的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形规律问题，总结出来图形规律是解题的关键． 根据图形的排列规律，以此类推即可解答． 【详解】解：∵第①个图案中棋子的个数为， 第②个图案中棋子的个数为， 第③个图案中棋子的个数为， 第④个图案中棋子的个数为， …… 第⑧个图案中棋子的个数是． 故答案选：C ． 8. 为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 先求出周五的跳绳量，再根据日均增长率，即可求出周日的跳绳量，从而得出周日跳绳量关于的函数关系式． 【详解】解：小南周四跳绳量为个， 周五跳绳量为个， 又周六、周日两天日均增长率为， 周日的跳绳量为个， 小南周日跳绳量关于的函数关系式为． 故选：． 9. 如图，正方形中，点为线段上一点，满足，连接，点为线段上一点，过点作交于点，交延长线于点，若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合垂线定义、正方形性质得出，，，设，，则，，，，设与相交于点，利用两角相等证明，由相似三角形性质得，从而推得，利用勾股定理求出，，再证，由相似三角形性质得，从而得到，由即可得解． 【详解】解：依题得：，即， 正方形中， ，， 设，， 则，，，， 设与相交于点， 此时， 又，， ， ， ， ， 即， 解得， 即， ，，， 中，， 中，， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、三角形内角和定理，解题关键是利用相似三角形的判定与性质推得． 10. 已知四次方程，，，，都是非零整数．则下列说法中，正确的个数为（ ） ①若与是方程的两个实数根，则； ②若，且，为整数，则符合条件的情况有2种； ③若该方程存在4个实数根记为，，，，若，则． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整数的混合运算，代数式求值，方程的解，正确计算是解此题的关键．根据，，，，的特征判断各个选项即可． 【详解】解：将代入方程得，， 将代入方程得，． 两式相加得：， ． ①是正确的，符合题意； ，且，为整数，，，，都是非零整数， ，且各平方数可能取值为等． ， 或或， 符合条件的情况有3种， ②是不正确的，不符合题意； 由题意可得：四次方程为， ∵存在4个实数根，，，， ∴方程可变形为， 由多项式乘以多项式的运算可知：该方程展开后四次项为，常数项为， 对照方程与可知：，， 所以，所以③是正确，符合题意． 综上所述，正确的是①③，所以正确的个数是2个， 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 重庆市统计局发布的数据显示年初我市常驻人口约人，数据“”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是科学记数法表示较大的数，解题关键是熟练掌握科学记数法． 根据科学记数法表示较大的数的方法即可得解． 【详解】解：根据科学记数法可得，． 故答案为：． 12. 某中学运动会设置了跑步、跳远和跳绳三个参赛项目，学生可随机选择其中一个项目报名参加．现甲、乙两名同学分别从这三个项目中随机选取一个报名参加，他们同时选中跑步项目的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是用列表法或画树状图法求概率，解题关键是熟练掌握树状图法求概率． 画出树状图，共有个等可能的结果，甲，乙两名学生同时选中跑步项目的结果有个，即可求解． 【详解】解：将跑步、跳远和跳绳三个参赛项目分别设为、、， 画树状图如下： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等， 其中他们同时选中跑步项目的结果有种， 他们同时选中跑步项目的概率是． 故答案为：． 13. 如图，中，，．若比的倍还多，则的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，由，则，又，，从而求出，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，菱形的顶点在反比例函数图象上，点在轴上，点，在轴上，且为的中点，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过作轴于点，则，由四边形是菱形，可得，，，从而证明四边形是矩形，又为的中点，则垂直平分，所以可证得，故有是等边三角形，所以，从而有，然后通过直角三角形的性质和勾股定理可得，从而求出的值． 【详解】解：如图，连接，过作轴于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 15. 如图，已知矩形中，，，连接，点、分别在边，上，将四边形沿线段翻折，点，的对称点分别为，．若点恰好落在线段上，且．则__________，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 过点作于点H，证明，可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，，延长交于点K，连接，则四边形是矩形，设，则，在和中，利用勾股定理可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴， 如图，延长交于点K，连接，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， 设，则， 在和中，， ∴， ∴， 解得：， 即， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 故答案为：； 16. 对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大，个位数字比十位数字大，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”．将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最小的“叁叁数”是______；已知，都是“叁叁数”，其中，（，，，且，，，，均为整数），若为完全平方数，且满足除以的余数为，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整式加减的应用，二元一次方程的应用，设，则，则，，要取最小的“叁叁数”，则取最小值，则最小值为，又各个数位上的数字均不为零且互不相等，所以取最小值，则最小值为，从而求得最小的“叁叁数”是，由，所以，从而得，，然后求出，则有，然后可得或或或，再求出或（舍去）即可，解题的关键是准确理解题意，列出二元一次方程求解． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴要取最小的“叁叁数”，则取最小值，则最小值为， ∵各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴取最小值，则最小值为， ∴最小的“叁叁数”是， 设，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵除以的余数为，， ∴，或（此时不是“叁叁数”，舍）， ∴， ∵为完全平方数，，， ∴为，，，， ∴或或或， 即或或或， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴的值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】解集为：；整数解为：， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤．先分别解两个不等式，再写出不等式组的解集，最后求出满足条件的整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵是整数， ∴，． 18. 在学习了三角形和平行四边形的相关知识后，小明发现：在等腰中，，点是的中点，过点作交的延长线于点，的平分线与延长线相交于点，连接，则四边形为菱形．请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交延长线于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为菱形． 证明：∵， ∴______， ∵是的中点， ∴， 在和中， ∴ ∴______， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ______， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 小明进一步研究发现：若，则四边形为_________． 【答案】（1） 如图， （2）；；；正方形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形、正方形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作平分线即可； （）由，则，证明，所以，再证明四边形是平行四边形，又，从而可知平行四边形是菱形，再通过正方形的判定即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为：；值为： 【解析】 【分析】先将分式、整式通过通分、因式分解等方法进行化简，再将的值计算出来，最后代入化简后的代数式求值． 【详解】解： ∵ ∴ ∴上式 【点睛】本题考查了分式的化简及整式的化简，绝对值的化简，零指数幂的计算，关键是熟练准确的进行运算． 20. 近日，榨菜咖啡走红网络，咖啡主理人受涪陵榨菜三腌三榨传统工艺启发，将榨菜的咸鲜与咖啡的醇苦融合，形成“咸引醇，脆衬柔”的复合体验．主理人准备推出新品“浮云沉香”，招募了一批咖啡体验员，分成了青年组和中年组两组，分别对“浮云沉香”打分．从这两组对咖啡的喜爱度打分中各随机抽取了个体验员的打分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（分数用表示，分为四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 抽取的青年组的打分： 66，68，76，77，79，79，84，85，86，86，86，86，90，92，94，94，95，97，100，100； 抽取的中年组打分在组的数据： ，，，，，，． 抽取的对“浮云沉香”的打分情况统计表 组别 平均数 中位数 众数 组所占百分比 青年组 中年组 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________；________； （2）根据以上数据，你认为咖啡正式上市后，会更受青年、中年哪个年龄段的人喜欢？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若共有人对咖啡进行打分，估计其中打分在等级的人数． 【答案】（1），，； （2）更受中年组年龄段的人喜欢，理由：中年组中位数高于青年组中位数，中年组众数高于青年组中位数（答案不唯一）； （3）估计其中打分在等级的人数为人． 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数，样本估算总体，扇形统计图，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出组所占百分比为，然后通过，从而求出，再由中年组中位数为第个和第个数据，即落在组，再把数据从小到大排序即可得到的值，根据由抽取的青年组打分可知出现次最多，从而求出的值； （）通过中位数、众数进行分析即可； （）根据题意列出即可求解． 【小问1详解】 解：∵抽取的中年组打分在组的数据：，，，，，，，共个， ∴组所占百分比为， ∴组所占百分比为：， ∴， ∴中年组组人数为（人），组人数为（人），组人数为人，组人数为（人）， ∴中年组中位数为第个和第个数据，即落在组， 由，，，，，，从小到大排序为：，，，，，，， ∴， 由抽取的青年组打分可知出现次最多， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：更受中年组年龄段的人喜欢，理由： 中年组中位数高于青年组中位数，中年组众数高于青年组众位数（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：青年组组人数为人，中年组组人数为人， ∴（人）， 答：估计其中打分在等级的人数为人． 21. 某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． （1）求、两款水杯的售价分别是多少元？ （2）十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 【答案】（1）A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元 （2）A款水杯降低了6元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元， 根据题意，可列出方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， B款水杯的售价为（元）， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元． 【小问2详解】 解：B款水杯的进价为（元）， 九月份A款水杯销量为（只）， 九月份B款水杯销量为（只）， 设A款水杯降低了元， 根据题意，可列出方程：， 解得，， 因为是降价促销，所以不符合题意，舍去， ∴A款水杯降低了6元． 22. 在矩形中，，，点是的中点，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿折线运动，当、两点相遇时，立即停止运动．设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2） 函数，的图象如图所示， 的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数，根据题意求出一次函数和反比例函数是解题的关键． （1）根据运动时间的变化，的面积表示方法不同，分别根据当时和当时，表示出即可；先表示出的运动路程，再根据的长与点的运动路程之比为，解答即可； （2）根据函数，的解析式画出图象即可；根据的图象，写出函数的一条性质即可； （3）先求出和的交点，再根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为， 当时，， 当时，， ∴， ∵，的运动路程为， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时， 使，解得，（舍去）， ∴当时，和相交， 当时， 使，解得，（舍去）， ∴当时，和相交， ∴由图可知，当时，的取值范围约． 23. 周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） （1）求的长度； （2）入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）米 （2） 解：小开先到达山顶处，理由， 由（）得，米，米，米， 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴米， 在中，，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∵为中点， ∴（米）， ∴小南先到达山顶处的时间为： （分）； 小开先到达山顶处的时间为： （分）， ∵， ∴小开先到达山顶处． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形——坡度，仰角问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，过作于点，延长交于点，则，则有四边形是矩形，所以，根据题意可得米，米，，然后通过坡度，解直角三角形即可求解； （）由（）得，米，米，米，求出米，则米，再求出（米），再通过“时间路程速度”，然后比较即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于点，过作于点，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据题意可得米，米，， ∵斜坡坡度为， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴米，米， ∴米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴米； 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点，连接，设的面积为，的面积为，点是轴上的动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）抛物线表达式为； （2） （3）3或 【解析】 【分析】（1）将、代入抛物线解析式，解方程组即得； （2）由，求出，可得直线解析式为，过点B作轴交于点E，过点P作轴于F，交于点H，则,得，由，设，，则，得所以当时，有最大值，此时，过点O作,过点P作，交于点G， 有最小值，,证明，得，得，可得，,由，得，得,即得； （3）求出原抛物线顶点为 ，得到平移后顶点为 ，故，点 平移后得，当点K在直线右侧时，由，得，收，，得，设直线交x轴于点I，则，得，得，求出直线解析式为，联立得，可得，当点K在直线左侧时，由前可得，连接，作关于的对称，设，则，解得，得，求出直线解析式为，联立得，可得． 【小问1详解】 解：将、代入抛物线解析式， 得． ． 即抛物线表达式为． 【小问2详解】 解：对，当，， 解得，． 点在点的左侧， ． 设直线解析式为， 则． ∴． ∴． 过点B作轴交于点E，过点P作轴于F，交于点H， 则． ∴． ∴． ∵， 对, 时，， ∴． ∴． 设（）， 则． ∴ ． ∴． ∴当时，有最大值． ∴． ∴． 过点O作，过点P作，交于点G， 则，． 当点M在上时, 有最小值，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故的最小值为． 【小问3详解】 解：所有符合条件的点K的横坐标为 3或．理由： ∵， ∴原抛物线顶点为 ． ∵， ∴． ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度是向右平移，向上平移． ∴得到平移后顶点为 ． 故． 即． 点 平移后得． 以点K的横坐标为 3的解题过程： ∵， ∴． ∴得． ∵，， ∴． ∴． 设直线交x轴于点I， 则． ∴． ∴． 设直线解析式为， 则． ∴． ∴． 与联立得， 解得（舍去），或． 以点K的横坐标为 的解题过程： 由前可得， 连接，作关于的对称， ∵，， ∴． 设， 则． ∵， ∴． 解得，或（舍去）． ∴． 设直线解析式为， 则． ∴． ∴． 与联立得． 解得（舍去），或． 综上，符合条件的点的横坐标为3或． 【点睛】本题是二次函数的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，图形的旋转与轴对称，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式，勾股定理等知识，灵活运用这些知识、构造辅助线得三角形相似，分类讨论，是解题的关键． 25. 在中，，将绕点逆时针旋转至，连接交于点． （1）如图，点是的中点，连接，若，，求的长度； （2）如图，当时，延长与的角平分线交于点，连接，连接与交于点，求证：； （3）如图，在（）的条件下，在线段上取一点，使得，将绕点逆时针旋转至，连接．若，当最小时，请直接写出点到直线的距离． 【答案】（1）； （2） 证明：如图，过作于点， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 由旋转性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在垂直平分线上， ∵， ∴在垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）过作于点，则，由，然后通过旋转性质可得，又点是的中点，则，设，，由勾股定理得，求出的值，从而有，，然后通过勾股定理即可求解； （）过作于点，则，由，则有，，又平分，所以，由旋转性质可得，，则有，可得，，然后证明，根据性质可得，，从而证明垂直平分，所以，，通过在中，，即，所以，然后代入即可求证； （）过作，则，，从而求出，所以点的运动轨迹为圆，如图，过作于点，然后求出由勾股定理得：，即可得点的在以为圆心，为半径的圆上，的在以为圆心，为半径的圆上，当三点共线时，取得最小值，因为，所以点共圆，所以取得最小值，点共线，通过求解得，故有点到直线的距离为，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过作于点， ∴， ∴， ∵，将绕点逆时针旋转至， ∴， ∵点是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过作， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆，如图，过作于点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴点的在以为圆心，为半径的圆上， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴点的在以为圆心，为半径的圆上， 当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴点共圆， ∴取得最小值，点共线，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为， 由勾股定理得：， ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（三） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 1 C. D. 0 2. 以下四个图形是四个省市的，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列问题适合使用全面调查（普查）的是（ ） A. 检测重庆市的饮水质量 B. 检查音乐节进场观众是否携带违禁品 C. 调查一批盲盒的质量达标情况 D. 了解全国学生每天的运动量 4. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，其图象上有两点，，则和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能判断 7. 用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有颗棋子，第②个图案中有颗棋子，第③个图案中有颗棋子，第④个图案中有颗棋子，……以此类推则第⑧个图案中，棋子的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点为线段上一点，满足，连接，点为线段上一点，过点作交于点，交延长线于点，若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 已知四次方程，，，，都是非零整数．则下列说法中，正确的个数为（ ） ①若与是方程的两个实数根，则； ②若，且，为整数，则符合条件的情况有2种； ③若该方程存在4个实数根记为，，，，若，则． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 重庆市统计局发布的数据显示年初我市常驻人口约人，数据“”用科学记数法表示为________． 12. 某中学运动会设置了跑步、跳远和跳绳三个参赛项目，学生可随机选择其中一个项目报名参加．现甲、乙两名同学分别从这三个项目中随机选取一个报名参加，他们同时选中跑步项目的概率是________． 13. 如图，中，，．若比的倍还多，则的度数为______． 14. 如图，菱形的顶点在反比例函数图象上，点在轴上，点，在轴上，且为的中点，若，则的值为________． 15. 如图，已知矩形中，，，连接，点、分别在边，上，将四边形沿线段翻折，点，的对称点分别为，．若点恰好落在线段上，且．则__________，__________． 16. 对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大，个位数字比十位数字大，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”．将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记．则最小的“叁叁数”是______；已知，都是“叁叁数”，其中，（，，，且，，，，均为整数），若为完全平方数，且满足除以的余数为，则的值为______． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． 18. 在学习了三角形和平行四边形的相关知识后，小明发现：在等腰中，，点是的中点，过点作交的延长线于点，的平分线与延长线相交于点，连接，则四边形为菱形．请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交延长线于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形为菱形． 证明：∵， ∴______， ∵是的中点， ∴， 在和中， ∴ ∴______， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ______， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 小明进一步研究发现：若，则四边形为_________． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 近日，榨菜咖啡走红网络，咖啡主理人受涪陵榨菜三腌三榨传统工艺启发，将榨菜的咸鲜与咖啡的醇苦融合，形成“咸引醇，脆衬柔”的复合体验．主理人准备推出新品“浮云沉香”，招募了一批咖啡体验员，分成了青年组和中年组两组，分别对“浮云沉香”打分．从这两组对咖啡的喜爱度打分中各随机抽取了个体验员的打分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（分数用表示，分为四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息： 抽取的青年组的打分： 66，68，76，77，79，79，84，85，86，86，86，86，90，92，94，94，95，97，100，100； 抽取的中年组打分在组的数据： ，，，，，，． 抽取的对“浮云沉香”的打分情况统计表 组别 平均数 中位数 众数 组所占百分比 青年组 中年组 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________；________； （2）根据以上数据，你认为咖啡正式上市后，会更受青年、中年哪个年龄段的人喜欢？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若共有人对咖啡进行打分，估计其中打分在等级的人数． 21. 某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． （1）求、两款水杯的售价分别是多少元？ （2）十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 22. 在矩形中，，，点是的中点，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从出发，以每秒0.5个单位长度的速度沿折线运动，当、两点相遇时，立即停止运动．设运动时间为秒，的面积为，线段的长与点的运动路程之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 周末小南和小开相约爬山（图为山的截面图，山脚处的点、在同一水平线上），在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为，斜坡米，坡度为，水平观景步道米，山顶到山底的垂直高度为米．（参考数据：，，，） （1）求的长度； （2）入口在水平道路中点处，若小南和小开从点同时出发，小南由的线路到达山顶，小开由的线路到达山顶，若小南的平路速度为米分，小南的爬山速度为米分，小开的平路速度为米分，小开的爬山速度为米分（小开在斜坡，斜坡的速度相同），请问谁先到达山顶处？请通过计算说明理由．（结果保留小数点后一位） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点，连接，设的面积为，的面积为，点是轴上的动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，将绕点逆时针旋转至，连接交于点． （1）如图，点是的中点，连接，若，，求的长度； （2）如图，当时，延长与的角平分线交于点，连接，连接与交于点，求证：； （3）如图，在（）的条件下，在线段上取一点，使得，将绕点逆时针旋转至，连接．若，当最小时，请直接写出点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $