4.4 数学归纳法同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.4*　数学归纳法 基础巩固 1.用数学归纳法证明3n≥n3（n≥3，n∈N*），第一步应验证（ ） A.n＝1 B.n＝2 C.n＝3 D.n＝4 2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2（＋＋…＋）时，若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时，命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ） A.n＝k＋1时，等式成立 B.n＝k＋2时，等式成立 C.n＝2k＋2时，等式成立 D.n＝2（k＋2）时，等式成立 3.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ ） A.2 B.3 C.5 D.6 4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上（ ） A.k2＋1 B.（k＋1）2 C. D.（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2 5.已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝{}前n项的和为（ ） A.4（1－） B.4（－） C.1－ D.－ 6.在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1＝（ ） A.ak＋ B.ak＋－ C.ak＋ D.ak＋－ 7.证明1＋＋＋＋…＋＞（n∈N*），假设当n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是（ ） A.1 B.k－1 C.k D.2k 8.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为 . 9.证明：＋＋＋…＋＋＝1－（n∈N*）. 10.求证：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N*）. 综合运用 11.观察下列不等式：1＞，1＋＋＞1，1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，1＋＋＋…＋＞，…，由此猜测第n个不等式为 （n∈N*）. 12.已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1，3a3＝2a2＋a4，则数列{}的前4项和为 . 13.已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，数列{bn}的每一项都有bn＝｜an｜，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T4＝ ，T30＝ . 拔高拓展 14.求和：Sn＝1＋（1＋）＋（1＋＋）＋（1＋＋＋）＋…＋（1＋＋＋…＋）＝ . 15.用数学归纳法证明“＋＋…＋≥”的过程中，从n＝k（k∈N*）到n＝k＋1，不等式的左边增加了（ ） A. B.＋－ C. D.＋＋ 基础巩固 1.用数学归纳法证明3n≥n3（n≥3，n∈N*），第一步应验证（　C　） A.n＝1 B.n＝2 C.n＝3 D.n＝4 2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2（＋＋…＋）时，若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时，命题为真，则还需要用归纳假设再证（　B　） A.n＝k＋1时，等式成立 B.n＝k＋2时，等式成立 C.n＝2k＋2时，等式成立 D.n＝2（k＋2）时，等式成立 3.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（　C　） A.2 B.3 C.5 D.6 4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上（　D　） A.k2＋1 B.（k＋1）2 C. D.（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2 解析：当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2， 故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2. 5.已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝{}前n项的和为（　A　） A.4（1－） B.4（－） C.1－ D.－ 解析：∵an＝＝＝， ∴bn＝＝＝4（－）. ∴数列{bn}的前n项的和为4［（1－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）］＝4（1－）. 6.在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1＝（　D　） A.ak＋ B.ak＋－ C.ak＋ D.ak＋－ 解析：ak＝1－＋－＋…＋－， ak＋1＝1－＋－＋…＋－＋－， 所以ak＋1＝ak＋－. 7.证明1＋＋＋＋…＋＞（n∈N*），假设当n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是（　D　） A.1 B.k－1 C.k D.2k 解析：当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋； 当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋增加了＋…＋，共（2k＋1－1）－2k＋1＝2k（项）. 8.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为　（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6　. 解析：采取配凑法，凑出归纳假设k3＋5k，（k＋1）3＋5（k＋1）＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6. 9.证明：＋＋＋…＋＋＝1－（n∈N*）. 证明：①当n＝1时，左边＝， 右边＝1－＝，等式成立. ②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时， 等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－， 那么当n＝k＋1时， 左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－， 所以当n＝k＋1时，等式也成立. 根据①和②，可知等式对任意n∈N*都成立. 10.求证：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N*）. 证明：①当n＝2时， 左边＝＋＋＋＝＞，不等式成立. ②假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，即＋＋…＋＞， 则当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋（＋＋－） ＞＋（＋＋－） ＞＋（3×－）＝， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立. 综合运用 11.观察下列不等式：1＞，1＋＋＞1，1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，1＋＋＋…＋＞，…，由此猜测第n个不等式为　1＋＋＋…＋＞　（n∈N*）. 12.已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1，3a3＝2a2＋a4，则数列{}的前4项和为　　. 解析：∵等比数列{an}中，a1＝1，3a3＝2a2＋a4， ∴3q2＝2q＋q3，又∵q≠1且q≠0，∴q＝2， ∴an＝2n－1，∴＝（）2n－1， 即{}是首项为，公比为的等比数列， ∴数列{}的前4项和为＝. 13.已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，数列{bn}的每一项都有bn＝｜an｜，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T4＝　24　，T30＝　650　. 解析：当n＝1时，a1＝S1＝9，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－n2－[10（n－1）－（n－1）2]＝－2n＋11，当n＝1时也满足，所以an＝－2n＋11（n∈N*），所以当n≤5时，an＞0，bn＝an，当n＞5时，an＜0，bn＝－an，所以T4＝S4＝10×4－42＝24，T30＝S5－a6－a7－…－a30＝2S5－S30＝2×（10×5－52）－（10×30－302）＝650. 拔高拓展 14.求和：Sn＝1＋（1＋）＋（1＋＋）＋（1＋＋＋）＋…＋（1＋＋＋…＋）＝　2n＋－2　. 解析：被求和的第k项为ak＝1＋＋＋…＋＝＝2（1－）， 所以Sn＝2［（1－）＋（1－）＋…＋（1－）］＝2［n－（＋＋＋…＋）］ ＝2［n－］ ＝2［n－（1－）］ ＝2n＋－2. 15.用数学归纳法证明“＋＋…＋≥”的过程中，从n＝k（k∈N*）到n＝k＋1，不等式的左边增加了（　B　） A. B.＋－ C. D.＋＋ 解析：用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≥的过程中， 假设n＝k（k∈N*）时不等式成立， 左边＝＋＋…＋， 则当n＝k＋1时， 左边＝＋…＋＋＋＋， ∴从n＝k（k∈N*）到n＝k＋1， 不等式的左边增加了 ＋＋－ ＝＋－. 学科网（北京）股份有限公司 $