精品解析：贵州省部分学校2025-2026学年高三上学期10月联考数学试卷

高三联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 某社区为了解该社区老年人的运动情况，在该社区随机抽取70名老年人，对他们一周的运动时长（单位：小时）进行统计，数据如下表，则该组数据的中位数为（ ） 一周的运动时长 3 4 5 6 7 8 9 人数 15 10 8 10 10 8 9 A. 4小时 B. 6小时 C. 5小时 D. 5.5小时 4. 某圆锥的底面半径为3，高为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕西，丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 60种 D. 96种 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知表示不超过的最大整数，且，则（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 8. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 曲线关于直线对称 D. 曲线关于点中心对称 10. 如图，在正方体中，是上底面内一动点，则（ ） A. 的面积为定值 B. 三棱锥的体积为定值 C. 满足的点有且只有一个 D. 的取值范围为 11. 设函数的定义域为，若对任意，，且，恒成立，则称为加成函数.下列判断正确的是（ ） A. 是加成函数 B. 若是加成函数，则也是加成函数 C. 是加成函数 D. 若不是加成函数，则也不是加成函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数的虚部是实部的3倍，则实数__________. 13. 已知向量，，若，则__________，__________. 14. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中点的纵坐标为1，且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，均为等比数列，且，. （1）求，的通项公式. （2）证明：为定值. （3）求数列的前2n项和. 16. 某手机经销商销售某品牌手机，若某部手机售出后没有问题，则该部手机的利润为300元；若某部手机有小问题，则经销商需对该部手机进行更换并赔偿顾客100元，此时该部手机的利润为元；若某部手机有大问题，则经销商需对该部手机进行退货处理，此时该部手机不仅没有售出的300元利润，还要赔偿顾客200元，即此时该部手机的利润为元.已知每部手机没有问题、有小问题、有大问题的概率分别为0.9，0.09，0.01.且各部手机有无问题相互独立， （1）设每部该品牌手机的利润为X元，求X的分布列与数学期望； （2）若经销商销售了三部该品牌手机，求其获得的总利润不少于700元的概率. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，E是AB的中点，F是的中点. （1）证明：平面. （2）求EF与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P为直线上一点.当时，，. （1）求椭圆E的方程. （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）. ①若，求； ②证明：. 19. 已知函数，的导函数为. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若的导函数的最小值为0，求的值； （3）若对恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集以及一元二次不等式的解法确定正确答案. 【详解】由解得， 由解得或， 由解得， 由解得或， 所以或. 故选：C 2. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线离心率的求法求得正确答案. 【详解】依题意，双曲线的焦点在轴上， . 故选：B 3. 某社区为了解该社区老年人的运动情况，在该社区随机抽取70名老年人，对他们一周的运动时长（单位：小时）进行统计，数据如下表，则该组数据的中位数为（ ） 一周的运动时长 3 4 5 6 7 8 9 人数 15 10 8 10 10 8 9 A. 4小时 B. 6小时 C. 5小时 D. 5.5小时 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的求法求得正确答案. 【详解】由，则中位数为第35个数和第36个数的平均数， 因为，， 则第35个数和第36个数均为6， 所以该组数据的中位数为6小时. 故选：B 4. 某圆锥的底面半径为3，高为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得圆锥的母线长，再根据圆锥的表面积公式求得正确答案. 【详解】依题意得该圆锥的母线长为， 则该圆锥的表面积为. 故选：D 5. 甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕西，丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 60种 D. 96种 【答案】B 【解析】 【分析】先安排甲乙，然后安排丙丁，最后安排戊，由分步乘法计数原理计算即得. 【详解】先安排甲乙，分别在甘肃、贵州两省中人选一处，方法数有种， 然后安排丙丁，在三省中任选两处并考虑顺序，方法数有种， 最后安排戊，在三省中任选一处，方法数有种， 根据分步乘法计数原理，这五人不同的选择共有种. 故选：B 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数值为非负数以及函数的单调性判断出正确答案. 【详解】因为，所以排除A. 又因为， 所以在和上，单调递减， 在上单调递增，所以C选项正确，BD选项错误 故选：C. 7. 已知表示不超过的最大整数，且，则（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质化简已知条件，求得的取值范围，进而确定正确答案. 【详解】因为，所以， 则，则，所以， 则. 故选：C 8. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理角化边求出，然后利用基本不等式求出的范围，最后根据面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以，整理得， 则，解得. 因为，所以，取等条件为， 则的面积. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 曲线关于直线对称 D. 曲线关于点中心对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB根据函数奇偶性进行判断；C由判断；D由判断. 【详解】A、B，与定义域为R， 因为， ， 所以是奇函数，是偶函数，A，B均正确； C，因为， 所以曲线不关于直线对称，C错误； D，因为，所以曲线关于点中心对称，D正确. 故选：ABD 10. 如图，在正方体中，是上底面内一动点，则（ ） A. 的面积为定值 B. 三棱锥的体积为定值 C. 满足的点有且只有一个 D. 的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角形的面积、锥体体积公式、线线垂直、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】点P到CD的距离不确定，但CD的长是定值，所以的面积不是定值，A错误. 点P到底面的距离等于棱长，是定值，的面积是定值， 所以三棱锥的体积是定值，B正确. 满足的点P的轨迹是以AC为直径的球面， 设正方体的边长为，则，以为直径的球的半径为， 所以这个球面与上底面没有公共点，C错误. 当点P与点重合时，， 当点P与点重合时，， 当点P为正方形的中心时，设，， 连接，由于，是的中点，所以平分， ，则， 根据正方体的对称性，可知的取值范围为，D正确. 故选：BD 11. 设函数的定义域为，若对任意，，且，恒成立，则称为加成函数.下列判断正确的是（ ） A. 是加成函数 B. 若是加成函数，则也是加成函数 C. 是加成函数 D. 若不是加成函数，则也不是加成函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据加成函数的定义，判断出为增函数，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由，得， 若为加成函数，则函数为上的增函数. 设，，则， 所以不是增函数，A错误. 若是加成函数，则是增函数，则也是增函数， 所以是加成函数，B正确. 设，，则， 因为，，所以， 又，所以，则，则为增函数， 所以是加成函数，C正确. 取，则，所以不是加成函数， 但，则是加成函数，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数的虚部是实部的3倍，则实数__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据实部和虚部的关系列方程，化简求得的值. 【详解】因为的虚部是实部的3倍，所以，解得. 故答案为： 13. 已知向量，，若，则__________，__________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据向量平行列方程求得，根据二倍角公式、两角和的正切公式求得. 【详解】因为，所以，解得， 则， . 故答案为：； 14. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中点的纵坐标为1，且，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】设出直线PQ的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数，利用线段的中点坐标以及的长列方程，由此求得的值. 【详解】设直线PQ的方程为，，. 由消去得，， 则，. 因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以，则. 因为，所以， 即，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，均为等比数列，且，. （1）求，的通项公式. （2）证明：为定值. （3）求数列的前2n项和. 【答案】（1），. （2） 因为，，所以为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）求得等比数列，的公比，进而求得通项公式. （2）通过计算证明为定值. （3）利用分组求和法求得. 【小问1详解】 依题意可得的公比为，首项， 的公比为，首项， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 . 16. 某手机经销商销售某品牌手机，若某部手机售出后没有问题，则该部手机的利润为300元；若某部手机有小问题，则经销商需对该部手机进行更换并赔偿顾客100元，此时该部手机的利润为元；若某部手机有大问题，则经销商需对该部手机进行退货处理，此时该部手机不仅没有售出的300元利润，还要赔偿顾客200元，即此时该部手机的利润为元.已知每部手机没有问题、有小问题、有大问题的概率分别为0.9，0.09，0.01.且各部手机有无问题相互独立， （1）设每部该品牌手机的利润为X元，求X的分布列与数学期望； （2）若经销商销售了三部该品牌手机，求其获得的总利润不少于700元的概率. 【答案】（1）X的分布列为 X 300 200 P 0.9 0.09 0.01 数学期望为286 （2）0.96957 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得的分布列，进而求得数学期望. （2）根据相互独立试验概率计算公式求得获得的总利润不少于700元的概率. 【小问1详解】 由题意知X的取值可能为300，200，， 且X的分布列为 X 300 200 P 0.9 0.09 0.01 则. 【小问2详解】 设表示销售三部手机获得的总利润不少于700元， 则这三部手机售出后均没有问题或两部手机售出后没有问题， 一部有小问题或一部手机售出后没有问题，两部有小问题， 所以. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，E是AB的中点，F是的中点. （1）证明：平面. （2）求EF与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：连接.因为E，F分别是AB，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过构造中位线，结合线面平行的判定定理来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得EF与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意可知两两相互垂直，以为坐标原点， BC，BA，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，. 设是平面的法向量，则，即， 取，得. 设与平面所成的角为， 则， 即EF与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为A，P为直线上一点.当时，，. （1）求椭圆E的方程. （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）. ①若，求； ②证明：. 【答案】（1） （2）①； ②根据对称性，不妨设点在第一象限，且，直线. 由，得. 由题意可得， 展开后整理得，. 直线的斜率，， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，解方程组即可得出答案； （2）①设，由题意得到，进而得到关于的方程，解此方程即可得出，最后再根据两点间距离即可得出答案； ②将问题转化为，设，直线与椭圆联立，利用得到，，即可得证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①解：根据对称性，不妨设点在第一象限，且. ，. 因为，所以， ， 所以，解得（舍去），所以. ②略 19. 已知函数，的导函数为. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若的导函数的最小值为0，求的值； （3）若对恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）利用导数研究的单调性，由最小值为列方程，由此求得. （3）由对恒成立，分离参数，然后利用构造函数法，结合导数求得整数的最大值. 【小问1详解】 ，则， 因为，所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 设，则， 设的导函数为，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，解得. 【小问3详解】 由对恒成立，得对恒成立. 设，则 ， 设，则， 设，， 所以在上单调递增. 因为，，所以存在唯一的，使得， 则在上单调递减，在上单调递增. 又因为，，， 所以存在，使得. 综上，易知在、上，在上， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ， 因为在上单调递减， 所以，所以. 又，所以整数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $