精品解析：山东省济宁市邹城市第十一中学2025-2026学年上学期八年级第一次月考数学试题

八年级数学随堂检测 一、选择题：（共30分） 1. 下列椅子的设计中利用了“三角形稳定性”的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 3. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 4. 若一个三角形三边长分别为2，3，，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的面积为2，分别延长至点D，使，延长至点E，使，延长至点F，使，依次连接，则阴影部分的面积为（　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在和中，，，添加下列哪一个条件无法证明的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法： （1）周长相等的两个三角形是全等三角形； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等， （4）在中，当时，这个三角形是直角三角形． 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，∠B+∠C+∠D+∠E―∠A等于（　　） A. 180° B. 240° C. 300° D. 360° 10. 当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为（　　） A. 108°或27° B. 108°或54° C. 27°或54°或108° D. 54°或84°或108° 二、填空题：（共32分） 11. 如图，，，，则______． 12. 如图，中，于D，要使，若根据“”判定，还需要加条件_______． 13. 如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接并延长至点，使得，连接，则四边形（阴影部分）的面积为______． 14. 在中，于点D，若，，则的度数为______． 15. 如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；…与的平分线交于点，得；若，则______． 16. 如图，，分别是的高和角平分线，，，则______． 17. 如图，将沿经过点的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点落在边上的处，若，，则_____________． 18. 中，点A、B、C坐标为，，，如果要使与全等，那么D的坐标是__________． 三、解答题：共58分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知：的三边长分别为，，． （1）化简：； （2）的两边长为和，周长为偶数，求出周长． 20. 如图．已知：在中，，．求证： （1）； （2）． 21. 作图题 （1）如图，已知，线段，线段． 求作：，使，，．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）中，作一个角等于已知角的依据是运用了全等三角形的哪个判定方法______． 22. 已知：是的高，，． （1）求证：． （2）与有什么位置关系，说明理由． 23. 如图，在长方形中，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： （1） _______ ．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，? （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 24. 在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，，连接，． （1）如图，当点D在的延长线上移动时，求证：． （2）设，． ①当点D在线段的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？说明理由． ②当点D在线段上，请在图一中画出图形，直接写出α与β之间的数量关系．当点D在线段的反向延长线上移动时，请在图二中画出图形，直接写出α与β之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学随堂检测 一、选择题：（共30分） 1. 下列椅子的设计中利用了“三角形稳定性”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、椅子的设计中没有利用“三角形稳定性”，故此选项不符合题意； B、椅子的设计中利用了“三角形稳定性”，故此选项符合题意； C、椅子的设计中没有利用“三角形稳定性”，故此选项不符合题意； D、椅子的设计中没有利用“三角形稳定性”，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 3. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 4. 若一个三角形三边长分别为2，3，，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系得：， ∴， ∴． 故选：D． 5. 如图，的面积为2，分别延长至点D，使，延长至点E，使，延长至点F，使，依次连接，则阴影部分的面积为（　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，可得，即得，进而得到，同理可得，，再根据即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， 故选：D． 6. 如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、对顶角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据直角三角形的性质得到，根据对顶角相等得到，，再根据等量代换即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 7. 如图，在和中，，，添加下列哪一个条件无法证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断即可得解，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， ∴，则添加不能证明，故该选项符合题意； 、∵， ∴， 在和中， ， ∴，故该选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，故该选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，故该选项不符合题意； 故选：． 8. 下列说法： （1）周长相等的两个三角形是全等三角形； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等， （4）在中，当时，这个三角形是直角三角形． 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理． 根据全等三角形的判定方法，全等三角形的性质，三角形的内角和定理以及三角形的分类，逐一进行判断即可． 【详解】解：周长相等的两个三角形不一定全等，故（1）说法错误； 全等三角形的面积相等，故（2）说法正确； 全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）说法正确； ∵， ∴， ∴是直角三角形；故（4）说法正确； 故选：C． 9. 如图，∠B+∠C+∠D+∠E―∠A等于（　　） A. 180° B. 240° C. 300° D. 360° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质，得∠B+∠C=∠CGE=180°-∠AGF，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠AFG，两式相加再减去∠A，根据三角形的内角和是180°可求解． 【详解】∵∠B+∠C=∠CGE=180°-∠AGF，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠AFG， ∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=360°-（∠AGF+∠AFG+∠A）， 又∵∠AGF+∠AFG+∠A=180°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=180°， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角和等于180度是解题的关键． 10. 当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为（　　） A. 108°或27° B. 108°或54° C. 27°或54°或108° D. 54°或84°或108° 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论，①，②，③既不是也不是，根据“友好三角形”的定义及三角形内角和定理列式计算即可． 【详解】①，则这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为， ②，则， ， ③既不是也不是， 则， ， 解得， 综上所述：这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为或或． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键． 二、填空题：（共32分） 11. 如图，，，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，则有，设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 12. 如图，中，于D，要使，若根据“”判定，还需要加条件_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据“斜边直角边”的理解可得答案． 【详解】当时， 在和中， ， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接并延长至点，使得，连接，则四边形（阴影部分）的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，三角形面积，由是边的中点，则，证明，所以，通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 在中，于点D，若，，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查与三角形的高线有关的计算，分在内部和在外部两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当在内部时，如图： ∵，， ∴， 当在外部时，如图： 则：； 故答案为：或． 15. 如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；…与的平分线交于点，得；若，则______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线定义，利用角平分线的定义以及三角形外角与内角的关系，逐步推导得出与的数量关系即可，熟练掌握三角形外角与内角的关系，以及通过递推得出数量关系是解题的关键． 【详解】解：∵与的平分线交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，，分别是的高和角平分线，，，则______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据三角形高的定义得到，得到，再利用三角形外角的性质求出的度数，最后根据三角形角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，将沿经过点的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点落在边上的处，若，，则_____________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、折叠的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用三角形内角和定理和外角的性质是解答本题的关键． 根据三角形外角的性质可得，再根据翻折的性质可得，运用三角形内角和定理可得，进而由即可解答． 【详解】解：， ， 根据翻折的性质，， ∵在中，， ∴． 故答案为： 18. 中，点A、B、C坐标为，，，如果要使与全等，那么D的坐标是__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，全等三角形的性质，分情况进行讨论是解决本题的关键． 根据题意分点在的上方、点在的下方两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 与有一条公共边， 当点在的下方时，点有两种情况：①坐标是，②坐标为， 当点在的上方时，坐标为． 点的坐标是或或． 故答案为：或或． 三、解答题：共58分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知：的三边长分别为，，． （1）化简：； （2）的两边长为和，周长为偶数，求出周长． 【答案】（1）； （2）周长为或． 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）由题意得，，然后化简绝对值，再合并即可； （）设第三边为，根据三边关系求出，又周长为偶数，所以或，然后通过周长公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵的三边长分别为，，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：设第三边为， ∴，， ∵周长为偶数， ∴或， ∴周长为或， ∴周长为或． 20. 如图．已知：在中，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明即可； （2）利用全等三角形判定证明，再利用全等三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 作图题 （1）如图，已知，线段，线段． 求作：，使，，．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）中，作一个角等于已知角的依据是运用了全等三角形的哪个判定方法______． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作三角形，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的尺规作图方法，全等三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据尺规作图——作三角形，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段即可； （）根据“”证明三角形全等即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由作图可知，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 已知：是的高，，． （1）求证：． （2）与有什么位置关系，说明理由． 【答案】（1） 证明：∵是的高， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明即可； （2）根据直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，则有，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在长方形中，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： （1） _______ ．（用t的代数式表示） （2）当t为何值时，? （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，①当，时，；②当，时， 【解析】 【分析】（1）根据题意写出表达式即可； （2）根据题意得出当时，，据此计算出t即可； （3）分情况根据三角形全等得出v的值即可． 【小问1详解】 解：由题意知，； 【小问2详解】 解：当时，， ∵当时，， ， 在和中， ， ； 【小问3详解】 解：①当时，， , ∴, ， 即， 解得； ②当时，， ， , ∴， 解得， ∵, 即， 解得； 综上所述，当/秒或/秒时和全等． 24. 在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，，连接，． （1）如图，当点D在的延长线上移动时，求证：． （2）设，． ①当点D在线段的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？说明理由． ②当点D在线段上，请在图一中画出图形，直接写出α与β之间的数量关系．当点D在线段的反向延长线上移动时，请在图二中画出图形，直接写出α与β之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） ①，理由如下： ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点D在线段上，如图： 由①得，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 当点D在线段的反向延长线上移动时，如图： 由①得， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，根据条件证明是解题的关键． （1）利用全等三角形判定证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）①根据等腰三角形的性质得到，通过证明得到，再利用角的和差用表示出，再结合即可得出结论； ②根据题意分别画出图形，通过证明，得到，再利用角的和差用表示出，再结合即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $