第16讲：指数函数的图像与性质【知识梳理+12个题型梳理+方法总结】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2025-2026年人教A版高一上学期数学常考题型归纳 【第16讲：指数函数的图像与性质】 总览 题型梳理 【知识梳理】 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求指数函数的解析式】 【解题策略】 1.待定系数法：已知函数过1个或多个定点，直接代入解析式列方程求解。变形函数（如）需先明确变形形式，再代点列方程组。 2.利用性质法：根据单调性确定的范围（递增，递减），或通过特殊值（如时）快速锁定参数。 3.结合图像法：从图像中提取过定点、渐近线、增减趋势等信息，判断函数是否变形及参数特征，再结合前两种方法求解。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知指数函数的图象经过点，则 ． 【例题2】（24-25高二下·甘肃金昌·期末）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C．25 D．15 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则 . 【相似题2】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知是奇函数，当时，且，又，则（    ） A． B． C． D． 【题型2：由指数型函数的图像求参数的值或者范围】 【解题策略】 1.抓“定点”列方程求参数：指数型函数图像必过特定定点（如过，过），直接将定点坐标代入解析式，快速建立关于参数的方程（组）。 2.借“单调性”定参数范围：由图像上升/下降趋势判断底数的范围——图像上升则，下降则；若含系数，需结合的正负进一步判断（如中，时单调性与相反）。 3.用“渐近线”锁定常数项：指数型函数的渐近线由常数项决定（如渐近线为，渐近线为），从图像中读取渐近线方程，直接确定对应常数项参数。 4.取“特殊交点”补全条件：若图像与x轴、y轴或其他已知坐标的点相交，将交点坐标代入解析式，补充方程（组），求解多个未知参数（如、、等）。 关键注意事项 始终牢记且的硬性约束，求解后需验证参数是否满足该条件。 变形后的指数型函数（含平移、伸缩、翻折），需先明确其结构形式，再对应提取图像信息（如平移后的定点、渐近线需同步调整）。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例题2】（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 相似练习 【相似题1】【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【题型3：指数型函数过定点问题】 【解题策略】 1.抓本质：令指数为0消去底数影响。无论函数如何变形，只要是指数型（含结构），都令指数，解出。 2.求定点：将代入函数，计算对应的，则就是函数必过的定点。 3.验结果：可代入不同底数（如、）验证，确保该点坐标不受影响。 常见变形形式与定点速解 函数形式 令指数为0的操作 定点坐标 基础型 令 平移型 令（即） 伸缩型 令 复合型 令得 关键注意事项 始终坚守且的前提，无需考虑的具体值，定点只由指数结构和常数项决定。 若函数含绝对值、分式等复杂结构，先化简指数部分，再令其为0，避免遗漏定义域对的限制。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·云南·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·全国·模拟预测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 【相似题2】（25-26高一上·全国·单元测试）幂函数在上单调递增，则的图象过定点 ． 【题型4：求指数（型）函数的定义域】 【解题策略】 1.抓关键：聚焦指数部分的约束。无论函数形式如何变形，定义域只取决于指数表达式的取值范围，与底数无关。 2.按类型列条件：根据指数部分的结构（整式、分式、根式等），列出使有意义的不等式（组）。 3.解不等式得结果：求解不等式（组），将解集用集合或区间表示，即为函数定义域。 常见指数部分类型与定义域约束 整式型（如、）：无额外约束，定义域为（全体实数）。 分式型（如）：分母不能为0，列不等式，解得定义域。 偶次根式型（如）：被开方数非负，列不等式，解得定义域。 对数型（如）：真数大于0，列不等式，解得定义域。 复合型（如）：同时满足多个约束（分母≠0且被开方数≥0），列不等式组求解。 例题精选 【例题1】（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为 ． 相似练习 【相似题1】（20-21高二上·江西·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型5：求指数（型）函数的值域】 【解题策略】 1.先定指数范围：求解指数部分的取值集合（记为），这是求值域的基础。 2.再用底数单调性：根据的范围，判断（令）的单调性。 3.映射得值域：将代入，结合单调性求出的取值范围，若函数有伸缩（含系数）、平移（含常数项），需同步调整范围。 常见变形类型与值域求解 基础型： 指数，则。 无论还是，，值域为。 平移型： 指数，则，。 两边加，值域为（与无关，仅由决定）。 伸缩型： 指数，，分两种情况： 若，则，值域为； 若，则，值域为。 复合型（指数部分有约束）（如、）： 先求的值域（如，则）； 若，递增，值域为； 若，递减，值域为。 关键注意事项 底数且是前提，仅影响单调性，不改变“”的核心性质。 含多个约束的复合型函数（如），需先保证根号内非负（），再结合指数范围求值域，避免遗漏隐含条件。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，求其值域和对称中心． 【例题2】（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）函数的值域为 . 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 【相似题2】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若在恒成立，求实数的范围 【题型6：求指数（型）函数的单调性】 【解题策略】 1.定前提：确认底数且，明确外层函数（令）的单调性——时外层递增，时外层递减。 2.拆内外：将指数（型）函数拆分为“外层”和“内层”，单独分析内层函数的定义域和单调性（即递增、递减的区间）。 3.用法则：根据“同增异减”判断整体单调性——外层与内层单调性相同，整体递增；外层与内层单调性相反，整体递减。 4.写区间：结合内层函数的定义域，写出整体函数的单调递增/递减区间（区间需在定义域内）。 常见类型与单调性分析 基础型： 内层是上的增函数。 时，整体在上递增；时，整体在上递减。 平移型： 内层是上的增函数，平移不改变单调性。 单调性与基础型一致，仅单调区间为（与、无关）。 伸缩/翻折型： 系数仅影响函数值正负，不改变单调性（正负不影响增减趋势的方向）。 核心仍看外层和内层的“同增异减”，单调区间由决定。 复合型（内层为复杂函数）（如、）： 先求的定义域，再找的递增区间和递减区间。 若：整体在上递增，在上递减； 若：整体在上递减，在上递增。 关键注意事项 单调区间必须是“定义域的子集”，求解前需先确定内层函数的定义域，避免区间超出范围。 内层函数若为分段函数，需分段分析其单调性，再结合外层函数逐一判断各分段的整体单调性。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·上海·阶段练习）设函数对任意有成立，则实数a的取值范围是 ． 【例题2】（2025·辽宁·一模）已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）函数的单调递增区间是 ． （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上为单调函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型7：求指数（型）函数的奇偶性】 【解题策略】 1.验前提：判断定义域是否关于原点对称。若定义域不关于原点对称（如），直接判定为非奇非偶；若对称，进入下一步。 2.求：将代入函数解析式，得到，再利用指数运算性质（）化简表达式。 3.判关系：对比化简后的与、的关系： 若，则函数为偶函数； 若，则函数为奇函数； 若两者都不满足，为非奇非偶。 常见类型与奇偶性判断 基础型（且）： 定义域为（关于原点对称），但，既不等于也不等于，故非奇非偶。 对称结构型（含或）： 例1：，化简，为偶函数； 例2：，化简，为奇函数； 例3：，通分后，为奇函数。 复合型（含常数项或平移）： 例：，，为偶函数； 例：，，既不等于也不等于，为非奇非偶（常数项破坏对称）。 关键注意事项 定义域对称是奇偶性的“前提条件”，若跳过这一步，后续判断无意义（如定义域，直接非奇非偶）。 化简时，优先通分或提取公因式，将与合并，避免复杂表达式干扰判断。 含平移（如）或常数项（非对称结构）的指数型函数，大多是非奇非偶，仅少数对称结构（如中不破坏对称）例外。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）若是奇函数，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 【例题2】（24-25高二下·河南周口·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知. (1)当时，根据定义证明函数在区间上单调递增； (2)若，设，判断函数的奇偶性. 【相似题2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【题型8：比较指数幂的大小问题】 【解题策略】 1.同底数幂（如与，且）： 利用指数函数的单调性，直接对比指数大小。 时，函数递增，指数大则幂大（）； 时，函数递减，指数大则幂小（）。 2.同指数幂（如与，为常数）： 构造幂函数，或直接通过底数大小判断（需结合的正负）。 若，底数大则幂大（）； 若，底数大则幂小（）。 3.不同底不同指幂（如与，且）： 选中间量搭桥，常用中间量为、（如且，则）。 复杂情况可统一底数（利用指数运算法则转化为同底数）或统一指数（如开方转化为相同指数）。 4.含负指数幂（如与）： 先转化为正指数幂（），再按上述方法比较。 常见场景与解题示例 场景1：同底数（与）： 底数，函数递增，，故。 场景2：同指数（与）： 指数，底数，故。 场景3：不同底不同指（与）： 选中间量，，； 统一指数：，，故。 场景4：含负指数（与）： 转化为与，由场景3知，故。 关键注意事项 比较前需确认底数均为正数（指数幂有意义的前提），若出现负底数，需先判断是否有意义（如无意义）。 中间量的选择优先、，特殊情况可选用其他中间量（如、）。 统一底数或指数时，需熟练运用指数运算法则（如），避免运算错误。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·河南·阶段练习）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高三上·北京·阶段练习）设，且，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·广东·阶段练习）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，其中m，n均为实数，则（   ） A． B． C． D． 【题型9：指数函数图像的应用】 【解题策略】 1.识图提取关键信息：拿到图像先定位4类核心特征，为解题找依据 定点：确认图像过的已知点（如、平移后的定点），直接转化为函数过该点的代数条件。 单调性：由图像升降判断底数的范围（递增，递减）。 渐近线：明确图像趋近的直线（如），锁定函数常数项参数。 交点：记录图像与坐标轴、其他函数图像的交点坐标，转化为方程的解。 2.用图转化具体问题：将代数问题转化为图像直观关系 解指数方程：转化为“两个指数函数（或指数函数与常数函数）图像交点的横坐标”，通过图像观察交点个数或直接读取横坐标。 解指数不等式：转化为“同一自变量下，两个函数图像的上下位置关系”（上方函数值大），结合定义域确定解集。 求参数范围：根据图像的平移、伸缩、单调性约束，列出关于参数的不等式（组），求解即可。 3.构图辅助解题：无图像时，快速绘制草图简化问题 确定底数的范围，画出核心图像（过定点、体现单调性、标注渐近线）。 结合题目条件（如过某点、与其他函数相交），补充图像细节，直观判断解题方向。 常见应用场景与解题示例 场景1：解指数方程（如） 构图：画出（过、递增、渐近线）和（过、）的图像。 找交点：观察到两图像交于和，故方程的解为或。 场景2：解指数不等式（如） 转化：化为同底数，画出（递增）的图像。 用单调性：递增函数中“函数值大则指数大”，故，解得，解集为。 场景3：求参数范围（如的图像恒在上方，求的范围） 识图：过，渐近线；过原点、递增。 列条件：当时，成立；当时，，结合时函数增长更快，故（验证时，恒成立）。 关键注意事项 绘制图像时，需准确体现“定点、单调性、渐近线”三大核心，避免因图像失真导致判断错误。 解不等式时，必须结合函数定义域，确保解集是定义域的子集（如对数型指数函数需先满足真数大于0）。 例题精选 【例题1】（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·上海·阶段练习）设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是 . 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交． (1)求的解析式； (2)设函数，在平面直角坐标系中画出的图象，并根据图象写出该函数的单调递增区间． 【相似题2】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．直线对称 D．原点中心对称 【题型10：根据指数型函数的最值求参数或范围】 【解题策略】 1.拆结构定内外层：将指数型函数化为（外层，且）和（内层，如一次、二次、根式函数），明确内层的定义域和结构。 2.分析单调性传递： 若，外层递增，此时函数的最值与内层的最值“同向”（最大则最大，最小则最小）； 若，外层递减，此时函数的最值与内层的最值“反向”（最大则最小，最小则最大）。 3.找最值对应条件： 若内层有最值（如二次函数、闭区间上的一次函数），则外层必有对应最值； 若内层无最值（如上的一次函数），则外层也无最值（仅趋近于渐近线）。 4.列方程/不等式求解：根据最值结果，反推内层的最值或范围，进而列关于参数的方程（求参数值）或不等式（求参数范围），最后验证参数是否满足且。 常见类型与解题示例 类型1：内层为二次函数（有最值），求参数值 例：已知的最大值为，求的值。 拆结构：外层（，递增），内层（二次函数，开口向上，最小值为，无最大值）。 分析最值：外层递增，内层无最大值，但题目说有最大值，说明内层有最大值（此处需注意：题目隐含定义域限制，或二次函数在指定区间有最大值，假设定义域为全体实数时，需修正——实际二次函数开口向上无最大值，故题目应为“最小值为16”，调整后：，则）。 解方程：，得，验证符合条件。 类型2：内层为一次函数（闭区间），求参数范围 例：已知在上的最小值为，求的范围。 拆结构：外层，内层（在上递增，）。 分析最值： 若，外层递增，，由题意得（舍去，因）； 若，外层递减，，由题意（舍去）——修正题目：若最小值为，要求，则，结合无解，时，故。 类型3：含参数在系数/常数项，求参数范围 例：已知在上有最小值，求的范围。 拆结构：外层（，递增），内层。 分析最值：内层若，则，，无最小值；若，则，（不符）——修正题目：若有最小值3，则最小值为1，即最小值为0，故（二次函数开口向下），且顶点值1=0？不对，应为恒成立，且最小值为1，故且顶点值1=0（矛盾），调整为最小值为3，则恒成立，且当时取等号，故。 关键注意事项 内层函数的“最值是否存在”是前提：若内层在定义域内无最值（如上的一次函数），则外层指数函数也无最值（仅趋近于渐近线），此时题目若说有最值，必隐含定义域限制（如闭区间）。 参数可能在底数、内层函数中，需分别分析：底数影响外层单调性，内层参数影响的最值/范围。 求解后必须验证：参数需满足且，同时确保最值条件真实成立（如二次函数的顶点是否在定义域内）。 闭区间上的最值：优先看内层函数在区间端点和极值点的取值，再结合外层单调性确定整体最值。 例题精选 【例题1】（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 【例题2】（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数，. (1)当时，解关于的方程； (2)若对，，使得，求的取值范围. 【相似题2】（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数（，）的值域为，则的取值范围是 . 【题型11：由指数函数单调性解抽象不等式】 【解题策略】 1.定义域：先明确抽象函数的定义域，确保和都在定义域内（这是不等式有意义的前提），列出定义域约束不等式。 2.判单调性：确定的单调性——若（递增，递减）；若为复合指数型，按“同增异减”判断整体单调性。 3.去“f”符号：根据单调性转化不等式，不改变定义域约束： 若递增，则； 若递减，则。 4.解不等式组：联立“定义域约束”和“转化后的代数不等式”，求解解集，即为原抽象不等式的解。 常见类型与解题示例 类型1：基础型抽象不等式（） 例：解不等式 定定义域：（无额外约束）。 判单调性：，递增。 去“f”符号：。 解不等式：整理得，因式分解，解集为。 类型2：复合型抽象不等式（） 例：解不等式 定定义域：根号下非负，即。 判单调性：，递减（内层递增，但此处直接看外层单调性即可）。 去“f”符号：递减函数“不等号反向”，故。 解不等式组：联立 由得； 展开，整理，判别式，根为，结合，解集为。 类型3：含参数的抽象不等式（需讨论底数） 例：解不等式（且） 定定义域：。 判单调性：分两类讨论： 当时，递增，不等式转化为； 当时，递减，不等式转化为。 综上：时解集为；时解集为。 关键注意事项 定义域优先：无论单调性如何，必须先保证、在的定义域内，否则解集会出错（如复合型中根号、分式的约束）。 单调性判断要精准：复合函数需先拆内外层，按“同增异减”确定整体单调性，再去“f”符号。 含参数时分类讨论：底数的范围（或）直接影响不等号方向，必须分情况求解，最后汇总结果。 验证边界：解完后可代入边界值检验，确保不等号成立（如例1中时，两边均为，不满足“>”，故边界不包含）。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【相似题2】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数（为自然对数的底数），若，则该不等式的解集是 ． 【题型12：指数函数的最值与不等式的综合问题】 【解题策略】 1.拆结构定内外层：将函数化为（外层，且）和（内层，如二次、一次、根式函数），明确内层的定义域和最值特征（是否有界、极值点位置）。 2.析单调递推最值： 若，外层递增，的最值与的最值“同向”（，）； 若，外层递减，的最值与的最值“反向”（，）。 3.转条件为不等式：根据题目中的最值约束（如“最大值≤m”“最小值≥n”“恒成立”），将最值表达式代入，转化为关于或参数的不等式。 4.解不等式得结果： 若求解集：联立定义域和转化后的不等式，直接求解； 若求参数范围：结合内层函数的最值范围，反推参数需满足的条件，含参数时按底数的范围分类讨论。 5.验有效性：验证参数是否满足且，解集是否在定义域内，最值条件是否真实成立。 常见类型与解题示例 类型1：最值含参数+不等式恒成立（求参数范围） 例：已知在上恒有，求的值。 拆结构：外层（，递增），内层（二次函数，开口向上，，无最大值）。 递推最值：外层递增，故？修正条件：题目“恒有”，则需（因外层递增，）。 转不等式：恒成立，即恒成立？错误修正：内层的最小值为1，要使恒成立，需不成立，故题目应为“恒成立”（自然成立），调整为“恒成立”，则，但内层无最大值，故定义域应为闭区间，如，此时在上的最大值≤2，解得。 最终：若修正为合理条件，解得，验证符合要求。 类型2：最值条件+解不等式（求解集） 例：已知的最大值为，解不等式。 拆结构：外层（，递减），内层（二次函数，开口向下，，）。 求最值：外层递减，故，。 转不等式：。 解不等式：外层递减，不等号反向，得，整理，判别式，解集为。 类型3：含双参数+最值与不等式结合（求参数范围） 例：已知（且）在上的最大值为、最小值为，且，求、的范围。 拆结构：外层，内层（在上单调，或）。 分类讨论： 若： 若，内层递增，，则，得，结合，如，则，满足； 若，内层递减，，则，得，结合、，如，则，满足。 若： 若，内层递增，，则，但时，矛盾； 若，内层递减，，则，得，时左边为负，矛盾。 综上：，或且满足对应等式。 关键注意事项 定义域优先：内层函数的定义域（如闭区间、根号约束）直接决定的范围，是最值求解的前提，不可忽略。 单调性传递要精准：外层单调性与内层最值的“同向/反向”关系是核心，错判会导致最值表达式完全颠倒。 恒成立问题转化：“恒成立”等价于“”，“恒成立”等价于“”，需结合外层单调性准确对应。 含参数必分类：底数（或）和内层参数（影响内层单调性）都需分类讨论，避免漏解。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·浙江嘉兴·阶段练习）若，已知函数为奇函数． (1)求实数的值． (2)用定义证明的单调性． (3)若函数在区间上的值域是，求的取值范围． 【例题2】（24-25高二下·北京·期末）已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·湖南湘潭·阶段练习）已知，其中为奇函数，为偶函数． (1)求的解析式并指出的单调性（无需证明）； (2)若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【相似题2】（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知为偶函数，为奇函数，且． (1)的值； (2)令． ①用函数单调性的定义判断的单调性． ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·广西南宁·期中）已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·福建·开学考试）若函数是奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 3．（25-26高一上·全国·单元测试）当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·辽宁·开学考试）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 9．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（24-25高二下·福建泉州·期末）若指数函数的图象经过点，则的值为 . 11．（25-26高一上·全国·随堂练习）若函数有最大值2，则 . 12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则该值域对应的一个定义域为 ． 三、解答题 13．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知定义在上的函数，对一切实数a、b都有成立，且. (1)求函数的表达式； (2)若任意实数，求实数的取值范围. 14．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 15．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性； (2)证明为奇函数； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 16．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知为偶函数，为奇函数，且满足. (1)求，的解析式； (2)存在，使得不等式成立，求的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高一上学期数学常考题型归纳 【第16讲：指数函数的图像与性质】 总览 题型梳理 【知识梳理】 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求指数函数的解析式】 【解题策略】 1.待定系数法：已知函数过1个或多个定点，直接代入解析式列方程求解。变形函数（如）需先明确变形形式，再代点列方程组。 2.利用性质法：根据单调性确定的范围（递增，递减），或通过特殊值（如时）快速锁定参数。 3.结合图像法：从图像中提取过定点、渐近线、增减趋势等信息，判断函数是否变形及参数特征，再结合前两种方法求解。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】8 【分析】利用待定系数法求出指数函数的解析式，继而求值即可. 【详解】设（且）． 则．解得，所以， 所以. 故答案为：8. 【例题2】（24-25高二下·甘肃金昌·期末）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C．25 D．15 【答案】A 【分析】利用偶函数性质可得，即可求得，从而可求解. 【详解】由偶函数的性质可知，，得， 即时，，则，故A正确. 故选：A． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则 . 【答案】 【分析】结合奇函数与偶函数的性质求，再求即可. 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 所以，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 【相似题2】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知是奇函数，当时，且，又，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的性质求出的值，再结合可求出的值，可得出在时的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】因为函数是奇函数，当时，且， 则，即，所以，， 所以，当时，，故， 故选：C. 【题型2：由指数型函数的图像求参数的值或者范围】 【解题策略】 1.抓“定点”列方程求参数：指数型函数图像必过特定定点（如过，过），直接将定点坐标代入解析式，快速建立关于参数的方程（组）。 2.借“单调性”定参数范围：由图像上升/下降趋势判断底数的范围——图像上升则，下降则；若含系数，需结合的正负进一步判断（如中，时单调性与相反）。 3.用“渐近线”锁定常数项：指数型函数的渐近线由常数项决定（如渐近线为，渐近线为），从图像中读取渐近线方程，直接确定对应常数项参数。 4.取“特殊交点”补全条件：若图像与x轴、y轴或其他已知坐标的点相交，将交点坐标代入解析式，补充方程（组），求解多个未知参数（如、、等）。 关键注意事项 始终牢记且的硬性约束，求解后需验证参数是否满足该条件。 变形后的指数型函数（含平移、伸缩、翻折），需先明确其结构形式，再对应提取图像信息（如平移后的定点、渐近线需同步调整）。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·广东·期中）函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据判断的范围，根据图象趋势判断的范围即可. 【详解】由图象可知：，， 又由函数为减函数，可得． 故选：C． 【例题2】（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，函数与的图象如图所示，则（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】分别对进行讨论分析，得到相应的函数图象，与已知图象进行对比，可得正确答案. 【详解】解：函数 因为已知图象连续，且不恒等于1，所以且 当时,,其图象大致为： 当时，,其图象大致为： 因为函数的图象在第一象限单调递增，所以. 当时，其图象大致为： 当时，其图象为： 当时，其图象大致为： 对照已知图象，可得：且 故选：B. 相似练习 【相似题1】【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）设，且，则下列关系式中一定不成立的是（） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据分段函数和指数函数图象画出的图象，数形结合讨论的正负和大小关系，再结合且即可得出答案． 【详解】 则的图象如图所示：    ∵， ∴若，则，这与已知矛盾． 同理，也不成立，∴只有或这两种情况． ∴，故B一定不成立，A成立； 又，即， ∴，故D一定成立，C一定不成立． 故选：BC． 【相似题2】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由指数型函数图象得性质，根据性质求得参数即可. 【详解】由于关于直线对称，由图可知对称轴在之间，即， 且在处函数值在之间，即． 故选：A． 【题型3：指数型函数过定点问题】 【解题策略】 1.抓本质：令指数为0消去底数影响。无论函数如何变形，只要是指数型（含结构），都令指数，解出。 2.求定点：将代入函数，计算对应的，则就是函数必过的定点。 3.验结果：可代入不同底数（如、）验证，确保该点坐标不受影响。 常见变形形式与定点速解 函数形式 令指数为0的操作 定点坐标 基础型 令 平移型 令（即） 伸缩型 令 复合型 令得 关键注意事项 始终坚守且的前提，无需考虑的具体值，定点只由指数结构和常数项决定。 若函数含绝对值、分式等复杂结构，先化简指数部分，再令其为0，避免遗漏定义域对的限制。 例题精选 【例题1】（24-25高一下·云南·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数过定点可得. 【详解】因为指数函数，所以，且，得. 所以函数. 因过定点，所以过定点. 故选：A. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入函数表达式得出的值，从而得出函数解析式，依次代入各选项坐标计算求解. 【详解】已知函数（，）的图象经过点， ，解得， ∴， 依次代入各选项坐标： 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（2025·全国·模拟预测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到. 【详解】是幂函数，则，所以，． 在中，令，得，所以定点为， 故，又，解得． 故答案为： 【相似题2】（25-26高一上·全国·单元测试）幂函数在上单调递增，则的图象过定点 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得的值，再利用指数函数的图象过定点，得出结论． 【详解】幂函数在上单调递增， ，且，解得， 故， 令，得，且， 可得的图象过定点． 故答案为：. 【题型4：求指数（型）函数的定义域】 【解题策略】 1.抓关键：聚焦指数部分的约束。无论函数形式如何变形，定义域只取决于指数表达式的取值范围，与底数无关。 2.按类型列条件：根据指数部分的结构（整式、分式、根式等），列出使有意义的不等式（组）。 3.解不等式得结果：求解不等式（组），将解集用集合或区间表示，即为函数定义域。 常见指数部分类型与定义域约束 整式型（如、）：无额外约束，定义域为（全体实数）。 分式型（如）：分母不能为0，列不等式，解得定义域。 偶次根式型（如）：被开方数非负，列不等式，解得定义域。 对数型（如）：真数大于0，列不等式，解得定义域。 复合型（如）：同时满足多个约束（分母≠0且被开方数≥0），列不等式组求解。 例题精选 【例题1】（24-25高一上·河南·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 【例题2】（24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（20-21高二上·江西·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【相似题2】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【题型5：求指数（型）函数的值域】 【解题策略】 1.先定指数范围：求解指数部分的取值集合（记为），这是求值域的基础。 2.再用底数单调性：根据的范围，判断（令）的单调性。 3.映射得值域：将代入，结合单调性求出的取值范围，若函数有伸缩（含系数）、平移（含常数项），需同步调整范围。 常见变形类型与值域求解 基础型： 指数，则。 无论还是，，值域为。 平移型： 指数，则，。 两边加，值域为（与无关，仅由决定）。 伸缩型： 指数，，分两种情况： 若，则，值域为； 若，则，值域为。 复合型（指数部分有约束）（如、）： 先求的值域（如，则）； 若，递增，值域为； 若，递减，值域为。 关键注意事项 底数且是前提，仅影响单调性，不改变“”的核心性质。 含多个约束的复合型函数（如），需先保证根号内非负（），再结合指数范围求值域，避免遗漏隐含条件。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，求其值域和对称中心． 【答案】值域为，对称中心为 【分析】由题设，根据解析式求定义域，再分析函数的区间单调性，应用单调性求值域，再由即可求对称中心. 【详解】由，其中， 所以函数定义域为，又在、上单调递减， 所以在、上单调递增， 当，则，此时， 当，则，此时， 所以函数的值域为， 由， 则， 所以函数的对称中心为. 【例题2】（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求函数的值域，再结合指数函数性质分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 可知函数的值域为， 又因为在定义域内单调递减，则， 且，所以函数的值域为. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A．-4 B．0 C．32 D．60 【答案】B 【分析】先求出A，再利用换元法将化为，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】令，解得，故函数的定义域是， 令，由于，故， 则即为函数， 而， 当时，取最大值， 即函数的最大值是0， 故选：B 【相似题2】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若在恒成立，求实数的范围 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用指数函数单调性，结合二次函数求出值域. （2）将给定不等式作等价变形并分离参数，利用指数函数单调性，结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）当时，， 由，得，则，因此， 所以函数的值域是. （2），， 由（1）知，， ，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的范围是. 【题型6：求指数（型）函数的单调性】 【解题策略】 1.定前提：确认底数且，明确外层函数（令）的单调性——时外层递增，时外层递减。 2.拆内外：将指数（型）函数拆分为“外层”和“内层”，单独分析内层函数的定义域和单调性（即递增、递减的区间）。 3.用法则：根据“同增异减”判断整体单调性——外层与内层单调性相同，整体递增；外层与内层单调性相反，整体递减。 4.写区间：结合内层函数的定义域，写出整体函数的单调递增/递减区间（区间需在定义域内）。 常见类型与单调性分析 基础型： 内层是上的增函数。 时，整体在上递增；时，整体在上递减。 平移型： 内层是上的增函数，平移不改变单调性。 单调性与基础型一致，仅单调区间为（与、无关）。 伸缩/翻折型： 系数仅影响函数值正负，不改变单调性（正负不影响增减趋势的方向）。 核心仍看外层和内层的“同增异减”，单调区间由决定。 复合型（内层为复杂函数）（如、）： 先求的定义域，再找的递增区间和递减区间。 若：整体在上递增，在上递减； 若：整体在上递减，在上递增。 关键注意事项 单调区间必须是“定义域的子集”，求解前需先确定内层函数的定义域，避免区间超出范围。 内层函数若为分段函数，需分段分析其单调性，再结合外层函数逐一判断各分段的整体单调性。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·上海·阶段练习）设函数对任意有成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件得到函数为增函数，结合分段函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】对任意有，则函数为R上的增函数， 又易知在上单调递增， 则，解得，即实数a的取值范围是. 故答案为： 【例题2】（2025·辽宁·一模）已知函数是定义域为的奇函数，. (1)求的值； (2)用定义法证明的单调性； (3)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数性质得，进而解得即可. （2）利用定义法得到函数的单调性即可. （3）利用奇函数性质得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，解得， 则，经检验符合题意. （2）由已知得，则， 任取，且令，则 ，得到， 故，则是减函数. （3）由题意得在时恒成立， 因为是单调递减的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 得到，得到，即. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）函数的单调递增区间是 ． （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求指数型复合函数的单调性主要利用“同增异减”原则． （1）求函数定义域，函数单调递增区间为定义域内二次函数的减区间； （2）根据题意，问题等价于二次函数在上单调递增，考虑其对称轴即可得到答案． 【详解】（1）函数的定义域满足，即． 设， 则根据幂函数和二次函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 又∵指数函数在其定义域内为减函数， ∴由复合函数的单调性可知的单调递增区间为． （2）将原函数拆解为外层函数和内层函数， 其中内层函数为二次函数，其图象开口向上，且对称轴为 外层函数是增函数， ∵是上的增函数， ∴，即， ∴实数的取值范围为． 故答案为：；． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上为单调函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过题干可知分段函数要整体递增，根据每段需分别递增，且分段点处也要满足条件列式即可. 【详解】当时，函数单调递增，又在上为单调函数，则在上单调递增， 当时，，解得， 又要保证端点处满足题干，，解得， 即a的取值范围为． 故选：. 【题型7：求指数（型）函数的奇偶性】 【解题策略】 1.验前提：判断定义域是否关于原点对称。若定义域不关于原点对称（如），直接判定为非奇非偶；若对称，进入下一步。 2.求：将代入函数解析式，得到，再利用指数运算性质（）化简表达式。 3.判关系：对比化简后的与、的关系： 若，则函数为偶函数； 若，则函数为奇函数； 若两者都不满足，为非奇非偶。 常见类型与奇偶性判断 基础型（且）： 定义域为（关于原点对称），但，既不等于也不等于，故非奇非偶。 对称结构型（含或）： 例1：，化简，为偶函数； 例2：，化简，为奇函数； 例3：，通分后，为奇函数。 复合型（含常数项或平移）： 例：，，为偶函数； 例：，，既不等于也不等于，为非奇非偶（常数项破坏对称）。 关键注意事项 定义域对称是奇偶性的“前提条件”，若跳过这一步，后续判断无意义（如定义域，直接非奇非偶）。 化简时，优先通分或提取公因式，将与合并，避免复杂表达式干扰判断。 含平移（如）或常数项（非对称结构）的指数型函数，大多是非奇非偶，仅少数对称结构（如中不破坏对称）例外。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）若是奇函数，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出. 【详解】函数定义域为，由是奇函数，得， 则，整理得， 所以. 故选：B 【例题2】（24-25高二下·河南周口·期末）已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义列式求解. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得， 即，则. 故选：B 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知. (1)当时，根据定义证明函数在区间上单调递增； (2)若，设，判断函数的奇偶性. 【答案】(1)证明见解析； (2)为奇函数. 【分析】（1）根据函数解析式，直接利用定义法证明单调性. （2）由求出，并求得和，再利用函数奇偶性定义判断的奇偶性. 【详解】（1）当时，函数 ，设， 则 ， 由，则，，，所以，即， 所以函数在区间上单调递增. （2）由及，得，解得， 因此，则，函数的定义域为R， ，所以为奇函数. 【相似题2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用奇函数定义，可得，进而利用奇函数定义验证求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以， 即，即，又，故解得， 此时， 则， 所以函数是奇函数，满足题意， 所以. 故选：B. 【题型8：比较指数幂的大小问题】 【解题策略】 1.同底数幂（如与，且）： 利用指数函数的单调性，直接对比指数大小。 时，函数递增，指数大则幂大（）； 时，函数递减，指数大则幂小（）。 2.同指数幂（如与，为常数）： 构造幂函数，或直接通过底数大小判断（需结合的正负）。 若，底数大则幂大（）； 若，底数大则幂小（）。 3.不同底不同指幂（如与，且）： 选中间量搭桥，常用中间量为、（如且，则）。 复杂情况可统一底数（利用指数运算法则转化为同底数）或统一指数（如开方转化为相同指数）。 4.含负指数幂（如与）： 先转化为正指数幂（），再按上述方法比较。 常见场景与解题示例 场景1：同底数（与）： 底数，函数递增，，故。 场景2：同指数（与）： 指数，底数，故。 场景3：不同底不同指（与）： 选中间量，，； 统一指数：，，故。 场景4：含负指数（与）： 转化为与，由场景3知，故。 关键注意事项 比较前需确认底数均为正数（指数幂有意义的前提），若出现负底数，需先判断是否有意义（如无意义）。 中间量的选择优先、，特殊情况可选用其他中间量（如、）。 统一底数或指数时，需熟练运用指数运算法则（如），避免运算错误。 例题精选 【例题1】（25-26高一上·河南·阶段练习）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和幂函数单调性进行判断即可. 【详解】，，，，； 在上单调递增，，； 综上所述：. 故选：D. 【例题2】（25-26高三上·北京·阶段练习）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例可得A、D，结合函数与的单调性可得B、C. 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：由函数在上单调递减，故，故B错误； 对C：由，则，则，即， 又函数在上单调递增，故，故C正确； 对D：取，则，故D错误. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·广东·阶段练习）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数、的单调性即可. 【详解】因函数为上的递增函数，则，即，则； 因函数为上的递增函数，则，即，则， 则. 故选： 【相似题2】（24-25高一上·湖北恩施·期中）若，其中m，n均为实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，可得函数为增函数，借助单调性即可得出结果. 【详解】由变形，可得：， 设函数， 因为指数函数在上是增函数，在上是减函数， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数. 由可得，即. 故选：C 【题型9：指数函数图像的应用】 【解题策略】 1.识图提取关键信息：拿到图像先定位4类核心特征，为解题找依据 定点：确认图像过的已知点（如、平移后的定点），直接转化为函数过该点的代数条件。 单调性：由图像升降判断底数的范围（递增，递减）。 渐近线：明确图像趋近的直线（如），锁定函数常数项参数。 交点：记录图像与坐标轴、其他函数图像的交点坐标，转化为方程的解。 2.用图转化具体问题：将代数问题转化为图像直观关系 解指数方程：转化为“两个指数函数（或指数函数与常数函数）图像交点的横坐标”，通过图像观察交点个数或直接读取横坐标。 解指数不等式：转化为“同一自变量下，两个函数图像的上下位置关系”（上方函数值大），结合定义域确定解集。 求参数范围：根据图像的平移、伸缩、单调性约束，列出关于参数的不等式（组），求解即可。 3.构图辅助解题：无图像时，快速绘制草图简化问题 确定底数的范围，画出核心图像（过定点、体现单调性、标注渐近线）。 结合题目条件（如过某点、与其他函数相交），补充图像细节，直观判断解题方向。 常见应用场景与解题示例 场景1：解指数方程（如） 构图：画出（过、递增、渐近线）和（过、）的图像。 找交点：观察到两图像交于和，故方程的解为或。 场景2：解指数不等式（如） 转化：化为同底数，画出（递增）的图像。 用单调性：递增函数中“函数值大则指数大”，故，解得，解集为。 场景3：求参数范围（如的图像恒在上方，求的范围） 识图：过，渐近线；过原点、递增。 列条件：当时，成立；当时，，结合时函数增长更快，故（验证时，恒成立）。 关键注意事项 绘制图像时，需准确体现“定点、单调性、渐近线”三大核心，避免因图像失真导致判断错误。 解不等式时，必须结合函数定义域，确保解集是定义域的子集（如对数型指数函数需先满足真数大于0）。 例题精选 【例题1】（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交可得出，再将原点坐标代入该函数的解析式可求得即可. 【详解】由函数的图象无限接近于直线，但不与该直线相交可得， 又因函数的图象过原点，则，故. 故选：C. 【例题2】（25-26高二上·上海·阶段练习）设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据解析式作出函数的图象，得到的范围，再由得到，从而得解. 【详解】对于， 当时，，则； 当时，，则，且当时，； 当时，，则， 且当时，，当时，，； 作出函数的图象，如图， 不妨设，因为，则， 由得，则， 由，得，即， 则. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交． (1)求的解析式； (2)设函数，在平面直角坐标系中画出的图象，并根据图象写出该函数的单调递增区间． 【答案】(1)； (2)作图见解析，递增区间为. 【分析】（1）根据函数图象的性质及所过的点求参数值，即可得解析式； （2）由（1）确定的解析式，画出其函数图象，并确定递增区间. 【详解】（1）当x无限减小时，无限接近0，但不会等于0， 由题设，因为的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以． 由，得，解得，故； （2）由（1）知，图象如下：    由图知，该函数的单调递增区间为. 【相似题2】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．直线对称 D．原点中心对称 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对称性逐项判断即得. 【详解】令函数，， 对于A，，，，A错误； 对于B，，，，B错误； 对于C，点在的图象上，而，即点不在的图象上，C错误； 对于D，，，两个函数图象关于原点中心对称，D正确. 故选：D 【题型10：根据指数型函数的最值求参数或范围】 【解题策略】 1.拆结构定内外层：将指数型函数化为（外层，且）和（内层，如一次、二次、根式函数），明确内层的定义域和结构。 2.分析单调性传递： 若，外层递增，此时函数的最值与内层的最值“同向”（最大则最大，最小则最小）； 若，外层递减，此时函数的最值与内层的最值“反向”（最大则最小，最小则最大）。 3.找最值对应条件： 若内层有最值（如二次函数、闭区间上的一次函数），则外层必有对应最值； 若内层无最值（如上的一次函数），则外层也无最值（仅趋近于渐近线）。 4.列方程/不等式求解：根据最值结果，反推内层的最值或范围，进而列关于参数的方程（求参数值）或不等式（求参数范围），最后验证参数是否满足且。 常见类型与解题示例 类型1：内层为二次函数（有最值），求参数值 例：已知的最大值为，求的值。 拆结构：外层（，递增），内层（二次函数，开口向上，最小值为，无最大值）。 分析最值：外层递增，内层无最大值，但题目说有最大值，说明内层有最大值（此处需注意：题目隐含定义域限制，或二次函数在指定区间有最大值，假设定义域为全体实数时，需修正——实际二次函数开口向上无最大值，故题目应为“最小值为16”，调整后：，则）。 解方程：，得，验证符合条件。 类型2：内层为一次函数（闭区间），求参数范围 例：已知在上的最小值为，求的范围。 拆结构：外层，内层（在上递增，）。 分析最值： 若，外层递增，，由题意得（舍去，因）； 若，外层递减，，由题意（舍去）——修正题目：若最小值为，要求，则，结合无解，时，故。 类型3：含参数在系数/常数项，求参数范围 例：已知在上有最小值，求的范围。 拆结构：外层（，递增），内层。 分析最值：内层若，则，，无最小值；若，则，（不符）——修正题目：若有最小值3，则最小值为1，即最小值为0，故（二次函数开口向下），且顶点值1=0？不对，应为恒成立，且最小值为1，故且顶点值1=0（矛盾），调整为最小值为3，则恒成立，且当时取等号，故。 关键注意事项 内层函数的“最值是否存在”是前提：若内层在定义域内无最值（如上的一次函数），则外层指数函数也无最值（仅趋近于渐近线），此时题目若说有最值，必隐含定义域限制（如闭区间）。 参数可能在底数、内层函数中，需分别分析：底数影响外层单调性，内层参数影响的最值/范围。 求解后必须验证：参数需满足且，同时确保最值条件真实成立（如二次函数的顶点是否在定义域内）。 闭区间上的最值：优先看内层函数在区间端点和极值点的取值，再结合外层单调性确定整体最值。 例题精选 【例题1】（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出的值域； （2）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的最小值，求出的值即可． 【详解】（1）若，则， 因为，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，且，， 可得，所以函数的值域为. （2）因为函数，， 且，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 当时，在内单调递增， 则的最小值是，解得，符合题意； 当时，在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值是，解得，不合题意； 当时，在内单调递减， 则的最小值是，解得，不合题意； 综上所述：． 【例题2】（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用得出，再利用奇函数的定义检验即可求解； （2）参变分离得在上有解，令，，则有解，利用二次函数性质求解值域即可得解； （3）首先化简，然后令，，则，进而讨论一元二次函数的单调性，求解最小值. 【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为为奇函数，所以符合题意； （2）当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解， 令，因为，所以，则有解， 故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以， 所以，故实数t的取值范围为； （3）由题， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，； 当时，； 当时，. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数，. (1)当时，解关于的方程； (2)若对，，使得，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）解指数方程结合指数函数值域计算求解； （2）先把存在问题转化为指数不等式恒成立，结合指数函数值域计算求解. 【详解】（1）当时，， 令，则即，， 解得或，即或， 解得或. （2）设在上的值域为A，在上的值域为B，则， 因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以， 因为，所以对恒成立， 即对恒成立， 令，则，， 当时，， 所以. 【相似题2】（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数（，）的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由时的值域，将问题转化成在上恒成立即可求解； 【详解】当时，，又函数的值域为， 所以在上恒成立，所以 解得，即的取值范围是. 故答案为： 【题型11：由指数函数单调性解抽象不等式】 【解题策略】 1.定义域：先明确抽象函数的定义域，确保和都在定义域内（这是不等式有意义的前提），列出定义域约束不等式。 2.判单调性：确定的单调性——若（递增，递减）；若为复合指数型，按“同增异减”判断整体单调性。 3.去“f”符号：根据单调性转化不等式，不改变定义域约束： 若递增，则； 若递减，则。 4.解不等式组：联立“定义域约束”和“转化后的代数不等式”，求解解集，即为原抽象不等式的解。 常见类型与解题示例 类型1：基础型抽象不等式（） 例：解不等式 定定义域：（无额外约束）。 判单调性：，递增。 去“f”符号：。 解不等式：整理得，因式分解，解集为。 类型2：复合型抽象不等式（） 例：解不等式 定定义域：根号下非负，即。 判单调性：，递减（内层递增，但此处直接看外层单调性即可）。 去“f”符号：递减函数“不等号反向”，故。 解不等式组：联立 由得； 展开，整理，判别式，根为，结合，解集为。 类型3：含参数的抽象不等式（需讨论底数） 例：解不等式（且） 定定义域：。 判单调性：分两类讨论： 当时，递增，不等式转化为； 当时，递减，不等式转化为。 综上：时解集为；时解集为。 关键注意事项 定义域优先：无论单调性如何，必须先保证、在的定义域内，否则解集会出错（如复合型中根号、分式的约束）。 单调性判断要精准：复合函数需先拆内外层，按“同增异减”确定整体单调性，再去“f”符号。 含参数时分类讨论：底数的范围（或）直接影响不等号方向，必须分情况求解，最后汇总结果。 验证边界：解完后可代入边界值检验，确保不等号成立（如例1中时，两边均为，不满足“>”，故边界不包含）。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，而函数在R上都递增， 则函数在R上递增，不等式， 因此，解得，所以原不等式的解集为. 故选：D 【例题2】（25-26高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得对称性，进而根据函数的单调性，即可得求解. 【详解】由，知的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增． 由，可得． ，整理得． 解得或． 故选：D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数； （3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2）证明：， 设，再由， 可得， 故函数在上是减函数. （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 【相似题2】（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数（为自然对数的底数），若，则该不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】先得到，从而得到，再根据函数单调性得到不等式，求出不等式解集. 【详解】， 则， ， 故， 在R上单调递增， 所以，解得. 该不等式的解集为. 故答案为： 【题型12：指数函数的最值与不等式的综合问题】 【解题策略】 1.拆结构定内外层：将函数化为（外层，且）和（内层，如二次、一次、根式函数），明确内层的定义域和最值特征（是否有界、极值点位置）。 2.析单调递推最值： 若，外层递增，的最值与的最值“同向”（，）； 若，外层递减，的最值与的最值“反向”（，）。 3.转条件为不等式：根据题目中的最值约束（如“最大值≤m”“最小值≥n”“恒成立”），将最值表达式代入，转化为关于或参数的不等式。 4.解不等式得结果： 若求解集：联立定义域和转化后的不等式，直接求解； 若求参数范围：结合内层函数的最值范围，反推参数需满足的条件，含参数时按底数的范围分类讨论。 5.验有效性：验证参数是否满足且，解集是否在定义域内，最值条件是否真实成立。 常见类型与解题示例 类型1：最值含参数+不等式恒成立（求参数范围） 例：已知在上恒有，求的值。 拆结构：外层（，递增），内层（二次函数，开口向上，，无最大值）。 递推最值：外层递增，故？修正条件：题目“恒有”，则需（因外层递增，）。 转不等式：恒成立，即恒成立？错误修正：内层的最小值为1，要使恒成立，需不成立，故题目应为“恒成立”（自然成立），调整为“恒成立”，则，但内层无最大值，故定义域应为闭区间，如，此时在上的最大值≤2，解得。 最终：若修正为合理条件，解得，验证符合要求。 类型2：最值条件+解不等式（求解集） 例：已知的最大值为，解不等式。 拆结构：外层（，递减），内层（二次函数，开口向下，，）。 求最值：外层递减，故，。 转不等式：。 解不等式：外层递减，不等号反向，得，整理，判别式，解集为。 类型3：含双参数+最值与不等式结合（求参数范围） 例：已知（且）在上的最大值为、最小值为，且，求、的范围。 拆结构：外层，内层（在上单调，或）。 分类讨论： 若： 若，内层递增，，则，得，结合，如，则，满足； 若，内层递减，，则，得，结合、，如，则，满足。 若： 若，内层递增，，则，但时，矛盾； 若，内层递减，，则，得，时左边为负，矛盾。 综上：，或且满足对应等式。 关键注意事项 定义域优先：内层函数的定义域（如闭区间、根号约束）直接决定的范围，是最值求解的前提，不可忽略。 单调性传递要精准：外层单调性与内层最值的“同向/反向”关系是核心，错判会导致最值表达式完全颠倒。 恒成立问题转化：“恒成立”等价于“”，“恒成立”等价于“”，需结合外层单调性准确对应。 含参数必分类：底数（或）和内层参数（影响内层单调性）都需分类讨论，避免漏解。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·浙江嘉兴·阶段练习）若，已知函数为奇函数． (1)求实数的值． (2)用定义证明的单调性． (3)若函数在区间上的值域是，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）先判定函数定义域，借助求参数，再验证即可； （2）利用单调性的定义，作差证明即可； （3）根据（2）的结论，将问题转化为二次方程的根的个数问题，利用韦达定理计算即可. 【详解】（1），则恒成立，所以定义域为R， 则，所以， 此时，符合题意， 故 （2）由上知， 不妨设，所以， 因为，且在R上单调递增，所以， 即，即在R上单调递增； （3）由上知在R上单调递增，所以， 整理得， 则是关于的方程的两个不等正根， 所以，解不等式组得. 【例题2】（24-25高二下·北京·期末）已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，， (2)增函数，解集为 (3) 【分析】（1）由函数奇偶性的定义结合可证得结论成立，将结论与已知等式构成方程组，即可解得、的解析式； （2）分析函数的单调性，结合奇函数的性质可将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可； （3）先根据函数在上的单调性，推得，再通过换元，将函数转化为，根据二次函数的性质求出其最小值，结合题意需使，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①. 则，即②，故得证. 联立①②可得，. （2）函数为上的增函数，证明如下： 任取，由 ， 因，则，且，故得， 即函数为上的增函数. 由得， 所以，即，解得或， 故所求不等式的解集为. （3）因为，易得函数在上单调递增， 当时，，故； 又因为 ， 令，即有， 而函数， 故当时，，即. 因为对于，，使得. 故需使解得. 因此，实数的取值范围是. 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·湖南湘潭·阶段练习）已知，其中为奇函数，为偶函数． (1)求的解析式并指出的单调性（无需证明）； (2)若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，在上单调递增 (2) (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，构成方程组即可求解； （2）由已知，对于任意的实数，成立，即，即转化为求函数最小值，即可求得实数的取值范围； （3）由（1）知，，可得，由存在，，即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为①，为奇函数，为偶函数， 则，即②， 联立①②，得，， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上单调递增. （2）由（1）得单调递增， 因为，所以， 整理得对于任意的成立，则， 令，则， 当且仅当时，即时取等号，所以. （3）由（1）知，，， 则 ， 令，则， 则原题目转化为存在，使得成立， 当，成立，当时，， 综上，. 【相似题2】（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知为偶函数，为奇函数，且． (1)的值； (2)令． ①用函数单调性的定义判断的单调性． ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①判断过程见解析；② 【分析】（1）求出，，联立即可求解和，代值计算可得的值； （2）①将函数的解析式变形为，然后利用函数单调性的定义证明即可； ②先证明出函数为上的奇函数，求出，证明原题可转化为对任意的恒成立，令，根据单调性即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为①，所以， 又因为为偶函数，为奇函数，所以②， 由①②得：，， 所以. （2）①， 对任意的，，则函数的定义域为， 、，且， 有， 因为在上单调递增，且，所以，即， 又因为，所以，所以是上的增函数； ②因为，， 又，故为上的奇函数，所以， 故对任意的恒成立， 又因为为上增函数，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 故， 所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 函数在上单调递增，故，所以，即. 因此，实数的取值范围是. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·广西南宁·期中）已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·福建·开学考试）若函数是奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 3．（25-26高一上·全国·单元测试）当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·辽宁·开学考试）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 9．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（24-25高二下·福建泉州·期末）若指数函数的图象经过点，则的值为 . 11．（25-26高一上·全国·随堂练习）若函数有最大值2，则 . 12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则该值域对应的一个定义域为 ． 三、解答题 13．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知定义在上的函数，对一切实数a、b都有成立，且. (1)求函数的表达式； (2)若任意实数，求实数的取值范围. 14．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知奇函数与偶函数满足. (1)求，的解析式； (2)若，求的值； (3)若函数，求在上的最小值. 15．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数． (1)求a的值，判断函数的单调性； (2)证明为奇函数； (3)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围． 16．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知为偶函数，为奇函数，且满足. (1)求，的解析式； (2)存在，使得不等式成立，求的取值范围 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A C C D D C B B A 1．A 【分析】根据基本函数的单调性以及奇函数的性质，可得在上单调递增，即可利用单调性求解. 【详解】由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 由于是上的奇函数，故在上单调递增， 又，故， 则即，等价于，所以，解得. 故选：A 2．C 【分析】根据奇函数的性质，结合指数运算即可求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 则，即，故，解得， 故选：C 3．C 【分析】令，求的值和对应的函数值，即得图象所过的定点． 【详解】对于函数，令，解得， 则， 所以的图象恒过点． 故选：C. 4．D 【分析】当时，，由奇函数的性质得出，即可得解. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且当时，， 则当时，，所以，， 此时，. 故选：D. 5．D 【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断函数在上的单调性，结合单调性与奇偶性得到，解得即可. 【详解】因为，函数的定义域为， 当时，，则； 当时，，则； 所以，即为偶函数， 又当时，且与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 不等式，即，即， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 6．C 【分析】根据指数函数和二次函数值域的求法可求得在每一段上的值域，根据有最小值可构造不等式求得结果. 【详解】当时，， 当时，， 所以如果存在最小值， 则，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 7．B 【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时的函数值判断即可. 【详解】函数中，，即，解得， 函数定义域为，， 函数是偶函数，图象关于轴对称，选项AC不满足； 当时，，选项D不满足，B符合题意. 故选：B 8．B 【分析】易知，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 易知当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：B 9．A 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 10．3 【分析】将点代入函数解析式计算即可求解. 【详解】因为指数函数的图象经过点， 所以，解得. 故答案为：3 11．1 【分析】利用复合函数的单调性及二次函数的性质计算即可. 【详解】令，则. 因为有最大值，所以应有最小值. 由此可得，解得 故答案为： 12．（答案不唯一） 【分析】根据分段函数的解析式画出函数图象，结合值域即可求得答案. 【详解】如图，当时，令，解得， 令，解得或（舍）. 当时，易知，所以令，解得， 故该值域对应的一个定义域为. 故答案为：（答案不唯一）. 13．(1) (2) 【分析】（1）令得到即可求解； （2）令，通过参变分离得到，进一步求最值即可求解. 【详解】（1）令时，得，又， 所以， 所以， 所以， （2）令，因为，所以， 则，可化为：，易知， 即， 即， 因为，所以 所以当时，取得最大值， 所以实数的取值范围是. 14．(1)，. (2) (3)当时，； 当时，； 当时，. 【分析】（1）根据函数的奇偶性列出等式，联立方程组求解可得. （2）将和代入函数解析式中化简求解即可. （3）首先化简，然后讨论一元二次函数的单调性，计算最小值. 【详解】（1）因为奇函数与偶函数满足， 得，联立得，，. （2）由（1）得，即， 因为.又因为，则，所以， 则 . （3）由题， 令，则，则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，；当时，； 当时，. 15．(1)，在R上单调递增，证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由已知有求参数，再应用单调性定义证明函数的单调性； （2）根据奇偶性的定义证明函数的奇偶性； （3）问题化为恒成立，再应用换元法、基本不等式求左侧最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由在上单调，则，解得， 故，函数定义域为R， 在R上单调递增，证明如下， 令，则， 由，，则，即， 所以在R上单调递增； （2），函数定义域为R， 则， 所以为奇函数； （3）， 所以，则恒成立， 令， ，当且仅当，即时取等号， 所以. 所以实数m的取值范围为. 16．(1)， (2) 【分析】（1）由，根据题意，得到，联立方程组，即可求解； （2）根据题意，得到，设，转化为，当时，得到，设，利用基本不等式，求得，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得，     因为为偶函数，为奇函数，所以， 联立方程组，解得，. （2）解：由（1）知，， 因为，所以， 可得， 所以，即，     设，则，即， 当时，则，不合题意；     当时，则，设，则只需， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $