精品解析：河南省光山第二高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

光山二高紫光胡校区2024级高二年级上期10月月考 数学试题 （分值：150分 时间：120分钟） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，所以；因为点为的中点，所以， 易知，， 所以 ， 又，，， 所以 ． 故选：A 2. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果. 【详解】设直线的倾斜角为. 因为，，，所以，. 又，则. 当时，单调递增，解，可得； 当时，单调递增，解，可得. 综上所述，. 故选：B. 3. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可 【详解】设向量与的夹角为， 因为，，且， 所以，得， 所以， 所以， 因为，所以， 故选：A 4. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果. 详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以, 因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 5. 已知点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的向量法求解公式计算即可. 【详解】设， 可求得， 所以． 故选：B 6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可. 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，则. 点P在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离. 故点P到直线的距离的范围为. 则. 【点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 7. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为：，即：. 又因为光线与圆相切，所以，, 整理：，解得：，或,故选D． 考点：1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系. 8. 已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程． 【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ， 当直线时，， ，此时最小． ∴即 ，由解得， ． 所以以为直径的圆的方程为，即 ， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部份选对的得部份分，有选错的得0分） 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由直线方向向量的平行判断直线平行，由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的平行与垂直，由两平面的法向量的垂直判断两平面垂直． 【详解】对于A，由，得，所以，所以，故A正确； 对于B，假设，则存在唯一得实数λ，使得，即，所以无解，所以不共线，所以l，α不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以不垂直，所以l，α不平行，故D错误． 故选：AC． 10. 已知直线，，，以下结论正确的是（ ） A. 不论为何值时，与都互相垂直 B. 当变化时，与分别经过定点和 C. 不论为何值时，与都关于直线对称 D. 如果与交于点，则的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】分和两种情况讨论判断A；求出直线所过定点坐标即可判断B；在上任取点，表示出关于直线对称点的坐标，再代入，即可判断 C；求出两直线的交点的坐标，可求出的最大值，即可判断D. 【详解】对于A，如果 ，则，，分别平行于轴和轴，显然； 如果，则，，， 恒成立，故A正确； 对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点； 对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，故B正确； 对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为， 代入方程知， 当时，则点在上， 当、时不成立，则点不在上， 即与不一定关于直线对称，故C错误； 对于D，联立，解得：，即， ，即的最大值是，故D正确； 故选：ABD． 11. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项：两圆方程作差即可求出公共弦方程；对于B选项：线段的垂直平分线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；对于C选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，利用弦长公式计算即可；对于D选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值． 【详解】对于A选项：圆和圆， 将两圆的方程作差得，即， 所以直线的方程为，故A正确； 对于B选项：圆即，圆心，半径， 圆即，圆心， 直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即，故B正确； 对于C选项：到直线的距离， 可得弦的长为，故C错误； 对于D选项：P到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为____ 【答案】7 【解析】 【详解】试题分析：由椭圆定义知:,所以到另一焦点距离为7. 考点：椭圆的定义. 13. 若圆与圆（）的公共弦的长为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆的方程作差可得两圆的相交弦的直线方程，再求出圆心到相交弦所在直线的距离，根据弦心距三角形可建立方程，可求得的值. 【详解】已知两个圆的方程分别为与， 将两个圆作差可得相交弦的直线方程为， 所以可得：圆心到直线的距离， 由此可得：，又，解得：. 故答案为： 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知，满足直线. （1）求原点关于直线的对称点的坐标； （2）当，时，求的取值范围. 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）设原点关于直线的对称点的坐标为，根据垂直平分关系得到方程组，解得答案. （2）计算得到，，，，根据图像得到范围. 【小问1详解】 设原点关于直线的对称点的坐标为， 则满足，解得，，故； 【小问2详解】 当，时，的几何意义为到点的斜率的取值范围. 当时，，当时，，由可得，， 从而，，的范围为，， 16. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直线与垂直，求直线的方程，再与直线方程联立，解方程组可得点坐标. （2）根据点在直线上，设出点坐标，利用为中点，表示点坐标，再根据点在直线上，可求的值，可确定点坐标，进而得直线的方程. 【小问1详解】 如图： 因为边上的高所在直线方程为， ，且， 的顶点， 直线的方程：，即. 联立方程 ，解得. 顶点的坐标为. 【小问2详解】 因为所在直线方程为， 故设点的坐标为， 是的中点，， . 在所在直线上， ，解得， 点坐标为， 由知点的坐标为， 故直线的方程为，即. 17. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直. （1）求直线的方程； （2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程； （2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程． 【小问1详解】 由已知得解得， ∴两直线交点为. 设直线的斜率为， ∵直线与垂直，∴， ∵直线过点， ∴直线的方程为，即. 【小问2详解】 设圆的半径为，依题意，得圆心到直线的距离为， 则由垂径定理得，∴， ∴圆的标准方程为. 18. 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 【答案】（1）证明：连接， ，分别为，中点 为的中位线 且 又为中点，且 且 四边形为平行四边形 ，又平面，平面 平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取中点，可证得平面，得到平面的法向量；再通过向量法求得平面的法向量，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 由直四棱柱性质可知：平面 四边形为菱形 则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则：，，，D（0，-1,0） 取中点，连接，则 四边形为菱形且 为等边三角形 又平面，平面 平面，即平面 为平面的一个法向量，且 设平面的法向量，又， ，令，则， 二面角的正弦值为： 【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型. 19. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点． （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． （3）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）定值，﹒ 【解析】 【分析】(1)设出圆的半径，根据以点为圆心的圆与直线相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程； (2)根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线过点，求出直线的斜率，进而得到直线的方程； (3)由直线过点，我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论． 【小问1详解】 设圆的半径为，由于圆与直线相切， 圆的方程为． 【小问2详解】 ①当直线与轴垂直时，易知符合题意 ②当直线与轴不垂直时， 设直线的方程为，即， 连接，则 ，， 则由，得，直线． 故直线的方程为或 【小问3详解】 ， ①当与轴垂直时，易得，则，又， ②当的斜率存在时，设直线的方程为， 则由，得，，则 综上所述，是定值，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 光山二高紫光胡校区2024级高二年级上期10月月考 数学试题 （分值：150分 时间：120分钟） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 5. 已知点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 5 6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部份选对的得部份分，有选错的得0分） 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 10. 已知直线，，，以下结论正确的是（ ） A. 不论为何值时，与都互相垂直 B. 当变化时，与分别经过定点和 C. 不论为何值时，与都关于直线对称 D. 如果与交于点，则的最大值是 11. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的垂直平分线方程为 C. 弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为____ 13. 若圆与圆（）的公共弦的长为，则______. 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知，满足直线. （1）求原点关于直线的对称点的坐标； （2）当，时，求的取值范围. 16. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 17. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直. （1）求直线的方程； （2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程. 18. 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 19. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点． （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． （3）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $