4.4 数学归纳法（6大基础题型+能力提升+拓展提升）（分层作业）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

4.4 数学归纳法 题型一 数学归纳法的理解 1．（22-23高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 2．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 4．（24-25高二上·湖南长沙·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 题型二 数学归纳法处理增项问题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 3．（24-25高二上·河南南阳·专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·天津·期中）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 5．设，那么等于（    ） A． B． C． D． 题型三 用数学归纳法证明恒等式 1．（2025高三·全国·专题练习）证明：． 2．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 题型四 用数学归纳法证明不等式 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，用数学归法证明时， . 2．（2025高三·全国·专题练习）证明∶不等式成立. 3．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）用数学归纳法证明： 题型五 用数学归纳法解决整除问题 1．（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 2.（24-25高二上·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 3.（24-25高二上·全国·单元测试）用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为 . 4．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 5．（22-23高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 题型六 与数列有关的归纳-猜想-证明问题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 3．（24-25高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 1．（24-25高二下·全国·课后作业）某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立．现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 2．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明“凸n边形的内角和公式”时，由到的凸n边形的内角和增加的是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二下·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 6．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 7．（多选）（2025·江苏·模拟预测）已知数列满足，. 下列说法正确的是（   ） A．数列每一项都满足 B．数列是递减数列 C．数列的前项和 D．数列每一项都满足成立 8．（多选）（2025高二上·江苏·专题练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 9.（24-25高二上·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 10．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明对任意的都成立，则k的最小值为 . 11．（24-25高二·全国·课后作业）（1）分别计算：，，的值； （2）根据（1）的计算，猜想的表达式； （3）用数学归纳法证明你的猜想． 12．（23-24高二下·全国·课堂例题）平面内有条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数． 13．（2025高三·全国·专题练习）如果非零连续函数满足函数方程．证明：． 1．(多选)（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知常数满足，数列满足，． (1)求，，； (2)猜想的通项公式（不用给出证明）； (3)求证：对成立． 3．（25-26高三上·山东·开学考试）通常地，复数z可以被表示为的形式．这称为复数的三角形式． (1)证明： (2)设，求方程 的所有根，并用w表示． 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 数学归纳法 题型一 数学归纳法的理解 1．（22-23高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 【答案】C 【解析】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立， 故选：C. 2．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为. 故选C. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】D 【详解】若成立，由题意知：当时，均有成立，但不能保证的情况，故A错误； 若成立，则当时，均有成立，但不能保证的情况，故B错误； 由题意知：若成立，则当时，均有成立”．故C错误； ，则当时，均有成立，故D正确； 故选：D 4．（24-25高二上·湖南长沙·期末）用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 【答案】 【解析】因为，且可知：的第一个取值为， 由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为． 故答案为：. 题型二 数学归纳法处理增项问题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，第二步从到，等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减， 由于，左边； 时，左边， 比较两式，从而等式左边应添加的式子是． 故选：C 2．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．k项 D．1项 【答案】B 【解析】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 3．（24-25高二上·河南南阳·专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从到，等式的左边需要增乘的代数式是 . 故选：D. 4．（24-25高二下·天津·期中）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，左端＝， 当时，左端＝， 故左边要增乘的代数式为. 故选：B． 5．设，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得, 所以 ， 故选：D 题型三 用数学归纳法证明恒等式 1．（2025高三·全国·专题练习）证明：． 【答案】证明见解析 【解析】①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当时等式成立，即 ． 那么当时， ，等式也成立． 根据①和②，可知对任何都成立． 原等式得证. 2．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析. 【解析】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 题型四 用数学归纳法证明不等式 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，用数学归法证明时， . 【答案】 【解析】因为 ， ∴. 2．（2025高三·全国·专题练习）证明∶不等式成立. 【答案】证明见解析 【解析】①当时，左边右边，∴不等式成立. ②假设当时不等式成立，即. ③当时， 左边 ， ∴当时，不等式也成立. 综上可得，原不等式恒成立. 3．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）用数学归纳法证明： 【答案】证明见解析 【分析】利用数学归纳法的证明步骤进行证明即可. 【解析】①当时，左边，左边右边，不等式成立； ②假设时不等式成立，即， 则当时，左边 ， 即当时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式成立. 题型五 用数学归纳法解决整除问题 1．（2024高二下·全国·专题练习）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（    ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【答案】D 【分析】根据题意可得为偶数，结合数学归纳法的证明步骤即可得出答案. 【解析】因为为正偶数，所以第二步的假设应写为： 假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立， 即当（为正整数）时，能被整除， 再证时，能被整除. 故选：D 2.（24-25高二上·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 【答案】 【分析】按数学归纳法写出证明过程即可得答案. 【解析】设当时，能被整除， 所以时， ， 因此必须有代数式． 故答案为： 3.（24-25高二上·全国·单元测试）用数学归纳法证明能被14整除的过程中，当时，应变形为 . 【答案】 【分析】根据数学归纳法规则计算即可. 【解析】当时，. 故答案为：  . 4．（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【解析】（1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 5．（22-23高二·全国·随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【答案】证明见解析 【解析】（1）当时， 能被64整除，命题成立． （2）假设当时，能够被64整除． 当时，， 能够被64整除， 能够被64整除． 即当时，命题也成立． 由（1）（2）可知，能被64整除， 即是64的倍数． 题型六 与数列有关的归纳-猜想-证明问题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的首项，且，试猜想出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】猜想：，证明见解析 【解析】，，，，…， 猜想：． 证明如下： （1）当时，，猜想成立； （2）假设当时，猜想成立， 即， 则当时，， 所以当时，猜想也成立． 综合（1）（2），可知猜想对于任意都成立． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，是它的前项和，当时，． (1)求，，的值，并推测的通项公式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以，解得． 这时，，所以，解得． 这时，，所以，解得． 由，，，猜想时，， 所以推测数列的通项公式是. （2）用数学归纳法证明： （i）当时结论成立； （ii）假设当时结论成立，即， 这时 ， 所以. 当时，由得， 得，所以，即时结论成立. 由（i），（ii）可知对时结论都成立. 3．（24-25高二·全国·课堂例题）在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）． (1)求及； (2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，． (2)，证明见解析 【解析】（1）由已知条件得， 所以 ，，可得：， ，，可得：， ，，可得：； （2）由（1）的计算可以猜想． 下面用数学归纳法证明： ①当时，由已知可得结论成立； ②假设当且时猜想成立， 即． 则当时， ， ， 因此当时，结论也成立． 由①②知，对一切都有成立． 1．（24-25高二下·全国·课后作业）某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立．现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 【答案】A 【解析】因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立，所以假设当时命题成立，那么时命题也成立，这与已知矛盾，所以当时命题不成立． 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 3．(24-25高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明“凸n边形的内角和公式”时，由到的凸n边形的内角和增加的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画图说明得解. 【解析】解：如图，由到时， 凸n边形的内角和增加的是， 故选：B．    4．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）下列命题错误的个数是（   ） ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： （1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当（且）时，不等式成立，即， 那么当时， ， 所以当时，不等式成立. 综上. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】对于①，时，成立,而时,,不满足题意， 根据数学归纳法证明的要求可知，正整数的第一个取值不是1，故①错误； 对于②，当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： ，故②错误； 对于③，由题意，无法推出时，均有成立，故③错误； 对于④，在时，没有用到的假设结论，故④错误. 故选：D. 5．（23-24高二下·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【答案】B 【解析】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立； ②假设时，等式成立， 即，则当时， ， 即当时，等式成立． 综上，对任意， 等式恒成立， 所以ACD错误. 故选：B． 6．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）平面上个圆最多把平面分成个区域，通过归纳推理猜测的表达式，再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中，当时，需证（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】1个圆分把平面分成个区域，个圆把平面最多分成个区域，个圆把平面最多分成个区域， 依此类推，可得个圆最多把平面分成个区域， 归纳得， 假设当时，即， 则当时，. 故选：D. 7．（多选）（2025·江苏·模拟预测）已知数列满足，. 下列说法正确的是（   ） A．数列每一项都满足 B．数列是递减数列 C．数列的前项和 D．数列每一项都满足成立 【答案】ABD 【解析】对于A，，， 当时，，所以， 假设当时，； 则当时，， 综上，，故A正确； 对于B，由，可得数列是递减数列，故B正确； 对于C，，，，， ，故C错误； 对于D，因为，所以， 累加得，所以，即， 所以，又，故成立，故D正确． 故选：ABD. 8．（多选）（2025高二上·江苏·专题练习）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 【答案】AB 【解析】A：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时有，故当n为给定的初始值时命题不成立； B：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立； C：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时内角和为命题成立； D：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题不成立. 综上可知，满足条件的选项为AB. 故选：AB. 9.（24-25高二上·全国·课后作业）在运用数学归纳法证明能被整除时，则当时，除了时必须有归纳假设的代数式相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为 ． 【答案】 【解析】设当时，能被整除， 所以时， ， 因此必须有代数式． 10．（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明对任意的都成立，则k的最小值为 . 【答案】3 【解析】由题得，即， 当时，，不符合； 当时，，不符合； 当时，，不等式成立； 当时，，不等式成立， 当时，根据指数函数与一次函数的性质可得. 所以满足题意k的最小值为3. 11．（24-25高二·全国·课后作业）（1）分别计算：，，的值； （2）根据（1）的计算，猜想的表达式； （3）用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】（1），，；（2）（）；（3）证明见解析 【解析】（1），，； （2）猜想：（）； （3）证明： （i）时，，成立； （ii）假设时，命题成立，即， 则时，，命题也成立， 综上，对一切且，成立． 12．（23-24高二下·全国·课堂例题）平面内有条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数． 【答案】证明见解析. 【解析】(1)当 时, 两条直线的交点只有一个, 又 , 所以当 时, 命题成立. (2)假设当 时, 命题成立， 即平面内满足题设的任何 条直线的交点个数 , 当 时, 任取一条直线 , 除 以外其他 条直线的交点个数为 , 与其他 条直线交点个数为 , 从而 条直线共有 个交点, 即 , 所以当 时, 命题成立. 由(1)(2)可知, 对任意 命题都成立. 13．（2025高三·全国·专题练习）如果非零连续函数满足函数方程．证明：． 【答案】证明见解析 【解析】易知是偶函数，∴只需对的情形进行证明． 当，得， ∵，故，从而． 当为正整数时，先证如下命题： ，其中．① 时，①显然成立． 设时①成立．那么时， ． 从而①得证． 令及代入①式，分别得，， ∴． 当（且为有理数）时， 由于． ． 于是，② ∴．（这里，又，故.） 由的连续性，知对于无理数，也有． 1．(多选)（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由，且是公比为的等比数列， 所以为，为，为，， 由上观察归纳有，，显然时，满足， 若时，成立， 又是公比为的等比数列， 则，， 所以，有，满足归纳结论， 综上，，，A错，B对； 由，则，C对； 由 ，D对. 故选：BCD 2．（2025高三·全国·专题练习）已知常数满足，数列满足，． (1)求，，； (2)猜想的通项公式（不用给出证明）； (3)求证：对成立． 【答案】(1)，，； (2)； (3)证明见解析. 【解析】（1）， ， ； （2）猜想：， 显然时，满足， 若，成立， 则对于， 有， 综上，； （3）因为，， 所以， 由（2）知，， 所以的符号与的符号相同， 依次类推，我们只需要证明， 因为， 而，所以，所以，， 所以，所以，即. 3．（25-26高三上·山东·开学考试）通常地，复数z可以被表示为的形式．这称为复数的三角形式． (1)证明： (2)设，求方程 的所有根，并用w表示． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【解析】（1）证明：用数学归纳法证明：当时，，结论成立； 假设当时，结论成立，即， 则当时， ， 即当时，结论也成立， 综合上述可知 （2）由可知，则可得， 设，则，而， 故， 由，则，， 由，可得， 当时，，此时无意义； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 故方程 的所有根为：，，，. 6 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $