27.2 相似三角形-【一飞冲天·同步训练】2024-2025学年九年级数学下册（人教版）

同步训练九年极数学下册 一飞冲天 8.如图，在△ABC中，AD与BE相交于点G,且 怨=册= 能力提升 (1)球5的值： 10.探究：如图①，在△ABC中，D是BC的中点， (2)若CE=5cm,求AC的长， 点E在AB上，且-过点B作AD的 平行线与CE的延长线交于点F,CF与AD 交于点G,求的值： 应用：如图②，在△ABC中，点D是BC上的 9.如图所示，1∥12∥L3,且AB=2BC,DF= 5cm,AG=4cm.求GF,AF,EF的长. 点，部点E在AB上，噩-日过 D 点B作AD的平行线与CE的延长线交于点 F,CF与AD交于点G,则 DG B E 2 f l3 图② 冲天 一冲天 第二十七章相似 第2课时 相似三角形的判定定理 A基础过关 B 随堂检测 1.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似 4.下列各组条件中，一定能判定△ABC与 三角形的是 △DEF相似的是 A.∠A=∠E且∠D=∠F B.∠A=∠B且∠D=∠F ① ② ③ ④ C∠A=∠E且帶-品 A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④ D∠A=∠E部 BC 2.下列条件中，不能判定△ABC与△DEF相似 5.如图，四边形ABGH,四边 的是 形BCFG,四边形CDEF都 A.∠B=∠E=75,∠C=50°，∠D=55 是正方形，图中与△HBC B.AB=10,BC=12,AC=15,DE=30,EF= 相似的三角形为 36,DF=45 A.△DBH B.△HCD C.∠C=∠F=90°，AB=10,AC=6,DE=15, C.△CAH D.△HAD DF=9 6.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC D.∠A=∠E=70°，AB=12,BC=15,DE=4, 上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能 DF=5 判断△ADE∽△ACB的是 3.如图，在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中 A.∠ADE=∠C B.∠AED=∠B 线，DE⊥AB于点E.求证：△BDEp△CAD AD DE AD AE C.ECBD 0 D 第6题 第7题 7.如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三 角形共有 ( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 8.如图，点P在△ABC的边AC 上，下列条件中不能判断 △ABPc∽△ACB的是() 中 ※ 同步训练九年极数学下册 一冲天 A.∠ABP=∠C 12.如图，CE与BD交于点A, B.∠APB=∠ABC 要使△EAD∽△BAC,需 C.AB2=AP·AC 要添加一个条件，这个条件 B D.CB=CP·CA 可以是 (写一个即可). 9.如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C 13.在△ABC中，AB=6,AC=5,点D在边AB 的定点，过点M作直线截△ABC,使截得的三 上，且AD=2,点E在边AC上，当AE= 角形与△ABC相似，这样的直线共有 ( 时，以A,D,E为顶点的三角形与 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 △ABC相似. 14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3, BC=5,点D是线段BC上一动点，连接AD, 以AD为边作△ADE,使△ADE∽△ABC, 则△ADE的最小面积与最大面积之比等于 第9题 第10题 10.如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE, MN=1,线段MN的两端点在CD,AD上滑 动，当△ABE与以D,M,N为顶点的三角形 0 相似时，DM的值为 ( 第14题 第15题 A号 B26 5 15.如图，平面直角坐标系中，已知点A(4,0) c925 2或8 和点B(0,3),C是AB的中点，点P在折线 5 AOB上，直线CP截△AOB,所得的 11.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE1 三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 BC交AC于点E,已知AD=AB,连接BE 交AD于点F,下列结论：①BE=CE; 16.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是 ②∠CAD=∠ABE:③AF=DF;④S△ABF= AB的中点，P在射线DC上从点D出发以 3S△DEF;⑤△DEF∽△DAE,其中正确的有 每秒1个单位长度的速度运动，过点P作 PF⊥DE,当运动时间为 时，以点 P,F,E为顶点的三角形与△AED相似. A.5个 B.4个 C.3个D.2个 一冲天 第二十七章相似回 17.如图，点B,D,E在一条直线上，BE交AC于19.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边 点F,甍-能且/BAD-/CAE AD,CD上的点，AE=DE,DF=CD,连接 (1)求证：△ABCc∽△ADE; EF并延长交BC的延长线于点G (2)求证：△AEFc∽△BCF. (1)求证：△ABE∽△DEF; (2)若正方形的边长为4，求BG的长. 18.如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米， 能力提升 点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运 动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度 20.如图，已知矩形OABC,以点O为坐标原点建 向A运动，其中一个动点运动到端点时，另 立平面直角坐标系，其中A(2,0),C(0,3),点 个动点也相应停止运动，设运动的时间为 P以每秒1个单位长度的速度从点C出发在 t秒. 射线CO上运动，连接BP,作BE⊥PB交x (1)用含t的代数式表示：AP= ,AQ- 轴于点E,连接PE交AB于点F,设运动时 间为t秒. (2)当以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC (1)当t=4时，求点E的坐标； 相似时，求运动时间是多少？ (2)在运动的过程中，是否存在以P,O,E为 顶点的三角形与△ABE相似.若存在，请 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 中 ※ 同步训蕉九年极数学下册 一心中天 27.2.2 相似三角形的性质 7.如图，已知AB,CD,EF都与BD垂直，垂足分 基础过关 别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的 1.已知△ABC△DEF,AC:DF=3:1,AB 长是 6,则DE为 1 A. B.2 3 5 A.18 B.2 C.54 D. 2 2.如图，P是△ABC的边AC上 一点，若△ABP∽△ACB, ∠A=45°，∠ABC=110°，则 ∠ABP的度数为 第7题 第8题 A.25 B.359 45 D.110° 8.如图，把△ABC沿AB边平移到△A'B'C'的 3.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么 位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面 它们的对应中线之比是 ( A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16 积是△ABC面积的一半，若AB=√2，则此三 4已知△ABCn△XB'C且8-名，则 角形移动的距离AA'是 D S△ABC：S△A'BC为 ( A.2-1B.2 A.1:2 B.2:1 C.1:4 D.4:1 9.如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ 的直角顶点与O重合，条直角边OP与OA B 随堂检测 重合，使△OPQ沿逆时针方向绕点O旋转，两 5.已知△ABC的三边长分别为4cm,5cm, 条直角边始终与边BC,AB相交，交点分别为 6cm,△DEF的一边长为2cm,若两个三角 M,N.若AB=4,AD=6,BM=x,AN=y,则 形相似，则△DEF的另外两边长不可能是 y与x之间的函数图象是 A.2.5 cm,3 cm B.1.6cm,2.4cm C专m,号cm D.1.6cm,2.5cm 6.如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它 们的周长比是 A.1:16 B.1:4 C.1:6 D.1:2 一冲天 第二+七章相似回 10.如图，矩形ABCD中，E是CD延长线上一15.如图，AB与CD相交于点O,△OBDC∽ 点，连接BE交AD于点F,连接CF,已知 △0Ac8哭-是0B=6,se=50求： AB=1,BC=2,若△ABF与△CEF的面积 (1)OA的长； 相等，则DE的长为 A.1 B日 c. D.51 (2)S△OBD· 2 第10题 第11题 11.如图，在△ABC纸板中，AC=4,BC=8, AB=11,P是BC上一点，沿过点P的直线 剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如 果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范 围是 ( 16.如图所示，三个边长为1的正方形ABCD, A.0<CP≤1 B.0<CP≤2 ABEF,EFHG拼在一起. C.1≤CP<8 D.2≤CP<8 (1)请找出图中相似的两个三角形，并证明； 12.已知△ABCp△DEF,相似比为3，则△ABC (2)求∠1，∠2，∠3这三个角度数之和 与△DEF的面积之比为 13.如果把两条直角边长分别为5,10的直角三 角形按相似比号进行缩小，得到的直角三角 形的面积是 14.如图，已知在Rt△OAC中， O为坐标原点，直角顶点C 在x轴的正半轴上，反比例 函数y=(k≠0)在第一象 限的图象经过OA的中点B,交AC于点D, 连接OD.若△OCD△ACO,则直线OA的 解析式为 兴 同步训练九年极数学下册 一冲天 17.在平面直角坐标系中，四边形AOBC的顶点 O是坐标原点，点B在x轴的负半轴上，且 能力提升 CB⊥x轴，点A的坐标为(0,6)，在OB边上 18.从三角形一个顶点引出一条射线与对边相 有一点P,满足AP=3√5. 交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分 (1)求点P的坐标； 割成两个小三角形，如果分得的两个小三角 (2)如果△AOP与以A,P,C为顶点的三角 形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形 形相似，且∠PAC=90°，求点C的坐标. 相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完 美分割线， (1)如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠B= 60°，当∠BCD= 时，CD为 △ABC的完美分割线； (2)如图2，在△ABC中，AC=2,BC=√2， CD是△ABC的完美分割线，且CD为等 腰三角形的底边，求完美分割线CD 的长。 冲天 一冲天 第二十七章相似 27.2.3 相似三角形应用举例 5.如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距离 基础过关 墙角1.6m,梯上点D距离墙1.4m,BD长 0.55m,则梯子长为 () 1.下列说法正确的是 ( A.3.85mB.4m C.4.4m D.4.5m A.小明在平面镜和哈哈镜里看到的他自己的 像相似 B.国旗的五角星都是相似的 C.所有的课本都是相似的 D.商店新买来的一副三角板是相似的 2.如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离 第5题 第6题 网4m的位置上，则网球拍击球的高度h为 6.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的 一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长 为1m的竹竿的影长是0.8m,但当她马上测量 0.8m 4m→k-3m→ 树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部 A.1.1mB.1.2mC.1.3m D.1.4m 分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得 留在墙壁上的影高为1.2m,又测得地面的影 B 随堂检测 长为2.6m,请你帮她算一下，树高是( A.3.25m B.4.25m 3.我国古代数学著作中记载了一个问题：“今有 C.4.45m D.4.75m 邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木， 7.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”其大 AB绕固定点O旋转到位置DC,已知栏杆AB 意是：一座正方形城池，西、北边正中各开一道 的长为3.5m,OA的长为3m,C点到AB的 门，从北门往正北方向走40步后刚好有一树 距离为0.3m,支柱OE的高为0.6m,则栏杆 木，若从西门往正西方向走810步后正好看到 D端离地面的距离为 () 树木，则正方形城池的边长为 A.1.2mB.1.8m C.2.4m D.3 m A.360步B.270步C.180步 D.90步 4.如图，利用标杆B测量建 筑物CD的高度，如果B 垂直地面，测得BE= 第7题 第8题 1.2m,AB=1.6m,BC= 8.如图，在一块斜边长为30cm的直角三角形木 12.4m,则建筑物CD的高度为 A.11.5mB.10m 板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF,点D C.11m D.10.5m 在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC 同步训练九年极数学下册 一冲天 上，若AF：AC=1:3,则这块木板截取正方13.如图，某水平地面上建筑物的高度为AB,在 形CDEF后，剩余部分的面积为 ( 点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD A.100 cm B.150 cm 和EF,两标杆相隔52米，并且建筑物AB,标 C.170 cm2 D.200 cm2 杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD 9.如图所示，一张等腰三角形 后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端 纸片，底边长18cm,底边上 A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF 的高长18cm,现沿底边依 第2张 后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端 第1张 次从下往上裁剪宽度均为 A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物 3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张 的高是 米 是正方形，则这张正方形纸条是 ( A.第4张B.第5张C.第6张D.第7张 10.如图，平面直角坐标系内，小明站在点A(一10， DG 0)处观察y轴，眼睛距离地面1.5米，他的前 14.如图，四边形ABCD是某 方5米处有一堵墙DC,若墙高DC=2米，则 校的一块学农基地，其中 y轴上OE的长度为 米 △ABD是蔬菜园，△CDB 是植物园，已知AB∥CD,AB=40m,BD= 60m,CD=90m. B (1)求证：△ABDp△BDC; (2)若植物园△CDB的面积为1800m2,求蔬 第10题 第11题 菜园△ABD的面积 11.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一 个目标点A,在近岸取点B,C,D,E,使点A, B,D及点A,C,E分别在两条直线上，且 DE∥BC.经测量得BC=24m,BD=20m, DE=40m,则河的宽度AB为 m. 12.在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图 所示，其中木杆AB=2m,它的影子BC= 15,如图，小华在晚上由路灯 &D 1.6m,木杆PQ的影子有一部分落在了墙 A走向路灯B.当他走到 上，PM=1.2m,MN=0.8m,则木杆PQ的 点P时，发现他身后影子 长度为 m. 的顶部刚好接触到路灯A 的底部；当他向前再步行12m到达点Q时， 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的 底部.已知小华的身高是1.6m,两个路灯的 高度都是9.6m,且AP=QB.同步训练九年级数学下册 一冲天 27.2相似三角形 7.1:8如图，过点D作DG∥EC交AB于G, 27.2.1相似三角形的判定 第1课时平行线分线段成比例 1.C4∥l2∥l, 小勰器放A正确： B 小膘子散B正确： AD是BC边上的中线， 小E-2放C不正确： ∴.BD=CD :DG∥EC,∴BG=EG. 邵-号故D正确 ..AE:EG=AF:FD=1:4, AE:EB=1:8. 2.B6/4/%AB=号BC 8.解：(1)过点D作DF∥BE交AC 8-0 于点F, =4,.AE=4EF, ∴DE=号DF=号X15=6. CF CD 3 3.BAD=1,AB=3, :DF∥BE,EFBD21 .DB=AB-AD=2, :DE∥BC, CE-EF, 器品 2EF 5 4.DAC∥BD,EF∥BD,.EF∥AC, 部-部票-既故A,B正确： (@5-号AE-8cE-g×5-8cm 5 AE_AF BE_BE .AC=AE+CE=8+5=13(cm). AD AB'BC AB' 9.解：∥12∥4， ÷铝+既品+器品-器1，放C正商， .AF_CE 部提-2 :F-BE,而DE≠BE,故D错误 5.BDE/AB80能-号 Gf-9-专-2m .AF=AG+GF=4+2=6(cm): :AD为△ABC的角平分线， L1∥L2∥13， 怨品 器器-2 6.2:1O是线段AG的中点， 0A=0G=2AG, ∴EF=专DF=×5=(cm. .DE∥BC,AD:DB=3:1, 综上，GF,AF,EF的长分别为2cm,6cm,3cm .AH:HG=3:1, 10.解：探究：DG∥BF,D是BC的中点， HG=+AG. .BD=CD,CG=FG, :.0H-0G-HG-7AG-AG-AG. 照畏Gm ∴.0A:0H=(2AG):(AG)=2:1. Br/AG熙震-名AG-B 同步训练九年级数学下册 一冲天 .能判定△ABC与△DEF相似，故C符合题意； 1 ·AG=2BF=4 “部部但∠B与∠D不-定相等。 应用：2+2m :G/BF保畏中m 两个三角形不一定相似，故D不符合题意， .G 5.A设正方形ABGH的边长为1. 由勾股定理得HB=√2，HC=√5， F/AG器-器名AG=2BF. 则HC:HB:BC=√5：2：1. BF .HB=√2，BD=2,HD=/I0, 小 1 .HD:BD:HB=√10：2：√2=√5：√2：1， 第2课时相似三角形的判定定理 .HC:HB:BC=HD:BD:HB, .△HBC∽△DBH,故A符合题意： 1.C:①中的三角形的三边分别是2，√2，√0， ,HC=√5，CD=1,HD=10, ②中的三角形的三边分别是3，√2，√5， ..HD:HC:CD=10:5:1, ③中的三角形的三边分别是2√2,2,2√5， .HC:HB:BC≠HD:HC:CD, ④中的三角形的三边分别是3，√17,4√2， ∴△HBC与△HCD不相似，故B不符合题意； 只有①与③中的三角形的三边的比为1：√2， :△HBC是饨角三角形，△CAH是直角三角形， .①与③中的三角形相似. ∴.△HBC与△CAH不相似，故C不符合题意： 2.D:∠B=∠E=75°，∠C=50°， :△HBC是饨角三角形，△HAD是直角三角形， .∠A=180°-75°-50°=55°， .△HBC与△HAD不相似，故D不符合题意， ∠A=∠D, 6.C∠A=∠A,∠ADE=∠C, ∴.△ABC∽△DEF,故A不符合题意； .根据两角分别相等的两个三角形相似， ..AB_BC_AC 1 DEEF DF3' 可判断△ADE∽△ACB,故A不符合题意； '.△ABCc∽△DEF,故B不符合题意： :∠A=∠A,∠AED=∠B, 08品-号∠C=∠F=90, ∴·根据两角分别相等的两个三角形相似， 可判断△ADE∽△ACB,故B不符合题意； ∴.△ABC∽△DEF,故C不符合题意： 由哈0邵不能判断△ADE△ACB,放C符合题意： 提 =3,但∠B不一定等于∠D, :∠A=∠A把福 ∴.△ABC与△DEF不一定相似，故D符合题意. 3.证明：在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线， .根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似， ∠B=∠C,AD⊥BC, 可判断△ADE∽△ACB,故D不符合题意. .DE⊥AB. 7.D:∠ADE=∠ACD=∠ABC, ∠DEB=∠ADC=90°， ∴.DE∥BC, △BDEO△CAD .△ADE∽△ABC .DE∥BC, 4.C.∠D和∠F不是两个三角形的对应角， .∠EDC=∠DCB, .不能判定两个三角形相似，故A不符合题意： :∠A=∠B,∠D=∠F不是两个三角形的对应角， ,∠ACD=∠ABC, ∴.△EDCC∽△DCB ∴不能判定两个三角形相似，故B不符合题意； “0邵∠A=∠E :∠ACD=∠ABC,∠A=∠A, .△ACDO△ABC, 同步训练九年级数学下册 一冲天 '∠ADE=∠ACD,∠A=∠A, ∴CE=BE,故①正确 .△ADE∽△ACD. .∠C=∠7， .图中相似三角形共有4对. .AD=AB. 8.D'∠A=∠A,∠ABP=∠C, ∠8=∠ABC=∠6+∠7， ∴.△ABPC∽△ACB,故A能判断： ∠8=∠C+∠4， .'∠A=∠A,∠APB=∠ABC, .∠C+∠4=∠6+∠7， .△ABPC∽△ACB,故B能判断： ∴.∠4=∠6，即∠CAD=∠ABE,故②正确： “∠A=∠A,AB=AP·AC,即A5=A2 如图，作AG⊥BD于点G,交BE于点H, AC AB .△ABPO△ACB,故C能判断； c-(p.cA.m臀器 又：∠C=∠C, .△BCP△ACB,故D不能判断△ABP∽△ACB. 8 9.C:截得的三角形与Rt△ABC相似， C .截得的三角形必是直角三角形， .AD=AB,DE⊥BC, 如图，过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC ·∠2=∠3，DG=BG=2BD,DE/AG, 的垂线，所得到的三角形满足题意， .△CDE∽△CGA,△BGH∽△BDE,∠EDA=∠3， .这样的直线共有3条 ∠5=∠1， 品8HG-DE. M 设DG=x,DE=2y, D BG=x,CD=BD=2x,CG=3x,HG=y, -器解得AG=3, A D ..AH=AG-HG=2y, 10.C四边形ABCD是正方形， ∴.DE=AH,且∠EDA=∠3，∠5=∠1， ∴∠B=∠D=90°，AB=BC=2, .△AHF≌△DEF(ASA), i.BE-CE-7BC-1. AF=DF,故③正确； ∴AE=√AB+BE=√5. HF=EF=令EH,且EH=BH, ①当DM与AB是对应边时，△MDN∽△ABE, EF:BF=1:3,∴.SAABF=3S△AEr, 小器器即学言年得 'SAEF=S△AEF, .S△r=3S△EF,故④正确； ②当DM与BE是对应边时，△NDM∽△ABE, :∠1=∠2+∠6，且∠4=∠6，∠2=∠3， 签即后解得DM- 15 51 .∠5=∠1=∠3+∠4，∴.∠5≠∠4， .△DEFC∽△DAE不成立，故⑤错误， 当DM为安号时，△ABE与以D,M,N为顶点 2∠E-∠B(或∠D-∠C,或能0) 的三角形相似. 11.B,D是BC的中点，且DE⊥BC, .DE是BC的垂直平分线， :∠A=∠A, 同步训练九年级数学下册 一冲天 ∴.△AED∽△ABC, 此时P点坐标为(2,0)： 此时AE=AB,AD_6X2-12 当PC⊥AB时，如图， AC 55 :∠CAP=∠OAB, 当0能时， ∠ACP=∠AOB=90°， ∠A=∠A, ∴.Rt△APC∽Rt△ABO, ∴.△ADEp△ABC, 浙器 此时AE=AC,AD_5X2-5 AB 6 3 点A(4,0)和点B(0,3), :当AE=号或号时，以A,D,E为顶点的三角形与 .AB=√3+4=5， △ABC相似. :C是AB的中点AC=号， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,BC=5, 5 -aP- 4 8 ..AC=/BC-AB=4, :.0P=OA-AP=4-8=8, 25=7 当AD⊥BC时，△ADE的面积最小， :'.AD-AB.AC_3X4_12 BC 5 -51 此时P点坐标为（尽0）小， :△ADED△ABC, 裙怨 综上所述，满足条件的P点坐标为(0，三)或(2,0) AE-CAD4x号s 或(8o AB 35 16,1s或号。设运动时间为ts,则DP= 六△ADE的最小面积为号×号×后， 51 525 :正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点， 当D与C重合时，△ADE的面积最大， 六AB=AD=2,AE=2AB=1, 此时AD=AC=4. 同理得，AE=AC,AD4×4_16 ∴.DE=/AD+AE=√5. AB 331 ①当△EAD∽△PFE时，如图1， :△ADE的最大面积为号X4×后号 ∠ADE=∠FEP,∴.AD∥PE, 331 此时PE⊥CD, 96 “△ADE的最小面积与最大面积之比为至云 .PD=AE=1,即t=1: ②当△EAD∽△EFP时，如图2， 3 ∠AED=∠FEP, 15.(o,)或(2.0或（日o 当PC∥OA时，△BPCO ,AB∥CD,.∠AED=∠PDE, △BOA, ∴.∠PDE=∠PED,∴.PD=PE, C是AB的中点， 又：PF⊥DE,.F为DE中点， P为OB的中点， EF-DE-2 DE- Γ2 此时P点坐标为(0，号)： 当PC∥OB时，△ACPc△ABO, 能-器哈品解刷E 2 C是AB的中点， 5 5 P为OA的中点， PD=2,即=2 同步训练九年级数学下册 一冲天 综上所述，当运动时间为1s或号s时，以点P,F,E为 ∴.BG=BC+CG=10. 20.解：(1)当1=4时，PC=4, 顶点的三角形与△AED相似： A(2,0),C(0,3), 本y 图1 图2 ∴.OA=2,OC=3, 17.证明：(1)，∠BAD=∠CAE, ,四边形OABC是矩形， ∴.∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD, ∴.AB=OC=3,BC=OA=2,∠BCP=∠BAE=90°， 即∠BAC=∠DAE. ∠ABE+∠ABP=90°，∠PBC+∠ABP=90°， 铝怨 .∠PBC-∠ABE, :∠BCP=∠BAE=90°， ∴.△ABCO△ADE: .△BCP△BAE. (2).'△ABC∽△ADE, ∴∠C=∠E. 器紧即高号解得EA= 又∠AFE=-∠BFC, ∴.OE=OA+EA=2+6=8, .∴.△AEFc∽△BCF .点E的坐标是(8,0)： 18.解：(1)2t16-3t: (2)存在. (2):∠PAQ=∠BAC, 理由如下： ⑩当品A8时，△APQn△ABC 由可知置-紧高号A-受 即器-166，解得1-9， 当点P在点O上方时，如图所示： 816 ②当-8时，△AQPn△AC 此时0P=3-4(0≤1<3).0E=2+2+ 即酷=16g3解得1= ①9-器 则△OEPO△ABE, ∴运动时间为秒或4秒 *, 19.解：(1)证明：：四边形ABCD为正方形， .AD=AB=CD=BC,∠A=∠D=90°， 整理得3t2十8t一12=0， AE=DE器子 解得4=二4十23，=二4一2√正（舍去）， 3 3 n=c=怨器， ∴0p=3--4+23_13-21E 3 3 △ABE△DEF; (2),四边形ABCD为正方形， 点P的坐标为(0,13-23)」 3 DE/G2器-85， ②若9沿-E则△OPEn△ABE 又：DF=CD,正方形的边长为4， 2+ .DE=2,DF=1,∴.CF=3,∴.CG=6, 3号整理得=6 3 24 同步训练九年级数学下册 一冲天 这种情况不成立. 当点P在点O下方时，如图所示： 当2-9-号时，解得1=2.59-3 此时OP=1一3>3).0E=2+多 当一号-号时，解得=16y-2 6.D,两个相似三角形的面积比是1：4， ①96 .两个相似三角形的相似比是1：2， 则△OPE△ABE, .两个相似三角形的周长比是1：2. 7.CAB,CD,EF都与BD垂直， 3 3 .AB∥CD∥EF, .△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD, 整理得12-61-4=0， .EF-DF EF_BF 解得4=3十√13,2=3-√13（舍去）， AB DB'CD BD .OP=t-3=3+/13-3=/13, 器+器-器+部品 .点P的坐标为(0，-√13). .AB=1,CD=3, ②若9E-95期△0OEPn△ABE, F+罗=1EF-是 4 8.A,把△ABC沿AB边平移到△A'BC的位置， .AC∥A'C', .△ABC∽△A'BD 整理得=-9， SAAWC SANBD=2, 这种情况不成立。 ..AB:A'B=2. 综上所述，存在以P,O,E为顶点的三角形与△ABE相 AB=√2，∴.A'B=1, 似，点P的坐标为0,13-23)或0，-3). .AA'=2-1. 3 9.C如图，过点O分别作OE⊥BC于E,OF⊥AB于F. 27.2.2相似三角形的性质 A D 1.B△ABC△DEF,AC:DF=3:1,AB=6, 能-是-品解得DE-2 2.A△ABP△ACB, .∠APB=∠ABC=110°， .∠ABP=180°-45°-110°=25°. ∠POQ=∠EOF=90°， 3.B,两个相似三角形对应边之比是1：4， ,∴.∠NOF=∠MOE, 又：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分 :∠NFO=∠MEO=90°， 线的比等于相似比， NF OF .它们的对应中线之比为1：4. △NOFn△MOE,MEOE, 4C:△ABCO△ABC,0- .AB=4,AD=6,BM=x,AN=y, ∴.OF=BE=3,OE=BF=2, =(0)广= ·S△BC .NF=2-y,ME=3-x, 35 5.D设△DEF的另外两边长分别为xcm,ycm, 2y=3 3-心y=12 :△ABC与△DEF相似， 4 5 0≤ye0<2-2≤4. 同步训练九年级数学下册 一冲天 .△ABC与△DEF的面积之比为3=9. 13.9设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为 y与x之间的函数图象为选项C a,b(a<b), 10.D设DE=x. ,DF∥BC, 根据题意得号-合一号解得a=3,6=6, △EFDn△EBCO5-8OE. ∴.缩小后的直角三角形的面积为)×3×6=9. 14.y=2.x设OC=a, 2x+1' :点D在反比例函数y=的图象上， DF=当AF=2年异 :△ABF与△CEF的面积相等， ..CD= a ·AF·AB=3CE,DF, △0D△AC0.%-需 “异×1=(+1D×行1整理得2+一1=0 52=(合去. 解得x,=51 2 ∴点A的坐标为A(a,号) DE的长为5 :B是OA的中点， 11.B如图所示，过点P作PD∥AB交AC于D,或PE∥ “点B的坐标为（号家）， AC交AB于E, :点B在反比例函数y= 的图象上， C D P =受 B E a=4k2,解得a2=2k, 则△DPC△ABC,△EBPn△ABC, 此时0<CP<8; ∴点B的坐标为（受a): 如图所示，过点P作∠BPF=∠A交AB于F, 设直线OA的解析式为y=m.x, 则m·号=a,解得m=2 A .直线OA的解析式为y=2x. F 则△PBFc∽△ABC, 15.解：1：△0BD△0AC8-82-号， 此时0≤CP<8; .OB=6,∴.OA=10; 如图所示，过点P作∠CPG=∠A交AC于G, Ssoc=50,.S△0wD=18. B GC CP 16.解：(1)△ACFc∽△AHC 则△PGC∽△ABC,BCCA' 证明如下： 当点G与点A重合时，AC=CP·BC, ·三个正方形的边长均为1， .'.CP=AC4 ..AD-CD-AF-1,AH=2. BC=8=2, .此时0<CP≤2. aC=aDD-ES--号 综上所述，CP长的取值范围是0<CP≤2. 又∠FAC=∠CAH,∴.△ACF∽△AHC; 12.9,△ABC与△DEF的相似比为3， (2).△ACFc∽△AHC, 同步训练九年级数学下册 一心冲天 .∠2=∠ACH, 设BD=x,则AB=2十x, 而∠1=∠ACH+∠3，∴.∠1=∠2+∠3. ∠1=45°，∠1+∠2+∠3=90°. 品意 ,解得x=-1士3， 17.解：(1)点A的坐标为(0,6)，.OA=6, x>0,∴BD=-1十√3， ∠AOP=90°，AP=35, ,'△BCD△BAC, ∴OP=√AP-OA=√(35)2-62=3， 鼎肥 点P的坐标为（一3,0）： (2)∠AOP=∠PAC=90°， ÷CD-BD:AC-=1+5)X2-6-2: BC √2 △AOP与以A,P,C为顶点的三 ②当△BCD是等腰三角形时，△ADC∽△ACB, 角形相似， 部品品品。 器把 BC=BD=√2，AC=2, 4C-35或AC-35 3=6或6=3 设AD=y,则AB=y十√2， AC-39或4AC=6后. 六十万学解得%=巨=-22（合. :、2 如图，过点C作CD⊥y轴于点D, AD=√2， '∠CDA=∠PAC=∠AOP=90, .'△ADC△ACB, ∴.∠DCA十∠CAD=∠CAD+∠OAP=90°， 把畏 .∠DCA=∠OAP, ÷△ACn△POA器8答 :.CD-AD.BC_1. AC 2 综上所述，CD的长为6-√2或1. 当AC9时，cD4_ 35 27.2.3相似三角形应用举例 ”6335=2, 1.B小明在平面镜和哈哈镜里看到的他自己的像不成比 解得DC-3.DA=号， 例，故不是相似图形，故A错误； 国旗上的五角星都是相似的，故B正确； 00-2 所有的课本对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不 都是相似的，故C错误； “点C的坐标为(-3，受) 一副三角板的对应角不一定相等，故不一定相似，故D 同理当AC-65时华--等-2 错误。 2.D .DC=12,DA=6, 3.A如图，由题意可知，AB=40,CD=810. .OD=12, B北门 40 .点C的坐标为(-12,12). D 综上所述，点C的坐标为(-3,5)或(-12,12). 810 西门 18.解：(1)40°： (2)①当△ACD是等腰三角形时，△BCD△BAC, 设正方形城池的边长为x步，则AE=CE=号， 紧肥 :AE∥CD, ∠BEA=∠EDC, :AC=AD=2,BC=√2， ∴.Rt△BEAc∽Rt△EDC, 同步训练九年级数学下册 一冲天 提部即”系新 即DG。3 =810,解得x=360, 6.30.5,解得DG=1.8(m), 1 24 .OE=0.6 m, 即正方形城池的边长为360步。 ∴.栏杆D端离地面的距离为1.8十0.6=2.4(m). 4.D.BE∥CD. 8.A设AF=x,则AC=3x,CF=2x. A△ABEO△ACDA是e 四边形CDEF为正方形， ∴.EF=CF=2x,EF∥BC, 1.61.2 即.6十i2.4CD,解得CD=10.5(m). ..△AEFc∽△ABC, 5.C由题意可知，BC=1.6m,DE=1.4m. 既-=c=6a .DE⊥AC,BC⊥AC, 在Rt△ABC中，AB=AC+BC, ∴.DE∥BC,∴.△ADEC∽△ABC, 即302=(3x)2+(6x)2,解得x=2√5（负值舍去）， ÷0即AB85-若解得AB=m AB .∴.EF=4√5，AC=6√5，BC=12√5， 6.C如图，则AB=2.6m,BC=1.2m. ∴.剩余部分的面积为 2×125×65-45×45=10(cm). 9.B如图，AN=BC=18cm, 设BD是BC在地面的影子，树高为x, ,竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值 B N 相同， 设第x张为正方形纸条， % 则DE=3cm,AM=(18-3x)cm,DE∥BC, ∴.BD=0.8BC=0.8×1.2=0.96(m), △ADEO△ABC- ∴.树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56(m) 即品-8。产解得=5 六3.560.8解得x=4.45(m), .第5张为正方形纸条 即树高是4.45m. 10.2.5如图，过点B作BM⊥OE于点M,交CD于点N. 7.C如图，过D作DGLAB于G,过C作CH⊥AB于H, 0 M E :栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC, 由题意可知，AB=1.5,AC=5,OA=10, ..CD=AB=3.5 m,OD=0A=3 m,CH=0.3 m, ∴.BM=10,BN=5,OM=CN=1.5, ..OC=OB=AB-OA=0.5 m. .DN=DC-CN-=0.5. :DG∥CH, .CD∥OE, ∴△0DGn△0cH,8%82. ∴△BND△ME÷-B 同步训练九年级数学下册 一冲天 EM=BM:DN=10X0.5-1(米)， 15.解：(1)设路灯A在直线AC上，路灯B在直线BD上. BN 5 由题意可知，PM=QN=1.6m,AC=BD=9.6m, ∴.OE=OM+EM=1+1.5=2.5(米). PQ=12 m. 11.30DE∥BC ,PM∥BD, △ABCD△ADE,:BC=AB ·DEAD ∴.△APM∽△ABD, AB 船器即p+80B AP 1.6 即器-A820解得AB=30m 12.2.3如图，过点N作ND⊥PQ于D. AP=QB2A12-女8解得AP=3m. ∴.AB=AP+PQ+BQ=3+12+3=18(m). .两个路灯之间的距离为18m: D (2)如图，他在路灯A下的影子为 BF,则BE=1.6m. B C .'BE∥AC,∴.△FBE△FAC, DN=PM=1.2,DP=MN=0.8, 需80 能s 解得BF=3.6(m). ÷QD=ABDN-2X1:2=1.5(m. BC 1.6 ∴当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长 .PQ=QD+DP=1.5+0.8=2.3(m). 是3.6m. 13.54由题意可知，CD=DG=EF=2m,DF=52m, 16.解：(1)证明：：四边形EGHF为正方形，.EF∥GH, FH=4 m. ∴.BC∥EF,.△AEFC∽△ABC: ,ABBH,CD⊥BH,EF⊥BH, (2),四边形EGHF为正方形， ∴.AB∥CD∥EF .KD=EF,AK=80-KD, ∴.△CDG∽△ABG,△EFH∽△ABH, ,△AEFC∽△ABC,AD⊥BC, 需需鼎 既-船即部”D, 80 即器D需用D DG EF FH 解得KD=48. .正方形零件的边长为48mm; 即元B2十D品十52+BD, .22 (3)设EF=x,EG=y, 2 4 六2+BD4+52+BD解得BD=52(m), :△AEFO△AC,既-S, B-22解得AB=54(m 2 高-之y0-号 即建筑物的高是54m. 矩形面积S=y=-号+80r=-号（一60）P+ 14.解：(1)证明：AB∥CD,.∠ABD=∠BDC, 2400(0<x<120), 又部品-号腮0台 故当x=60时，此时矩形零件的面积最大，最大面积 为2400mm2. ÷部2△ABDO△BDC, 17.解：(1)180cm; (2)△ABD∽△BDC,且相似比为2：3， (2)记灯泡为点P,如图2. 设横向影子A'B,D'C的长度和为ycm, AD∥A'D',∴△PAD△PA'D' ÷Sam=号×1800=80(m). ÷品-别回”，19”， 180