上海市大同中学2025-2026学年高二上学期10月数学周练试题

大同中学2025-2026学年第一学期高二年级数学周练 2025.10 一、填空题 1.长方体长、宽、高分别为3,4,5，则它的对角线长为 2.已知平面，B和直线a,b,c,且a/1b/1c,ac,bcB,ccB,则a与B的位置关系是 3.过平面外一点P的斜线段是过这点的垂线段的 3 倍，则斜线与平面所成的角的大 小是 4.在圆锥S0中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，SA=5,底面圆的半径为4，则 点C到底面的距离为 5.如图，ABC-AB,C1是直三棱柱，∠BCA=90°，点E,F分别是A,B,A,C,的中点，若 BC=CA=AA1,则BE与AF所成角的余弦值为 B E B C B A (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图，一圆柱体的底面周长为16cm,高AB为16cm,BC是上底面的直径.一只昆虫从 点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,昆虫爬行的最短路程是 7.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA=8.若侧面AAB,B水平放置时，液面 恰好过AC,BC,A,C1,B,C,的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为 8.正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为2√2，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则 平面α截正方体所得截面面积的最大值为 9.已知异面直线，b所成的角为0，如果过空间一定点P与直线4，b都成75°的直线有且仅 有3条，则0= 10.如图，在直角△MBC中，C=受BC=20,AB=40,现将其放置在平面的上面，其中点 4B在平面a的同一侧，点Ce平面a,BC与平面所成的角为g,则点A到平面a的最大 距离是 D C D (第10题) (第11题) (第12题) 11.如图，在正方体ABCD-AB,C,D1中，AA1=1,P是棱AB上任一点，若平面BDP和 平面AAD,D所成的角为日，则tan的最小值为 12.如图，已知菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE 翻折成△AB.E(点B,位于平面ABCD上方)，连接B,C和B,D,F为B,D的中点，则在翻折 过程中，点F的轨迹的夹角为 二、单选题 13.有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱 的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆柱的母线长；③圆柱的任意两条 母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是( A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 三、解答题 17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为"鳖臑”如图， 三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,BC⊥CD. (1)证明：三棱锥A-BCD为鳖臑； (2)若E为AD上一点，点P,2分别为BC,BE的中点，平面DP2与平面ACD的交线为I, 证明：直线PQ/1L. B P 18.如图，直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AC=AA1=2,∠ABC=45°. (1)求直线BA与平面BCC,B,所成的角； (2)求二面角A-A,C-B的正切值. B 19.如图，三棱柱ABC-AB,C,中，侧面BB,CC为菱形，B,C的中点为O,且AO⊥平 面BBC,C. (1)证明：B,C⊥AB; (2)若AC⊥AB1,∠CBB,=60°，BC=1,求三棱柱ABC-A1B,C1的高； (3)在(2)的条件下，求三棱柱ABC-AB,C,的表面积. C B B 20.如图，在菱形ABCD中，AB=3,∠ABC的余弦值为M为BC靠近B的三等分点， 将△MBM沿直线AM翻折成△1B,M,连接BC和BD,DN=B,D, 3 (1)求证：平面B,MC⊥平面AMCD; (2)判断线段CN的长是否为定值？若是，请求出线段CN的长，若不是，请说明理由； (3)求二面角B,-AD-M的正切值的最大值. B B 四、多选题 21.素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，其水平反映了绘画者的空间造型 能力."十字贯穿体"是学习素描时常用的几何体实物模型。如图，这是某同学绘制"十字 贯穿体"的素描作品，该”十字贯穿体”是由一个圆锥和一个圆柱"垂直贯穿"构成的多面 体，圆锥的两条母线与圆柱相切，其中一个切点为A，圆柱侧面的母线平行于圆锥的底面， D为圆锥的顶点，圆锥的一条母线与圆柱的侧面交于B,C两点，且B为圆柱侧面上到圆锥 底面距离最大的点，圆锥的母线长为8V3-8,其底面圆的半径为8√2-4√6，圆柱的半径 为√3-1，则(1)点C到圆锥底面的距离为；(2)点B到圆锥底面的距离为 大同中学2025-2026学年第一学期高二年级数学周练 2025.10 一、填空题 1.长方体长、宽、高分别为3,4,5，则它的对角线长为 【答案】5√2 【详解】因为长方体长、宽、高分别为3,4,5，所以它的对角线长为√32+42+52=5V2, 故答案为：5√2 2.已知平面a,β和直线a,b,c,且a/1b/1c,ac,bcB,ccB,则a与B的位置关系是 【答案】平行或相交 【详解】b11c,bcB,ccB,当与B相交或平行时，都能找到a/1b/1c且aco, 故答案为：平行或相交 ⑧过平面外一点P的斜线段是过这点的垂线段的 3倍，则斜线与平面a所成的角的大 小是 【答案】60/ 3 【详解】如图，连接AB,由PB⊥o, 知∠FAB是线段PA与平面a所成角， 在△Ma中，因为M-2m,所以mPa-得-受P引， 3 所以∠PAB= 行，即线段PA与平面a所成角为胥 故答案为： 31 4.在圆锥S0中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，SA=5,底面圆的半径为4，则 点C到底面的距离为 【答案】2 5.如图，ABC-AB,C1是直三棱柱，∠BCA=90°，点E,F分别是AB1、1,C的k.若 BC=CA=AA1,则BE与AF所成角的余弦值为 B E E F 【答案】 V30 10 【详解】取BC的中点M,连接MF,则MFI/BE, 所以∠MFA就是异面直线BE与AF所成的角， 2, COS∠MFA V30 V30 √6V5 10 ，故答案为： 10 2× -aX a 2 2 6.如图，一圆柱体的底面周长为16cm,高AB为16cm,BC是上底面 的直径.一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，昆虫爬行 的最短路程是 【答案】16V2cm 7.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA,=8.若侧面AA,B,B水平放置时，液面 恰好过AC,BC,A,C1,B,C,的中点.当底面ABC水 平放置时，液面高为 【答案】6 【详解】当侧面AAB,B水平放置时，水的形状为 四棱柱形，底面是梯形， 3 3 设△MBC的面积为S,则S梯形=二S,水的体积V水=二S×AA,=6S, 4 当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h,则有V水=Sh=6S,得h=6, 即当底面ABC水平放置时，液面高为6.故答案为：6. 8.正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2V2,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则 平面α截正方体所得截面面积的最大值为 【答案】6v3 【详解】相互平行的直线与平面所成的角是相等的， B 可知在正方体ABCD-A,B,C,D1中，平面ACD,与直线 AD,DC,DD所成的角是相等的，平面a与平面ACD,平行， 由正方体的对称性：要求截面面积最大， 则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心）， 边长为2，所以其面积为S=6×5×2=6N5.故答案为：6N5 9.已知异面直线4，b所成的角为0，如果过空间一定点P与直线4，b都成75°的直线有且仅 有3条，则0= 【答案】301 6 【点睛】结论点睛：若两条异面直线a,6b所成的角为0<0<，过空间中一定点P作与 直线a,b所成角均为a的直线，(1)当a=时，直线c有且仅有1条； ②)当ga-9 时，直线c有且仅有2条；(3)当a=元，日时，直线c有且仅有3条； 2 2 (4)当元-日 2a<时.，直线c有且仅有4条；⑤当a=时直线c有且仅有1条 10.如图，在直角△4BC中，C=受，BC=204B=40,现将其放在平面的上面，其中点 A,B在平面α的同一侧，点C∈平面a,BC与平面所成的角为G,则点A到平面a的最大 距离是 【答案】30 【详解】如图，过B作BB,⊥o,交a于B,,过A作AA1⊥，交a于A1, 因为在RABC，中∠4CB=受BC=20,4B=40, 则AC=√AB2-BC2=20√5，当A,B,B,C四点共面时，点A到a的距离最大. 因为B,1a,所以∠BCB,是BC与平面a所成的角，则∠BCB,=石，则∠ACA-于， AM=ACsin=203×3-30,即A到a的最大距离为30.故答案为 11.如图，在正方体ABCD-A,BC,D,中，AA1=1,P是棱AB上任一点，若平面B,DP和 平面AA,D,D所成的角为日，则tan0的最小值为 C B D C C A A B B D 【答案】 2 【详解】如下图所示：当P与A,B重合时，可得：tan0=1;