精品解析：山东省青岛市2025-2026学年高三上学期部分学生调研检测数学试卷

6学科网命组卷网 2025年高三年级部分学生调研检测 数学试题 2025.10 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1 1.已知 =34,b=V2,c=log22,则() A.c>a>b B.a>c>b c b>axc D.a>b>c 【答案】D 【解析】 第1页/共28页 命学科网命组卷网 【分析】由对数函数及指数函数的单调性可得4，b,c的范围，进而比较出它们的大小关系. 1 【详解】因为 为0=182-1 2 a=43=23>22=b>0,所以a>b>c, 故选：D 2在复数范围内，。x=V2i,是“+2=0，的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出方程后结合充分条件与必要条件定义即可判断. 【详解】令+2=0，解得=士v5 故。X=V2i,是“+2=0”的充分不必要条件 故选：A 3.已知向量a,6的夹角为60°，同=2,6=，V5),则a+-6=（) A.4 B.2+2V3 C.6 D.4+2V3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律求解。 【详解】由5=4，v),得b2,而向量a,b的夹角为60°，12，则ā-6=2×2c0s60°=2， 所(d+b-b=a-b+62=2+22=6 故选：C 4设数列{a}的前项和为S,若S=3,a1=S,+1,则S=《) A.-63 B.-31 C.31 D.63 第2页/共28页 6学科网 命组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先根据01=，+l可判断出数列a,}是公比为2的等比数列，然后根据S,=3计算得出 91=1 最后根据等比数列前”项和公式即可得出结果。 【详解】因为0=8+1，所以a,=S,+1 antl=2 所以aH-an=Sn-Sn1=an,an,其中n≥2， 2=2 而a2=a1+1,结合S2=3可得41=1，a2=2,此时4， 故数列a}是公比为2的等比数列， 所以8=1-9）1-25 1-9 1-2 故选：D ,则2+sin2a=() 1 A.2 B.2 C.3 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和差的正切公式可得an'a+tana=1 再将所求式子应用二倍角公式及弦化切最后代入 得解 tan +tana tan-tan 4 4 一=4，即 .tana 4 4 第3页/共28页 6学科网命组卷网 4tana=4 1-tan'a ∴.tan2a+tana=l .1+cos2a 2cos'a 2+sin2a 1+(sina+cosa) 2cos'a 2 sin'a+cos2a+(sina+cosa)2 2tan'a+2+2tana 2 故选：B. 6已知函数f(四)的定义域为R,f(✉)是奇函数，f(x+)+/(-)≥2x 则下列结论中一定正确的 是() A.f(10)>60 B.f(11)>60 cf(20)<180 D.f(21)>200 【答案】D 【解析】 【分析】由f(+)+f1-22x中，令x=0,得到020，结合等差数列求和得到 f(2m+)≥2n+2n,判断BD:又由f(x+1+f1-22x中，令x=2,f2m）≥2r,可判断 AC. 【详解】因为()是奇函数，且(x++f1-)≥2x 在(x+)≥2x+f(x-)中，令x=0,可得(0≥0， 所以f2n+≥f02m-+2(2m2f2m-3列+2(2m+22m-2≥…≥f0+2[2m+(2m-2++2]≥2ana+) 所以(0)≥60，(21)≥220，故B错误，D正确 在f()+f(2-)≥2(x-)中，令x=2,可得f(2)+f(0)≥2 第4页/共28页 命学科网命组卷网 因为函数f(冈是R上的奇函数，所以f(O)=0,所以(2)≥2， 所以f22f2m-2+2(2m-2f2m-4+2(2m-3)+22n-2≥f02)+2[2-)+2m-3)++3]2r 所以f(10)≥50，f(20)≥20，所以A错误，c错误 故选：D x2 y2 7已知双曲线B:。方=1(a>0,b>0)的东、右焦点分别为R乃，过原点0的直线与B的左、 右两支分别交于A,B两点，点C在B上，FC=-2BB,若以B为直径的圆过点B,则B的离心率为 () V14 V15 √7 V34 A.3 B.3 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意推得四边形1，BS为矩形，可设BFF,则5C作24，BS卡2a+CK上21+2a 分别在直角三角 CB5和直角三角形 F乃中，运用勾股定理，结合离心率公式可得所求值. 【详解】连接MS,BS、CR 由以4B为直径的圆恰好过左焦点F可得上BS,由双曲线的对称性得四边形4B职为矩形， 可设BSF1.则BC2,BS=2a+CE21+2a 在直角三角形 CBF中，可得BCP+IBRP-CEF, 即为30'+(2a+)}=(21+2a} 解得12a 3” 第5页/共28页 6学科网 命组卷网 又在直角三角 BFE中，IBSP+|BEP-FEP 即为+(2a+}=4c2 4a2,64a268a2 即为99 =4c2 9 故选：C 8如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以0为球心，半径为V2的球面上，并且4，B, C,D在同一平面内，点Q为此八面体表面上的动点，月©9、3 3，则点Q的轨迹长度为() E D O 26n 4V6π 8V6π 166π A. 3 3 C.3 D. 3 【答案】B 【解析】 第6页/共28页 6学科网列组卷网 √6 【分析】分析可知点Q在侧面ABE内的轨迹是以该三角形重心为圆心，半径为3的圆在△ABE内的圆 弧，结合圆的周长可判断 【详解】考虑点Q在侧面ABE上运动时点Q的轨迹长度，如下图所示： 易知OE=0A=OB=V5,且△MBE是边长为子的等边三角形， 则三棱锥O-ABE是正三棱锥，则点O在底面ABE内的射影点G为△ABE的中心， 取H为BE的中点，连接AH、OH,则AH⊥BE, 因为OB=OE=V2,BE=2,故OB+OE=BE2,则OB1OE OH=-BE=1 所以，△OBE为等腰直角三角形，且 AH=AB2-BH2=22-12=3 因为G为E的中e,则4G=号4-2 3, 3 因为OGL平面4BE,DGC平面ABE.所以OGL0G 第7页/共28页 6学科网命组卷网 则eG=V002-oG 6 3 3 3 6 所以，点Q的轨迹是以点G为圆心，半径为3的圆在。ABE内的圆弧，如图， 3.GH= 设圆G与BE交于M,S两点，由于在Rt△GM中GMV6 3, 则cos∠MGiH= 2,所以∠MGH= 4,则∠MGS=π 2, 所以圆G在。4BE内的一段弧的长为 2a-66s 36 6×8-46m 则点Q的轨迹长度为6 3· 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线：r-y+1=0,圆o.t+少=4，则() A.a∈R ,直线1均与圆O有两个公共点 第8页/共28页 学科网命组卷网 3a∈R B. ,使直线1是圆O的一条对称轴 C.直线1被圆O截得的弦长可能为2 D.圆O上至少存在三个点到直线1的距离为1 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A,通过分析直线I恒过的定点A与圆的位置关系即可判断：对于B,分析直线1是否过圆心 O即可判断：对于C,根据圆的弦长公式，列出等式求解是否存在实数解即可判断；对于D,分析圆O到 直线1的距离即可判断. 【详解】对于A分析，直线l:-y+1=0恒过定点P(0,),定点P0,到圆心0的距离为 0P=V0-02+(1-0)2=1<r=2, 即定点在圆内，所以无论α取何值，直线都与圆O相交，即有两个公共点，故A正确： 对于B,若直线是圆0的对称轴，则直线必须过圆心O(0,0) 也即直线方程满足a0-0+1=1≠0，即 直线不过圆心，因此，不存在这样的a,使直线1是圆O的一条对称轴，故B错误； 对于C,设圆心O到直线的距离为d,d=a.0-0+1 Va2+(-1)2Va2+1: 直线被圆截得的弦长公式为L=22-,若弦长L=2, 则2=22-正，解得d=5,所以VV5,推得d=-子 3, 显然无实数解，因此直线被圆O截得的弦长不可能为2，故C错误： 对于D,圆O的半径”=2，若圆上至少存在三个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离对于需满足： r-d21,也≤1，当d-时，圆上拾好存在三个点到直线的距离为1，如图所示 第9页/共28页 6学科网6组卷网 一相切 过圆心 相交 1 xd- =≤1 2+1，满足，故圆上到直线距离为1的点至少有三个，故D正确. 故选：AD 10.在△ABC中，AB=4,AC=5,BC=6,下列说法中正确的有() A若点O为△4BC的重心，则A0=OB+OC B.若点O为△ABC的外心，则A0.AB=6 C若点O为△4BC的垂心，则A0B- D.若点O为△ABC的内心，且AO=xAB+yAC.刚r+ys3 5 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据重心性质和向量的平行四边形法则来判断；B选项，根据外心性质和向量的数量积 运算法则求解即可；C选项，根据垂心性质和向量的数量积运算法则求解即可；D选项，根据三角形内心 的性质及向量三点共线求系数和即可： OB+OC=20D A0=20D 【详解】A选项，如图1，设BC中点为D,则 ,由于点O为△ABC的重心，则 所以A0=OB+OC,A选项正确： B选项，如图2，设AB中点为E,由于点O为△ABC的外心，则OE垂直AB, 第10页/共28页 命学科网命组卷网 40.4B=(AE-OE).AB-AE.AB-OE-AB=AB-0=8 B选项错误； C选项，如图3，作CF⊥AB,垂足为F,则O在CF上，在△ABC中由余弦定理可得 cos∠A=B+AC2-BC21 2AB:AC8,在直角△ACF中，AF=AC-c0sA=S 8, (AF-OF):AB=AF.AB-OF.AB=AFAB-0-2 D选，如图女△Bc的内轻为，电w咖1 8, 则5-4B4Cn4=0+4C+80r,=7 2， 4V7 由osA名1-2sm分-2os号1，且4为三角形内角，可得m号.。 C0S= 8 2 24 0=-r 则 2 sin “2, 延长AO交BC于点G, 则SABC=S.AG+S,ACG即2 4B.AC.sin 4=4B-AG.sin 22 A 2AB·AC.Cos 5 则AG= 210 AB+AC =2,则AG=AO=xAB+yAG 3 3 5.5 3 由下A,CG三点共线，则5+=，+y亏，D选项正确： 故选：ACD. 第11页/共28页 6学科网命组卷网 图1 图2 图3 图4 1.x∈R,用网表示不大于x的最大整数，用x表示不小于x的最小整数.用mi{a,b}表示实数a,b 中最小者，如：min红，-=-l.记函数f()=minx-可x-x则() A发安=阳装时引 B.f(x=1)=f(f(x)) C质数2小闲单的对装新方程为一会e2 D.若集合A={f(x/(x)=f(2x》,则A中有12个元素 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据愿意分析函数（的性质，写出其解析式，并作出简图，再透项分析即可 【详解】由思可知，当0≤x≤1时，x-[=x,x-x=1-x 1 1 x< x> 解x<1-x得2：解1-x<x,得2 第12页/供28页 6学科网 6组卷网 x0≤xs 2 1 所以f()=1-2 <x≤1 f(x+1),x<0 f(x-1),x>1 简图如下： 0.5 y=f(x) 2 1 1 <x≤1,0≤1-x< 当2 时， 2 因为函数f()是周期为1的函数，所以函数一f(x,x∈R的值域和函数f(),x∈0，]的值域相同， 0. 所以函数y=f(x),xER的值域为 2·所以选项A正确： 因为e0引 所以f(f(x)=f(x):因为f(x+1)=f(x),所以f(x+)=f(f(x)所以选 项B正确； 因为函数y=/(四)的图象关于=2k∈乙对 E对称，所以函数y=f(2x)的图象关 2k∈Z 2x ,即 对称所以选项C错误： 因为函数f()是周期为1的函数，所以由f(t)=f2r）,得l2x2=x+m,m∈乙，或 第13页/供28页 6学科网列组卷网 x2=m r+12r=%neZ即r-meZ.度2=及， ，或13neZ 由西数f(:的周期性及对称性分折可知.(t)有12个不同的取值，分别如下： 当m=0时，x2=0,所以f(x)=f(0)=0, 当m1听，-.)=)品。 当m2.-品.商))品 当m3时.-品，)-》品 当m=4时.-，隋)=() 当m5时-，周()=()品 当m1时.2-两)=/信B: 当n2,-品，所)-)品. m=3.)-f品， n4.-后数e)-) n5所.-。u)=) 第14页/供28页 6学科网命组卷网 n=6时..所)=f) 12345123456 所珠合4=()-f2月=0品品3后11。 所以集合A中有12个元素，所以选项D正确 故选：ABD, 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12写出过坐标原点且与曲线y=e2 相切的一条直线方程一 【答案】y=2ex(或y=-2ex) 【解析】 【分析】由导数的几何意义求出x≥0时的切线方程，利用对称性可得x<0时的切线方程 【详解】当x≥0时，y=e2,y=2c2x e2 设切点坐标为(xo,e2）,则x ,解得 -=2e2 所以此时切点坐标为2， 切发方程为-e=29) 即y=2er 因为y=e2x 为偶函数，所以它的图象关于'轴对称， 则它的过原点的切线也关于y轴对称， y=-2ex 所以它的另一条切线方程为 y=2ex y=-2ex 故答案为： (或 第15页/供28页 学科网命组卷网 13技运数f-smar+引o>0.石2f得)对在食的实质s收之，则n的小值为 【答案】7 【解析】 -1 【分析】由题意可得 6 ,计算即可得 【详解】由题意可得 6 工0+-3江+2 kr(keZ） 则有6w32 解得0=7+12k(k∈Z) 则0的最小值为7 故答案为：7 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 1 14.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 2,且sin Bsin Ccos A=b2+c2-a2」 (1)求A: (2)求△ABC面积的最大值. 【答案】(1) A= 4 2+1 (2)16 【解析】 【分析】(1)由余弦定理得sin Bsin CcosA=2 bccos A,化简后再利用正弦定理可解出A, 2)由正弦定理得62 2sin B.c- 2 血C,代入三角形的面积公式后，通过B的范国可求出求 第16页/供28页 6学科网6组卷网 △ABC面积的最大值. 【小问1详解】 由余弦定理得sin Bsin Ccos A=2 bccos A, 所以cosA((sin BsinC-2bc)=0 因为△ABC为锐角三角形，所以c0sA≠0， 所以sin Bsin C-2bc=0,设△ABC的外接圆半径为T, 由E落定海n Bsinc -bx926c以F2 4, 1 2 inA=a 所以 2r 2× √22， 4 4=x 所以4. 【小问2详解】 C= 由(1)知4，则4 a=b=c22 由正弦定理得sinA sin B sinC sinπ2，所以， 以b-2sinB.c= 2sinc' 4 2 2 原aBc的东-太如4-晋nnC=号a8(经(n剑 8 8 第17页/供28页 6学科网列组卷网 0<B<T 2 由 3π-B<,得<B<瓜 0 4 4 2 T<2B-不<3n 从而得4 4，故当2B-元三无B3沉 42,即8时， V2+1 △ABC的面积取得最大值16. 15.已知函数f()=x-alhx-3e,x∈[l,+w) ()若f()是单调递减函数，求实数“的取值范围； (2)当a≥1时，证明：f(x)+r+1≤0 【答案】(1)【-2，+o) (2) 证法-：令h()=x-al血x-3e1+x+1 所以h(y=1-名-3c+2x ,因为a≥1， 所以h(四-1-名-3e+2x≤1-！30+2x 令M(=e-x-l,则M'()=e-1, 因为re+o,所以M'()=e-1>0,所以M(四在+o）单调递增， 所以M()≥M(0)=e-2>0,所以e>x+1,所以e≥x, s1-+2e1-3x+2r=1-(+ 第18页/供28页 6学科网命组卷网 x+≥2 因为x+x之2，所以H(x)<0,所以h(x)在山，+∞)上单调递减， 所以h()≤h0=0.所以f(✉)+1+r≤0 证法二：因为a≥1，所以f()+1+r≤x-nx-3e+1+2 欲证f()+1+r≤0，所以只需证x-lhx-3e+l+≤0， 所以只需证x+x-3e≤nx-1 令M(四=x+-3e,则M'()=1+2x-3e 令()=e-x-1,则'(=e-1, 因为x∈[，+m),所以(y=e-I>0,所以N(四在L,+o）单调递箱。 所以N()≥N(0)=e-2>0,即e>x+l,所以e≥x, 所以M'()=1+2r-3e<1-x≤0 因为M()=x+x-3e在，+o)上单调递减。 所以M(的最大值为1，令T(冈=血x-1,则T()的最小值为-1， 所以x+r-3e≤nx-l,即f(+1+x≤0 【解析】 【分析】(1)方法一：根据函数的单调性，可得了()≤0，x∈，+)恒成立，分离参数，转化成 a≥(x-3xe)x∈+o）恒成立，再设8(x)=x-3xe,求导，分析函数单调性，求函数的最大 值即可 方法二：根据西数的单调性，可得了（女）50，x∈，+w）恒成立，分类时论，可得实数Q的取值范国， 第19页/供28页 6学科网命组卷网 (2)方法：令()-t-a血x-3e++1,利用导数分新西散的华调性，求酒数的最小值即可， 需多次求导 方法二：采用放缩法，把问思转化为：只需证x+r-3e≤血x-1,再设M(x)=x+x产-3e T()=血x-1,分别求M()的最大值 T(x的最小值即可 【小问1详解】 略 16.如图，在直四棱柱 BCD-4B,GD中，底面ABCD是菱形，∠BMD=60°，B,O分别是BC, CD 的中点，平面 CDE ABCD 与平面 的交线为连接B0并延长交1于点P,D,P=1,DD,=4 D A B D (1)证明： A,D,P三点共线： P-ABC (2)求三棱锥 的体积. 【答案】(1)证明：在直四棱柱 BCD-4BGD中，平面ABCD/平面4BGD,平面GDEn平 面ABCD=DE, PO CO =1 平面CDE∩平面4BCD=L,则DE1I,OEOD,即PO=OE, 又∠COP=∠D0E,则△POC△BOD,PC=DE,四边形 PC ED 是平行四边形， 第20页/共28页 学科网命组卷网 于是GE1PD且GE=PD 取AD中点为Q,连接D、BO, 由DG1DC且DG=DC,DCI1 EODC=B0,得DG1IBO且DG=B 则四边形D,DEC是平行四边形，D2/CE且D0=CGE,又GBE1PD且CE=PD 因此PD1 DPD=D0,即PD与C共面，Pe平面4ADD,又Pe1,1C平面4BCD 则Pe平面4B,GD,又平面4BCDn平面4MDD=AD,即Pe4D, 所以4，D,P三点共线 P D A B (2) D 103 B 3 【解析】 【分析】(1)根据给定条件，利用面面平行的性质，结合平行四边形的判定性质及平面的基本事实推理 得证 (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点P到平面 ABC 的距离，进而求出锥体的体积 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由4)知，四边形DPD0是平行四边形，则2D=DP=1AD=2, 在△DCE DC=2,CE=l,∠DCE=60° 中， 由余弦定理得DB=22+1P-2×2x1x,=5 第21页/共28页 命学科网命组卷网 则D+CE2=DC2,故DE LBC,AD⊥DE,又DD平面ABCD 以D为原点，直 DA,DE,DD分别为xy2轴建立空间直角坐标系，如图： ZA A B O D 则42,0,0，C(-1,v5,0,BLV5,4),P(-1,04) B,C=(-2,0,-4),AC=(-3,V3,0),AP=(-3,0,4) m-B,C=-2x-4z=0 设T而8C的法向量为m=化)测mAC=-3x+=0◆2=得m=(2-23,0 则点P到平面ABC的距离为=m=位=77， 由AB,=CB=25,AC=2W3,得△AB,C边AC上的高h=V2V52-(W5=V7, 因此△AB,C的面积 .we-C-h-x2J3xJ7-J51 所以三楼锥P-4BC的体积pc-3c·1 3×57x107-10w5 173 x2y2 =1 17.已知M,N是椭圆43一上的两个动点，M在x轴上方，N在x轴下方，直线MN与x轴、y轴 分别交于S,T两点 第22页/供28页 6学科网列组卷网 3 (1)若直线OM与ON斜率之积为4，证明：|OM+ON为定值： (2)点1 关于x轴的对称点为H,设△MNH,△4MH的面积分别为S,S2,且S2AM· ①求直线MN的斜率： ST ST43 ②是否存在直线MN?使SMSW3？若存在，求出直线MN的方程：若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明：设M(,y),N(,)】 业=3 由题意得西4，所以吃6 +片-1+发=1 又M,N在椭圆上，所以43 ,43 得-》片=)代入防-品按+树-4 oM+ow=+片+后+分=+后+-31-}=7 【解析】 【】山设KXN6)白园话-名 2,又M,N在椭圆上，得 ==-)进类际 第23页/供28页 6学科网命组卷网 AN (2)D因为S,AM,得∠NMH=∠MAH·所以AM与AN关于直线x=1对称，所以 3 y2,52 x-1x2-1 0,由题意得直线N的斜率存在，设直线的方程为y=:+1'与椭 +少 4+3引联立进行求解 1 ST,ST]23 V4-2 45 ②由①知直线 的方程为y= N 2x+,由SMSw3H-1 3,进行求解， 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 2 --sin∠NMh AN ①因为S2 AMAh-sn∠aH AM 得sin∠NAH=sin∠MAH,即∠NAH=∠MAH. 33 2 y2- 2=0, 所以AM与AN关于直线x=1对称，所以-+书- 装理（引x-)+别x-)=0 由题意得直线N的斜率存在，设直线MN的方程为'=c+( x2.y2 与椭圆4+了1联立行3+4k)x2+8x+4-12=0, 第24页/共28页 6学科网6组卷网 有A=2-140.+=3,45提， 8kt 入a(引-+（引--+引s-0r(-) =2海6+-3+)(2-3列=0 理得42+4k-8k+3-21=0,解得2或7B K(MN不过点A,舍去)， 得直线MN的斜率为2. 1 ②由①知直线N的方程为'=2x+(, 联立x=2y-21与椭圆4+3=1我 Γ得4y2-6y+312-3=0, ⅓+⅓=为% 312-3 4,且应满足△=-1212+48>0， 3t2-3 y'y2=- <0，得？<1，过MN两点分别向轴作垂线，垂足分别为M,N, 4 器恩四片斗同 43 3 2(4-2） ,解得2=2（合）或- =4 得(2-12 5 1.,V10 2+ 所以存在直线N,其方程为y= xo =2- 5· 第25页/共28页 6学科网列组卷网 M N 及心资装划a,么0写引}，-石发的数黑代得 sina-sin≥4V2 台sina,+sin 1 sin-I (2)证明：Vn+1 Vn neN': (3)已知函数fx)=sinx,记f()=f(,(x)=f(f(》,f(x)=f((x)儿，neN 证明：√2026 3 √2035· 【答案】(1)4048： 明：◆sina=1 则ana Vn,且0<tanas1<交 1 2, 1 1 <sIn- 则要证√n+1 s√n,只需证sina<sin(tana）(*), 又正弦函数在( 2)上为单调递增，则(*)等价于a<tana,由三角函数线可知此式显然成立. 第26页/共28页 6学科网 组卷网 所以√n+1 <sin-,neN' Vn (3)证明： 22 Sin- 首先证明√n√n+1 了N.等价手2 112 nn n+1, 因in人。1 212 1 √n n石防放只需证明方o店n市，也即腾证明n中，令 =< Vn 1 a∈0， Vn+1: 2 ,则tana= n,且0<tanas1< 2, 则(*)式等价于 cos(tana)<cosa 0 又余弦函数在 2 上单调递减，该不等式等价于tana>a,这是显然成立的. 下面证明原题. 1 <sin- ，neN* 因√n+l n 1 11 1 左不等式：由5si n万>之4，递推可得(> V3+2023V2026: 右不等式： 由 2 sin-22 2 2 2 i位，道推可得m 2 V12+2023√2035 2 故有√2026 j02 √2035得证 【解析】 【分析】(1) 2温2-2工2m+22-可 台sina&,+sina+l sina sin 第27页/供28页 命学科网命组卷网 Nm+2-2244v2求解： 等价于a<tana,进行求解； 1 Sin- (3)由Vn+1Vn 'neN'sin-2<2 1 ,及nVn+neN ,进行证明. 1 sina sin 2(i+2-i+可)=(5-2)+(4-++(m+2-m+)=m+2-2 即Vm+2-V2≥442，所以m≥4048， 所以正整数m的最小值是4048.， (2)略： (3)略 第28页/共28页 2025年高三年级部分学生调研检测 数学试题 2025.10 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复数范围内，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量的夹角为，，则＝（ ） A. 4 B. C. 6 D. 4. 设数列的前n项和为，若，则＝（ ） A. －63 B. －31 C. 31 D. 63 5. 已知，则＝（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. 已知函数的定义域为R，是奇函数，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线E：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，过原点O的直线与E的左、右两支分别交于A，B两点，点C在E上，，若以AB为直径的圆过点，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O为球心，半径为的球面上，并且A，B，C，D在同一平面内，点Q为此八面体表面上的动点，且，则点Q的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆O：，则（ ） A. ，直线l均与圆O有两个公共点 B. ，使直线l是圆O的一条对称轴 C. 直线l被圆O截得的弦长可能为2 D. 圆O上至少存在三个点到直线l的距离为1 10. 在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（ ） A. 若点O为△ABC的重心，则 B. 若点O为△ABC的外心，则 C. 若点O为△ABC的垂心，则 D. 若点O为△ABC的内心，且，则 11. ，用[x]表示不大于x的最大整数，用表示不小于x的最小整数．用表示实数a，b中最小者，如：．记函数则（ ） A. 函数的值域为 B. C. 函数图象的对称轴方程为 D. 若集合，则A中有12个元素 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程______． 13. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且． （1）求A； （2）求△ABC面积的最大值． 15. 已知函数． （1）若是单调递减函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：． 16. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，E，O分别是BC，的中点，平面与平面的交线为l，连接EO并延长交l于点P，，． （1）证明：，，P三点共线； （2）求三棱锥的体积． 17. 已知M，N是椭圆上的两个动点，M在x轴上方，N在x轴下方，直线与x轴、y轴分别交于S，T两点． （1）若直线与斜率之积为，证明：为定值； （2）点关于x轴的对称点为H，设的面积分别为，且． ①求直线的斜率； ②是否存在直线，使？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 18. （1）已知数列，求最小的正整数m，使得； （2）证明：； （3）已知函数f（x）＝sinx，记，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $