15.4课题学习 最短路径问题 教学设计2025－2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦最短路径问题，通过轴对称、平移转化解决实际路径最短问题，课堂导入利用AI动态几何工具演示“两点之间线段最短”“垂线段最短”，搭建新旧知识联系的学习支架。 此资料特色在于深度融合AI技术，如动态演示对称点转化、实时错题诊断、思维导图生成，体现几何直观与推理意识，例如AI辅助学生直观理解同侧点转化为异侧点的逻辑，提升探究能力，也帮助教师高效诊断学情，优化教学。

附件： 教学设计 课程基本信息 课题 15.4课题学习 最短路径问题 课型 新授课 学科 数学 年级 八年级 学段 初中 版本章节 人教版八年级上册第十五章综合实践 最短路径问题 教学目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 教学重难点 教学重点：应用所学知识解决最短路径问题. 教学难点：选择合理的方法解决问题. 学情分析 在生产和经营中，为了省时省力常寻求最短路径，因此最短路径问题在现实生活中是经常遇到的问题。本节课在学生学习了轴对称之后，以“造桥选址问题”为载体，进一步开展对“最短路径问题”的研究，让学生经历实际问题抽象为数学中线段和的最小值问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活，为以后线段最值问题的学习打下基础。在学习本节课内容之前，学生已具有将实际问题抽象为数学问题的经验，且已学习过平移、两点之间线段最短等相关知识，为本节课的学习做好铺垫。 教学准备 三角板、直尺、圆规、多媒体 教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计（含AI应用） 环节一：引入新课 教师活动1： 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 如图2，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？ 能用学过的数学知识解释这个问题吗？ 学生活动1： 学生思考，回答问题 为了体现本节课内容与已有知识间联系，采用多媒体直观显示图片，讲授法通过情境回顾旧知，引入课题。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。 AI 动态几何演示工具（如 GeoGebra AI 版）应用：摒弃传统静态图片展示，教师打开 AI 几何软件，在界面中呈现 “连接 A、B 两点的多条连线” 和 “点 P 与直线 l 上各点连接的线段”。邀请学生上台拖动连线中的动点（如线段 AB 外的任意点）或点 P 在直线 l 上的位置，AI 会实时计算并标注所有线段的长度，同时自动用红色高亮 “最短线段”（AB 线段或垂线段 PA），并弹出提示框 “当前线段长度最短，依据：两点之间线段最短 / 垂线段最短”，让学生通过动态操作直观感知旧知，而非被动接受结论。 AI 生活情境联想助手：当学生回答出 “两点之间线段最短” 后，教师触发 AI 问答功能，AI 自动推送 3 个生活中的最短路径场景（如 “地图 APP 中从家到学校的导航路线规划”“快递员送件时选择的最短配送路线”“超市中从入口到生鲜区的最短通道”），并搭配简笔画式动画，帮助学生建立 “数学知识与现实生活” 的关联，为新课 “最短路径问题的实际意义” 做铺垫。 环节二：新知探究 教师活动2： 从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短? 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 BC 的和最小. 探究：现在假设点A,B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点,使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ 连接AB,与直线l相交于一点C. 根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求. 学生活动2： 学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识. 探究：点A，B分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 学生独立思考，画图分析，并尝试回答 思考： 1.通过怎样的操作可以把同侧两点转化为异侧两点来解决呢？ 2.CB 与CB′的长度相等吗？ 学生根据提示，独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，追问找点的过程，师生共同补充 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ 证明：如图，在直线 l 上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′. 由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′. ∴ AC+BC=AC+B′C=AB′ AC′+BC′=AC′+B′C′ 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′ ∴AC+BC＜AC′+BC′ 即AC+BC最短. 经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力. AI 对称点动态转化工具：针对 “直线 l 同侧两点 A、B，找 l 上一点 C 使 AC+BC 最短” 的探究，教师引导学生点击 AI 软件中的 “轴对称转化” 功能按钮。学生输入点 B 和直线 l 的坐标后，AI 会实时生成点 B 关于 l 的对称点 B' ，同时用虚线动态演示 “B 到 B' 的对称过程”（标注 B 到 l 的距离与 B' 到 l 的距离相等）；随后学生拖动点 C 在 l 上移动，AI 会同步计算 AC+BC 与 AC+B'C 的长度，并在界面下方生成 “长度变化折线图”，当 C 与 AB' 交点重合时，AI 自动闪烁该点并提示 “AC+BC=AB'，此时长度最小，依据：两点之间线段最短”，让学生直观感受 “同侧点转化为异侧点” 的核心逻辑。 AI 实时错题诊断与提示：若学生自主画图时出现错误（如对称点 B' 画在直线 l 同侧、未标注对称距离等），AI 会通过图像识别功能捕捉错误，即时弹出红色批注框：“注意：对称点需在直线 l 异侧，且 B 到 l 的距离 = B' 到 l 的距离，可点击‘辅助线生成’按钮查看正确对称过程”，避免学生因画图错误影响后续探究，同时培养自主纠错能力。 AI 小组探究思路拓展器：小组讨论 “如何证明 AC+BC 最短” 时，若某小组陷入卡顿，教师可让小组代表向 AI 提问（如 “为什么要找对称点 B'？”“除了对称，还有其他转化方法吗？”），AI 会给出分层提示：第一层提示 “尝试对比 AC+BC 与 AC+B'C 的关系（利用轴对称性质）”；第二层提示 “在△AB'C' 中，三边关系是什么？”，引导小组逐步推导证明过程，而非直接给出答案，契合 “培养逻辑思考能力” 的设计意图。 环节三：新知讲解 教师活动3： 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.) 学生思考，画出图形，抽象出数学问题 我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ 由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？ 学生观察当点Ｎ在直线b上的位置的改变时，AM、MN、NB 的长度变化情况，明确线段MN的长度不变，但AM+NB会发生变化的,体会选址的意义. 如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 在连接A′，B两点线中，线段A′B最短. 因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的. 你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？ 学生分小组讨论，寻找答案，进行全班展示，并说明自己的想法。 为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B. 证明：如图，由平移的性质可知： AM=A′N，AM′=A′N′，MN=M′N′ 在△A′BN′中，A′B＜A′N′+N′B ∴ A′N+NB＜AM′+N′B ∴ AM+NB＜AM′+N′B ∴ AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B 通过问题串的设计为学生搭建脚手架，让更多的学上能够参与到课堂的活动中，逐步引导学生进行思考，并且通过前后知识类比学习，建立前后知识之间的联系，同时逐步学会用转化的思想将新问题转化成能够解决的问题，从而达到解决新问题的目的，培养学生的应用意识和推能力 AI 平移过程动画模拟系统：针对 “河两岸平行，造桥 MN 使 AM+MN+NB 最短” 的问题，教师在 AI 软件中导入 “两条平行线 a（河岸 1）、b（河岸 2）” 和点 A、B。学生点击 “平移模拟” 按钮后，AI 会动态演示 AM 沿垂直河岸方向平移至 A'N 的过程（标注 AA'=MN，且 AA' 垂直于河岸），同时用不同颜色线段区分 AM、A'N、NB，并实时计算 AM+NB 与 A'N+NB 的长度，当 A'、N、B 三点共线时，AI 自动暂停动画，用绿色高亮 A'B 线段和对应的桥 MN 位置，让学生清晰理解 “将 AM+NB 转化为 A'N+NB” 的平移逻辑。 AI 变量情境生成器：为加深对 “河岸宽度固定（MN 长度不变）” 的理解，教师通过 AI 调整参数，改变 a、b 两条平行线的距离（模拟不同宽度的河流），AI 会重新生成平移动画，并同步显示 “AM+MN+NB” 的总长度变化，让学生观察到 “无论河宽如何变化，最短路径的核心都是‘平移后三点共线’”，强化转化思想的通用性。 AI 证明步骤引导工具：学生证明 “AM+MN+NB＜AM'+M'N'+N'B” 时，AI 提供 “步骤填空式引导”：在证明界面中，AI 先给出 “∵平移性质→”“在△A'BN' 中→” 等空栏，学生填写后点击 “验证”，AI 会判断对错并补充细节（如 “平移性质需明确 AM=A'N，AM'=A'N'，MN=M'N'”），帮助基础薄弱的学生梳理证明逻辑，提升推理能力。 环节四：典例精析 教师活动4： 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择. 师生共同总结 让学生归纳，体会解决最短路径问题的基本策略，感悟转化思想. AI 智能总结思维导图生成器：师生共同总结后，AI 根据课堂探究内容，自动生成 “最短路径问题解题策略” 思维导图，核心分支包括 “问题类型（同侧两点型 / 平行线间造桥型）”“转化方法（轴对称 / 平移）”“理论依据（两点之间线段最短 / 垂线段最短 / 轴对称性质 / 平移性质）”“解题步骤（1. 抽象数学模型；2. 选择转化方法；3. 找最短路径点；4. 证明验证）”，并支持学生在思维导图上添加自己的笔记（如 “造桥问题要先固定桥长，再平移”），帮助系统化梳理知识，而非零散记忆。 AI 变式题即时生成与批改系统：AI 根据本节课核心知识点，自动生成 2 道变式题（如 “若在河上造两座垂直于河岸的桥 MN、PQ，如何求 A 到 B 的最短路径？”“点 A、B 在∠MON 的两边上，在∠MON 内部找一点 C，使 AC+BC 最短，该用什么方法？”），学生在 AI 界面中完成画图和解答后，AI 通过图像识别和逻辑判断进行实时批改：若画图正确，AI 标注 “转化方法正确，符合轴对称 / 平移思想”；若错误（如两座桥只平移一次），AI 弹出 “提示：两座桥需两次平移，每次平移距离等于桥长，且平移方向一致”，并附带正确画图步骤，实现 “总结 - 变式 - 反馈” 的闭环，即时巩固所学。 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB，AD上的动点，则MN+BN的最小值是（　　） A．3 B． C．4.5 D．6 2.如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP=AQ=4 ， QD=3 ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（　　） A．7 B．8 C．10 D．12 选做题： 3.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点 A，B，C 在小正方形的顶点上. (1) 在图中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′； (2) △ABC 的面积是______； (3) 在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB 最短. 【综合拓展类作业】 4.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 板书设计/课堂小结 板书设计 一、将军饮马问题 二、造桥选址问题 课堂小结 教学反思 本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高. 不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高. 学科网（北京）股份有限公司 $