28.2 解直角三角形及其应用-【一飞冲天·同步训练】2024-2025学年九年级数学下册（人教版）

一冲天 第二十八章镜角三角函赵回 28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 基础过关 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=27,AC 第5题 第6题 √21，则∠A= A.75 B.60° 6.如图，cosB= 2,sin C= 5,AC=10,则 C.45 D.30° △ABC的面积是 () 2.在△ABC中，∠C=90°，cosA 3 ,AC=6,则 A.42 B.43 C.44 D.45 AB的长为 7.在△ABC中，AB=65,AC=6,cosB= 2 A.10 B.6 则BC边的长为 ( c号 D.16 A.9 B.12 3.在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=2,则 C.12或6 D.12或9 BC的值为 8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上， 4.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， ∠DBC=∠A,若AC=4,sinA= ,则BD的 AB=3,BC=2,anA=号，则CD= 长度为 9 A. B. D.4 4 B随堂检测 第8题 第9题 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D, 9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,BD是AC AD=BD,若AB=4V厄，amC=号，则BC= 边上的底，cosC-号，则△BCD与△ABD的 面积比是 A.8 B.82 A.1:3 B.2:7 C.7 D.7/2 C.2:9 D.2:11 同步训练九年极数学下册 一飞冲天 10.如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的15.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，E是BC边 上一点，过点E作ED⊥AC,垂足为点D, ⊙A,已知BC=10,cos∠BCD=3 ∠BCE= AB=8,DE=6,∠C=30°，求BE的长 30°，则线段DE的长是 A.√89 B.73 C.4+3/3 D.3+43 11.如图，在△ABC中，AC=10,sinC=4 5 sin B=- 16.如图，AD是△ABC的中线，tanB=号 cos C=12 2AC=2.求： B∠ (1)BC的长； 天 12.等边△ABC中，点P是BC所在直线上一 2)sin /ADO的值 点，且PC:BC=1:4,则tan∠APB的值为 13.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°， AC=2√3，则AB的长为 A☑30°45>B 14.BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1, tan∠ABD=√3，则CD的长为 一冲天 第二十八章镜角三角函款□ 17.如图，在△ABC中，BC=6,tanA= ,∠B 能力提升 30°，求AC和AB的长. 18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC= 30°，延长CB至点D,使DB=AB,连接AD. (1)求∠ADB的度数； 2)根据图形，不使用计算器和数学用表，请 你求出tan75°的值， 飞冲天 飞冲天 冲天 为 同步训练九年极数学下册 一心中天 28.2.2 应用举例 4.如图，为了测得电视塔的高度AB,在D处用 基础过关 高为1m的测角仪CD,测得电视塔顶端A的 仰角为30°，再向电视塔方向前进100m到达 1.如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置AB F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这 绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO=4m,若 个电视塔的高度AB(单位：m)为 栏杆的旋转角∠AOA'=50°，栏杆A端升高的 高度是 4 A. sin 50 B.4sin 50 C<J30 E人60° 4 C. D.4cos 50 D-100m 0s50° A.50√5 B.51 A C.505+1 D.101 5.如图，要在宽为22米的大道 D O B 两边安装路灯，路灯的灯臂 第1题 第2题 CD长2米，且与灯柱BC成 2.如图，河堤横断面迎水坡BC的坡度是1：√3，堤 120°角，路灯采用圆锥形灯 高AC=5m,则坡面BC的长度是 罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩 的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效 B 随堂检测 果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设 计为 ( 3.如图，在一笔直的海岸线1上有A,B两个观测 A.(11-22)米 B.(11√3-22)米 站，AB=2km,从A处测得船C在北偏东45 C.(11-2√/3)米 D.(11√3-4)米 的方向，从B处测得船C在北偏东22.5°的方 向，则船C离海岸线1的距离（即CD的长）为 6.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔 船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西 75°方向以40海里/时的速度航行，航行半小 东 时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏 东60°方向上，则B,C之间的距离为() 北 A.4 km B.(2+√2)km 60° C.2√2km D.(4-√2)km 750 A 一冲天 第二十入幸镜角三角函数国 A.20海里 B.10√3海里 10.如图，河流两岸a,b互相平行，点A,B是河 C.20√2海里 D.30海里 岸a上的两座建筑物，点C,D是河岸b上的 两点，A,B的距离约为200米.某人在河岸b 7.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线， 上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°， AC是水平线，BA与AC的夹角为O.现要在 则河流的宽度约为 米 楼梯上铺一条地毯，已知AC=4,楼梯宽度 为1m,则地毯的面积至少需要 BT 759 单位：m 30° 11.某数学兴趣小组想测量电视塔的高度，如图， 该小组在电视塔BC前的一座楼房楼顶A处 4 A.sin o m B. 观测到电视塔最高点B的仰角为65°，电视塔 最低点C的俯角为30°，楼顶A与电视塔的 c4+a品am D.(4+4tan 0)m 水平距离AD为90米，求电视塔BC的高度， 8.如图，一个直角梯形的堤坝 (结果精确到1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈ 坡长AB为6米，斜坡AB 1.73,sin65°≈0.91，c0s65°≈0.42， 的坡角为60°，为了改善堤坝 tan65°≈2.14) 的稳固性，准备将其坡角改 为45°，则调整后的斜坡AE的长度为( A.3√6米 B.3√3米 A人659 C.(3√3-2)米 D.(3√3-3)米 30° 9.如图，某海监船以20km/h的速度在某海域执 行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处 C/H 时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东 航行1小时到达B处，这时，测得岛屿P在其 北偏西30°方向，则海监船到岛屿的最小距离 是 km;保持航向不变，又航行2小时到 达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即P℃ 的长)为 km(结果保留根号). 兴同步训练九年级数学下册 一冲天 28.2解直角三角形及其应用 5.C'AD⊥BC交BC于点D,AD=BD, 28.2.1解直角三角形 ∴.△ABD是等腰直角三角形， 1.D.∠C=90°， w小篇得- 立AD-BD-号1g=4 mc-部专D=8 ∴.∠A=30° .BC=BD+CD=7. 2.A∠C=90°，AC=6, mA-6-是 6.A如图，过点A作AD⊥BC于点D, .AB=10. 3.√6如图所示，过点C作CD⊥AB于D. B D ·sinC-AD AC B D 在Rt△BCD中，∠B=45°，∴.∠BCD=45°， AD=AC·snC=10X号=6， ∠ACB=75°， 由勾股定理得CD=√AC-AD=√10-6=8， ∴.∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°， cosB=号∠B=45. 在Rt△ACD中，cos∠ACD=CP, AC .BD=AD=6, .BC=BD+CD=14, ECD=AC·cos30°=2×g=3 在R1△BCD中，snB-, ∴S6r=2BC·AD=2×14X6=42. 7.C如图，作AD⊥BC于D. ..BC= CD_-/6. sin 45 2 2 4.6 6 如图，延长AD和BC交于点E. B C D cosB=号∠B=30, D 在R△ABD中，AD=号AB=3B, E C BD=√3AD=√3X33=9, BE 4 在Rt△ABE中，：anA=AB=3,AB=3, 在Rt△ADC中，CD=V√AC-AD=√62-(33)2=3， .BE=4, 当AD在△ABC的内部时，BC=BD+CD=9+3=12, ∴AE=√AB+BE=V3+4=5, 当AD在△ABC的外部时，BC=BD-CD=9-3=6, EC=BE-BC=4-2=2. 综上所述，BC的长为12或6. 8.B∠C=90°， 在Rt△ABE中，SinE=A5=3」 AE5· 在R△CDE中，E畏罗 加A器， 设BC=3.x,AB=5x, 9号解得CD=号 由勾股定理得AC+BC=AB, 即42+(3.x)2=(5x)2,解得x=1, 同步训练九年级数学下册 一冲天 11.24如图所示，过点A作AD⊥BC于D. ∴.BC=3,AB=5. 在R△ABC中.osA-S-告 在R△BCD中.o∠DBC-BS品 B D AD ∠DBC=∠A, 在Rt△ADC中，AC=10,sinC= AC os∠DBC=cosA,即品专解得BD-克 34 4 AD=AC·snC=10X号-8. 9.B如图，作AE⊥BC于E. 在Rt△ABD中，AD=8,sinB=AD, AB :AB=AC.BE=BC=合BC. 六AB=AD8=24. sin B 1 在△AC中mC-恶- 3 AC-3EC.AC-BC. 122或2B如图，过点A作AD1BC于D, 在Rt△BCD中，OsC-BC言， CD 1 BC=3CD.AC=号CD. B D P'C P CD.BD CD 2 设等边△ABC的边长为4a, ADBDAD7 则DC=2a,AD=23a,PC=a, 10.D如图，过B作BF⊥DE于F 当点P在BC的延长线上时， D DP=DC+PC=2a+a=3a, 在R△ADp中，n∠APn-品-2a-2, 3； 当点P在线段BC上，即在P的位置时， DP'=DC-P'C=a, :BC为直径，∴.∠BDC=∠BEC=90. 在Rt△ADP'中，tan∠Ap'D=AP-2y5a=25. DP' 在Rt△CBD中，coS∠BCD=3 综上所述，t∠APB的位为或25 .CD=6,BD=8. 13.3+√3如图，过点C作CD⊥AB于D. 在Rt△BCE中，∠BCE=30°， BE-BC-5. 在Rt△BDF中，∠BDF=∠BCE=30°， 30 45° A D .DF=BD·cos30°=4V5. ∠B=45°， 在Rt△BEF中，∠BEF=∠BCD, ∴∠BCD=∠B=45°，.CD=BD, co∠BEF=s∠BCD-=号，即E-g, 3 :∠A=30°，AC=23, EF=子BE=3, ÷CD=2AC-3BD=E, 由勾股定理得AD=√AC-CD=3, .DE=EF+DF=3十4W3. .AB=AD+BD=3+√3， 同步训练九年级数学下册 一冲天 14.2+或2-5或 ∴.∠ABD=60°，.∠A=30°， 分四种情况： :∠ABC=∠A=30°，∠ABC<∠ABD, D 这种情况不存在。 综上所述，CD的长为2+或2-5或号 图1 15解：在R△CDE中，mC-8E, ①如图1，∠A为钝角且为顶角，AB=AC,在Rt△ABD DE 中，'BD=l,tan∠ABD=√3， ∴.CE= sin30=12. .AD=√3，AB=2, 在Rt△ABC中，tanC=A5 BC .AC=2,.CD=2+3; ②如图2，∠A为锐角且为顶角，AB=AC, BC-AB tan30=8V3. ∴.BE=BC-CE=83-12. 16.解：(1)过点A作AE⊥BC于 点E, mc-号∠C=45. 图2 在Rt△ACE中，CE=AC·cosC=1, 在Rt△ABD中，：BD=1,tan∠ABD=√3， ..AE=CE=1, AD=√3，AB=2, 在R△ABE中am及=名·闻能子， AC=2,CD=2-√3； ③如图3，∠C为钝角且为顶角， ∴.BE=3AE=3, ∴.BC=BE+CE=4; D (2):AD是△ABC的中线，CD-号BC=2, ∴.DE=CD-CE=1, .AE⊥BC,DE=AE,∴.∠ADC=45°， 图3 ·sin∠ADC=2 2 :tan∠ABD=√3， 17.解：如图，过点C作CD⊥AB于 ∴.∠ABD=60°，.∠ABC=∠A=30°， 点D, .∠C=120°，∴.∠BCD=60°， 在Rt△BCD中，.∠B=30°， D=1CD-号， CD=2BC-2×6=3 ④如图4，∠C为锐角且为顶角时， BD=√BC-CD=√6-3=33， 在Rt△ACD中， mA-8-子AD=9= 3 ∴.AC=WAD+CD=√42+32=5， ∴.AB=AD+BD=4+3√5. 图4 18.解：(1)AB=DB,∠D=∠BAD, ,tan∠ABD=√3， .∠ABC=∠D+∠BAD=30°，∴.∠ADB=15°； 同步训练九年级数学下册 一冲天 (2)设AC=a,则BC=√3a,AB=BD=2a, 5.D如图，作DM⊥AB于M,CN⊥DM于N. :∠DAC=90°-∠D=75, tan75°=CD-2a+5e=2+5. AC a 28.2.2应用举例 A 1.B栏杆A端升高的高度为A'O·sin∠AOA'= :∠BCD=120°，∠B=∠ODC=90°， 4sin50°. ∴.∠DOM=60°，∠DCN=30°， 2.10m,迎水坡BC的坡度为1：√3， CN-CD.co 30x 即tanB=3=3÷∠B=30°， DN=2CD=7×2=1. .BC=2AC=10(m) 3.B如图，过点B作BE⊥AC于点E, .OM-OB-BM-7AB-CN-11-/3. 北 .∴.DM=OM·tan60°=11W3-3, →东 .BC=MN=DM-DN=(11√3-4)米. 5 6.C如图， E 4 北 A D 由题意可得，∠ACD=45°，∠BCD=22.5°， 159 60° D .∠ACB=22.5°， ∴.BC平分∠ACD. 759 ,BE⊥AC,BD⊥CD, A ∴.BE=BD, 由题意可知，∠DAB=∠ABE=15°，∠CBE=60°， :AB=2,∠CAD=45°， .∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°， aE-号Ah=E. ∠ABC=∠CBE-∠ABE=45°， C在R△ABC中，sn∠ABC-AC0文22 ∴.AD=AB+BD=2+√2， BC BC -2 ∴.CD=(2+√2)km. .BC=20√2（海里）. 4.C设AG=xm, 7.D在Rt△ABC中，BC=AC·tan0=4tan0, 在R△AG中，：a∠ABG瓷 ∴.AC+BC=4+4tan0, ∴地毯的面积至少需要 ∴EG-tan60 3, 1×(4+4tan0)=(4+4tan0)m2. 8.A如图，作AH⊥BC于H. 在R△ACG中，：an∠ACG=怨. 4 D .CG=AG tan30=√3.x, CG-EG=CE. B H C 3- 3x=100,解得x=503. 在Rt△ABH中，sin∠ABH=A, AB' ∴.AB=AG+BG=(50√3+1)m. 则AH=AB·sin∠ABH=6Xsin60°=6x5=3/5, 同步训练九年级数学下册 一冲天 .∠E=45°， ∴.点A到航线MN的距离为50海里： ∴.AE=√2AH=√2×33=3√6（米）. (2)在Rt△AMH中， 9.20340√3在Rt△PAB中，AB=20,∠APB=30°， :∠AMH=30°，∴∠HAM=60°， AB 20 ∠MAB=15°， PB-2AB-40,PA-tanAPB-tan 30-203. ∴.∠HAB=∠HAM-∠MAB=45°， ∴.海监船到岛屿的最小距离是20√3km: .BH=AH=50, 由题意BC=40, .MH=√5AH=50√3， ∴.PB=BC,∴∠C=∠CPB, ∴.MB=MH-BH=(50√5-50)海里， :∠ABP=∠C+∠CPB=60°， ∴.∠C=30°， :503-50=(5-1)小时， 50 ∴.PC=2PA=2×20√3=40√3(km). .轮船从M处到B处所用时间为（√3一1）小时， 即海监船到达C处时与岛屿P之间的距离为40√3km. 13.解：作PE⊥OB于点E,PF⊥OC于点F, 10.100如图，过点P作PE⊥AB于点E. 在Rt△AOC中，AO=100,∠CAO=60°， .OC-A0·tan60°-100√3. A E 设PE=x米， 75 30° C b tan∠PAB=PE-1 D AE2AE-2x. ∠APC=75,∠BPD=30°， 在Rt△PCF中，∠CPF=45°，.PF=CF. .∠APB=75°， .'PF=OE=AO+AE=100+2x, :∠BAP=∠APC=75°， CF=OC-OF=OC-PE=1003-x, ∠APB=∠BAP, .100+2x=100W3-x, ∴.AB=PB=200, :∠ABP=∠BPD=30°， 解得x=100(5-D(米). 3 ∴PE=号PB=100米，即河流的宽度约为100米. .电视塔OC的高度为100√3米，点P的铅直高度为 11.解：在Rt△ADB中 1005-1D米。 3 ∠BAD=65°，AD=90, .BD=AD·tan65≈90×2.14=192.6， 同理，在Rt△ADC中， 山坡 ∠DAC=30°，AD=90, CD=AD:tan30=90×5≈51.9. B 水平地面 3 ∴.BC=BD+CD=192.6+51.9=244.5≈245（米）. .电视塔BC的高度约为245米. 12.解：(1)如图，过点A作AH⊥MN 北 于点H. M 、东 :∠QMB=30°，∠QMA=60°， ∴.∠NMA=∠QMA-∠QMB=30° 在Rt△AMH中， AH=AM=号×100=50（海里）.