精品解析：云南省建水第一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试卷

2025-2026学年上学期建水一中高84届9月月考 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 命题教师：浦恩彦 审题教师：王道攀 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和本试题相应的位置. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集是小于7的自然数，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题，，，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 5. 在锐角中，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间内有极大值，但无极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 在上有3个零点 D. 的图象向左平移个单位长度得到的函数为偶函数 11. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. C. 在和上单调递减 D. 有2个极小值点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设正项等比数列的前项和为，，则的公比__________. 13. 若曲线在点处的切线与圆相切，则__________. 14. 在锐角中，分别为角的对边，已知，且，则的面积的取值范围是__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，. （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）设的内角的对边分别为且，，若，求的周长. 16. 已知在数列中，，，且为等差数列． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，证明：． 17. 图一，四边形是边长为2的菱形，且，点为的中点，现将沿直线折起，形成如图二的四棱锥，点为的中点. （1）求证：平面； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小. 18. 已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. （1）求双曲线的方程； （2）若直线：与C的右支交于A，B两点，为坐标原点. （i）求的取值范围； （ⅱ）若直线与轴交于点，且，求的面积. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期建水一中高84届9月月考 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 命题教师：浦恩彦 审题教师：王道攀 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和本试题相应的位置. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集是小于7的自然数，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解. 【详解】依题意，，而，所以. 【点睛】故选：C 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，结合复数的运算法则求结论. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 3. 已知向量，满足与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的坐标表示，列出方程，求解即可. 【详解】由题意知向量，满足与垂直， 故，，即得， 则，解得， 故选：A 4. 已知命题，，，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题和特称量词命题真假的判断方法，以及全称量词命题和特称量词命题的否定方法，判断结果即可. 【详解】对于命题，如图所示： 在同一直角坐标系中作出函数和的图象， 显然，当时，和的图象有一个交点，命题为真命题，则是假命题； 对于命题，当时，，命题为假命题，则是真命题. 故选：B. 5. 在锐角中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简，可得，结合同角三角函数关系，即可求得答案. 【详解】由题意知在锐角中，， 则，而， 所以，所以. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对化简后可得具体的值，对有，从而判断得解. 【详解】因为，，，故. 故选：D. 7. 若函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用奇函数的性质得出，再通过求导表达式代入建立方程求解的值. 【详解】因为函数是奇函数， 所以， 又， 所以，解得. 故选：A. 8. 已知函数在区间内有极大值，但无极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可确定，结合正弦函数图象可确定，解不等式即可求得答案. 【详解】因为，所以当时，则有， 因为在区间内有极大值，但无极小值， 结合正弦函数的图象，得，解得， 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性可判断A正确，再由基本不等式可判断BCD项可得. 【详解】对于A，因为，，所以A正确； 对于B，取，满足，但，B错误； 对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以C正确； 对于D，因为，当且仅当时等号成立，所以，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 在上有3个零点 D. 的图象向左平移个单位长度得到的函数为偶函数 【答案】BD 【解析】 【分析】先利用题干的图像求出函数的周期，再利用函数的对称性求出函数的零点和对称轴即可判断函数的单调性，最后根据已知点求出函数的解析式，通过平移变换得到新的函数即可判断奇偶性. 【详解】对于A，由图可得：，，，A错误； 对于B，补图法：对称轴左侧的对称轴分别为，和，所以在上单调递增，B正确； 对于C，补图法：零点右侧的零点分别为，和，所以在上有4个零点，C错误； 对于D，把点代入得， 即，，即，， ， 为偶函数，D正确. 故选：BD 11. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. C. 在和上单调递减 D. 有2个极小值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用偶函数的性质，结合条件，即可求解；对B，直接求出，即可判断正误；对C，利用导数与函数单调性间的关系及偶函数的性质，求出单调区间，即可判断正误；对D，利用C中结果，由极值的定义及偶函数的性质，即可求解. 【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，且时，， 所以时，，则， 又，所以当时，，故A正确； 对于B，由选项A知时，， 所以当，，则，所以B正确； 对于C，因为当时，， 令可得，或（舍去） 当时，，函数在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在和上单调递增，故C错误； 对于D，由选项C可函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当时，是的极小值点， 因为是偶函数，图象关于轴对称，所以也是的极小值点， 故有2个极小值点，所以D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设正项等比数列的前项和为，，则的公比__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件建立方程，从而得，即可求解. 【详解】因为，则①，②， 将①代入②，得到，解得或（舍） 故答案为：. 13. 若曲线在点处的切线与圆相切，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线，再根据直线与圆的位置关系求出值. 【详解】由，求导得，则， 因此曲线在点处的切线方程为，即， 由直线与圆相切，得， 解得或. 故答案为：或. 14. 在锐角中，分别为角的对边，已知，且，则的面积的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件结合正余弦定理求出，利用三角形面积公式得到，由正弦定理得，代入化简可得，结合角的范围求出答案. 【详解】由及正弦定理得， 所以，因为为锐角三角形，故， 所以， 由正弦定理，, 所以， 因为为锐角三角形，，得， ，则，所以. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，. （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）设的内角的对边分别为且，，若，求的周长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数最值的求法可得答案； （2）通过求出角，再利用角的余弦定理可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 当，即时，； 当，即时，. 【小问2详解】 ，则， ，，所以， 所以，， 由余弦定理得，即，① 又，② 把②代入①得，又由得， 所以， 的周长为. 16. 已知在数列中，，，且为等差数列． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，证明：． 【答案】（1） （2） 证明：， ， 因为，所以， 故． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义即可求解； （2）用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 由，，可得，， 所以是首项为3，公差为1的等差数列， 所以， 所以． 【小问2详解】 略 17. 图一，四边形是边长为2的菱形，且，点为的中点，现将沿直线折起，形成如图二的四棱锥，点为的中点. （1）求证：平面； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1）证明如下： 在图二中，取线段的中点为，连接和， 由点为的中点，得且， 又四边形是边长为2的菱形，点为的中点， 所以 且， 则且， 所以四边形为平行四边形，因此， 又平面平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取线段的中点为，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，结合三棱锥的体积计算证得平面，再建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法求出面面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在图一中，由菱形的边长为2，，得都是正三角形， 而点为的中点，则有， 则， 设四棱锥的高为， 其体积为，解得， 即点到平面的距离为1，而， 因此平面，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 由平面，得为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，而，解得， 所以平面与平面的夹角的大小为. 18. 已知双曲线：的离心率为，实轴长为4. （1）求双曲线的方程； （2）若直线：与C的右支交于A，B两点，为坐标原点. （i）求的取值范围； （ⅱ）若直线与轴交于点，且，求的面积. 【答案】（1）； （2）（i）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可. （2）（i）将直线与双曲线方程联立，利用一元二次方程有二不等的正根列式求解；（ⅱ）利用数量积的定义及坐标表示求出，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 由双曲线的实轴长为4，得， 由双曲线的离心率为，得，得， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 （i）设，由消去得， 由A，B都在双曲线C的右支上，得，解得， 所以的取值范围是. （ii）依题意，，， 则，解得， 而，则，， 所以的面积. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值. 【答案】（1）增区间为和；减区间为 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的导数，再根据函数的正负来确定函数的单调区间即可； （2）（i）先求出导数，根据函数有两个极值点可知导数对应的方程有两个不同的正根，再结合二次函数的性质来确定参数的取值范围； （ii）先根据韦达定理得到与的关系，将表示为关于的函数，最后利用导数求该函数的最小值. 【小问1详解】 当时，，的定义域为， ， 令，得或， 单调递增； 单调递减； 单调递增. 综上，的增区间为和；减区间为. 【小问2详解】 （i）， 又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根 则，解得， 经检验，当时，符合题意. 所以实数的取值范围为. （ii）由（i）知，则，， ， 令， 则， 当时，，则单调递减 当时，，则单调递增 故当时，取得最小值， 所以，即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $