专题05 类碰撞模型 讲义 -2025-2026学年高二上学期物理同步模型分析（人教版选择性必修第一册）

专题05 类碰撞模型 【模型1　滑块+木板模型】 【模型剖析】 模型图例 x1 v0 x2 x相对 m1 m2 v共 v共 速度-时间图像 动力学常用关系 功能常用关系 或 动量常用关系 模型特点： 把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒。 由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，ΔE＝Ff·s相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。 【题目示例】 如图1所示，质量为的木板A静置于光滑水平地面上，时刻物块B（可视为质点）以水平向右的初速度3m/s从木板A的左端滑入，此后两者的速度随时间变化的图像如图2所示。当时，物块B恰好到达木板A的右端。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．物块B的质量为1kg B．木板A的长度为3m C．物块B与木板A间的动摩擦因数为0.1 D．若只将物块B的初速度大小变为1.5m/s，则最终物块B与木板A右端的距离为1.5m 【推理过程】 【详解】AC．由图2，可求得B冲上A后，B减速运动时的加速度大小 A加速运动时的加速度大小 设B的质量为，根据牛顿第二定律有 对A，根据牛顿第二定律有 联立，代入数据求得物块B与木板A间的动摩擦因数为，，故AC正确； B．当时，物块B恰好到达木板A的右端，根据图线围成的面积表示位移，由图像围成的面积差，可求得木板A的长度为，故B正确； D．若只将物块B的初速度大小变为1.5m/s，B与A共速时有 求得 A达到与B共速时，所用时间 可得物块B相对木板A滑动的距离为 则最终物块B与木板A右端的距离为，故D错误。 故选ABC。 【模型2　子弹打木块模型】 【模型剖析】 1、模型图例 2、模型特点 (1)子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒． (2)在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化 3、情景分析： 子弹以水平速度射向原来静止的木块，并留在木块中跟木块共同运动。这是一种完全非弹性碰撞。 设平均阻力大小为，设子弹、木块的位移大小分别为、，如图所示，显然有， 对子弹用动能定理： 对木块用动能定理： 则有：，这个式子的物理意义是：恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积。 4、结果讨论 (1)子弹留在木块中(未穿出) 若d=L（木块的长度）时，说明子弹刚好穿过木块，子弹和木块具有共同速度v。 若d＜L（木块的长度）时，说明子弹未能穿过木块，最终子弹留在木块中，子弹和木块具有共同速度v。 ①动量守恒：mv0＝(m＋M)v ②机械能损失(摩擦生热)Q热＝Ff·d＝mv02－(m＋M)v2 其中d为子弹射入木块的深度． (2)子弹穿出木块 若d＞L（木块的长度）时，说明子弹能穿过木块，子弹射穿木块时的速度大于木块的速度。设穿过木块后子弹的速度为v1，木块的速度为v2，则有： ①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2 ②机械能的损失(摩擦生热)Q热＝Ff·L＝mv02－mv12－Mv22 【题目示例】 如图所示，细线下吊着一个质量为的静止沙袋，沙袋到细线上端悬挂点的距离为l。一颗质量为m的子弹在极短时间内水平射入沙袋并留在其中，和沙袋一起上摆。已知沙袋摆动时摆线的最大偏角是。将子弹射入沙袋叫做Ⅰ过程，子弹和沙袋一起上摆叫做Ⅱ过程，在这两个过程中，不考虑空气阻力，则关于子弹和沙袋组成的系统，下列说法中正确的是（　　） A．第Ⅰ、Ⅱ两阶段机械能、动量都守恒 B．第Ⅰ阶段动量守恒，第Ⅱ阶段机械能守恒 C．子弹射入沙袋前的速度大小为 D．子弹射入沙袋前的速度大小为 【推理过程】 【详解】AB．子弹射入沙袋过程中系统的内力远大于外力，可知系统动量守恒；由于子弹打入沙袋过程中有内能产生，则系统的机械能不守恒；而上摆的过程，动量不守恒，但只有重力做功，系统的机械能守恒，故A错误，B正确； CD．子弹射入沙袋过程动量守恒，有 子弹射入沙袋后由机械能守恒定律，有 联立解得子弹射入沙袋前的速度为，故CD错误。 故选B。 【模型3　滑块+弹簧模型】 【模型剖析】 (1)对于光滑水平面上的弹簧类问题，在作用过程中，系统所受的合外力为零，满足动量守恒的条件。 模型 速度—时间图像 规律 情况一：从原长到最短（或最长）时 ①；② 情况二：从原长先到最短（或最长）再恢复原长时 ①；② (2)整个过程涉及弹性势能、动能，还可能涉及内能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。 (3)弹簧压缩至最短时，弹簧连接的两物体速度相同，此时弹簧的弹性势能最大。 【注意】临界思想：A、B 两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大。 【题目示例】 如图甲所示，在足够大的光滑水平面上放有两个物块，其中物块连接一个轻弹簧并处于静止状态，质量为的物块以初速度向着物块运动，在物块与弹簧发生相互作用的全过程中，的速度和的速度之间的关系如图乙所示，物块始终保持直线运动，则下列说法正确的是（　　） A．物块做匀减速运动 B．物块的质量为 C．弹簧最短时和的速度为 D．弹簧储存的最大弹性势能为 【推理过程】 【详解】A．物块A接触弹簧靠近B时，弹簧压缩形变逐渐增大，A所受合力逐渐增大，可知，A接触弹簧后开始做加速度增大的变减速直线运动，故A错误； B．令B的质量为M，对A、B构成的系统，根据动量守恒定律有 变形得，结合图乙可知斜率的绝对值为，物块的质量为，故B正确； C．弹簧压缩至最短时，A和B的速度相等，根据动量守恒定律有 又，解得，故C错误； D．弹簧压缩至最短时，A和B的速度相等，此时弹簧的弹性势能达到最大值，则有，故D正确。 故选BD。 【模型4　小球+曲面模型】 【模型剖析】 1、模型图例 2、模型解读 (1)在光滑水平面上，把滑块、光滑弧面(斜面)看作一个整体，它们之间的作用力为内力，滑块和弧面(斜面)组成的系统在水平方向动量守恒。 (2)由于只有动能和重力势能之间的转化，所以系统机械能守恒，应用机械能守恒定律或能量守恒定律求解问题。 (3)滑块到达弧面(斜面)最高点时(滑块竖直方向的速度为零)二者有共同速度。 3.模型临界问题 （1）上升到最大高度时：m与M具有共同的水平速度v共，此时m的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒：mv0＝(M＋m)v共，系统机械能守恒：mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m的重力势能)。 （2）返回最低点时：m与M的分离点．相当于完成了弹性碰撞，分离瞬间m与M的速度可以用弹性碰撞中一动碰一静的结论得到水平方向动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2，系统机械能守恒：mv02＝mv12＋Mv22，相当于完成了弹性碰撞。 【注意】该模型的临界问题为：小球上升最高时，m、M 速度必定相等 小球—滑环模型（如下图所示）也是水平方向动量守恒和机械能守恒。 【题目示例】 如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为、，作出图像如图乙所示，重力加速度为，不考虑任何阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．小球运动到最高点时的速度为 C．小球能够上升的最大高度为 D．若，小球在与圆弧滑块分离后向左做平抛运动 【推理过程】 【详解】A．设小球的质量为，初速度为，在水平方向上由动量守恒定律有 解得 结合图乙有， 解得，，故A正确； B．小球运动到最高点时，竖直方向速度为零，在水平方向上与滑块具有相同的速度，在水平方向上由动量守恒定律得 结合上述解得，故B错误； C．小球从开始运动到最高点的过程中，由能量守恒定律 结合上述解得，故C错误； D．分离时有由动量守恒定律 机械能守恒定律 结合上述解得 当时有，即小球水平方向的速度方向向左，所以小球与圆弧分离后将向左做平抛运动，故D正确。 故选AD。 1. 如图所示，在光滑的水平面上静止放一质量为m的木板B，木板表面光滑，左端固定一轻质弹簧。质量为2m的木块A以速度从板的右端水平向左滑上木板B，在木块A与弹簧相互作用的过程中，下列判断正确的是（　　） A．弹簧压缩量最大时，B板运动速率最大 B．板的加速度一直增大 C．弹簧给木块A的冲量大小为 D．弹簧的最大弹性势能为 【答案】C 【详解】A．当木块与长木板速度相等时，弹簧的压缩量最大，此后弹簧要恢复原状，木板B受到向左的弹力，木板还要进一步加速，故A错误； B．木块与木板发生弹性碰撞，弹簧压缩量先增大后减小，故B板受到的弹力先大后小，故B的加速度先增大后减小，故B错误； C．木块与木板发生弹性碰撞，动量守恒，机械能也守恒，规定向左为正方向，则有 联立解得 对木块A，根据动量定理有 故弹簧给木块A的冲量大小为，故C正确； D．当木块与长木板速度相等时，则有 联立解得弹簧的最大弹性势能，故D错误。 故选C。 2. 如图所示，质量为1kg的“”型长木板放置在水平面上，长木板与水平地面之间动摩擦因数。质量均为0.5kg的滑块A、B放在长木板上，与木板之间的动摩擦因数均为，初始时滑块A、B之间的距离为1.8m，滑块A和长木板之间连接有一处于原长状态的弹簧，弹簧的弹性系数为50N/m，某时刻给滑块B一个的初速度，方向向左，滑块B和A碰后粘连在一起。最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．滑块B与A碰撞前瞬间的速度为4m/s B．滑块B和A由于碰撞损失的机械能为2J C．长木板刚滑动时弹簧的压缩量为0.15m D．长木板刚滑动前因摩擦产生的热量为2.25J 【答案】ABC 【详解】 设“”型长木板的质量为mC = 1kg A．因为 可知B碰A前木板处于静止状态，故对B有 代入题中数据，解得滑块B与A碰撞前瞬间的速度，故A正确； B．规定向左为正方向，B碰A过程，由动量守恒有 碰撞损失的机械能 联立解得，故B正确； C．长木板刚滑动时，对木板有 解得，故C正确； D．长木板刚滑动前因摩擦产生的热量 联立解得，故D错误。 故选ABC。 3. 如图甲所示，a、b两物块（均视为质点）用轻质弹簧连接并放置在光滑的水平面上，b的质量为m。t=0时刻，使a获得水平向右、大小为v0的初速度，a、b运动的速度—时间图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的弹性势能，其中x为弹簧的形变量，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．a的质量为2m B．t2时刻，a、b间的距离最大 C．0-t3时间内，b所受冲量的大小为 D．图乙中阴影部分的面积为 【答案】ACD 【详解】A．设a的质量为，以水平向右的方向为正方向，由动量守恒定律可得 解得，故A正确； B．根据图乙可知，时刻之前a的速度大于b的速度，时刻a的速度等于b的速度，则时刻弹簧被压缩最短，此时a、b间的距离最小，接着弹簧逐渐恢复原长，在时刻a的速度最小、b的速度最大，此时弹簧恢复原长，故时刻a、b间的距离并非最大，接着弹簧继续伸长，a的速度增大、b的速度减小，在时刻两者共速，此时两物块相距最远，因此时刻a、b间的距离最大，故B错误； C．时间内，以水平向右的方向为正方向，对b由动量定理可得，故C正确； D．图中阴影部分的面积为弹簧的最大压缩量，根据能量守恒定律可得 解得 即图乙中阴影部分的面积为，故D正确。 故选ACD。 4. 如图所示，光滑水平面上有一质量为2kg、半径为0.8m的光滑圆弧曲面C，质量为2kg的小球B置于其底端，另一个质量为1kg的小球A以v0=6m/s的速度向B运动，并与B发生弹性碰撞，小球均可视为质点，不计一切摩擦，g=10m/s2，则（　　） A．B恰好上升到圆弧曲面C的顶端 B．B运动到最高点时的速率为2m/s C．C的最终速率为4m/s D．B能与A再次发生碰撞 【答案】BC 【详解】AB．规定向右为正方向，A碰B过程有 解得碰后AB的速度分别为 当B运动到最高点时BC共速，则有 联立解得 可知B不能滑到C顶端，B运动到最高点时的速率为2m/s，故A错误，B正确； CD．当B返回到C底端时有 联立解得此时BC速度分别为 可知C的最终速率为4m/s，B不能与A再次发生碰撞，故C正确，D错误。 故选BC。 5. 如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为、，作出图像如图乙所示，重力加速度为，不考虑任何阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．小球运动到最高点时的速度为 C．小球能够上升的最大高度为 D．若，小球在与圆弧滑块分离后向左做平抛运动 【答案】ABD 【详解】A．设小球的质量为，初速度为，在水平方向上由动量守恒定律有 解得 结合图乙有， 解得，故A正确； B．小球运动到最高点时，竖直方向速度为零，在水平方向上与滑块具有相同的速度，在水平方向上由动量守恒定律得 结合上述解得，故B正确； C．小球从开始运动到最高点的过程中，由能量守恒定律 结合上述解得，故C错误； D．分离时有由动量守恒定律 机械能守恒定律 结合上述解得 当时有 即小球水平方向的速度方向向左，所以小球与圆弧分离后将向左做平抛运动，故D正确。 故选ABD。 6. 质量为2m、长为L的长木板c静止在光滑水平面上，质量为m的物块b放在c的正中央，质量为m的物块a以大小为的速度从c的左端滑上c，a与b发生弹性正碰，最终b刚好到c的右端与c相对静止，不计物块大小，物块a、b与c间动摩擦因数相同，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．a与b碰撞前b与c保持相对静止 B．a与b碰撞后，a与b都相对c滑动 C．物块与木板间的动摩擦因数为 D．整个过程因摩擦产生的内能为 【答案】AC 【详解】A．a滑上c后相对滑动过程中，假设b相对c静止，对b、c整体，根据牛顿第二定律有 对b有 解得 可知b与c间的静摩擦力小于最大静摩擦力，则b相对c保持静止，故a与b碰撞前b与c保持相对静止，故A正确； B．等质量的a、b发生弹性碰撞，会互换速度，由A选项的分析可知，碰前b、c相对静止，碰后a、c亦会相对静止一起运动，故B错误； CD．b刚好滑到c的右端与c相对静止，a、b、c共速，设共同速度为，a、b、c组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得 根据能量守恒有 其中 联立解得，故C正确，D错误。 故选AC。 7. 如图所示，质量为M的长木板A在光滑水平面上，以大小为v0的速度向左运动，一质量为m的小木块B（可视为质点），以大小也为v0的速度水平向右运动冲上木板左端，B、A间动摩擦因数为μ，最后B不会滑离A，已知，重力加速度为g，求： (1)A、B最后的速度； (2)求全过程A、B系统损失的机械能∆E； (3)木板A的最短长度。 【答案】(1),方向向左 (2) (3) 【详解】（1）由题意可知A、B最后共速，设为v，以向左为正方向；由动量守恒定律有 解得 方向向左。 （2）由 得全过程A、B系统损失的机械能 （3）设平板车的最短长度为l，则由功能关系 解得 8. 如图所示，一质量为7m的长木板A 静置于光滑水平面上，距其右端 处有一与A 等高的固定平台，一质量为m的滑块B静置于这个光滑平台上。B的正上方有一质量为3m的滑块C套在固定的光滑水平细杆上，B和C通过一轻质弹簧连接。一质量为2m的小滑块D以的初速度向右滑上A 的最左端，并带动A向右运动，A与平台发生碰撞的瞬间，D恰好滑到平台上，随即与B发生碰撞并粘在一起向右运动。已知 A与D间的动摩擦因数为 B、C、D均可看作质点，BD组合体在随后的运动过程中一直没有离开平台，且C没有滑离细杆，重力加速度 且不考虑空气阻力。求： (1)滑块 D 滑上平台时速度的大小； (2)长木板A 的长度； (3)若弹簧第一次恢复原长时，C的速度大小为 则随后运动过程中弹簧的最大弹性势能为多少？ 【答案】(1) (2)0.5m (3) 【详解】（1）假设A和D共速，设共速时速度为v1，由动量守恒定律 解得 对A，设其加速度为a，根据牛顿第二定律 可得a=2m/s2 其加速为v1的位移为s1，根据运动学公式 解得 s1等于d，即AD恰好共速，D滑到平台的速度； （2）设A长度为L，D在A上滑动的全过程中，对AD系统，由能量守恒 解得L=0.5m （3）D与B相碰后，设速度为v3，由动量守恒定律 解得 此时BCD系统的动能 弹簧原长时，设BD整体速度v3，对BCD系统，由动量守恒定律，若C的速度向右 解得 此时BCD系统的动能为，与实际不符，舍掉； 若C的速度向左， 解得 此时BCD系统的动能为 当BD整体与C速度相等时，弹簧的弹性势能最大，对BCD系统，由动量守恒 弹性势能 解得 9. 如图所示，小球A质量为m，系在细线的一端，线的另一端固定在O点，O点到光滑水平面的距离为h。物块B和C的质量分别是5m和3m，B与C用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面上，且B物块位于O点正下方。现拉动小球使细线水平伸直，小球由静止释放，运动到最低点时与物块B发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升到最高点时到水平面的距离为。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)碰撞后小球A反弹的速度大小； (2)碰后轻弹簧获得的最大弹性势能； (3)物块C的最大速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设碰撞后小球A反弹的速度大小为，根据机械能守恒定律有＝ 解得 （2）设小球A运动到最低点与物块B碰撞前的速度大小为，取小球运动到最低点时的重力势能为零，根据机械能守恒定律有 解得 取向右为正方向，小球A与物块B碰撞后，物块B的速度为，根据动量守恒有 解得 当物块B与物块C速度相等时轻弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒定律有 解得 根据机械能守恒定律 解得 （3）对物块B与物块C在弹簧回到原长时，物块C有最大速度，根据据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 联立解得 10. 如图所示，物体A、B均静止在光滑水平面上，其质量分别为、。物体A和轻质弹簧连接，将弹簧压缩后A、B之间用细绳连接，此时弹簧的弹性势能为。某时刻剪断细绳，A、B分离后，B滑上粗糙斜面，然后滑下，之后与一直在水平面上运动的A再次发生弹性碰撞，一段时间后B再次滑上斜面，在斜面运动的最大位移与第一次之比为1：64 。已知A、B分离时物块B离斜面底端距离L=16m ，B从A、B分离到A、B再次相碰间隔时间为t=9.5s。求 (1)剪断细绳，弹簧恢复原长时A、B的速度大小； (2)物块B与斜面间的动摩擦因数与斜面倾角的正切值之比； (3)B从A、B分离到A、B再次相碰过程中，物体B在斜面上运动的时间。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设弹簧恢复原长时A、B的速度分别为、，以水平向右为正方向，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 代入数据联立解得物体A的速度为 即物体A的速度大小为，方向水平向左；物体B的速度为 即物体B的速度大小为，方向水平向右。 （2）设B第一次在斜面上运动的最大位移为，第二次在斜面上运动的最大位移为，B第一次返回水平面的速度为，A、B再次碰撞后的速度分别为、。B在斜面上向上运动时，设其加速度为，由牛顿第二定律有 由运动学公式可知B第一次冲上斜面时有 同理B第二次冲上斜面时有 由题意可知 联立解得 A、B第二次碰撞时，设向右为正方向，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 联立解得， 设B在斜面上下滑时的加速度为，由牛顿第二定律有 B第一次在斜面上下滑时有 联立解得 （3）B从A、B分离到第一次冲上斜面前的时间为 从A、B分离到A、B再次相碰过程中A向左运动的总位移为 设B从斜面上返回后在水平面上运动追上A的时间为，则有 所以物体B在斜面上运动的时间为 11. 如图所示，质量为2m的小物块B和质量为m的小物块C均静止在足够长的光滑水平面上，小物块C左端固定一轻质弹簧，弹簧处于原长状态。质量为2m的小球A以初速度v₀沿水平面向右运动，与小物块B发生弹性正碰（碰撞时间极短）。A、B和C均可视为质点，取重力加速度大小为g，不计空气阻力。求： (1)小球A与小物块B碰撞后，小物块B的速度vB的大小； (2)弹簧的最大弹性势能； (3)小物块C的最大速度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球A和物块B碰撞过程中，根据动量守恒以及机械能守恒有， 解得 （2）当B、C共速时，弹簧压缩量最大，弹簧具有最大弹性势能，根据物块B、C和弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒有， 解得 （3）当弹簧恢复原长时，物块C达到最大速度，根据物块B、C和弹簧组成的系统动量守恒、机械能守恒有， 解得 12. 如图甲所示，带有竖直四分之一圆弧轨道的固定件A固定在光滑的水平台面上，圆弧轨道最低点与表面光滑的滑板B上表面平滑相切，滑板B左侧有足够长的水平光滑延长板，延长板穿过固定件A的水平孔，并且可以无摩擦滑动，滑板B右端有一垂直挡板，挡板上固定一个轻弹簧，滑板B初始时与台面锁定。质量为m的光滑小球自圆弧轨道的左侧最高处由静止释放，当小球将弹簧压缩至最短时，解除滑板B的锁定，小球的动能与弹簧形变量的关系如图乙所示，已知圆弧轨道半径为R、小球质量为m、弹簧第一次被压缩至最短时的形变量为，重力加速度为g。求： (1)小球运动至圆弧轨道最低点时，轨道对小球的支持力大小； (2)滑板B的质量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球从光滑四分之一圆弧轨道的最高点由静止释放，运动到圆弧轨道的最低点，根据机械能守恒定律有 小球经过圆弧轨道的最低点时，根据牛顿第二定律有 解得 （2）小球压缩弹簧过程中，将小球到达滑板B的初始动能全部转化为弹簧的弹性势能，即 当锁定解除弹簧完全弹开，小球与滑板B在水平方向上动量守恒，则有 小球、滑板B系统机械能守恒，则有， 联立可解得 13. 如图所示，水平面上放置着半径为、圆心角为的圆弧轨道，一个可视为质点的小球以初速度冲上圆弧轨道。已知圆弧轨道质量，小球质量，重力加速度大小为，不计一切摩擦和空气阻力，小球从圆弧轨道飞出时，速度方向恰好跟水平方向成角，求： (1)圆弧的半径； (2)小球飞出圆弧轨道时，小球和圆弧轨道的速度； (3)若小球从圆弧轨道飞出时，圆弧向右运动的距离为，小球在轨道上运动时间。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）小球以初速度v0滑上圆弧轨道，小球与圆弧轨道产生相互作用，因此小球从滑上圆弧到飞离圆弧的运动中，小球与圆弧轨道组成的系统在水平方向动量守恒，机械能守恒，因此小球有两个分速度，其中v1是相对轨道的速度，与圆弧相切，v2是随轨道运动的速度，方向水平，如图所示 由几何关系，可知与v2成60°角，v与v2成30°角，则与v成30°角，所以四边形是菱形，则有， 由水平方向动量守恒可得 由系统机械能守恒可得 联立解得圆弧半径为 （2）由水平方向动量守恒可得 可得小球飞出时圆弧轨道的速度为 根据矢量三角形可得小球飞出圆弧轨道时速度大小为 （3）根据题意可知，小球与圆弧轨道水平方向动量守恒，则有 设小球在轨道上运动时间为t，则有 整理可得 解得 14. 如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为2m的滑块，滑块右侧面的光滑圆弧形槽的半径为R，末端切线水平，圆弧形槽末端离地面的距离为。质量为m的小球（可视为质点）从圆弧形槽顶端由静止释放，与滑块分离后做平抛运动，重力加速度大小为g。 (1)小球运动至圆弧形槽末端时，小球的速度大小和滑块的速度大小分别为多少？ (2)小球落地时的动能为多少？ 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）滑块、小球组成的系统水平方向动量守恒，则当小球运动至圆弧形槽末端时，滑块的动能最大，规定向右为正方向，根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律可得 联立解得， （2）方法一：小球离开滑块后用动能定理 小球落地时的动能为 方法二：小球做平抛运动，落地时竖直方向有 则 故 15. 如图所示，质量为3m的四分之一光滑圆弧体A锁定在光滑的水平面上，圆弧面的最低点刚好与水平面相切，小球C静止在水平面上，质量为m的小球B在圆弧面的最高点由静止释放，运动到水平面时的速度大小为，不计小球大小，重力加速度为g。 (1)求小球B从圆弧面最高点运动到最低点过程中，合力对小球B的冲量大小； (2)解除对圆弧体的锁定，仍让小球B从圆弧面最高点由静止释放，则小球离开圆弧面时，圆弧体运动的距离为多少； (3)在（2）问的条件下，小球B离开圆弧面后向右运动与小球C发生弹性碰撞，要使碰撞后小球B不能再次运动到圆弧面上，小球C的质量应满足什么条件。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，由动量定理可得，小球B从圆弧面最高点运动到最低点过程中，合力对小球B的冲量大小 （2）根据题意，设圆弧的半径为，圆弧体锁定时，由机械能守恒定律有 解得 解除对圆弧体的锁定，小球B从圆弧面最高点运动到最低点过程中，水平方向上动量守恒，则有 即 又有 解得圆弧体运动的距离 （3）解除对圆弧体的锁定后，设小球离开圆弧面时速度大小为、圆弧体的速度大小为，根据机械能守恒定律和动量守恒定律有， 解得， 设小球C的质量为M，小球B与C碰撞，小球B被反弹后的速度大小等于时，小球B恰好不能再次运动到圆弧面上，设碰撞后C的速度大小为，根据动量守恒 根据机械能守恒定律有 解得 因此要使碰撞后小球B不能再次运动到圆弧面上，小球C的质量应满足的条件是。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 类碰撞模型 【模型1　滑块+木板模型】 【模型剖析】 模型图例 x1 v0 x2 x相对 m1 m2 v共 v共 速度-时间图像 动力学常用关系 功能常用关系 或 动量常用关系 模型特点： 把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒。 由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，ΔE＝Ff·s相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。 【题目示例】 如图1所示，质量为的木板A静置于光滑水平地面上，时刻物块B（可视为质点）以水平向右的初速度3m/s从木板A的左端滑入，此后两者的速度随时间变化的图像如图2所示。当时，物块B恰好到达木板A的右端。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．物块B的质量为1kg B．木板A的长度为3m C．物块B与木板A间的动摩擦因数为0.1 D．若只将物块B的初速度大小变为1.5m/s，则最终物块B与木板A右端的距离为1.5m 【推理过程】 【详解】AC．由图2，可求得B冲上A后，B减速运动时的加速度大小 A加速运动时的加速度大小 设B的质量为，根据牛顿第二定律有 对A，根据牛顿第二定律有 联立，代入数据求得物块B与木板A间的动摩擦因数为，，故AC正确； B．当时，物块B恰好到达木板A的右端，根据图线围成的面积表示位移，由图像围成的面积差，可求得木板A的长度为，故B正确； D．若只将物块B的初速度大小变为1.5m/s，B与A共速时有 求得 A达到与B共速时，所用时间 可得物块B相对木板A滑动的距离为 则最终物块B与木板A右端的距离为，故D错误。 故选ABC。 【模型2　子弹打木块模型】 【模型剖析】 1、模型图例 2、模型特点 (1)子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，系统动量守恒． (2)在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化 3、情景分析： 子弹以水平速度射向原来静止的木块，并留在木块中跟木块共同运动。这是一种完全非弹性碰撞。 设平均阻力大小为，设子弹、木块的位移大小分别为、，如图所示，显然有， 对子弹用动能定理： 对木块用动能定理： 则有：，这个式子的物理意义是：恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积。 4、结果讨论 (1)子弹留在木块中(未穿出) 若d=L（木块的长度）时，说明子弹刚好穿过木块，子弹和木块具有共同速度v。 若d＜L（木块的长度）时，说明子弹未能穿过木块，最终子弹留在木块中，子弹和木块具有共同速度v。 ①动量守恒：mv0＝(m＋M)v ②机械能损失(摩擦生热)Q热＝Ff·d＝mv02－(m＋M)v2 其中d为子弹射入木块的深度． (2)子弹穿出木块 若d＞L（木块的长度）时，说明子弹能穿过木块，子弹射穿木块时的速度大于木块的速度。设穿过木块后子弹的速度为v1，木块的速度为v2，则有： ①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2 ②机械能的损失(摩擦生热)Q热＝Ff·L＝mv02－mv12－Mv22 【题目示例】 如图所示，细线下吊着一个质量为的静止沙袋，沙袋到细线上端悬挂点的距离为l。一颗质量为m的子弹在极短时间内水平射入沙袋并留在其中，和沙袋一起上摆。已知沙袋摆动时摆线的最大偏角是。将子弹射入沙袋叫做Ⅰ过程，子弹和沙袋一起上摆叫做Ⅱ过程，在这两个过程中，不考虑空气阻力，则关于子弹和沙袋组成的系统，下列说法中正确的是（　　） A．第Ⅰ、Ⅱ两阶段机械能、动量都守恒 B．第Ⅰ阶段动量守恒，第Ⅱ阶段机械能守恒 C．子弹射入沙袋前的速度大小为 D．子弹射入沙袋前的速度大小为 【推理过程】 【详解】AB．子弹射入沙袋过程中系统的内力远大于外力，可知系统动量守恒；由于子弹打入沙袋过程中有内能产生，则系统的机械能不守恒；而上摆的过程，动量不守恒，但只有重力做功，系统的机械能守恒，故A错误，B正确； CD．子弹射入沙袋过程动量守恒，有 子弹射入沙袋后由机械能守恒定律，有 联立解得子弹射入沙袋前的速度为，故CD错误。 故选B。 【模型3　滑块+弹簧模型】 【模型剖析】 (1)对于光滑水平面上的弹簧类问题，在作用过程中，系统所受的合外力为零，满足动量守恒的条件。 模型 速度—时间图像 规律 情况一：从原长到最短（或最长）时 ①；② 情况二：从原长先到最短（或最长）再恢复原长时 ①；② (2)整个过程涉及弹性势能、动能，还可能涉及内能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。 (3)弹簧压缩至最短时，弹簧连接的两物体速度相同，此时弹簧的弹性势能最大。 【注意】临界思想：A、B 两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大。 【题目示例】 如图甲所示，在足够大的光滑水平面上放有两个物块，其中物块连接一个轻弹簧并处于静止状态，质量为的物块以初速度向着物块运动，在物块与弹簧发生相互作用的全过程中，的速度和的速度之间的关系如图乙所示，物块始终保持直线运动，则下列说法正确的是（　　） A．物块做匀减速运动 B．物块的质量为 C．弹簧最短时和的速度为 D．弹簧储存的最大弹性势能为 【推理过程】 【详解】A．物块A接触弹簧靠近B时，弹簧压缩形变逐渐增大，A所受合力逐渐增大，可知，A接触弹簧后开始做加速度增大的变减速直线运动，故A错误； B．令B的质量为M，对A、B构成的系统，根据动量守恒定律有 变形得，结合图乙可知斜率的绝对值为，物块的质量为，故B正确； C．弹簧压缩至最短时，A和B的速度相等，根据动量守恒定律有 又，解得，故C错误； D．弹簧压缩至最短时，A和B的速度相等，此时弹簧的弹性势能达到最大值，则有，故D正确。 故选BD。 【模型4　小球+曲面模型】 【模型剖析】 1、模型图例 2、模型解读 (1)在光滑水平面上，把滑块、光滑弧面(斜面)看作一个整体，它们之间的作用力为内力，滑块和弧面(斜面)组成的系统在水平方向动量守恒。 (2)由于只有动能和重力势能之间的转化，所以系统机械能守恒，应用机械能守恒定律或能量守恒定律求解问题。 (3)滑块到达弧面(斜面)最高点时(滑块竖直方向的速度为零)二者有共同速度。 3.模型临界问题 （1）上升到最大高度时：m与M具有共同的水平速度v共，此时m的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒：mv0＝(M＋m)v共，系统机械能守恒：mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m的重力势能)。 （2）返回最低点时：m与M的分离点．相当于完成了弹性碰撞，分离瞬间m与M的速度可以用弹性碰撞中一动碰一静的结论得到水平方向动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2，系统机械能守恒：mv02＝mv12＋Mv22，相当于完成了弹性碰撞。 【注意】该模型的临界问题为：小球上升最高时，m、M 速度必定相等 小球—滑环模型（如下图所示）也是水平方向动量守恒和机械能守恒。 【题目示例】 如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为、，作出图像如图乙所示，重力加速度为，不考虑任何阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．小球运动到最高点时的速度为 C．小球能够上升的最大高度为 D．若，小球在与圆弧滑块分离后向左做平抛运动 【推理过程】 【详解】A．设小球的质量为，初速度为，在水平方向上由动量守恒定律有 解得 结合图乙有， 解得，，故A正确； B．小球运动到最高点时，竖直方向速度为零，在水平方向上与滑块具有相同的速度，在水平方向上由动量守恒定律得 结合上述解得，故B错误； C．小球从开始运动到最高点的过程中，由能量守恒定律 结合上述解得，故C错误； D．分离时有由动量守恒定律 机械能守恒定律 结合上述解得 当时有，即小球水平方向的速度方向向左，所以小球与圆弧分离后将向左做平抛运动，故D正确。 故选AD。 1. 如图所示，在光滑的水平面上静止放一质量为m的木板B，木板表面光滑，左端固定一轻质弹簧。质量为2m的木块A以速度从板的右端水平向左滑上木板B，在木块A与弹簧相互作用的过程中，下列判断正确的是（　　） A．弹簧压缩量最大时，B板运动速率最大 B．板的加速度一直增大 C．弹簧给木块A的冲量大小为 D．弹簧的最大弹性势能为 2. 如图所示，质量为1kg的“”型长木板放置在水平面上，长木板与水平地面之间动摩擦因数。质量均为0.5kg的滑块A、B放在长木板上，与木板之间的动摩擦因数均为，初始时滑块A、B之间的距离为1.8m，滑块A和长木板之间连接有一处于原长状态的弹簧，弹簧的弹性系数为50N/m，某时刻给滑块B一个的初速度，方向向左，滑块B和A碰后粘连在一起。最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．滑块B与A碰撞前瞬间的速度为4m/s B．滑块B和A由于碰撞损失的机械能为2J C．长木板刚滑动时弹簧的压缩量为0.15m D．长木板刚滑动前因摩擦产生的热量为2.25J 3. 如图甲所示，a、b两物块（均视为质点）用轻质弹簧连接并放置在光滑的水平面上，b的质量为m。t=0时刻，使a获得水平向右、大小为v0的初速度，a、b运动的速度—时间图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的弹性势能，其中x为弹簧的形变量，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．a的质量为2m B．t2时刻，a、b间的距离最大 C．0-t3时间内，b所受冲量的大小为 D．图乙中阴影部分的面积为 4. 如图所示，光滑水平面上有一质量为2kg、半径为0.8m的光滑圆弧曲面C，质量为2kg的小球B置于其底端，另一个质量为1kg的小球A以v0=6m/s的速度向B运动，并与B发生弹性碰撞，小球均可视为质点，不计一切摩擦，g=10m/s2，则（　　） A．B恰好上升到圆弧曲面C的顶端 B．B运动到最高点时的速率为2m/s C．C的最终速率为4m/s D．B能与A再次发生碰撞 5. 如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为、，作出图像如图乙所示，重力加速度为，不考虑任何阻力，则下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为 B．小球运动到最高点时的速度为 C．小球能够上升的最大高度为 D．若，小球在与圆弧滑块分离后向左做平抛运动 6. 质量为2m、长为L的长木板c静止在光滑水平面上，质量为m的物块b放在c的正中央，质量为m的物块a以大小为的速度从c的左端滑上c，a与b发生弹性正碰，最终b刚好到c的右端与c相对静止，不计物块大小，物块a、b与c间动摩擦因数相同，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．a与b碰撞前b与c保持相对静止 B．a与b碰撞后，a与b都相对c滑动 C．物块与木板间的动摩擦因数为 D．整个过程因摩擦产生的内能为 7. 如图所示，质量为M的长木板A在光滑水平面上，以大小为v0的速度向左运动，一质量为m的小木块B（可视为质点），以大小也为v0的速度水平向右运动冲上木板左端，B、A间动摩擦因数为μ，最后B不会滑离A，已知，重力加速度为g，求： (1)A、B最后的速度； (2)求全过程A、B系统损失的机械能∆E； (3)木板A的最短长度。 8. 如图所示，一质量为7m的长木板A 静置于光滑水平面上，距其右端 处有一与A 等高的固定平台，一质量为m的滑块B静置于这个光滑平台上。B的正上方有一质量为3m的滑块C套在固定的光滑水平细杆上，B和C通过一轻质弹簧连接。一质量为2m的小滑块D以的初速度向右滑上A 的最左端，并带动A向右运动，A与平台发生碰撞的瞬间，D恰好滑到平台上，随即与B发生碰撞并粘在一起向右运动。已知 A与D间的动摩擦因数为 B、C、D均可看作质点，BD组合体在随后的运动过程中一直没有离开平台，且C没有滑离细杆，重力加速度 且不考虑空气阻力。求： (1)滑块 D 滑上平台时速度的大小； (2)长木板A 的长度； (3)若弹簧第一次恢复原长时，C的速度大小为 则随后运动过程中弹簧的最大弹性势能为多少？ 9. 如图所示，小球A质量为m，系在细线的一端，线的另一端固定在O点，O点到光滑水平面的距离为h。物块B和C的质量分别是5m和3m，B与C用轻弹簧拴接，置于光滑的水平面上，且B物块位于O点正下方。现拉动小球使细线水平伸直，小球由静止释放，运动到最低点时与物块B发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升到最高点时到水平面的距离为。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求： (1)碰撞后小球A反弹的速度大小； (2)碰后轻弹簧获得的最大弹性势能； (3)物块C的最大速度大小。 10. 如图所示，物体A、B均静止在光滑水平面上，其质量分别为、。物体A和轻质弹簧连接，将弹簧压缩后A、B之间用细绳连接，此时弹簧的弹性势能为。某时刻剪断细绳，A、B分离后，B滑上粗糙斜面，然后滑下，之后与一直在水平面上运动的A再次发生弹性碰撞，一段时间后B再次滑上斜面，在斜面运动的最大位移与第一次之比为1：64 。已知A、B分离时物块B离斜面底端距离L=16m ，B从A、B分离到A、B再次相碰间隔时间为t=9.5s。求 (1)剪断细绳，弹簧恢复原长时A、B的速度大小； (2)物块B与斜面间的动摩擦因数与斜面倾角的正切值之比； (3)B从A、B分离到A、B再次相碰过程中，物体B在斜面上运动的时间。 11. 如图所示，质量为2m的小物块B和质量为m的小物块C均静止在足够长的光滑水平面上，小物块C左端固定一轻质弹簧，弹簧处于原长状态。质量为2m的小球A以初速度v₀沿水平面向右运动，与小物块B发生弹性正碰（碰撞时间极短）。A、B和C均可视为质点，取重力加速度大小为g，不计空气阻力。求： (1)小球A与小物块B碰撞后，小物块B的速度vB的大小； (2)弹簧的最大弹性势能； (3)小物块C的最大速度的大小。 12. 如图甲所示，带有竖直四分之一圆弧轨道的固定件A固定在光滑的水平台面上，圆弧轨道最低点与表面光滑的滑板B上表面平滑相切，滑板B左侧有足够长的水平光滑延长板，延长板穿过固定件A的水平孔，并且可以无摩擦滑动，滑板B右端有一垂直挡板，挡板上固定一个轻弹簧，滑板B初始时与台面锁定。质量为m的光滑小球自圆弧轨道的左侧最高处由静止释放，当小球将弹簧压缩至最短时，解除滑板B的锁定，小球的动能与弹簧形变量的关系如图乙所示，已知圆弧轨道半径为R、小球质量为m、弹簧第一次被压缩至最短时的形变量为，重力加速度为g。求： (1)小球运动至圆弧轨道最低点时，轨道对小球的支持力大小； (2)滑板B的质量。 13. 如图所示，水平面上放置着半径为、圆心角为的圆弧轨道，一个可视为质点的小球以初速度冲上圆弧轨道。已知圆弧轨道质量，小球质量，重力加速度大小为，不计一切摩擦和空气阻力，小球从圆弧轨道飞出时，速度方向恰好跟水平方向成角，求： (1)圆弧的半径； (2)小球飞出圆弧轨道时，小球和圆弧轨道的速度； (3)若小球从圆弧轨道飞出时，圆弧向右运动的距离为，小球在轨道上运动时间。 14. 如图所示，在足够大的光滑水平地面上，静置一质量为2m的滑块，滑块右侧面的光滑圆弧形槽的半径为R，末端切线水平，圆弧形槽末端离地面的距离为。质量为m的小球（可视为质点）从圆弧形槽顶端由静止释放，与滑块分离后做平抛运动，重力加速度大小为g。 (1)小球运动至圆弧形槽末端时，小球的速度大小和滑块的速度大小分别为多少？ (2)小球落地时的动能为多少？ 15. 如图所示，质量为3m的四分之一光滑圆弧体A锁定在光滑的水平面上，圆弧面的最低点刚好与水平面相切，小球C静止在水平面上，质量为m的小球B在圆弧面的最高点由静止释放，运动到水平面时的速度大小为，不计小球大小，重力加速度为g。 (1)求小球B从圆弧面最高点运动到最低点过程中，合力对小球B的冲量大小； (2)解除对圆弧体的锁定，仍让小球B从圆弧面最高点由静止释放，则小球离开圆弧面时，圆弧体运动的距离为多少； (3)在（2）问的条件下，小球B离开圆弧面后向右运动与小球C发生弹性碰撞，要使碰撞后小球B不能再次运动到圆弧面上，小球C的质量应满足什么条件。 学科网（北京）股份有限公司 $