5.1 认识二元一次方程组 讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

认识二元一次方程组讲义 5.1认识二元一次方程组 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 简单应用 2 课前复习 分段函数 新课探索 二元一次方程 3 新课探索 二元一次方程组 二元一次方程的解 二元一次方程组的解 题型练习 二元一次方程的定义 6 题型练习 二元一次方程的解 判断是否是二元一次方程组 已知方程组的解求参数 根据实际问题列二元一次方程组 易错点 13 易错点 总结 14 总结 课前复习 简单应用 确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法是利用图像去获得检验公式，这种方法的基本步骤是： 1、通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值. 2、建立合适的直角坐标系，在坐标系中，以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图像. 3、观察图像特征，判定函数的类型. 分段函数 分段函数的定义：在一个变化过程中，函数y随自变量x变化的函数解析式有时要分成几部分，这样在确定函数解析式或者函数图像时，要根据自变量的取值范围分段描述.这种函数通常称为分段函数. 根据图像读取信息时，要把握住以下三个方面： 1横、纵坐标的意义，以及横、纵轴分别表示的量. 2关于某个具体点，要求横、纵轴作垂线来求得该点的坐标. 3在实际问题中，要注意图像与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义. 新课探索 一、二元一次方程 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程需满足三个条件： ①整式方程； ②方程中共含有两个未知数； ③含有未知数的项的次数都是一次. 二、二元一次方程组 二元一次方程组的定义： 方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. 二元一次方程组需满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程； ②方程组中共含有两个未知数； ③每个方程都是一次方程. 【练习】下列方程中是二元一次方程的是() A 5x+y=3xy B + =5 C 3x=2y D x²-y=6 答案：C、 分析：A、是二元二次方程，故A不符合题意； B、是分式方程，故B不符合题意； C、是二元一次方程，故C符合题意； D、是二元二次方程，故D不符合题意； 故选：C. 【练习】下列个方程组中，属于二元一次方程组的是（） A B C D 答案：C、 分析：A、xy是二次的； B、是三元的； D、 5是分式.均不是二元一次方程组.只有C符合定义，故选C. 三、二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 1、在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解. 2、在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数 【练习】下列各组解中，不是二元一次方程x+2y=5的解的是（） A B C D 答案：C、 分析：将选项里面的值代入x+2y=5,A、B、D均正确，C代入x+2y=5得4=5,矛盾.因此正确答案为C. 四、二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 一般情况下，二元一次方程组的解是唯一的. 【练习】下列方程组中，以为解的二元一次方程组的是（） A B C D 题型练习 1、 二元一次方程的定义 1．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0且次数等于1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 2．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（   ） A．4 B．或2 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，绝对值，二元一次方程中两个未知数的次数均为1，系数不能为0，由此可得且，通过计算即可得解． 【详解】解：由题意知且， 解得且， ， 故选：C． 2、 二元一次方程的解 3．若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：， 故选：B． 4．下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将各选项的x和y值代入方程，验证等式是否成立． 【详解】解：A、当时，左边，等于右边，符合条件； B、当时，左边，不等于右边； C、当时，左边，不等于右边； D、当时，左边，不等于右边． 故选：A． 3、 判断是否是二元一次方程组 5．下列方程组为二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程判断即可； 【详解】解：A.中，x的次数是2，故A选项不符合题意； B.是二元一次方程组，故B选项符合题意； C.中y在分母上，故C选项不符合题意； D.中有3个未知数，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的判断，准确分析是解题的关键． 6．下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 4、 已知方程组的解求参数 7．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，即是方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； 故选：B． 8．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 5、 根据实际问题列二元一次方程组 9．某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐个，扁担根，求抬土、挑土的学生各有多少人？如果设抬土的同学人，挑土的同学人，则可得方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 设抬土的同学人，挑土的同学人，由题意列出方程组即可． 【详解】解：设抬土的同学人，挑土的同学人， 由题意得：， 故选：． 10．“龟鹤同池，龟鹤共100只，共有脚350只，问龟鹤各多少只？”设龟有x只，鹤有y只，则下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设龟有x只，鹤有y只，根据鹤和龟共100个且鹤和龟共有350只脚，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设龟有x只，鹤有y只，依题意，得： ， 故选：B． 易错点 1. 混淆方程与表达式：容易将二元一次方程误认为是含有两个变量的任意表达式，忽略了等号的存在。例如，把2x + 3y看作是方程，而实际上它只是一个代数表达式。 2. 符号处理疏忽：在整理方程或进行代入时，容易忽略负号或括号的作用，从而引发后续计算错误。例如，将-2(x - y)展开为-2x - 2y，而不是-2x + 2y。 3. 未检验结果：得到解后，不习惯将其代回原方程组验证是否满足所有方程，导致潜在的错误未被发现。例如，解出x=1, y=2后，没有检查这两个值是否同时满足两个方程。 4. 忽视实际意义：在应用题中，仅从数学角度求解，而忽略了问题的实际背景约束条件。例如，在解决关于人数的问题时，得出非整数解却未意识到不合理性。 总结 二元一次方程 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程需满足三个条件： ①整式方程； ②方程中共含有两个未知数； ③含有未知数的项的次数都是一次. 二元一次方程组 二元一次方程组的定义： 方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. 二元一次方程组需满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程； ②方程组中共含有两个未知数； ③每个方程都是一次方程. 二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 1、在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解. 2、在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数 二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 一般情况下，二元一次方程组的解是唯一的. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 认识二元一次方程组讲义 5.1认识二元一次方程组 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 简单应用 课前复习 分段函数 新课探索 二元一次方程 新课探索 二元一次方程组 二元一次方程的解 二元一次方程组的解 题型练习 二元一次方程的定义 题型练习 二元一次方程的解 判断是否是二元一次方程组 已知方程组的解求参数 根据实际问题列二元一次方程组 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 简单应用 确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法是利用图像去获得检验公式，这种方法的基本步骤是： 1、通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值. 2、建立合适的直角坐标系，在坐标系中，以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图像. 3、观察图像特征，判定函数的类型. 分段函数 分段函数的定义：在一个变化过程中，函数y随自变量x变化的函数解析式有时要分成几部分，这样在确定函数解析式或者函数图像时，要根据自变量的取值范围分段描述.这种函数通常称为分段函数. 根据图像读取信息时，要把握住以下三个方面： 1横、纵坐标的意义，以及横、纵轴分别表示的量. 2关于某个具体点，要求横、纵轴作垂线来求得该点的坐标. 3在实际问题中，要注意图像与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义. 新课探索 一、二元一次方程 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程需满足三个条件： ①整式方程； ②方程中共含有两个未知数； ③含有未知数的项的次数都是一次. 二、二元一次方程组 二元一次方程组的定义： 方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. 二元一次方程组需满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程； ②方程组中共含有两个未知数； ③每个方程都是一次方程. 【练习】下列方程中是二元一次方程的是() A 5x+y=3xy B + =5 C 3x=2y D x²-y=6 【练习】下列个方程组中，属于二元一次方程组的是（） A B C D 三、二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 1、在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解. 2、在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数 【练习】下列各组解中，不是二元一次方程x+2y=5的解的是（） A B C D 四、二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 一般情况下，二元一次方程组的解是唯一的. 【练习】下列方程组中，以为解的二元一次方程组的是（） A B C D 题型练习 1、 二元一次方程的定义 1．已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（   ） A．4 B．或2 C． D．2 2、 二元一次方程的解 3．若方程的解是，则a的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 4．下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 3、 判断是否是二元一次方程组 5．下列方程组为二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 6．下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4、 已知方程组的解求参数 7．若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 8．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 5、 根据实际问题列二元一次方程组 9．某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐个，扁担根，求抬土、挑土的学生各有多少人？如果设抬土的同学人，挑土的同学人，则可得方程组（    ） A． B． C． D． 10．“龟鹤同池，龟鹤共100只，共有脚350只，问龟鹤各多少只？”设龟有x只，鹤有y只，则下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 易错点 1. 混淆方程与表达式：容易将二元一次方程误认为是含有两个变量的任意表达式，忽略了等号的存在。例如，把2x + 3y看作是方程，而实际上它只是一个代数表达式。 2. 符号处理疏忽：在整理方程或进行代入时，容易忽略负号或括号的作用，从而引发后续计算错误。例如，将-2(x - y)展开为-2x - 2y，而不是-2x + 2y。 3. 未检验结果：得到解后，不习惯将其代回原方程组验证是否满足所有方程，导致潜在的错误未被发现。例如，解出x=1, y=2后，没有检查这两个值是否同时满足两个方程。 4. 忽视实际意义：在应用题中，仅从数学角度求解，而忽略了问题的实际背景约束条件。例如，在解决关于人数的问题时，得出非整数解却未意识到不合理性。 总结 二元一次方程 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程需满足三个条件： ①整式方程； ②方程中共含有两个未知数； ③含有未知数的项的次数都是一次. 二元一次方程组 二元一次方程组的定义： 方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. 二元一次方程组需满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程； ②方程组中共含有两个未知数； ③每个方程都是一次方程. 二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 1、在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解. 2、在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数 二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 一般情况下，二元一次方程组的解是唯一的. 1 学科网（北京）股份有限公司 $