精品解析：山西省朔州市怀仁市大地学校2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

绝密★启用前 怀仁大地高中学校2025-2026学年度上学期第二次月考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有 A. k>0，b>0 B. k>0，b<0 C. k<0，b>0 D. k<0，b<0 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得：直线的斜率大于0，截距小于0，即k>0，b<0． 故答案选B． 2. 已知向量，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用向量相等，即可求出结果. 【详解】因为，，三点共线，则，又向量，， 所以，解得， 故选：B. 3. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系，即可求解. 【详解】将圆化为标准方程为，则圆心和半径分别为 圆的圆心和半径为， 此时圆心距，可知两圆内含，无公切线，故公切线条数为0. 故选：A. 4. 不论为何实数，直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程变形为,即可求得过定点坐标. 【详解】根据题意,将直线方程变形为 因为位任意实数,则,解得 所以直线过的定点坐标为 故选:C 【点睛】本题考查了直线过定点的求法,属于基础题. 5. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 6. 已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 7. 已知两直线，若 ，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线的方程化为一般式，利用平行的条件求得，进而利用两平行线间的距离为公式求解即可. 【详解】直线的方程化为一般式为， 又因为， ，所以，解得， 所以的方程为，即， 所以与间的距离为. 故选：C. 8. 求点到直线的距离的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先说明直线所过的定点，当与定点的连线与直线垂直时距离有最大值，由此求解出结果. 【详解】因为直线的方程为，所以直线过定点， 所以直线表示过定点的斜率存在的直线， 如图，当时，表示点到直线的距离， 当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然， 所以点到直线距离的最大值为, 所以点到直线距离的最大值为. 故选：D 二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接由斜率的定义判断即可. 【详解】由斜率的定义可知，. 故选：ABC. 10. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 若非零向量满足，则 B. 任意向量，满足 C. 若为空间一个基底，且，则四点共面 D. 直线的方向向量平面的法向量，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A根据共线向量定理即可判断，对于B根据数量积的运算律即可判断，对于C得即可判断，对于D先验算即可判断. 【详解】对于A：因为非零向量，，所以存在实数，使得，故A正确； 对于B：根据数列积运算律有，故B正确； 对于C：若为空间一个基底，， 即，所以四点共面，故C正确； 对于D：因为，所以或，故D错误， 故选：ABC. 11. 已知曲线与圆，则（ ） A. 曲线为半个圆 B. 当时，曲线与圆有两个公共点 C. 当曲线与圆相切时， D. 当时，曲线在圆的内部 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆的方程求解选项A，结合两圆的位置关系求解选项B和选项C，利用离圆心最远的是点，求解选项D即可. 【详解】由，得， 所以曲线表示圆的上半部分，A正确. 易知圆的圆心为坐标原点，半径为1， 圆的圆心为，半径为. 当时，曲线与圆只有1个公共点，B错误. 因为曲线与圆相切，所以，则，得，C正确. 因为在曲线的所有点中，离圆心最远的是点， 所以当时，曲线在圆的内部，D正确 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线垂直，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线垂直的计算公式即可求解. 【详解】∵直线与直线垂直， ∴，解得. 故答案为：. 13. 过，，三点的圆的标准方程为_______. 【答案】. 【解析】 【分析】设圆的标准方程为，代入，，得到的方程组求解即可. 【详解】不妨设圆的标准方程为，由， 可解得于是圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为________.（结果用一般式表示） 【答案】 【解析】 【分析】设，应用线段，的中点分别在，轴上求参，再根据中点坐标公式得出点，最后点斜式得出直线方程即可. 【详解】设，则，得，， 而线段的中点坐标为， 故边上的中线的斜率， 故中线所在的直线的方程为，即. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知两点，直线. （1）求线段AB的垂直平分线方程； （2）若圆过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件先求出线段AB的中点坐标和斜率，利用垂直求出其中垂线的斜率，利用点斜式即可求得其方程； （2）设圆心坐标为，利用（1）的结论和圆心在直线上，联立成方程组，求解即得圆心坐标，求出圆的半径，即得圆的方程. 【小问1详解】 因线段的斜率为，中点为，即， 则线段AB的垂直平分线的斜率，故其方程为，即； 【小问2详解】 设圆心坐标为，因为圆心在直线上，则① ， 又圆过两点，则线段AB的垂直平分线必过圆心，由（1）可得②， 将①与②联立，解得，则圆心为，圆的半径为， 故圆的标准方程为. 16. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，，. （1）用，，表示和. （2）求直线与夹角的余弦值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平行六面体的性质及空间向量基本定理求解. （2）利用空间向量数量积及空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 在平行六面体中，， 由M为与的交点，得是的中点， 则， . 【小问2详解】 依题意，，，则， 于是， ， 因此， 所以直线AB与的夹角的余弦值为. 17. 已知圆． （1）已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； （2）若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【答案】（1） （2）面积最大值为8，直线方程为或 【解析】 【分析】（1）法1：求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理得到弦长； 法2：联立直线与圆的方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案； 法3：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，利用两点间距离公式求出答案； （2）设出直线方程，求出圆心C到直线的距离，利用垂径定理表达出面积，求出最大值，并得到，，得到直线方程. 【小问1详解】 法1：圆C的圆心坐标为，半径， 圆心C到直线的距离. 则截得的弦长； 法2：设，联立方程组得， 消得， ； 法3：设，联立方程组得， 消得，解得， 则， . 【小问2详解】 圆C的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，与圆没有交点，舍去， 设直线的方程为，即， 则圆心C到直线的距离为， 又的面积， 所以当时取最大值8， 由，得， 解得，， 所以直线的方程为或. 18. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正切值； 【答案】（1） 根据题意，建立以D为原点， 分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向得空间直角坐标系， 因为侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形， 所以，，，， 因为E是棱BC的中点， 所以， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，得， 所以， 因为，所以， 因为平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向得空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，根据即可解决； （2）设平面ABCD的一个法向量为，根据空间向量方法解决面面角即可； （3）由题得，由点到平面的距离为解决即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面的一个法向量为， 由题可设平面ABCD的一个法向量为， 所以， 所以， 所以， 所以平面与平面ABCD的夹角的正切值为． 19. 已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）求圆与圆公切线段的长度； （3）过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【小问1详解】 由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． 【小问3详解】 圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 怀仁大地高中学校2025-2026学年度上学期第二次月考 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4. 考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有 A. k>0，b>0 B. k>0，b<0 C. k<0，b>0 D. k<0，b<0 2. 已知向量，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 4. 不论为何实数，直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 5. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知两直线，若 ，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 求点到直线的距离的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 如图，直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A. 若非零向量满足，则 B. 任意向量，满足 C. 若为空间一个基底，且，则四点共面 D. 直线的方向向量平面的法向量，则 11. 已知曲线与圆，则（ ） A. 曲线为半个圆 B. 当时，曲线与圆有两个公共点 C. 当曲线与圆相切时， D. 当时，曲线在圆的内部 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线垂直，则的值为__________. 13. 过，，三点的圆的标准方程为_______. 14. 已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为________.（结果用一般式表示） 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知两点，直线. （1）求线段AB的垂直平分线方程； （2）若圆过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 16. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，，. （1）用，，表示和. （2）求直线与夹角的余弦值. 17. 已知圆． （1）已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； （2）若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 18. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正切值； 19. 已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）求圆与圆公切线段的长度； （3）过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $