精品解析：安徽省安庆市潜山市五校联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期九年级质量调研（一） 数学（试题卷） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 开口向上，顶点坐标为的抛物线可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象的性质．根据的性质进行解答即可． 【详解】解：开口向上，顶点坐标为的抛物线可以写成为，其中，只有符合要求， 故选：B 2. 点均在二次函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．先求得抛物线的对称轴为直线，找到的对称点，根据当时，y随x的增大而减小，判断即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∴． 故选：D 3. 已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把轴、轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线不动，把轴、轴分别向上、向右平移3个单位，相当于坐标轴不动，把抛物线向下向左平移3个单位，根据平移规则左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意在新坐标系下抛物线的解析式是； 故选：B． 4. 对于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 该二次函数的图像开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的解析式可得该二次函数的图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是，即可判断出AB错误，C正确；再令，则，求解即可判断D，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数，， ∴该二次函数的图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是，故AB错误，C正确； 令，则，此方程无解，故与x轴没有交点，故D错误； 故选：C． 5. 抛物线与坐标轴有3个交点，则（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点情况，由已知条件可知抛物线与x轴有两个交点，只需即可． 【详解】解：∵抛物线的图象与坐标轴有3个交点，且抛物线与y轴必有一个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 解得：， ∵当时，抛物线过原点，此时抛物线与坐标轴只有两个交点， ∴， ∴k的取值范围为：且， 故选：B． 6. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象和性质，掌握它们的性质是解题的关键．根据二次函数图象开口方向可以判断出的符号，由对称轴的位置判断b的符号，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象可知，函数图形开口向下， ∴ ∴一次函数中随的增大而减小， ∵抛物线的对称轴直线在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数交于轴的正半轴， ∴一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 7. 二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴，且， 故选：A． 8. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（　　） A. y＝3x2+7x+3 B. y＝2x2+7x+4 C. y＝x2+7x+5 D. y＝4x2+7x+2 【答案】A 【解析】 【分析】设和谐点为（t，t），把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t，则△＝62﹣4ac＝0，所以ac＝9，再把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得c＝6﹣a，然后解关于a、c的方程组即可． 【详解】解：设和谐点为（t，t）， 把（t，t）代入y＝ax2+7x+c得at2+7t+c＝t， 整理得at2+6t+c＝0， ∵t有且只有一个值， ∴△＝62﹣4ac＝0，即ac＝9， 把（﹣1，﹣1）代入y＝ax2+7x+c得a﹣7+c＝﹣1，即c＝6﹣a， 把c＝6﹣a代入ac＝9得a（6﹣a）＝9，解得a＝3， ∴c＝6﹣3＝3， ∴此二次函数的解析式为y＝3x2+7x+3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，把和谐点（t，t）代入y＝ax2+7x+c得到关于t的方程有两相等的实数根是解题关键． 9. 二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分，讨论即可． 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项A，B，C，D都不符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴， 反比例函数的图象在第二、四象限，故选项C符合题意． 故选：C． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④． 其中正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点，即可判断、、的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过，得到，代入进行求解即可判断②④，根据当时二次函数取得最大值，即可判断③． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵抛物线交轴正半轴， ， ∴，故①正确， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵图象过点， ， ， ， ∴，故②错误， 当时，函数有最大值， ， ∴（为常数），故③正确， ， ∴，故④正确， 正确的个数有3个， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空（每小题5分，共40分） 11. 如图，四边形是平行四边形，点A的坐标为，点B和点C在第一象限，反比例函数的图象经过点B和点C，若点C的横坐标为5，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，平行四边形的性质，根据反比例函数的性质可得，结合平行四边形与平移的性质可得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点B和点C，点C的横坐标为5， ∴， ∵四边形是平行四边形，点A的坐标为， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行______m才能停下来． 【答案】400 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， 当时，函数取得最大值，最大值为400， 即飞机着陆后滑行才能停下来， 故答案为：400． 13. 如图，在中，点D，E分别是，上一点，连接，交于点G，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，结合图形准确作出平行线是解题的关键．过点D作交于点H，根据相似三角形的判定与性质可得出，，即可得出结论． 【详解】解：过点D作交于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值是． 故答案为：． 14. 如图，函数的图象是由函数的图象x轴上方部分保持不变，下方部分沿x轴向上翻折而成． ①直线与该图象有______个交点； ②若图象与直线有四个交点，则m的取值范围是______ 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 利用待定系数法可求出二次函数的解析式为，则可推出函数的解析式为，据此结合函数图象可得答案； 分别求出直线与抛物线恰好只有一个交点时和直线恰好经过点时的m的值即可得到答案． 【详解】解：①由函数图象可知，二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 设是函数的图象上一点， ∴是函数的图象上一点， ∴， ∴， ∴函数的解析式为， ∴当时，函数的最大值为4， ∴由函数图象可得直线与函数的图象有3个交点； 故答案为：3； ②联立得， 当直线与抛物线恰好只有一个交点时， 则， ∴； 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴由函数图象可知，当时， 函数的图象与直线有四个交点， 故答案为：． 三、解答题（共90分） 15. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点． （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，结合无论k为何值时，，即可证明无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点； （2）整理得的对称轴为直线，结合对称轴为直线，得出，再代入，得，然后令则，最后解得，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图像的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为． 16. 如图．在中，，．求证：是和的比例中项． 【答案】 证明：， ， ， ， ， 即， 是和的比例中项． 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 由得到，由得到，进而求解即可． 【详解】略 17. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或2； （2）存在，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及二次函数的应用，理解题意，正确找出等量关系是解题的关键． （1）由题意得，，则，再由勾股定理得出关于t的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出S关于t的二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：，； ∴当或2时，的长度等于； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵， ∴当时，的面积最大． 18. 如图，在某次足球比赛中，李强站在点处发出任意球，把球看作点，其运行轨迹的高度（）与水平距离（）满足二次函数关系，且当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米，此时防守队员站在李强前方米处组成人墙，防守队员的身高为米，对手球门与李强的水平距离为米，已知足球球门的高是米． （1）求与的函数关系式； （2）足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：足球能越过人墙，能直接射进球门，理由如下： 由（1）得， 当时，， ∴足球能越过人墙， 当时， ∴足球能直接射进球门． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）设，根据函数图象过原点，求出a的值即可； （2）分别把和代入函数解析式求出y的值与2和比较即可． 【小问1详解】 解：依题意设， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴所求的函数关系式为； 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）抛物线的顶点为D，连接、、，求的面积． 【答案】（1）； （2）3． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及了抛物线的性质及解析式的确定等知识，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求出直线与对称轴的交点，即可得出，再用面积之和即可得出结论． 【小问1详解】 解：将、、代入抛物线中，得： 解得：， ∴抛物线的解析式：； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式：； ∴， ∴顶点D的坐标为， 设直线BC的解析式为， 将、代入上式，得：，解得：， ∴直线BC的函数关系式， 设直线BC交抛物线对称轴于点N， ∴当时，， ∴． ∴，， ∴． 20. 如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求一次函数解析式，根据图象确定取值范围等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出两点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据图象找出一次函数大于反比例函数的解集即可． 【小问1详解】 解：将A点的横坐标3代入反比例函数，得：， ∴， 将B点的纵坐标3代入反比例函数，得：， ∴， 将，代入中，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：一次函数的值大于反比例函数的值，即， 由图象可知，不等式的解集为：或． 21. （1）如果，求； （2）如果，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为1或． 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． （1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分与两种情况，分别讨论． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ，，， ， 即， 当时，； 当时，， ， 综上可知，的值为1或． 22. 大蒜是我国重要蔬菜品种，尤其山东种植大蒜历史悠久，种植大蒜无疑是脱贫致富的好途径，大蒜刚上市时，张经理按市场价格6元/千克在生产基地收购了2000千克大蒜存放入冷库储存，据预测，大蒜的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批蒜时每天需要支出各种费用合计170元，而且大蒜在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有5千克的大蒜损坏不能出售． （1）若存放天后，将这批大蒜一次性出售，设这批大蒜的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式； （2）张经理想获得利润元，需将这批大蒜存放多少天后出售？ （3）张经理将这批大蒜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，且x为整数） （2）30天 （3）存放90天后出售可获得最大利润，最大利润是9900元 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值求法，一元二次方程的应用，根据函数关系式以及最值公式求出是解题关键． （1）根据等量关系“销售总金额（市场价格存放天数）（原购入量存放天数）”列出函数关系式； （2）根据等量关系“利润销售总金额收购成本各种费用”列出方程求出即可； （3）根据等量关系“利润销售总金额收购成本各种费用”列出函数关系式，根据二次函数的性质求最大值． 【小问1详解】 解：由题意y与x之间的函数关系式为： （，且x为整数）； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：张经理想获得利润5100元，需将这批大蒜存放30天后出售； 【小问3详解】 解：设利润为w， 由题意得 ， ∵， ∴抛物线开口方向向下， 当时，随的增大而增大， ∵大蒜在冷库中最多保存90天， ∴时，元． 答：存放90天后出售可获得最大利润，最大利润是9900元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点，的坐标分别为，，对称轴交轴于点，点为顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方一点，且，求直线的解析式； （3）点是抛物线上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）直线解析式为； （3）点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数应用——面积问题，二次函数与平行四边形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把点，代入解析式即可求解； （）先求出直线解析式为，顶点，根据点是直线上方一点，且，则有点在过点且平行的平行线上，即，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况分析即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设直线解析式为且过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 由， ∴顶点， 如图， ∵点是直线上方一点，且， ∴点在过点且平行的平行线上，即， 设直线解析式为且过， ∴，解得， ∴直线解析式为； 【小问3详解】 解：如图，设， 由， ∴， ∵，的坐标分别为，， ∴当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，在抛物线上，符合题意； 当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，不在抛物线上，不符合题意； 当为对角线时， ∴，， 解得：，， ∴，不在抛物线上，不符合题意； ∴当以为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级质量调研（一） 数学（试题卷） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 开口向上，顶点坐标为的抛物线可能为（ ） A. B. C. D. 2. 点均在二次函数的图象上，则，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 3. 已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把轴、轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 该二次函数的图像开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 5. 抛物线与坐标轴有3个交点，则（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 8. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点P（1，1）、（﹣2，﹣2）、（0.5，0.5）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（﹣1，﹣1），则此二次函数的解析式为（　　） A. y＝3x2+7x+3 B. y＝2x2+7x+4 C. y＝x2+7x+5 D. y＝4x2+7x+2 9. 二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④． 其中正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空（每小题5分，共40分） 11. 如图，四边形是平行四边形，点A的坐标为，点B和点C在第一象限，反比例函数的图象经过点B和点C，若点C的横坐标为5，则k的值为______． 12. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行______m才能停下来． 13. 如图，在中，点D，E分别是，上一点，连接，交于点G，若，，则的值为______． 14. 如图，函数的图象是由函数的图象x轴上方部分保持不变，下方部分沿x轴向上翻折而成． ①直线与该图象有______个交点； ②若图象与直线有四个交点，则m的取值范围是______ 三、解答题（共90分） 15. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 16. 如图．在中，，．求证：是和的比例中项． 17. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 18. 如图，在某次足球比赛中，李强站在点处发出任意球，把球看作点，其运行轨迹的高度（）与水平距离（）满足二次函数关系，且当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米，此时防守队员站在李强前方米处组成人墙，防守队员的身高为米，对手球门与李强的水平距离为米，已知足球球门的高是米． （1）求与的函数关系式； （2）足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由． 19. 已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）抛物线的顶点为D，连接、、，求的面积． 20. 如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 21. （1）如果，求； （2）如果，求的值． 22. 大蒜是我国重要蔬菜品种，尤其山东种植大蒜历史悠久，种植大蒜无疑是脱贫致富的好途径，大蒜刚上市时，张经理按市场价格6元/千克在生产基地收购了2000千克大蒜存放入冷库储存，据预测，大蒜的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批蒜时每天需要支出各种费用合计170元，而且大蒜在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有5千克的大蒜损坏不能出售． （1）若存放天后，将这批大蒜一次性出售，设这批大蒜的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式； （2）张经理想获得利润元，需将这批大蒜存放多少天后出售？ （3）张经理将这批大蒜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点，的坐标分别为，，对称轴交轴于点，点为顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方一点，且，求直线的解析式； （3）点是抛物线上一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $