精品解析：湖南省株洲市第二中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

株洲市二中初中部2025年下学期期中学科素养检测试卷 初三年级 数学学科 命题人：王嘉琳 尹佳慧 审题人：李亚 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共计30分） 1. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可； 本题考查的是中心对称图形概念，正确掌握相关定义是解题关键； 【详解】A．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算性质，涉及了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等，掌握幂的运算性质是解题的关键． 分别计算每个选项，再判断对错即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D． ，故D不符合题意； 故选：B． 3. 如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图， ∵两条入射光线平行， ∴， ∵， ∴． 4. 有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了运用数轴判断式子的正负性，绝对值的意义．有理数的乘法，加法，先根据数轴得，且，再依次判断每个选项，即可作答． 【详解】解：由数轴上点的位置得，， ∴，故A选项不符合题意； ∴，故B选项不符合题意； ∴，故C选项符合题意； ∴，故D选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，直线abc，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为( ) A. 9 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】因为，根据平行线分线段成比例可知，，故可得DE与EF的比值，且DE+EF=DF=9，即可求出EF的长度． 【详解】解：∵，根据平行线分线段成比例可知， ，设DE=4t，EF=5t， 又∵DF=9，其中DF=DE+EF=9t=9，解得：t=1， ∴EF=5t=5， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识点，解题的关键在于写出各线段的比例关系式，当题目中出现三条（或三条以上）的平行线，且求线段长度或比例时，常用平行线获得比例线段． 6. 某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是(　　) A. 12岁 B. 13岁 C. 14岁 D. 15岁 【答案】C 【解析】 【详解】解：40个数据最中间的两个数为第20个数和第21个数，而第20个数和第21个数都是14（岁），所以这40名学生年龄的中位数是14岁．故选C． 7. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点，作直线分别交，于点D，E，连接．若，，则下列结论错误的是（ ） A. 的周长是8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可判断A和C；根据直角三角形斜边中线的性质可判断B；根据相似三角形的判定与性质可判断D． 【详解】解：A．∵垂直平分， ∴， ∴的周长是，正确； B．∵垂直平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，正确； C．∵，，， ∴， ∵垂直平分， ∴，正确； D．∵， ∴， ∴ ∴，故不正确． 故选D． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是正方形 D. 当时，它是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 选项A：当时，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故A正确，该选项不符合题意； 选项B：当时，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故B正确，该选项不符合题意； 选项C：当时，由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得出它是正方形，故C错误，该选项符合题意； 选项D：当时，由“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故D正确，该选项不符合题意． 9. 反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线间的距离，反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于点，连接，，根据平行线间的距离得，又，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 10. 如图，在中，，点为边上一点，，点是边上的动点，将沿直线折叠得到，点的对应点为点，连接，有下列4个结论：①；②；③当时，；④若点恰好落在线段上时，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，利用三线和一以及正切的定义，求出，即可判断①；过点作于点，利用勾股定理求出，判断②；过点作于点，证明为等腰直角三角形，设，三角函数求出的长，利用，求出的值，进而求出的长，判断③；证明，推出，根据折叠的性质，推出，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④． 【详解】解：①过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴；故①正确； ②过点作于点，则：四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故②正确； ③过点作于点， ∵， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；故③错误； ④当点恰好落在线段上时，如图：设与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴；故④正确， 综上：正确的是①②④； 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 12. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法和公式法因式分解． 【详解】解：原式 ． 13. 若m是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】2023 【解析】 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， ∴， ∴ ． 故答案为：2023． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】在网格上取点D，得， ∵CD=4，BD=1 ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是作出点D，构造直角三角形求解． 15. 如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】连接EF交CD于O，先证明四边形CFDE为菱形，从而求出CO的长度，然后根据余弦定义求出CE即可得出答案． 【详解】解：连接EF交CD于O，如图： ∵DEAC，DFBC， ∴四边形CEDF是平行四边形， ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠FCD＝∠ECD， ∵DEAC， ∴∠FCD＝∠CDE， ∴∠ECD＝∠CDE， ∴CE＝DE， ∴四边形CEDF是菱形， ∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝， 在Rt△COE中， CE＝＝＝4， ∴四边形CEDF的周长是4CE＝4×4＝16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，余弦的定义等知识，解题的关键是判断出四边形CEDF为菱形． 16. 在南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》第二章“天时类”中，收录了四个有关测量降水量的例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中的“峻积验雪”，就是根据一定尺寸的斜面上积雪的厚度，推算平地上积雪的厚度，其原理为：如图，在中，，，，，，过点作交的延长线于点，过点作交于点，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】作，于点，，等面积法求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，作，于点，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、填空题（共7大题，共计72分） 17. 计算与解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）先化简各数，进行特殊角的三角函数值的计算，再进行加减运算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 ， ， 解得． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先把括号中的分母进行通分，再把除法转化成乘法，然后分子与分母进行约分，再进行同分母分式的减法，最后把的值代入即可，熟悉相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， ， ． 19. 年是中国共产主义青年团建团周年，为迎接党的二十大胜利召开，进一步传承五四精神．某中学组织了一面向全校的党团知识竞赛，有名学生参加的书面测试，阅卷后，校团委随机抽取了份答卷进行分析统计，发现测试结果（分）的最低分为分，最高分为满分分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题： 分数段（分） 频数 频率 （1）填空：______，______，______，并将频数分布直方图补充完整； （2）校团委打算让全校位于分数段的同学，统一时间进行的补测，若每个考室需安排个座位，则估计需要安排多少个补测的考室？（列式说明） （3）校团委计划对成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为，请你估算全校获得二等奖的学生人数． 【答案】（1），，， 补充完整的频数分布直方图如图， （2）需要安排个补测的考室； （3）全校获得二等奖的学生人数为人． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表以及利用样本估计总体，解决本题的关键是要熟练掌握样本容量、频数、频率之间的关系． （）根据频数、频率、样本容量之间的关系，求出样本容量，进而求出的值；根据各组的频数进行计算然后补全即可； （）先求出全校位于分数段的同学人数，进一步即可求出答案； （）求出样本中“二等奖”的人数，再乘以其所占百分比求解即可． 【小问1详解】 解：；，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：全校位于分数段的同学有：（个）， ∴校团委需安排补考的考室为：（个）， 答：需要安排个补测的考室； 【小问3详解】 解：（人）， 答：全校获得二等奖的学生人数为人． 20. 如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：， （2）点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ∴， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质； （1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答； （2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设,则， ∴， 解得， 即的长为． 21. 如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图，已知米，，从水平地面点处看点的仰角，从点处看点的仰角，且米． （1）求点到墙壁的距离； （2）求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：） 【答案】（1）0.6米； （2）4米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解． （1）过C作于F，过C作于H，则四边形是矩形，所以，，根据三角函数即可求解； （2）根据锐角三角函数列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：过C作于F，过C作于H，则四边形是矩形， ∴，． 在中，米，． ∴（米）， （米）； 答：点C到墙壁AM的距离为0.6米； 【小问2详解】 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， （米）， 答：匾额悬挂的高度是4米． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． （1）求b，k的值； （2）点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； （3）在（2）的条件下，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，求点E的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点B坐标代入一次函数式中，即可求得b的值，从而得点B的值；把点B的坐标代入反比例函数式中即可求得k的值； （2）过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K，证明，则由相似三角形的性质求得，从而求得点D的坐标；再求出的函数解析式，则可求得点K的坐标，利用即可求解； （3）过点D作轴，作于H，于G，证明，利用全等三角形的性质即可求得点坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数交于点， ∴把代入中，得， 解得：， ∴； 把代入得：； 即，； 【小问2详解】 解：如图，过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知反比例函数的表达式为； 当时，，解得， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点D作轴，作于H，于G， 则， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数交点，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造辅助线证明三角形相似与全等是解题的关键． 23. 某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究： （1）【问题背景】如图，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则______； （2）【特例探究】如图，连接，当点恰好落在上时，求证：； （3）【深入探究】如图，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请求出与之间的数量关系式； （4）【拓展探究】如图，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请求出的长． 【答案】（1）； （2） 解：由（）得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（）由，则，然后通过折叠性质即可求解； （）由（）得，又四边形是正方形，所以，然后证明，得 ，由翻折的性质可知，，故有，再由，，所以，从而证明，根据相似三角形性质可得，从而求证； （）由（）可知，，，然后通过即可求解； （）过作，交延长线于，作的平分线，交于，则，再证明，，，可得，设，由菱形性质可得，所以，由勾股定理可得，定义，然后求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， 由翻折的性质可知，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，理由如下: 由（）可知，，， ∵， ∴； 【小问4详解】 解：过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得， 即的长为． 【点睛】本题是考查了正方形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市二中初中部2025年下学期期中学科素养检测试卷 初三年级 数学学科 命题人：王嘉琳 尹佳慧 审题人：李亚 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共计30分） 1. 习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线abc，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为( ) A. 9 B. 5 C. 4 D. 3 6. 某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是(　　) A. 12岁 B. 13岁 C. 14岁 D. 15岁 7. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点，作直线分别交，于点D，E，连接．若，，则下列结论错误的是（ ） A. 的周长是8 B. C. D. 8. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是正方形 D. 当时，它是矩形 9. 反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点为边上一点，，点是边上的动点，将沿直线折叠得到，点的对应点为点，连接，有下列4个结论：①；②；③当时，；④若点恰好落在线段上时，则．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 11. 若，则______． 12. 因式分解：=___． 13. 若m是方程的一个根，则的值为_____． 14. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为_______． 15. 如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是_______． 16. 在南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》第二章“天时类”中，收录了四个有关测量降水量的例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中的“峻积验雪”，就是根据一定尺寸的斜面上积雪的厚度，推算平地上积雪的厚度，其原理为：如图，在中，，，，，，过点作交的延长线于点，过点作交于点，那么_____． 三、填空题（共7大题，共计72分） 17. 计算与解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 年是中国共产主义青年团建团周年，为迎接党的二十大胜利召开，进一步传承五四精神．某中学组织了一面向全校的党团知识竞赛，有名学生参加的书面测试，阅卷后，校团委随机抽取了份答卷进行分析统计，发现测试结果（分）的最低分为分，最高分为满分分，且分数都为整数，并绘制了尚不完整的统计图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题： 分数段（分） 频数 频率 （1）填空：______，______，______，并将频数分布直方图补充完整； （2）校团委打算让全校位于分数段的同学，统一时间进行的补测，若每个考室需安排个座位，则估计需要安排多少个补测的考室？（列式说明） （3）校团委计划对成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为，请你估算全校获得二等奖的学生人数． 20. 如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：， （2）点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长． 21. 如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图，已知米，，从水平地面点处看点的仰角，从点处看点的仰角，且米． （1）求点到墙壁的距离； （2）求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：） 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． （1）求b，k的值； （2）点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； （3）在（2）的条件下，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，求点E的坐标． 23. 某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究： （1）【问题背景】如图，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则______； （2）【特例探究】如图，连接，当点恰好落在上时，求证：； （3）【深入探究】如图，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请求出与之间的数量关系式； （4）【拓展探究】如图，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $