2.3 直线与圆的位置关系 基础题型训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高二上学期北师大版数学选择性必修第一册 第一章 直线与圆 §2 圆与圆的方程-2.3 直线与圆的位置关系 基础题型训练 题型一 直线与圆位置关系的判断 1.（2025天津西青区期末）直线与圆 的位置关系 为( ) A.相交且直线过圆心 B.相切 C.相离 D.相交且直线不过圆心 2.（2025福建莆田十六中期中）若点在圆外，则直线 与 圆 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相离 3.（2025浙江宁波中学期中）已知动直线 ，圆，则直线与圆 的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.与 值有关，无法确定 题型二 已知位置关系（或公共点个数）求参 4.（2025北京房山区期末）已知直线与圆 相切， 则实数 ( ) A.1或9 B.或9 C.或 D.1或 5. （2025江西九江期中）已知直线与圆 相离，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.（2025江西上饶文公中学测试）已知直线与圆 交于 ，两点.若 ，则实数 _______. 题型三 已知位置关系求圆方程 7.（2025江西上饶四中测试）平面直角坐标系中，以 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 8.［大招19］（2025河南南阳一中月考）经过直线 与圆 的两个交点，且面积最小的圆的方程是( ) A. B. C. D. 9. （2025广东东莞期中）写出一个过点且与直线 相切的圆的方程：___________________________________. 题型四 弦长问题 10.（2025重庆期中）直线被圆 截得的弦长为( ) A. B. C. D. 11.（2025江西广丰洋口中学测试）已知直线经过点 ，且与圆 相交于，两点，若，则直线 的方程为( ) A.或 B.或 C.或 D.或 12.（2025浙江宁波期末）在圆内，过点 的最长弦和最 短弦分别为和，则四边形 的面积为( ) A. B. C. D. 13.（2025浙江杭州二中期中）已知直线 与圆 交于,两点.若，则实数 的取值范围是______. 题型五 切线问题 题组一 求切线方程 14.（2025河北张家口期末）过点作圆 的切线，则切线方 程为( ) A. B. C. D.或 15.（2025安徽合肥期末）与直线平行且与圆 相切 的直线方程是___________________________. 16.（15分）［大招21］（2025浙江杭州二中期中）已知,，动点 满足 ，设动点的轨迹为曲线 . （1） 求曲线 的标准方程； （2） 求过点且与曲线 相切的直线的方程. 题组二 切线应用 17.（2025湖北武汉开学考试）过点作圆 的切线，则切线长为( ) A.4 B.2 C.3 D.16 18.从圆外一点 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的 余弦值为( ) A. B. C. D.0 19. （2025广州期末）已知圆 的一条切线过点 ，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 题型六 切点弦 20.（2025湖北武汉检测）过点作圆的两条切线, ， 切点分别为,，则直线 的方程为________________. 21.设点为直线上任意一点，过点作圆 的切线，切点分 别为,，则直线 必过定点______. 22.（2025湖南长沙期末）已知直线 是圆 的对称轴，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ,，则直线 的方程是________________. 题型七 圆上到直线距离为定值的点的个数问题 23.已知圆，直线，则圆上到直线 的距离等 于 的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 24.（2025四川成都期末）已知直线 和圆，则“”是“圆上恰有三个不同的点到直线 的距离为1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 25.（2025山西大学附中期中）若圆 上有四个不同的点 到直线的距离为3，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 题型八 最值问题 26.（2025山东临沂期中）已知点,，点是圆 上任意一 点，则 面积的最小值为( ) A. B.9 C.5 D.6 27.（2025福建宁德博雅培文学校测试）已知点，点满足，则点 到直 线 的距离的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 28.（多选|2025湖北荆州沙市中学第一中学期中）已知实数， 满足方程 ，则下列说法正确的是( ) A.的最大值为 B.的最大值为 C.的最大值为 D.的最大值为 29.（2025广东东莞光明中学期中）已知点为直线 上的动点，过点作圆的切线,，切点为,，则 周长的最小值为______. 参考答案 1.D【解析】几何法.由题意，圆的圆心坐标为，半径为 ， 则圆心到直线的距离为 ，所以直线与圆相 交，将圆心坐标代入，可得 ，所以直线不过圆心. 2.B【解析】 因为点在圆外，所以 . 圆的圆心坐标为，半径 . 根据点到直线的距离公式，圆心到直线 的距离 . 由，可得，则，即圆心到直线的距离 ， 所以直线与圆 的位置关系是相交. 3.A【解析】 直线的方程化为 ， 由解得即直线经过定点 ， 因为，所以点在圆 的内部， 根据直线经过圆内的定点，可知直线与圆 相交． 4.D【解析】 圆的圆心为，半径为 ， 因为直线与圆相切，所以 （圆心到直线的距离等于圆的半径），即，解得或 . 5.C【解析】 由，得 （易忽略半径的 平方为正）,则,所以圆心为,半径为，所以圆心到直线的距离为 , 又由直线与圆相离,得,解得,综上可得, . 6. 【解析】 圆可化为 ， 故圆的圆心 ，半径为2， 如图，由在圆上，故 （圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半）, 则由垂径定理可得点到直线的距离为 ， 即有，解得 . 7.D【解析】 由圆心到直线的距离 ， 即所求圆的半径为，所以所求圆的标准方程为 . 8.C【解析】 当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小. 圆配方可得 ， 所以圆心坐标为 ，半径为2， 弦心距，弦长为 ， 过圆的圆心且和直线 垂直的直线方程为 ，即 ． 最小的圆的圆心为与直线的交点，解方程组可得， ， 所以所求面积最小的圆方程为 . 9.（答案不唯一） 【解析】 过点且与直线垂直的直线的方程为,设与 的交点 为,由得所以点的坐标为 （切点）,故所求的一个圆可以是以 为直径的圆,则所求圆的方程为 （圆的直径式方程）,即 . 10.B【解析】 几何法.圆的圆心为,半径为3,则圆心到直线 的距离为 ,则直线被圆截得的弦长为 . 11.A【解析】 圆的圆心，半径 ， 圆心到直线的距离为3，此直线与圆相切，因此直线 的斜率存在， 设直线的方程为，即 ， 由，得圆心到直线的距离 ， 于是，解得或 ， 所以直线的方程为或 . 12.B【解析】 过圆内一点的最长弦为圆的直径、最短弦为与过该点的直径垂直的弦. 由圆化为标准方程得 ， 则圆心坐标为，半径为 ， 因为，所以点 在圆内， 故过点最长的弦为直径，最短的弦为过点与直径垂直的弦，连接 ， 则,,，所以 ， 又，所以四边形的面积 ． 13. 【解析】 圆的标准方程为,圆心为,半径为 .由 勾股定理可知,圆心到直线的距离 , 由点到直线的距离公式可得,解得 . 14.C【解析】由题意可知，圆的圆心 ，半径 ， ， 点在圆 上， 又，则切线的斜率 ，（圆心与切点的连线与切线垂直） 切线方程为，即 . 15.或 【解析】已知切线的斜率为,圆 整理为 ,则圆心为, ,则切线方程为 ,即或 . 16.(1)【答案】 符合【大招21】隐圆的第四定义，点 的轨迹为圆. 设，则, ，（2分） 故 ，（4分） 化简整理得 ， 故曲线的标准方程为 .（6分） (2)【答案】 过圆外一点作圆的切线，一定有两条. 曲线是以 为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 ， 此时到的距离为1，故与圆 相切，满足要求. （9分） 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为 ， 即 ， 圆心到直线的距离，解得 ， 故切线方程为，即 .（13分） 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或 .（15分） 17.A【解析】 由圆,可得圆心,半径,设切点为,连接, ,因为 ,可得, ，所以切线长为 . 18.B【解析】 由,得 ， 所以圆心为,半径.如图,设切点分别为,,连接, , ,则 为两切线的夹角,由于 ,所以 ,由二倍 角公式可得 . 19.D【解析】 方程表示圆,则 （圆的一般式含参时，注意隐含条件）,得 ,解得 或.由于圆的一条切线过点 ,所以 （圆的切线过一点,该点一定不在圆内）,解得 所以的取值范围是 . 20. 【解析】直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“”要代成“ ”， 切点弦所在直线方程为，整理得 . 21. 【解析】 如图, 根据题意,设为直线上的一点,则.因为圆心 到直 线的距离为,所以直线与圆相离.因为过圆外一点 作圆的两条 切线,切点弦所在直线方程为 （推导过程详见【大招15】）,所以过点 作圆的两条切线,切点弦所在直线方程为 ,整理，得 （分离变量求定点）.由解得 故直线 恒过定点 . 22. 【解析】 圆化成标准方程为 ,圆心 ,半径为2,是圆的对称轴,圆心在直线上,则,所以 ,所以 .过点作圆的切线,切点为, ,切点弦所在直线 ,即 . 23.B【解析】 由题意, 圆心坐标为,半径为,所以圆心到直线 的距离为,所以圆与直线相交, 且 ，所 以圆上到直线的距离等于 的点共有2个. 24.C【解析】 圆的方程可化为 ,其圆心 坐标为,半径为,当时,直线,圆心到直线的距离 , 此时圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1,故充分性成立；当圆 上恰有三个不同 的点到直线的距离为1时,圆心到直线的距离 , 解得,故必要性成立,所以“”是“圆上恰有三个不同的点到直线 的距离为1” 的充要条件. 25.C【解析】 将圆的方程化为标准方程为,圆心为 ,半径为6.因为圆上有四个不同的点到直线的距离为3,所以圆心到直线 的距离 ,解得,因此实数的取值范围是 . 26.D【解析】 由点,，得直线, ，圆 的圆心，半径，点到直线的距离 ， 因此点到直线距离的最小值为 ， 所以面积的最小值为 . 27.D【解析】 如图，点满足，则点的轨迹为以点 为圆心，1为半径的圆， 又直线经过定点 ， 由图知，要使点到直线的距离最大，只需使圆心到直线 的距离最大， 即当且仅当轴时，点到直线的距离最大（如图,过点 另作一 条直线,过点作于点,在中显然有,故当且仅当 轴时, 点到直线的距离最大），为 . 28.AD【解析】 由题意知方程即表示圆，圆心为 ， 半径为 . 设，则只需直线 与圆 有公共点，如图， 则，解得 ， 即的最大值为 ； 设，则直线 与圆 有公共点， 则，解得 ， 即的最大值为 ； 设，则，则直线和圆 有公共点， 则，解得 （取最值时直线与圆相切），即的最大值为 ； 设 ，其几何意义为圆 上的点到原点的距离， 而 上的点到原点距离的最大值为 ， 即的最大值为，故 的最大值为 . 29. 【解析】 设圆心到直线的动点的距离为 ， 根据点到直线距离公式， . 因为，是圆的切线，所以（其中 ）. 连接,,则是直角三角形，由勾股定理可得 ，即 . 的周长为 . 因为是圆的弦，且和全等，所以 . 根据三角形面积公式，（其中 是圆的半径）， 可得，所以 ， 则的周长 . 因为与均在 上单调递增， 所以当时，周长取得最小值，最小值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $