2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册期中基础提升训练卷（第13-15章）

八年级数学期中基础提升训练卷 （人教版新教材13-15章） 一、单选题 1．中秋节是我国四大传统节日之一，起源于先秦，流传至今，经久不息．下列中秋祝福中．可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2．如果三角形的两边长分别是6和9，那么第三边长可能是（    ） A．1 B．3 C．8 D．15 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 先由题中已知的三角形的两条边长6和9，再根据三角形三边关系得到第三边范围是大于3小于15，结合选项逐个验证即可得到答案． 【详解】解：设第三边长为， 三角形的两边长分别是6和9， ， 则四个选项中，满足条件的是8， 故选：C． 3．平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：这是利用了三角形的稳定性， 故选：A． 4．如图，已知，，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A.根据，，，无法判定， 该选项符合题意； B.∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； C. ∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； D. ∵，，， ∴， ∴该选项不符合题意； 故选：A． 5．下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，过点B作边的垂线，垂足为D，那么线段即为的高，据此逐一判断即可． 【详解】解：由三角形高的定义可得，四个图中只有D选项中的图符合题意， 故选：D． 6．如图，中，，分别平分，，，则的度数为（   ） A．40° B．110° C．60° D．75° 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． 在中，运用三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，在中，运用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，分别平分，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 故选：A． 7．如图，在中，边 的垂直平分线分别交，于点D，E， 的周长为，的周长为，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，推出的周长为，再根据 的周长，求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点D，E， ∴， ∴的周长， ∵ 的周长， ∴， ∴； 故选B． 8．如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．先在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 9．如图，把纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠与三角形的内角和定理，折叠得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 10．如图，在中，，将沿折叠至，，连接平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 11．如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键． 利用证明，即可判断A，由为的角平分线，，，则，，由，则，即可判断B；为等腰三角形得到，由得到，则，由为的角平分线，，而不垂直于即可判断C，同时判断D． 【详解】解；为的角平分线， ， 在和中， ， ∴， 故A说法正确，不符合题意； 为的角平分线，，， ，， ∵， ， ， 故B说法正确，不符合题意； ，，，， ， 为等腰三角形， ， ∵， ， ， 为的角平分线，，而不垂直于， ， 故C说法不正确，符合题意； 故D说法正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 12．若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标性质，根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，再计算的值即可，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．在直角三角形中，，则 的值是 【答案】2或4 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余，分两种情况，列出方程即可分别求得． 【详解】解：根据题意，设，， 当时，，解得， ，， ， ； 当时，， ，解得， ，， ， ， 故m的值是2或4， 故答案为：2或4． 14．在中，，中线，则边的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系和三角形的中线的性质．在中根据三角形的三边关系，得出的取值范围，然后根据三角形中线的性质，便可得到的取值范围． 【详解】解：在中，，， ， 是的中线， ∴， ． 故答案为：． 15．在中，是边上的高，，，为的角平分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线的定义，理解高，角平分线的定义，掌握角的和差计算是关键．根据高，角平分线的定义，数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 如图所示， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或 ． 16．如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质定理，三角形外角的性质． 过P点作 于F，于N，于M，根据角平分线的性质定理得到，，，根据角平分线的判定定理得到，最后根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：过P点作 于F，于N，于M， 设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， 又∵于F，于M， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的内角和定理，垂线，先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 18．如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 先由于D，于E，得到，再利用AAS证即可． 【详解】证明：∵于D，于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．已知，为射线上一点，，． (1)证明：平分； (2)若与交，，证明：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质． （1）过点作于点，于点，证明推出，利用角平分线的判定定理即可证明平分； （2）在上截取，连接．证明推出，再证明，即可证明． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点， ． ，， ， ． ，， 平分； （2）证明：在上截取，连接． 由（1）得平分， ． ， ， ． ， ． ，， ， ． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标________ ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的对称变换及点的对称，熟练掌握图形的对称和点的对称是解题的关键， （1）根据图形的对称变称求出对称点坐标并作图即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征求出对称点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）解：由图可知，点的坐标为， ∴点关于x轴对称的点的坐标为， 答案：． 21．如图，在中，，的角平分线交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若点在上，且，请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的综合应用，结合角平分线的性质证明是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，，证明，即可得证． （2）根据已知条件证明，得到，根据等量代换求解即可； 【详解】（1）证明：平分，， ，，， 在和中， ， ， ． （2）解：，理由如下： 由（1）知：， 在和中， ， ， ， ， 由（1）可得：， ． 22．在中，，，E是线段的中点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)如图2，是的角平分线，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究，与数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，，点N为直线AC上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为　　　． 【答案】(1)见解析 (2)或，理由见解析 (3)1 【分析】（1）先证，再证，然后由等边三角形的判定即可得出结论； （2）分两种情况讨论，当点N在线段上时，延长至点H，使得，连接，根据角平分线的概念和等边三角形的判定，证出是等边三角形，再得出，由此得出，当点N在边上时，同理得出即可； （3）过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M，根据等边三角形的性质得出，再由全等三角形的判定得出，得出是的垂直平分线，的最小值就是的长，再由含度角的直角三角形的性质得出，即可求出的值． 【详解】（1）在中，，， ∴，， ∵E是线段的中点， ∴， ∴，, ∴是等边三角形． （2）分两种情况： ①当点N在线段上，结论：，理由如下： 如图2所示：延长至点H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当点N在边上时，如图3，结论：，理由如下： 如图3，延长至H，使得， 由①得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，与数量之间的关系为：或； （3）∵， ∴， 如图4，过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴P是的中点， ∵， ∴是的垂直平分线，即点G在直线上，的最小值就是的长， ∴， ∴， ∴， 中， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为1． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．如图，在中，，，点为的中点，点在上，以点为中心，将线段绕点 顺时针旋转得到线段，连接，． (1)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)过作的垂线，垂足为，与相交于点，求证：． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，可得，，根据全等三角形的判定和性质，得，，根据，等量代换，即可； （2）根据等腰三角形的判定和性质，可得是等腰三角形，方法一：延长、交于点，作交于点，根据等腰三角形的性质，可得，，；根据，可得，得到，根据全等三角形的判定和性质，得到，即可；方法二：延长、交于点，过点作的平行线交直线于点，根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，，，根据全等三角形的判定和性质，得到，即可；方法三：延长、交于点，过点作的延长线于点，作于点，同理，证明是等腰三角形，得到，推出；根据全等三角形的判定和性质，得到，即可． 【详解】（1）解：证明如下： 由旋转可得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． （2）解：方法一：延长、交于点，作交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴， ∴； 方法二：延长、交于点，过点作的平行线交直线于点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； 方法三：延长、交于点，过点作的延长线于点，作于点， 同理，证明是等腰三角形， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∴； ∴， ∴； ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形，等腰三角形，平行线，旋转等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三线合一，平行线的性质，构造全等三角形，进行解答，即可． 24．等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上． (1)如图，求证：； (2)如图，若，，求点的坐标； (3)如图，点，，两点均在轴上，且分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的长度不会发生改变，长度始终是，理由见解析 【分析】（1）根据，，得到，即可证明； （2）过点作轴于点，证明，得到，，进而得到．点在第三象限，即可得到； （3）过点作，交轴于点，先证明，得到，．根据点，，求出，进入得到，再证明，得到，即可求出，从而得到的长度始终是，问题得解． 【详解】（1）证明：∵，， ， ∴； （2）解：如图，过点作轴于点， 则， 在和中， ∴， ，， ． ∵点在第三象限， ∴； （3）答：的长度不会发生改变． 理由：如图，过点作，交轴于点， 则， ∵和都是等腰直角三角形， ， ， ． 又， ， 在和中， ∴， ，． ， ． ∵点，， ，， ， ． ， ． 在和中， ∴， ． 又， ， 即的长度始终是． 【点睛】本题为等腰直角三角形与平面直角坐标系结合综合题，综合性强，难度较大，考查了平面直角坐标系，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定与性质等知识，理解题意，根据已知条件添加适当辅助线，构造全等三角形是解题关键． 试卷第14页，共27页 试卷第13页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中基础提升训练卷 （人教版新教材13-15章） 一、单选题 1．中秋节是我国四大传统节日之一，起源于先秦，流传至今，经久不息．下列中秋祝福中．可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如果三角形的两边长分别是6和9，那么第三边长可能是（    ） A．1 B．3 C．8 D．15 3．平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形两边之和大于第三边 4．如图，已知，，如果只添加一个条件使，则添加的条件不能为（   ） A． B． C． D． 5．下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，，分别平分，，，则的度数为（   ） A．40° B．110° C．60° D．75° 7．如图，在中，边 的垂直平分线分别交，于点D，E， 的周长为，的周长为，则的长度为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，把纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，将沿折叠至，，连接平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 12．若点与点关于轴对称，则 ． 13．在直角三角形中，，则 的值是 14．在中，，中线，则边的取值范围是 15．在中，是边上的高，，，为的角平分线，则的度数为 ． 16．如图，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若，则 17．如图，，，，则的度数为 ． 三、解答题 18．如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 19．已知，为射线上一点，，． (1)证明：平分； (2)若与交，，证明：． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴的对称图形； (2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标________ ． 21．如图，在中，，的角平分线交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若点在上，且，请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 22．在中，，，E是线段的中点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)如图2，是的角平分线，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究，与数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，，点N为直线AC上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为　　　． 23．如图，在中，，，点为的中点，点在上，以点为中心，将线段绕点 顺时针旋转得到线段，连接，． (1)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)过作的垂线，垂足为，与相交于点，求证：． 24．等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上． (1)如图，求证：； (2)如图，若，，求点的坐标； (3)如图，点，，两点均在轴上，且分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $