精品解析：云南省建水第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷

2025-2026学年上学期建水一中高84届10月月考 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 命题教师：金正娇 审题教师：普微 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和本试题相应的位置. 2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数运算法则求出，再根据复数模的公式求解即可. 【详解】由，则， 所以. 故选：B. 2. 已知向量，若，则（ ） A. -5 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量的坐标运算求解，然后再根据向量垂直的判断条件求解参数即可. 【详解】由题意可得，则， 即，解得． 故选：C 3. 数列是等比数列，且，，则（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式基本量运算求解计算. 【详解】设等比数列的公比为，则 解得 因此，， 故选:A． 4. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求圆锥的高和底面半径，再结合锥体、柱体体积运算求解. 【详解】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为， 因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为，面积为的等腰三角形， 所以，解得，则或（舍去）， 由得，， 则上半部分的体积为，下半部分体积为， 故蒙古包的体积为. 故选：C. 5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数复合函数的区间单调性有，即可求参数范围. 【详解】函数在上单调递减，且在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，即， 的取值范围是. 故选：A 6. 已知函数相邻两个零点之间的距离为，将的图象向右平移个单位长度，所得的函数图象关于轴对称，则的一个值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求周期，从而求得，再由图象变换求得． 【详解】函数相邻两个零点之间的距离为，则周期为，∴， ，图象向右平移个单位得， 此函数图象关于轴对称，即为偶函数，∴，，． 时，． 故选D． 【点睛】本题考查函数的图象与性质．考查图象平衡变换．在由图象确定函数解析式时，可由最大值和最小值确定，由“五点法”确定周期，从而确定，再由特殊值确定． 7. 如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（    ） A. 462 B. 465 C. 468 D. 475 【答案】B 【解析】 【分析】归纳出递推公式，再累加求通项即可. 【详解】记第层有个球，则，，，，， ，，，， 则第30层的小球个数为， . 故选：B 8. 已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正三棱柱的性质，结合勾股定理即可求得外接球表面积. 【详解】 边长为6的正三角形的内切圆半径为：， 所以正三棱柱的高为， 则外接球半径， 所以外接球的表面积为：， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，边上的高为2，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为3 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，再由三角恒等变换可判断A，由正弦定理边角互化可判断B，由同角三角函数的关系和余弦定理可判断C，由三角形面积公式可判断D. 【详解】对于A，由，根据正弦定理得， 因为，则， ，因为，所以，得到，则，故A正确； 对于B，由，可得，故B正确； 对于C，由，且，因为，， 所以，可得， ，化简得，解得（舍）或， 所以的周长为，故C错误； 对于D，的面积为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，成等比数列，则 C. 若，，数列中最小的项为 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列性质判断A，利用等比中项性质并结合题意建立方程求解参数判断B，利用等差数列前项和的性质判断C，逐步求出等差数列的前项，再求和判断D即可. 【详解】对于A，由等差数列性质得， 解得，故A正确； 对于B，因为，，成等比数列，所以， 可得， 解得或，故B错误； 对于C，由等差数列性质得，， 则，所以数列中最小的项为，故C正确； 对于D，因为为等差数列，且，， 所以，，则. 则 ，故D错误. 故选：AC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ） A. M，N，B，四点共面 B. 异面直线与MN所成角的余弦值为 C. 平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形 D. 三棱锥的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线与直线的位置关系判定A；由异面直线所成角求解判定B；作出截面判定C；由体积公式判定D 【详解】对于A，易知MN与为异面直线，所以M，N，B，不可能四点共面，故A错误； 对于B，连接，CP，易得，所以为异面直线与MN所成角， 设，则， 所以， 所以异面直线与MN所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，连接，，易得， 所以平面BMN截正方体所得截面为梯形，故C正确； 对于D，易得，因为平面MNB，平面MNB， 所以平面MNB， 所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的常数项为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为，求出的值，从而可得展开式中的常数项. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：15 13. 将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前10项和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知新数列是以3为首项，以为公差的等差数列，进而可得数列的通项公式，利用裂项相消法求和. 【详解】因为数列是以为首项，以为公差的等差数列， 数列是以3为首项，以3为公差的等差数列， 可知这两个数列的公共项所构成的新数列是以3为首项，以为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为：， 则 ， 则的前10项和为. 故答案为：. 14. 已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于原点对称，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先把问题转化为函数的图象与函数的图象有交点，再继续转化成方程有解，接着构造函数，利用导数求解函数的最值，即可求得答案. 【详解】函数的图象与函数的图象关于原点对称， 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于原点对称， 则函数的图象与函数的图象有交点， 即方程有解，即有解， 令，则， 当时，当时， 故当时，有最小值. 由， 故当时，有最大值， 故， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 记分别为数列的前项和，其中，. （1）求的通项公式； （2）求. 【答案】（1） （2）1222 【解析】 【分析】（1）根据题意结合与之间的关系分析求解，注意分和两种情况； （2）根据（1）中结果可得数列的通项公式，再利用分组求和法以及等差数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 因为， 当时，； 当时，则，又， 两式相减得； 且符合上式，所以 . 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 . 16. 已知函数 （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若，，求的值. 【答案】（1）最大值是2，最小值是； （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、诱导公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质，可得函数在该区间上的最大值和最小值； （2）若，可求，进而得出，再由两角差的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得 ， ∵，∴，∴， ∴当，即时，取最大值2； ∴当，即时，取最小值； ∴函数在区间上的最大值是2，最小值是； 【小问2详解】 ∵，∴，即， ∵，， ∴， ∴ . 17. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为菱形，且. （1）证明：； （2）若平面底面，，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，，. 因为底面是菱形，， 所以是正三角形，所以. 又为正三角形，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质求得和，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理得线面垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据面面角向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面底面，，平面底面，平面， 所以底面，底面， 所以，，又，可得，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图. 设，则，，，， 所以，，， 所以. 设平面的法向量为， 则得可取. 易知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】（1） 因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 19. 已知函数，正项数列满足，. （1）求函数的极值； （2）判断数列的单调性并说明理由； （3）证明：. 【答案】（1）极大值，无极小值； （2）数列为递减数列，理由为： 由题意，得，则， 由（1）知在上单调递减，则，， 令，则，故， 又函数在上是单调递增函数，所以，所以数列为递减数列． （3） 证明：由题意得，令函数， 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，即， 则，故在定义域上单调递增，且， 令，则，得到， 且，故，又因为，所以， 得到，故， 当时，得到．即， 当时，．故． 综上，原命题得证. 【解析】 【分析】（1）先对求导，判断导数的单调性，最后求得的单调区间，进而可求极值. （2）先利用作差法得到，利用（1）可得到数列的单调性即可. （3）令，求导，进而令，利用导数得到，再合理变形得到，再对的范围分类讨论，利用累乘法结合放缩法得到当时成立，显然得到当时成立即可. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 故有极大值，无极小值． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期建水一中高84届10月月考 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 命题教师：金正娇 审题教师：普微 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和本试题相应的位置. 2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. -5 B. C. D. 5 3. 数列是等比数列，且，，则（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 4. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数相邻两个零点之间的距离为，将的图象向右平移个单位长度，所得的函数图象关于轴对称，则的一个值可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（    ） A. 462 B. 465 C. 468 D. 475 8. 已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，边上的高为2，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为3 10. 已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，成等比数列，则 C. 若，，数列中最小的项为 D. 若，，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ） A. M，N，B，四点共面 B. 异面直线与MN所成角的余弦值为 C. 平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形 D. 三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中的常数项为___________． 13. 将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则数列的前10项和为_______． 14. 已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于原点对称，则的取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 记分别为数列的前项和，其中，. （1）求的通项公式； （2）求. 16. 已知函数 （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若，，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为菱形，且. （1）证明：； （2）若平面底面，，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 19. 已知函数，正项数列满足，. （1）求函数的极值； （2）判断数列的单调性并说明理由； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $