解决问题的策略（知识精讲、易错导航、考点精练）-2025-2026学年数学五年级上册苏教版

解决问题的策略 单元巩固讲练 知识精讲 列举法 把事情发生的可能性有条理地找出来，从而找出问题的全部答案，这种策略叫作一一列举。 列举的方式有：列表、画图、连线、画“√”，也可按一定规律排列出来等。 要做到不重复、不遗漏，就要按顺序来排列。 【例1】王叔叔用22根1米长的木条围一个长方形的花圃，怎样围面积最大？ 长方形的长/米 长方形的宽/米 面积/平方分米 当长方形周长相等时，长和宽越接近，面积越大； 长和宽相差越大，面积越小。 【例2】用48个1平方厘米的小正方形拼成长方形，有多少种不同的拼法？它们的周长各是多少？拼一拼，算一算。 长方形的长/米 长方形的宽/米 周长/米 当长方形面积相等时，长和宽越接近，周长越短；长和宽相差越大，周长越长。 排列（有顺序） 爸爸、妈妈、我排列照相，有几种排法：3×2=6种；（ABC、BAC不同） 组合（没有顺序） 5个球队踢球，每两队踢一场，要踢多少场：4＋3＋2＋1=10场；（AB、BA相同）。 四人互相通电话，总共要通的次数：3＋2＋1＝6次， 如果互相写信，总共要写的封数：（3＋2＋1）×2＝12封。 当状况比较复杂时要先分类，再列举。 列举时能够列表，也能够用文字或符号、字母等来表示。总之要把每种可能一一列举出来，并且要用尽可能简单的方法表示，让人一看就理解。 易错导航 考点1：搭配问题 考点2：排列组合问题 考点3：间隔、植树问题 考点4：比赛问题 考点5：画图法解决问题 考点6：用列表法解决问题 考点1：搭配问题 1．乐乐同学做一个数学实验：他将4个完全一样的乒乓球上分别写上A、B、C、D，乐乐把它们放入一个不透明的袋里。每次从中任意摸2个球，摸出的结果一共有（    ）种可能。 A．3 B．4 C．5 D．6 2．有1克、2克、4克的砝码各一个，选其中的一个或几个，能在天平上直接称出（    ）种不同质量的物体。（注意：砝码只能放在天平的右侧） A．7 B．6 C．5 D．4 3．小红从家出发到小明家有（    ）条不同的路线。 A．5 B．6 C．7 D．4 4．一把钥匙只能开一把锁。现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试（    ）次才能配好全部的钥匙和锁。 A．6 B．7 C．8 D．9 考点2：排列组合问题 5．元旦节的时候，李华和他的三个好朋友，互相发短信祝贺元旦快乐，问他们一共要发（    ）次短信。 A．6 B．8 C．10 D．12 6．学校五年级举行足球比赛，一共有8个班参加。如果每两个班都要比赛一场，一共要比赛（    ）场。 A．7 B．8 C．16 D．28 7．如图，小明从家去学校，如果只向东和向南走，一共有（    ）种不同的行走路线。 A．8 B．9 C．10 D．11 8．王刚、李丽、张兵和刘红是好朋友。如果他们互相寄一张节日贺卡，一共要寄（    ）张贺卡。 A．6 B．8 C．12 D．16 考点3：间隔、植树问题 9．南通森林野生动物园的马戏团表演从10：00开始到18：00结束，中间不间断进行表演，已经表演了几场，其开始时间分别是：10：00，10：40，11：20，12：00。下面4个时间，（    ）正好是后面某一场表演开始的时间。 A．13：20 B．13：40 C．14：20 D．15：00 10．有一种电子游戏，每玩一关最多可得800分，每玩满1000分、2000分……（整千分）可另外奖励500分。小飞玩了5关，最多可得（    ）分。 A．6000 B．7500 C．8000 D．以上都不对 11．洛宁106路公交车早上6：30从公交站开始发第一辆车，以后每15分钟发一趟，那么上午8：00是第（    ）辆车正好发车。 A．7 B．8 C．9 D．6 12．亮亮的教室在4楼，每层楼梯有20级台阶。亮亮早晨到教室上课要上（    ）级台阶。 A．20 B．80 C．60 考点4：比赛问题 13．社区举行篮球比赛，18支队伍参赛，比赛采取单场淘汰制（每场比赛淘汰1支队伍），那么一共要进行( )场比赛才能产生冠军。 14．有10支足球队参加比赛，如果比赛采用单场淘汰制（即每场比赛淘汰1支球队），一共要进行( )场比赛才能产生冠军；如果比赛采用单循环赛制（即每支球队都要跟其他各支球队比赛一场），一共要进行( )场比赛。 15．学校举行羽毛球比赛，32个同学参加双打比赛，比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰1组选手）进行，那么一共要进行( )场比赛才能产生冠军。 16．有3支球队要举行足球比赛，规定每两支球队之间都要比赛一场，一共要比赛( )场；如果采用淘汰制，最后决出冠军，一共要赛( )场。 考点5：画图法解决问题 17．如图是某社区的道路示意图。如果从学校到书店只能向东或向北走，那么从学校到书店共有几条路线？ 18．从小兰家到图书馆，如果只是向东或向南走，一共有多少种不同的走法？ 19．如图所示，从少年宫出发经过邮局去图书馆，如果只能往东走或往北走，一共有多少种不同的走法？ 20．乐乐从家到少年宫，如果只能向南、向西走，一共有多少种不同的路线可走？ 考点6：用列表法解决问题 21．用20根长度均是1厘米的小棒，摆成一个长方形（或正方形）。将你摆的情况填在下表中。 长/厘米 9 宽/厘米 1 面积/平方厘米 9 （1）一共有（    ）种不同的摆法。 （2）观察这些图形的面积，你的发现是： 。 22．甲市出租车行驶3千米以内的价格是9元，之后每千米加收1.5元（不足1千米的部分按1千米计算）；乙市出租车行驶3千米以内的价格是8元，之后每千米加收2元（不足1千米的部分按1千米计算）。如果用20元，在甲、乙两市各可以乘坐多少千米？ 乘坐路程/千米 3 甲市出租车车费/元 9 乙市出租车车费/元 8 23．有两根蜡烛，一根比较细，长30厘米，可以点3小时；一根比较粗，长20厘米，可以点4小时。同时点燃这两根蜡烛，几小时后，这两根蜡烛一样长？ 时间/时 0 1 2 3 4 细蜡烛长度/厘米 30 粗蜡烛长度/厘米 20 24．有1角、5角、1元的硬币各1枚，每次可以拿1枚、2枚或3枚，共有多少种不同的拿法？每次拿出的币值是多少？在下表中填一填，再回答。 1角硬市数量/枚 5角硬币数量/枚 1元硬币数量/枚 币值/元 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．D 【分析】可能出现的情况有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共有6种情况。 【详解】根据分析可知，每次从中任意摸2个球，摸出的结果一共有6种可能。 故答案为：D 2．A 【分析】根据题意，如果选其中的一个砝码，可以称出1克、2克、4克的物体；如果选其中的两个砝码，1＋2＝3（克），1＋4＝5（克），2＋4＝6（克），即可以称出3克、5克、6克的物体；如果选其中的三个砝码，1＋2＋4＝7（克），即可以称出7克的物体。据此解答。 【详解】通过分析可得：如果选其中的一个砝码，可以称出3种不同质量的物体；如果选其中的两个砝码，可以称出3种不同质量的物体；如果选其中的三个砝码，可以称出1种不同质量的物体。3＋3＋1＝7（种），则一共能在天平上直接称出7种不同质量的物体。 故答案为：A 3．B 【分析】从小红家到书店共有3条路线，且每条路线都对应从书店到小明家的2条路线，根据乘法原理，用3×2即可求出小红从家出发到小明家共有多少条不同的路线，据此解答即可。 【详解】3×2＝6（条） 所以，小红从家出发到小明家有6条不同的路线。 故答案为：B 4．A 【分析】第一把钥匙最坏的情况要试3次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的3把锁和3把钥匙，最坏的情况要试2次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的2把锁和2把钥匙，最坏的情况要试1次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的1把锁和1把钥匙就不用试了。据此解答即可。 【详解】由分析可知： 3＋2＋1 ＝5＋1 ＝6（次） 一把钥匙只能开一把锁。现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试6次才能配好全部的钥匙和锁。 故答案为：A 5．D 【分析】李华和他的三个好朋友，可知总共人数有3＋1＝4人，则每个人都给另外3人发短信，用4乘3，即可算出4个人互相发短信的次数，据此解答即可。 【详解】由分析可得： （3＋1）×3 ＝4×3 ＝12（次） 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了握手问题的实际应用，因为是互相发短信，即A可以给B发，同时B也可以给A发，一来一回算两条短信，不要当作重复的情况去掉。 6．D 【分析】每两班比赛一场，即每班都要与其他7个班各赛一场，共赛7次，则8个班共参赛8×7＝56场，由于比赛是在两个班之间进行的，所以一共要比赛56÷2＝28场。 【详解】8×（8－1）÷2 ＝8×7÷2 ＝56÷2 ＝28（场） 学校五年级举行足球比赛，一共有8个班参加。如果每两个班都要比赛一场，一共要比赛28场。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了搭配问题的解决方法，注意不要重复。 7．C 【分析】用字母表示出线段的交点，按顺序列举出所有的路线，注意只可以向东、向南走，列举时不重复，不遗漏，据此解答。 【详解】如图所示： ①小明家→A→B→C→G→学校 ②小明家→A→B→F→G→学校 ③小明家→A→B→F→J→学校 ④小明家→A→E→F→G→学校 ⑤小明家→A→E→F→J→学校 ⑥小明家→A→E→I→J→学校 ⑦小明家→D→E→F→G→学校 ⑧小明家→D→E→F→J→学校 ⑨小明家→D→E→I→J→学校 ⑩小明家→D→H→I→J→学校 如图，小明从家去学校，如果只向东和向南走，一共有10种不同的行走路线。 故答案为：C 【点睛】解题时也可以利用“标数法”解答，对于复杂的图形李文举时一定要按顺序，避免重复或遗漏。 8．C 【分析】根据题意，4个人他们互相寄一张节日贺卡，则每人都要送出3张贺卡，则一共寄了（4×3）张节日贺卡；据此解答。 【详解】4×3＝12（张） 故答案为：C 【点睛】因为每个人都要给另外的3个朋友相互寄送一张贺卡，没有重复，所以不需要除以2。 9．A 【分析】根据已知时间点可知：每隔40分钟开场一次，由此推出后几次的开场时间，再结合选项选择即可。 【详解】由分析可得开场时间依次为：12：40，13：20，14：00，14：40，15：20，16：00，16：40，17：20。 故答案为：A 【点睛】找出开场时间的规律是解题的关键。 10．B 【分析】先根据每玩一关可得800分，玩五关应得分，然后根据玩五关应得分，超过几个整千数，每超过一个整千数就奖励几个500分，再根据得到的数与玩五关应得分相比，超过几个整千数，再加几个500分，依次类推解答。 【详解】800×5＝4000（分） 4000＋4×500＝6000（分） 6000＋500×2＝7000（分） 7000＋500＝7500（分） 小飞玩了五关，最多得7500分。 故答案选：B 【点睛】本题的难点是每次得到的分，与原来得到的分相比，超过了几个整千数，相应的奖励分，一定要加上。 11．A 【分析】从早上6：30到上午8：00经过了1小时30分，即90分钟。已知每15分钟发一趟，90÷15＝6（趟），再加上始发的第一辆车，那么上午8：00是第7辆车正好发车。 【详解】8:00－6:30＝90（分钟） 90÷15＝6（趟） 6＋1＝7（辆） 故答案为：A 【点睛】本题属于两端都栽的植树问题。公交车的序数要注意加上始发的第一辆车。本题也可以用列举法解决问题。 12．C 【分析】从一楼到四楼一共有4－1＝3（层）台阶，每层有20级，由此利用20×3即可解答问题。 【详解】20×（4－1） ＝20×3 ＝60（级） 亮亮早晨到教室上课要上60级台阶。 故答案为：C 【点睛】解答此题的关键是明确：从一楼到四楼一共有3层台阶，据此即可解答。 13．17 【分析】在单场淘汰制比赛中，每场比赛淘汰1支队伍，最终产生冠军时仅剩1支未淘汰的队伍，因此进行的场次＝总队伍数－1即可求解。 【详解】18－1＝17（场），由于每场比赛淘汰1支队伍，故需要进行17场比赛才能淘汰17支队伍，从而产生冠军。 14． 9 45 【分析】单场淘汰制中，每场比赛淘汰1支球队，10支足球队需淘汰9支球队才能决出冠军，因此比赛场次为（10－1）场。 单循环赛制中，10支足球队进行比赛，每两队之间要进行一场比赛，也就是说每支足球队要和其他9支足球队进行一场比赛，则所有10支足球队比赛的场数为90场，由于比赛是在两支足球队之间进行的，要去掉重复计算的情况，用90除以2即可。 【详解】10－1＝9（场） 10×（10－1）÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（场） 有10支足球队参加比赛，如果比赛采用单场淘汰制（即每场比赛淘汰1支球队），一共要进行（9）场比赛才能产生冠军；如果比赛采用单循环赛制（即每支球队都要跟其他各支球队比赛一场），一共要进行（45）场比赛。 15．15 【分析】根据题意，双打比赛每组由2名同学组成，32个同学可组成16组。采用单场淘汰制，每场比赛淘汰1组，产生冠军需淘汰（总组数－1）组，据此得出比赛场次。 【详解】总组数：32÷2＝16（组） 需淘汰的组数：16－1＝15（组） 每场淘汰1组，那么一共要进行（15）场比赛才能产生冠军。 16． 3 2 【分析】（1）有3支足球队参加比赛，每两个队都比赛一场，即每支球队都要与其它三支球队比赛一场，每支球队要赛三场，所有球队要参赛3×2＝6（场），由于比赛是在两队之间进行的，所以共比赛6÷2＝3（场）。 （2）淘汰赛的规则是：每场比赛淘汰一队，直到决出冠军。如果采用淘汰赛制，第一场：任意两队比赛，胜者晋级，败者淘汰。 第二场：第一场的胜者与剩余一队比赛，决出冠军。 总共需要2场比赛。 【详解】根据分析可知： 3×（3－1）÷2 ＝3×2÷2 ＝3（场） 有3支球队要举行足球比赛，规定每两支球队之间都要比赛一场，一共要比赛（3）场；如果采用淘汰制，最后决出冠军，一共要赛（2）场。 17．3条 【分析】路线一：从学校出发先向北，再一直向东，最后到达书店，如下图蓝色箭头所示； 路线二：从学校出发先向东再向北，再向东，最后到达书店，如下图红色箭头所示； 路线三：从学校出发先一直向东，再向北，最后到达书店，如下图黑色箭头所示。 【详解】由分析可知：1＋1＋1＝3（条） 答：学校到书店一共有3条路线。 18．5种 【分析】结合图分别标出各种不同的走法，列举的路径要全面。 【详解】 如图所示，从小兰家到图书馆，有5条路。 答：一共有5种不同的走法。 19．6种 【分析】由题意可知，只能往东走或往北走，则从少年宫到邮局共有2条路，从邮局到图书馆共有3条路，所以共有2×3＝6种不同的走法。 【详解】2×3＝6（种） 答：一共有6种不同的走法，。 20．6种 【分析】如图，把每一顶点和交点都标上字母，根据行走的规定（只能向西或向南走），用字母一一列举即可； 从点A出发有两条不同的路线；其中ABF可以直接到达，从点A出发走到点K的时候，出现两条，经过AKJHGF和AKJHEF这两条； 从点A出发走到点K的时候，经过AKICEF、AKIHEF和AKIHGF，有三条。 【详解】 路线可以是：ABF、AKJHGF、AKJHEF、AKICEF、AKIHEF和AKIHGF。 1＋2＋3＝6（条） 答：一共有6种不同的路线可走。 21．表见详解 （1）5   （2）长和宽越接近，面积越大（答案不唯一） 【分析】（1）用20根长度均是1厘米的小棒，摆成一个长方形（或正方形），即长方形（或正方形）的周长是20厘米；根据长方形的特点可知，长方形的长与宽的和是20÷2＝10厘米，则从9开始作为长方形的长，依次减少，并求得相应的长方形的宽，据此填表得出一共有多少种摆法；再根据长方形的面积＝长×宽求得各种摆法的面积； （2）根据表格发现，当长与宽越接近时，面积就越大（答案不唯一）。 【详解】 长/厘米 9 8 7 6 5 宽/厘米 1 2 3 4 5 面积/平方厘米 9 16 21 24 25 （1）一共有5种不同的摆法。 （2）观察这些图形的面积，你的发现是：长和宽越接近，面积越大（答案不唯一）。 22．如果用20元，在甲市可以乘坐10千米，在乙市可以乘坐9千米 【分析】由题意可知：甲市出租车行驶3千米以内的价格是9元，之后每千米加收1.5元（不足1千米的部分按1千米计算），则4千米收费为9＋1.5＝10.5（元），那么5千米收费在4千米收费10.5元的基础上，再加1.5元，以此类推，一直计算到10千米所需的价格； 乙市出租车行驶3千米以内的价格是8元，之后每千米加收2元（不足1千米的部分按1千米计算），则4千米的收费为8＋2＝10（元），那么5千米收费在4千米收费10元的基础上，再加2元，以此类推，一直计算到10千米所需的价格； 最后通过表格，找到20元对应的乘坐路程即可解决问题。 【详解】 乘坐路程/千米 3 4 5 6 7 8 9 10 甲市出租车车费/元 9 10.5 12 13.5 15 16.5 18 19.5 乙市出租车车费/元 8 10 12 14 16 18 20 22 由图可知：如果用20元，在甲市可以乘坐10千米，在乙市可以乘坐9千米。 23．2小时 【分析】一根比较细，长30厘米，可以点3小时，则每小时可燃30÷3＝10（厘米），一根比较粗，长20厘米，可以点4小时，则每小时可燃20÷4＝5（厘米），然后用原来的长度减去每小时燃掉的长度求出剩下的长度，据此填表，找到两根蜡烛一样长时的时间即可。 【详解】30÷3＝10（厘米） 所以每过1小时细蜡烛的长度减少10厘米； 20÷4＝5（厘米） 所以每过1小时粗蜡烛的长度减少5厘米。 时间/时 0 1 2 3 4 细蜡烛长度/厘米 30 20 10 0 0 粗蜡烛长度/厘米 20 15 10 5 0 从表中可以看出2小时后，这两根蜡烛一样长。 答：2小时后，这两根蜡烛一样长。 24．7种；拿出的币值是0.1元、0.5元、1元、0.6元、1.1元、1.5元和1.6元 【分析】有1角、5角、1元的硬币各1枚，每次可以拿1枚、2枚或3枚，可以每次取出1枚，共有3种；每次取出2枚，共有3种；每次取出3枚，共有1种；由此一共有3＋3＋1＝7种不同拿法，据此列举解答即可。 【详解】每次取出1枚，共有3种； ①1角1枚，币值1角＝0.1元； ②5角1枚，币值5角＝0.5元； ③1元1枚，币值1元； 每次取出2枚，共有3种； ①1角1枚，5角1枚，币值1角＋5角＝6角＝0.6元； ②1角1枚，1元1枚，币值1角＋1元＝1元1角＝1.1元； ③5角1枚，1元1枚，币值5角＋1元＝1元5角＝1.5元； 每次取出3枚，共有1种；1角1枚，5角1枚，1元1枚，币值1角＋5角＋1元＝1元6角＝1.6元 填表如下： 1角硬市数量/枚 1 0 0 1 1 0 1 5角硬币数量/枚 0 1 0 1 0 1 1 1元硬币数量/枚 0 0 1 0 1 1 1 币值/元 0.1 0.5 1 0.6 1.1 1.5 1.6 答：共有7种不同的拿法，每次拿出的币值是0.1元、0.5元、1元、0.6元、1.1元、1.5元和1.6元。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $