精品解析：云南省昆明市第一中学2025-2026学年高三上学期第三次联考数学试题

6学科网6组卷网 昆明市第一中学2026届高三年级第三次联考 数学试卷 【考试时间：10月29日14：30一16：30】 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华刘皖明莫利琴毛孝宗凹婷波王佳文顾先成丁茵张远雄蔺书琴本试卷 共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试 卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内·写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效 4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 第1页供6页 命学科网命组卷网 1.设集合A={x=4x,B={-2,12,则40B=（) A.{-2,0,1,2} B{-2,2} c.{2) D.{0,} 2两数=2x 3的最小正周期是() A.2π B.兀 C.2 D.4 3.已知1为虚数单位，复数2满定（1+)z=3-i,则-（) 5 A.5 B.5 C.25 D.2 4已知向量m,元满足m+=(-2,-3),m-n=(4,-1),则园-片=《) A.5 B.-5 C.-11 D.11 y2 x2 =1 5.已知双曲线97一，则顶点到渐近线的距离为() 4w7 4V6 3W7 3v6 A. 3 B.3 C.4 D.4 6.若一个圆锥与一个圆柱的体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的 3 倍，圆柱 的高为3，则该圆锥的体积为() A.2V3π B.3 c6π D.9π 7.在△ABC中， AB=4,AC=2,∠BAC= 3,∠BAC的平分线交BC于D,则AD=() 2W5 43 A.3 B.3 c.3 D.3 第2页/共6页 6学科网命组卷网 e_lnx≥0 8.设实数2>0，若对任意的x∈(0，+o),不等式1 恒成立，则几的最小值为() 1 2 A. B.2e C.e D.3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设抛物线C:t=4y的焦点为F,过点P的直线与C交于M,N两点，则下列选项中正确的是( y=-1 A.抛物线C的准线方程为 B.若MF=3 则点M的纵坐标为2 C以N为直径的圆与直线y=- 相切 y=-1 D.以MF为直径的圆与直线相切 10.函数f()=Acosx+b(4>0,@>0)的图象如图所示，若f()的图象与8(=e的图象在 x=处有公切线，其中名∈（π，2），则() A.4=1,6=1 第3页供6页 6学科网列组卷网 3元 C.a=e 2 Df(y的图象与g(x)=ae的图象在x=飞处的公切线为y=x-+1 2 长方体ABCD-4BCD电，底面4BCD为正方形AB=方A4=2,B为棱BB上的一 2 平面1BG与楼D0交于点几，则下列结论正确的有() AE⊥CD A.当点E为 BB的中点时， 25 B.当点E为棱BB的中点时，点D到平面AEC的距离为3 C存在点区，使得平面1CE上平面ACD D.四边形 AECF 的周长的最小值是4V5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 121og,81-l1og,8-log23-23= 13.盒子中有5个小球，分别标有数字为1,2,3,4,5，这些小球除数字外完全相同，现从中依次随机抽 取2个小球（不放回，记取出的两个小球数字分别为m和儿，使得关于x的一元二次方程？+mx+n=0 有实数根的概率为， 14已知实数2满足： +=4,号+片=4,6+%=0.则 x+以-2+，+22的最大值为 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17 分，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第4页/供6页 6学科网命组卷网 15.某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试（满分100分），经统计，全部测试成绩均位于[50,100]内， 按区间[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，绘制频率分布直方图如 图，其中在[90,100]内的人数为6. 频率组距 0.045 0.015 0.010 0.005 0'5060708090100成绩/分 (1)求a的值，并估计参加测试的职工的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）： (2)现将[50,60)和[90,100]内的所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上（每个小球贴 一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭 档组”若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内记取得“黄金搭档组”的次数为X,求=2的 概率和X的数学期望， 16已知数列(}的首项4=且满足01=30+2”。 (1)求数列（的通项公式： (2)求数列(0，+2)力的前”项和S 17已知函数f()=x-r(aeR)的图象记为曲线C (1)若点A(2,4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程： (2)若过点B(2,O)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数a的值， 18.已知椭圆E: x,+y,=1(a>b>0的左焦点为F-1,0),过点F且与x轴不重合的直线京2 A,B,当直线1的斜率为1时，直线1恰好过椭圆的一个顶点 (1)求椭圆E的标准方程； (2)若在x轴上存在异于F的定点Q,使得直线OA与直线QB的斜率比值为定值， ①求定点Q的坐标： ②求△ABQ面积的最大值： 第5页供6页 6学科网组卷网 19.如图，在三棱锥P-ABC中 A B (I)若PA⊥BC,PB⊥AC,证明：PC⊥AB: (2)若AB L AC,PB⊥平面PAC,AB=AC=4, ①求三棱锥P-ABC体积的最大值； 12v2 ②D为平面ABC内一点，且点D与点A位于BC两侧，BD⊥CD,若APAB的面积为5，求 直线PD与平面ABCD所成角的正弦值的最小值. 第6页/供6页6学科网6组卷网 昆明市第一中学2026届高三年级第三次联考 数学试卷 【考试时间：10月29日14：30一16：30】 命题人：昆一中数学命题小组 审题人：杨昆华刘皖明莫利琴毛孝宗凹婷波王佳文顾先成丁茵张远雄蔺书琴本试卷 共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试 卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内·写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效 4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 第1页/共27页 学科网命组卷网 1.设集合A={x=4x,B={-2,12头，则40B=（) A.{-2,01,2 B.{-2,2 c.{2 D.{0,1} 【答案】B 【解析】 【分析】解方程求得集合A,利用交集的意义求解即可. 【详解】由x=4x,可得(x+2x-2)=0,解得x=0或x=2或x=-2, 所以4=0,22，又B={2,12,所以4nB=2,-2y 故选：B 2函数f(x)=tan 的最小正周期是() π A.2π B.π C.2 D. 【答案】C 【解析】 T 【分析】对于正切函数y=tan(ox+p),其最小正周期公式为@ T-π 【详解】由题意可得2 故选：C 3.已知i为虚数单位，复数2满足1+)z=3-i,则=（) √5 A.5 B.5 C.2W5 D.2 【答案】A 【解析】 第2页/共27页 学科网命组卷网 【分析】利用复数除法法则得到2=1一21，进而由模长公式得到答案。 3-i(3-i000-边_3-3i-i+2_2-4i=1-2i 2= 【详解】1+i(1+i01-i)1-22 故l=1+4=5 故选：A 4已知向量m,万满足m+n=(-2,-3),m-n=(4,-),则网-=（) A.5 B.-5 C.-11 D.11 【答案】B 【解析】 m,n 【分析】由题可求 ，再求值即可 【详解】m+n=(-2,-3),m-n=(4,-)】 ∴.2m=(2,-4)→m=(1,-2）.2n=(-6,-2)→n=(-3,-1) 所以网-月=1+4-(9+)=-5. 故选：B. y2 x2 =1 5.已知双曲线97一，则顶点到渐近线的距离为() 4V万 4v6 3V7 3V6 A.3 B.3 C.4 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】写出双曲线的项点和渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求解即可 y2 x2 解1双曲线。7A心.我方为易士 第3页/共27页 学科网命组卷网 根据双曲线的对称性，取顶点0,3)，渐近线3x+V7)y=0 0+3737 根据点到直线的距离公式得项点到渐近线的距离为 V9+7 4 故选：C 6.若一个圆锥与一个圆柱的体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的 、乃倍，圆柱 的高为3，则该圆锥的体积为() A.23n B.3 C.6z D.9n 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱和圆锥的结构和体积公式进行求解即可· 【详解】设该圆锥的高为h,圆柱底面半径为”，圆锥底面半径为√5r 6πr=V3πrV3r2+h 则 32-写小5a·解得国的径积为、， h=3 3元 故选：B 7.在△ABC中， AB=4,AC=2,∠BAC= 3,∠BAC的平分线交BC于D,则AD=() √5 2W3 4V3 A.3 B.3 c.3 D.3 【答案】D 【解析】 【分折】利用余弦定理，求得BC=25,得到BC2=4C2+AB,得出△4BC为直角二角形，结合 SANC=SACm+SAARD,列出方程，即可得到AD的长，得到答案 第4页/共27页 学科网命组卷网 【详解】在△ABC中， AB=4,AC=2,∠BAC= 3 1 BC2=AC2+AB2-2AB.AC.Cos∠BAC=16+4-2×4×2× =12 由余弦定理得 所以BC=2V3,所以AB2=AC2+BC2,则△ABC为直角三角形，所以 C-π 2, 如图所示，设D=x,因为Sac=Sam+SaMD, B D ×2x23=号×2x-sin30°+x4x-sin302W5= 1 可得2 ,即 2, 解得r43 3,所以D=43 3 故选：D es_lnr≥0 8.设实数元>0，若对任意的x∈(0，+o),不等 恒成立，则入的最小值为() 1 2 A.e B.2e C.e D 【答案】A 【解析】 【分析】利用隐零点结合函数单调性和最值可得答案，或者利用同构结合单调性可得答案 e_nr≥0 【详解】实数2>0，若对任意的x∈(0，+o),不等式入恒成立， 第5页/共27页 6学科网6组卷网 即为 2)mn≥0 设f)=e-nr 1，x>0,fy)=e-1 x 1 令'()=0，可得2x, 由指数函数和反比例函数在第一象限的图象， V= 可得y=e“和x有且只有一个交点， 为).当>m时，f)>0,f潘指： 设 “时， 当0<x<m时，f闭<0，f田递减。 即有f四在x=m 处取得极小值，且为最小值 即有 22m, f(m)=eimInm 当m∈(0，叫时，hm≤0，此时fm≥0恒成立，符合题意： 当mo)时，由a侧=e-0w得n,ms 可得2m,即 Inm; 1 由 m两边取对数可得九m=-lnm-2n2, 所以l血m-2ns、1 -2n2≤nm+ 1 nm,即 Inm, Inm+- 1z2 因为lnm>0,所以lnm,所以-2ln≤2，解得e, 第6页/共27页 6学科网6组卷网 所以几的最小值为e. 故选：A. c“_lnr≥0 另解：因为2>0，不等式2恒成立，即为e“-lnx≥0， 当x∈(0，时，lhx≤0，此时e“-lnr≥0恒成立： 当x∈（，+o）时，上式可化为xe“≥xhr=lnre"。 令f()=e,由f(=e(x+l)>0可得f田在，+o)递增， 所以x≥nx,即有 的少r 的导数为少1 x2,当x>e时.少 x递减.0<x<e时.yh x递增， Inx 1 可得x=e时，y= x取得最大值e.则一e, 1 2的最小值为e. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设抛物线C:r=4y的焦点为F,过点丹的直线与C交于M,N两点，则下列选项中正确的是( 第7页/共27页 学科网命组卷网 A抛物线C的准线方程为'= B.若MF=3 则点M的纵坐标为2 C以N为直径的圆与直线'= 相切 D.以证为直径的圆与直线'=相切 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求得P，以及抛物线的焦点，进而求得抛物线的准线方程，结合抛物线的定义以及直线与圆的 位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案， 卫=1 【详解】由抛物线C:x=4y的方程得P=2,2,所以焦点F(0,), 对于A,抛物线C的准线方程为”=？-】 2,A正确： 对于B,根据抛物线的定义，若M=3,则点M到准线y=1的距离为3， 则点M的纵坐标为2，B正确： 对于C,设线段MN的中点为P,准线为直线1， 过W作NML,垂足为4，过P作P吧1，垂足为9.过M作MB11垂足为9， 由抛物线定义可知， NA=NF MB=MF NF+MF=MN 由梯形中位线定理， IPQj-14N1+IBMI_MNI 2 2,故以MN为直径的圆与准线相切，C正确： 0x0+4 对D,设M，，则MF的中点坐标机28 第8页/共27页 6学科网命组卷网 白M的长度的一半（的径）为代+昏--分昏+去“ 1 8 0x号+4 x号+4 而MF的中点 2’8 到直线y=一1的距离为8+1>方+4 8，即以M为直径的圆与直线 y=-1 相离，故D错误 故选：ABC y=-1A 10.函数f(x)=Acos+b(M>0,@>0)的图象如图所示，若f(x)的图象与8()=ae的图象在 x=处有公切线，其中∈(，2)，则() AA=1,b=1 3元 C.a=e Df(,的图象与g(x)=a心的图象在x=处的公切线为y=x-+1 2 【答案】ACD 【解析】 第9页/共27页 命学科网命组卷网 【分析】根据余弦函数的图象和性质逐项判断即可： 【详解】由图可知，f0)=A+b=2,f)=-4+b=0,所以f()=c0sx+1,A正确 的图象不关于原点对称，不是奇函数，B错误； -sin xo ae* 因为f'(x)=-sinx’g(x)=ae,所以cosx+1=ae,解得x= 2’a=e兰，CE确： 3π 所以付的图象与gW=a心的图象在x=5处的公切线方程为y=:-亚+1，D正确 2 故选：ACD. 全长方体4BCD-4BCD中，底面ABCD为正方形AB=2AA=2,E为棱BB上角 平面 BG与楼DD交T点卫，则下列结论正确的有() A.当点E为棱 麦BB的中点时， AE⊥CD, 25 B.当点E为棱BB的中点时，点D到平面AEC的距离为3 C.存在点B,使得平面4CE上平面4 ACD D.四边形 AECF 的周长的最小值是4V5 【答案】BC 【解析】 【分析】连接4B,利用BA1CD与AE不垂直4B判断A,利用等体积法求解点面距离判断B:利用 定义法作出二面角 B-AC-D的平面角，然后利用面面垂直得确定点B位置判断C,先判定四边形 AC为产行西边彩，总后1B8A和B公CC保开在同面内彩用三点关线录豆来邦晓外他州断D 第10页/共27页 学科网命组卷网 【详解】对于A,当点E为楼B的中点时，连接4B,则BACD 在长方形ABBA中， tan Z4EB1am☑ABB=Ag-2',期am乙2丝sT 2, 1x1 所以an(∠AEB+∠ABE)=2 =3,所以 1-1× 2 ∠AEB+∠4BE≠T1 所以AE不垂直4B,所以AB不垂直CD,故A错误， 对于B,当点E为棱BB的中点时，由D2 A4=2」 “可知AE=CE=V22+22=22, 又4C=2W5,放△1BC是等边=角形， 散点n平面C的原%d,房人c-宁*2反x2×d-2 2 3 d )×2x2×2=4 11 VE-ACD= 25,4 32 ,由'n-c="g-4C得3d= 3,所以d=2v3 3, 25 即点D到平面AEC的距离为3，故B正确： D B 对于C,在长方体MBCD-ABCD中，平面AECACD=AC, 连接BD交1C于点0，因为O为4C中点，ME=CE,AD=CD 第11页/共27页 命学科网命组卷网 EO⊥AC,D,O⊥AC 所以 所以∠BO0D即为二面角B-1C-D的平面角，当平面ACE⊥平面4CD时，B01D0, 设旺=，B0=D0=V反，在直角三角形DD0中，an∠DD0-2D-4=25 OD√2 又∠DD0+∠E08=,01n0. 1√2x tan∠DD022=4V2, 1 所以 2,即 2时，使得平面ACE⊥平面ACD,故C正确： D A By B 对于D,如图，在棱DD上取-点F,使DF=BE,在楼CC上取-点N,使CW=BE NE,DN 连接 D A B C 因为ADIIBCIIEN,EN=AD,所以四边形ADEN为平行四边形， 第12页/供27页 6学科网命组卷网 EIIDN,且ME=DN,又因为 DF//CN DF=CN 所以1 DFCN 所以四边形 为平行四边形， 所CFIIDN,GF=DN,所CF1/A5,CF=AE AECF 所以四边形 为平行四边形，则周长=2(4E+BC) 将4BB4和B,CC展开在同一平面内，如图： A 可知1E+BG≥1G,此时点E为 BB的中点， 故当点E为楼B品的中点时，四边形1BCF的周长的最小值， 最小值是24G=2xv④+华=8万，放D错误 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 121og,81-l1og,8-log23-23= 【答案】 1#-0.5 【解析】 【分析】由对数运算性质可得答案. 第13页供27页 命学科网列组卷网 4-310g,2-108,3-3=4-;-3=-) 【详解】原式=2 2 1 故答案为： 2 13.盒子中有5个小球，分别标有数字为1,2,3,4,5，这些小球除数字外完全相同，现从中依次随机抽 x2+mx+n=0 取2个小球（不放回），记取出的两个小球数字分别为和”，使得关于x的一元二次方程 有实数根的概率为. 【答案】2.5 【解析】 【分析】先求出从有5个小球随机抽取2个小球的所有情况，再找出符合方程要有实数根的情况，最后根 据古典概型概率公式即可求出 【详解】从中依次随机抽取2个小球（不放回），共有5×4=20种， 方程要有实数根，即判别式△=m-4n≥0 满足条件的有：当m=2时，n=1,共一种情况； 当m=3时，n=ln=2共两种情况； 当m=4时，n=1、n=2、n=3共三种情况； 当m=5时，n=1、n=2、n=3、n=4共四种情况， 满足方程要有实数根共有1+2+3+4=10种情况， 101 所以概率为202. 故答案为：2 第14页/供27页 学科网 命组卷网 14.已知实数，必满足 子+=4号+片=4，x+%=0.则 x+y-2+6+%-2的最大值为 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意可得点M,N在以原点为圆心，半径为2的圆上，进而把：+%一2+：+%-2转化 为点到直线的距离问题求解即可 【详解】由+=4，+分=4，+=0，可设点M), 且OM0N=0,因此，点M,W 在以原点为圆心，半径为2的圆上， +-2华为-g2,格到 22 M,N 所求最大值可转化为点 到直线x+y-2 0的距离的和的最大值的√2倍 M,N 由下图可知，直线与圆相交，则点在优弧上的时候所求距离最大， M M,N G, 从 作直线*+y~2=0 的垂线，垂足分别为 H,则MGNH 所以四边形MNHG是梯形，分别取MN,GH的中点人，K,则MG+NH=2K M,N 于是所求距离的最大值等于点 /的中点J到直线+y-2=0距离的最大植的22位 设M2cosa,2sinw,由OM.ON-0得N2osa+2,2sn(a+2》,即NM-2sin.2 cosaX@ER). 第15页/共27页 6学科网命组卷网 M,N (cosa-sina,cosa sina) 故点 的中点坐标为 d= 则点M,N的中点到直线x+y-2=0的距离为 cosa-sin a+cosa+sina-2cosa-1 当cosa=-l时，dmx=2V2 则：+片-2+书+%-2的最大值为22dm=22x25=8. 故答案为：8 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17 分，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试（满分100分），经统计，全部测试成绩均位于[50,100]内， 按区间[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，绘制频率分布直方图如 图，其中在[90,100]内的人数为6. 频率组距 0.045 0.015 0.010 0.005 0'5060708090100成绩/分 (1)求α的值，并估计参加测试的职工的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）： (2)现将[50,60)和[90,100]内的所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上（每个小球贴 一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭 档组”若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内记取得“黄金搭档组”的次数为X,求=2的 概率和X的数学期望， 【答案】(1)a=0.025,75; J (2)8,2. 第16页供27页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】(1)在频率分布直方图中，利用所有小矩形面积和为1，列出Q的等式，解出4.在频率分布直 方图中，利用平均数等于每个小矩形的中点值乘以这个小矩形的面积相加求和求出平均成绩： (2②)求出90100内的频率和人数，求出[50,60)内的人数，求出每次拍取取得黄金搭档组”的概幸，又 X-B4,2, 利用二项分布求出P(X=2)和E(X) 【小问1详解】 (0.005+a+0.045+0.015+0.01)×10=1 由题意，得 解得a=0.025 参加测试的职工的平均成绩估计为 55×0.05+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.1=75 【小问2详解】 6 =60 在[90,100]内的频率为0.01×10=0.1，由题意得总人数为0.1 所以在[50,60)内的人数为60x0.05=3 CCa _1 每次抽取取得“黄金搭档组的薇率=C-2,因此X-B(4， P心-2-cx0==42 16已知数列(0的首项4=l且满足01=30，+2” (1)求数列()的通项公式： (2)求数列”a,+2”)少的前n项和 【答案】(1)a=3”-2” 第17页/供27页 6学科网 命组卷网 2)9-2m-03+3 【解析】 【分析】(1)先根据题干构造出{a,+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，进而求出数列(a)的通 项公式： (2)由(1)可知数列(n(a,+2” 的通项公式为等差乘等比，利用错位相减求出前项和即可. 【小问1详解】 由于0=30n+2” 则01+21=30n+2”+21 化简得01+21=3(a+2”) 又4+2=3，则{a.+2”}是以3为首项，3为公比的等比数列， 得0，+2”=3” 所以0，=3”-2” 【小问2详解】 由(1)得，an=3”- 2,则a.+2)=n-3”,则 Sn=13+2.32+333+…+n.3” ,① 3Sn=132+233+3.34+…+n3m+1 ,② ①一②，得 第18页/供27页 学科网命组卷网 -2Sn=3+32+33+…+3”-n.3 31-3) -2Sn= -n.3n+ 1-3 -25,=3-3 -2 -n.3H 23,=313 -n.3m 2 化简后得=2m-)3+3 4 17.已知函数f(x-m(aeR)的图象记为曲线C (1)若点A(2,4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程： (2)若过点B(2,O)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数a的值 【答案】（4)y=10x-16y=x+2 或 (2)2 【解析】 【分析】(1)根据A点坐标求得a,利用导数求得切线方程. L,f() (2)设切点为 求得切线方程并代入点B的坐标，利用等差数列的性质以及方程的思想列方程， 化简求得a的值. 【小问1详解】 函数=r-“对应图象为曲线C,因为点(2,4)在曲线C上， 所以4=2-2a→a=2,所以f=r-2x,f=3x2-2. 设切点为么f0）,切线方程为y-C-20=(6r-2x-0,即y=(6r-2r-2”, 因为切线过点4，所以2-60+8=0，即户-3+4=0， 第19页/共27页 命学科网命组卷网 -212-(-4)=0,P(t-2)-(t-2)t+2)=0 -20-1-2）=0,-2(+)-=0,所以t=2或t=-1. 所以切点为(2,4)或（1，). 将1=2或1=-1代入y=B0-2r-22 可得切线方程为：y=10x-16或)=x+2 【小问2详解】 函数0=-，求导得f四=3x-a 设切点为么f©) 切线方程为'--a）=(6-x-0,即y=3r-a0r-2r 切线过点B(2,0),则-3+a=0 依题意方程有三个不同解，且成等差数列， 设三个不同解为45，且24，=4+4 P-32+a=t-4)-)0-5)=fG+52+6)12+42+4+25)r-5 41+12+t=3 则6+华+4=0，结合 得 4t243=-a 42=1+4342=14+4=2 （6+5)5+6=2+6=0,所以4=-2 所以a=-44=2 x2,y2 18.已知椭圆卫： 示+尔=1a>b>0)的左焦点为F(1,0),过点P且与箱不重合的直线1交E于 A,B,当直线1的斜率为1时，直线1恰好过椭圆的一个顶点 (1)求椭圆E的标准方程： 第20页/供27页 命学科网命组卷网 (2)若在x轴上存在异于F的定点Q,使得直线OA与直线QB的斜率比值为定值， ①求定点O的坐标： ②求△ABQ面积的最大值， x2 【答案】(1)2 +y2=1 √2 (2)①Q(-2,0):②2 【解析】 【分析】(1)易得c=1,再由直线I恰好过椭圆的一个项点得到c=b=1求解： (2)①设直线的方程为 2,x=my-1 ，与椭圆方程联立，再结合韦达定理求解：②由①得到 y+2 2m -1 m2+2,=m+2,Q(-2,0),再由Sm=Sm+Sm求解 【小问1详解】 由题意知，c=1, 当直线I的斜率为1时，直线恰好过椭圆的一个顶点， 所以c=b=1,所以a=V2 x2 所以椭圆E的标准方程为2+少=】 【小问2详解】 ①由意意可设4，），B,).6,00≠-) x=my-1 设直线的方程为 第21页/供27页 命学科网命组卷网 x=my-1 联立x2+2y2=2,得(m2+2)y2-2my-1=0, 2m -1 则1+h=m2+2,业=m+2,得片+%=-2my4, 记直线4的斜率为，直线OB的斜率为， y k=x-1=Cs2-)=my2-1-0=myy2-+0y-3+20y+2 则无22G-)⅓m-1-0m4-0+0y片+6+20' x2-1 k 3+21-1 k二1 要使k为定值，则13+21，解得1=-2或t=-1(舍去)，此时k2 故在镇上存在异于点F的完点O-2,0),使得直线04与直线O”的斜率比值为定值 2m -1 ②由①可得片+为 m2+2,4m+2,Q(-2,0 4m2 422Vm2+1 则4-2=V0+y}-4y2= 0m2+2y+m+2= m2+2 由e=S.m+Sn 教8w0W-号22-2 m2+2, √2 √2 √m2+1+ 1 2 Vm2+1 √2 当且仅当m=0时等号成立，所以△ABQ面积的最大值为2. 第22页/共27页 6学科网命组卷网 /FO B 19.如图，在三棱锥P-ABC中. P (I)若PA⊥BC,PB⊥AC,证明：PC⊥AB: (2)若AB⊥AC,PB⊥平面PAC,AB=AC=4, ①求三棱锥P-ABC体积的最大值： 12V2 ②D为平面ABC内一点，且点D与点A位于BC两侧，BD⊥CD,若APAB的面积为5，求 直线PD与平面ABCD所成角的正弦值的最小值， 【答案】(1) 证明：设PA=a,PB=6,PC=c,则BC=PC-PB=c-6, 因为PALBC,所以PA1BC,所PA-BC=0,所以a-E-=0, 所以ac-a:b=0① 又4C=PC-Pi=c-a且PBLAC,所PB⊥MC,所以PB:AC=0, 第23页/供27页 命学科网命组卷网 所以6-在-0=0 所以6：c-b:a=0② 击0@知a-c=a-6=-6c,所以4-c-万c=0 H B 所以ca-=0,又a-6=PA-PE=BA,所以PC LBA,即PC LAB 16 √10 (2)①3：②10 【解析】 【分析】山设P1=a,PB=,PC=c,利用空间向量的数量积与运算律可得a-C-b-C=0,进 而可得结论： (2)①利用能体的体积公式，以及PA-PB≤PM+PB 2 =8,可求体积的最大值；②取AB的中点0： 以O为原点，OB为x轴，过点O且平行于AC的直线为y轴，过点O且平行于PH的直线为z轴，建立 空间直角坐标系，设BC与y轴交于点M,求得平面ABCD的一个法向量，设点 m.PD in= D(2V2cosa,2V2sina+2,0),求得直线PD的方向向量PD?利用向量法可得 mPD,进 而计算可求得直线PD与平面ABCD所成角的正弦值的最小值. 第24页/共27页 6学科网6组卷网 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①PB⊥平面PAC,ACC平面PAC,所以PB⊥AC,又因为AB⊥AC,PBOAB=B, 所以AC⊥平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC, 作PH⊥AB,则PH⊥平面ABC, 由PB⊥平面PAC,PAc平面PAC,则PB⊥PA, 又AB=AC=4,所以PB+PA=AB=16, 所以PA-PBS PA+PB 28 ，当且仅当PA=PB=2V2时取等号， 、 由ap 2 B-H,海PH=PA.PB82 PB.PA=I ,得 AB4 而5c分4B4C-x4x4=8, 2 所以-5.号8-9 1 3 16 所以三棱锥P-ABC体积的最大值为3， B ②取AB的中点O,以O为原点，OB为x轴，过点O且平行于AC的直线为y轴， 第25页/供27页 6学科网列组卷网 过点O且平行于PH的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为Sw-PMP8-22>PMP8-245 5 5 则PH=PAPB6 AB 5, 0p-0=2,muom=0-pm-4店器 2 2525, (5,0 5设BC与y轴交于点M:则M(02,0) 而DM=号BC=25,点D在以BC为直径的半圆上， 限hD25ma.25au+20训.其中20w-吾-“晋a<空 4), m-m2g,2a+36g） 平面ABCD的一个法向量为m=(0,01),设直线PD与平面ABCD所成角为0， 6√2 m-PD sin0= 5 所以 PD a27jma+j62） 6W2 =6v2 1 5 V16±8v1 cosa+8v2sina 5 +8/14 因为5 -cosa+8v2 sina= 5 lana= 7时，等号成立， 第26页/共27页 6学科网 6组卷网 ino=6v2 ≥V 1 10 -X- 所以 5 h6+8v14 6410 5 cosa+82sina V10 所以直线PD与平面ABCD所成角的正弦值的最小值为10· 第27页/共27页