精品解析：海南省海南中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学科试题

海南中学2024-2025学年高一数学第二次月考 测试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 命题“”的否定为（ ） A. “” B. “” C. “” D. “” 2. 已知集合，集合（为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ） （参考数据：，） A. 0.2 B. 0.18 C. 0.15 D. 0.14 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，，的零点分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 10. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 已知方程的解在内，则 B. 函数的零点是 C. 函数的图象关于对称 D. 用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 11. 已知函数，下列有关函数说法正确的是（ ） A. B. 最小值为 C. 最小值为 D. 单调递增区间为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，，则______（用，表示）． 13. 已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则______. 14. 设函数，的单调递减区间是________；若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 求下列各式的值： （1）； （2）. 16. 已知函数. （1）若函数是定义在上的奇函数，求的值； （2）用单调性的定义证明函数在是增函数. 17. 某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4万件.已知生产该产品的固定投入为24万元，每生产一万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算） （1）计算k的值为多少，并将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数： （2）该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?最大利润是多少? 18. 已知函数. （1）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； （2）若函数，且对，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数满足． （1）当时，解不等式； （2）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2024-2025学年高一数学第二次月考 测试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 命题“”的否定为（ ） A. “” B. “” C. “” D. “” 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可. 【详解】因为，是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即， 故选：D. 2. 已知集合，集合（为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合由交集的运算可得答案. 【详解】集合， ， . 故选：C． 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与的大小关系比较即可 【详解】依题意得，， ， ，所以， 故， 故选：B. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，则， 函数为非奇非偶函数，排除BD选项； 当时，，则，，排除C选项. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 5. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ） （参考数据：，） A. 0.2 B. 0.18 C. 0.15 D. 0.14 【答案】C 【解析】 【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得. 【详解】依题意得，，化成对数式，， 解得，． 故选：C． 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则或， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 易知函数在定义域上的单调递增， 故要求函数的单调递增区间， 即求在上的单调递增区间， 而在区间上单调递增，在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故函数的单调递增区间是. 故选：B 7. 若函数，，的零点分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果. 【详解】由，得到，由，得到， 由，得到， 在同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示， 由图知， 故选：B. 【点睛】关键点晴：本题的关键在于将函数零点问题转化成图象交点，通过作出函数的图象，再根据图象求结果. 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 对任意的对任意、，且，都有， 不妨设，则，可得，即， 所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数， 且，， 当时，由可得，可得； 当时，由可得，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围． 【详解】因为一元二次方程有两个实数根，， 且，令， 则由题意可得，即 解得， 故选：ABC. 10. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 已知方程的解在内，则 B. 函数的零点是 C. 函数的图象关于对称 D. 用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数，利用零点存在性定理判断A；利用零点的定义判断B；利用指数对数函数图象关系判断C；利用二分法求出近似解的方法判断D. 【详解】对于A，令，函数在R上递增，， 因此函数的零点，即方程的解在内，A正确； 对于B，函数的零点是，B错误； 对于C，函数互为反函数，它们的图象关于对称，C正确； 对于D，函数在R上递增，由， 得函数的零点在区间上，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，下列有关函数说法正确的是（ ） A. B. 最小值为 C. 最小值为 D. 单调递增区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】将代入函数解析式求值判断A；令，利用换元法求得最值判断BC；再结合二次函数的单调性以及对数函数的单调性求得递增区间判断D. 【详解】函数， 所以，故A正确； 由对数函数性质可得的定义域为，令， 即可化为， 因为，， 所以时，有最小值，无最大值，故B错误；C正确； 由二次函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 由对数函数性质可得在上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 令，解得，则在上单调递增， 综上，的单调增区间为，单调减区间为，故D错误. 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，，则______（用，表示）． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数与对数运算法则可得，再由换底公式化简可得结果. 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 13. 已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的基本性质求出定点的坐标，然后令，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式，由此可得出的值. 【详解】对于函数（且）， 令，可得，此时，， 所以，函数（且）的图象恒过定点， 因为函数为幂函数，设，则，解得， 所以，，故. 故答案为：. 14. 设函数，的单调递减区间是________；若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是________． 【答案】 ①. （区间开闭均可） ②. 【解析】 【分析】画出图形，结合图象即可得单调区间；根据图形分析可得，进而求出范围. 【详解】解：作出函数图像如下 由图象可知的单调递减区间是（区间开闭均可）； 若互不相等的实数，，满足 不妨设，则关于对称，所以 根据图像可得 所以，所以的取值范围为. 故答案为：（区间开闭均可）；. 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】(1) ；(2)3 【解析】 【分析】分别进行计算即可． 【详解】（1） （2）因为，所以 【点睛】此题考查指对数函数的计算问题，关键记住对指数运算法则，对数函数中的换底公式的使用，属于较易题目． 16. 已知函数. （1）若函数是定义在上的奇函数，求的值； （2）用单调性的定义证明函数在是增函数. 【答案】（1） （2） 证明： ， 因为，，即 所以即 所以函数在是增函数. 【解析】 【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数等价于，即可解出的值． （2）根据单调性的定义，取值-作差-判断正负号-说明，即可得证． 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数，故有解得,经检验， 成立 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查定义在上的奇函数的性质与利用单调性的定义证明单调性，需熟练掌握定义在上的奇函数过坐标原点，与函数单调性的定义四部曲取值-作差-判断正负号-说明．属于基础题． 17. 某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4万件.已知生产该产品的固定投入为24万元，每生产一万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算） （1）计算k的值为多少，并将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数： （2）该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1），； （2）促销费用投入5万元时，厂家的利润最大，最大利润为73万元. 【解析】 【分析】（1）由，可求得的值，结合题意可得出关于的函数关系式. （2）利用基本不等式可求出的最大值及其对应的值，即可得出结论. 【小问1详解】 依题意，当时，，得，则， 所以，，其中， 所以，. 【小问2详解】 ，当且仅当时取等号， 所以该厂家2023年的促销费用投入5万元时，厂家的利润最大，最大利润为73万元． 18. 已知函数. （1）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； （2）若函数，且对，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的解析式可得其对称轴，利用二次函数的性质，可得不等式，可得答案； （2）根据指数函数的单调性求得最值，利用分类讨论思想，由题意建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 由二次函数，则其对称轴为， 由函数在区间上具有单调性，则，即或. 【小问2详解】 由函数在上单调递减，则， 易知二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上的最小值， 由题意可得，则，解得，此时无解； 当时，函数在上的最小值， 由题意可得，则，，解得，此时； 当时，函数在上的最小值， 由题意可得，则，解得，此时； 综上所述，可得. 19. 已知函数满足． （1）当时，解不等式； （2）设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，由的单调性，即可求解； （2），，由单调性求出在区间上的最大值与最小值，利用其差不超过1，求出关于的关系式在恒成立，转化为关于的函数最值与参数关系，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 所以， 由题意可得，所以，解得， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 ， 当时，，则， 所以在上单调递减， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 则， 所以 整理得对任意恒成立， 因为，所以函数对称轴方程为， 函数在区间上单调递增， 所以时，有最小值.由，得， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $