精品解析：河北省冀州中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025—2026学年上学期第二次月考考试 高一年级 数学试题 考试时间：120分钟 试题分数：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列与集合表示同一集合的是（ ） A. B. C. D. 2. 集合的子集个数是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 3. 已知是实数集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 6. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 正数，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 2 8. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 给出下列说法，其中正确的有（ ） A. 中国的所有直辖市可以构成一个集合 B. 高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C. 正偶数的全体可以构成一个集合 D. 大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 10. 已知，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 11. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是_____. 13. 不等式的解集为_____. 14. 已知集合，，且，则______． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为R，集合. （1）求； （2）求，. 16. （1），比较与的大小； （2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值. 17. 设集合，. （1）若，求； （2）若存在实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 18. 已知二次函数. （1）当时，求该二次函数的最小值； （2）当时，该二次函数有最小值. ①求的值； ②求此时函数的最大值. 19. 在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素 ，，规定：． （1）计算：． （2）中是否存在唯一确定的元素满足：对于任意，都有 成立，若存在，请求出元素；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；在 （3）当时，求关于的不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期第二次月考考试 高一年级 数学试题 考试时间：120分钟 试题分数：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列与集合表示同一集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合相等的条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误， 对于B，集合的元素是点，所以B错误， 对于C，由，解得或， 所以，故C正确， 对于D，集合中有二个元素，，所以D错误， 故选：C. 2. 集合的子集个数是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】确定集合元素个数，即可求解. 【详解】， 所以子集个数是， 故选：B 3. 已知是实数集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由韦恩图可得阴影部分表示的集合是，再利用补集与交集定义计算即可得. 【详解】由图可得图中阴影部分表示的集合为， 由，则或， 又，则. 故选：D. 4. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式即可得到答案. 【详解】，当且仅当时等号成立， 故选：C. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解法求解即可. 【详解】不等式等价于， 解得或， 所以不等式的解集为：或. 故选：D 6. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求不等式的解集，根据集合的包含关系确定“”的必要不充分条件. 【详解】由. 所以不等式的解集为. 因为，所以“”是“”的充要条件； 因为与集合不存在包含关系，所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 因为⫋，所以：“”是“”的必要不充分条件； 因为⫋，所以“” 是“”的充分不必要条件. 故选：C 7. 正数，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为正数，满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：A. 8. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：，是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以其最小值为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 给出下列说法，其中正确的有（ ） A. 中国的所有直辖市可以构成一个集合 B. 高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C. 正偶数的全体可以构成一个集合 D. 大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 【答案】AC 【解析】 【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可. 【详解】A，C中的元素具备确定性，可以构成集合，A，C正确. B中高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误. D中的元素具备确定性能构成集合，D错误. 故选：AC 10. 已知，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】用特殊值法和不等式的性质一一求解即可. 【详解】对于A，，取，，，不满足， 选项A错误； 对于B，，取，，，不满足， 选项B错误； 对于C，，，，， 选项C正确； 对于D，，，， ，， 选项D正确. 故选：CD. 11. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，所以根据基本不等式的性质得 ，解得， 当且仅当时等号成立，此时的最大值为，所以A正确； 对于B： 因为， 当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为5，所以B错误； 对于C： ，由A知的最大值为， 所以的最大值为，所以的最大值为，所以C错误； 对于D： ，所以. 由A知，所以，所以的最小值为，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是_____. 【答案】， 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定的求法，直接求出命题的否定，即可求解. 【详解】命题“，”的否定是，， 故答案为：，. 13. 不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】由， 解得：， 所以不等式的解集为， 故答案为： 14. 已知集合，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解集合，再根据确定集合对应的一元二次不等式，利用韦达定理求出、的值，最后计算. 【详解】解不等式，等价于，即， 解得，所以， 因为，所以不等式解为， 则一元二次方程的两根为，， ，解得， ，解得， . 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为R，集合. （1）求； （2）求，. 【答案】（1）， （2），或 【解析】 【分析】（1）根据集合交集和并集的定义即可求解， （2）根据补集的定义，结合并集和交集的运算即可求解. 【小问1详解】 由已知， 则，； 【小问2详解】 又全集为， 则或或， 故，或. 另解：或. 16. （1），比较与的大小； （2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值. 【答案】（1）；（2）的最小值20， 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可得解； （2）由（1）知，，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1），， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以. （2）由（1）知， ，当且仅当时取等号， 显然要使成立，需满足，解得 综上可知，当，代数式取得最小值20. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17. 设集合，. （1）若，求； （2）若存在实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法，求出集合，再结合条件，利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件得到，从而有，即可求解. 【小问1详解】 由，得到，所以，则或， 当时，，则或， 所以或. 【小问2详解】 因为“”是“”成立的充分不必要条件，则， 又由（1）知，所以，解得， 当时，，满足，当时，，满足， 所以的取值范围为. 18. 已知二次函数. （1）当时，求该二次函数的最小值； （2）当时，该二次函数有最小值. ①求的值； ②求此时函数的最大值. 【答案】（1） （2）①；②41 【解析】 【分析】（1）配方得到当时，该二次函数取得最小值，最小值为； （2）①配方得到时，函数取得最小值，从而得到方程，求出； ②根据函数单调性得到函数最大值. 【小问1详解】 时，， 故当时，该二次函数取得最小值，最小值为； 【小问2详解】 ①， 因为，所以当时，该二次函数取得最小值， 所以，解得； ②此时函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，， 故最大值为41. 19. 在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素 ，，规定：． （1）计算：． （2）中是否存在唯一确定的元素满足：对于任意，都有 成立，若存在，请求出元素；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在；． 【解析】 【分析】（1）按照规定代入可得． （2）设元素，，代入，根据恒成立求得. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 设元素，， 则， ∵， ∴恒成立， ∴， ∴满足条件． 20. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；在 （3）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1），； （2）； （3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）先将代入，整理后得到，由题意得到的解集为或，从而得到方程 的两根为或及，将代入得到的值，再将代入，求解此方程得解； （2）先在上乘以，得到，再将去掉括号，利用基本不等式求解即可； （3）先将代入不等式，将其因式分解为，再根据，解出方程的根，按照根的大小分类讨论得到不等式的解集. 【小问1详解】 ，可化为， 移项整理得，不等式的解集为或， 或是方程的两个跟，且. 将代入方程，可得，解得. 把代入方程，得到，因式分解为， 即，故，. 【小问2详解】 由（1）知，，则，，，， 当且仅当时，即时，等号成立， ，恒成立， ，，， ，， 故的取值范围是. 【小问3详解】 不等式，即，因式分解为， ，的两根为，， ①当，即时，不等式，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式的解集为. 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $