专题02 解直角三角形重要模型之新定义模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级下册

专题02.解直角三角形模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.新定义模型 5 15 该模型通过初中几何方法诠释高中三角函数定理（如正弦定理、余弦定理等），将复杂三角关系转化为可操作的几何结构‌。例如，通过作高将任意三角形拆分为直角三角形，利用边长比例关系推导正弦定理，揭示三角形边角统一性‌。中考命题者将高中数学概念（如向量、解析几何）初中化处理，通过“知识包装”形式设计试题，既保留初中数学特点，又融入高中思维深度‌。典型如将坐标系与三角函数结合，构建跨学段解题逻。 （2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，  ∴， 在中，，  ∴， ∴，即， 同理，在中，_____，在中，_____，∴___________， 即，∴； 【结论应用】（2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】（3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】（4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）． 【详解】（1）解：同理，在中，， 在中  ，，∴， 即，∴； 故答案为：，，，； （2）解：，， 由（1）知：，，， ，，； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径，， 在中，，∴， 在中，，  ∴， ∴ ，同理，在中，， 在中，可得，， ∴； （4）解：过O作，连接，， ，，，， ，，在中，，， ，当时，最小，此时也最小， 过A作于，在中，， ，，长度的最小值是，故答案为：． 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 模型1.新定义模型 例1（2025·安徽蚌埠·三模）【阅读理解】（1）已知∶如图1，在中，， 于点D． 在中， 在中， ，   ．，即 进一步可得正弦定理： 即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 【问题解决】（2）结合正弦定理，尝试求解如下问题： 某校学生利用正弦定理知识进行数学实践活动．如图2，A处有一栋大楼，该学生选择B，C两处作为测量点，测得的距离为， ，在C 处测得大楼楼顶D的仰角α为 求大楼的高度．(需运用正弦定理求解，结果保留整数，参考数据： ) 【答案】（1）， ；（2）大楼的高度约为 【详解】解∶(1) 在中， 在中，， ．，即 故答案为：， ； (2)在中， ． 根据正弦定理，可知 ， 在中，根据题意得：， ． 答：大楼的高度约为． 例2（24-25九年级上·湖南常德·期末）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为： ；； 现已知在中，，， ，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ，， ∴即 化简整理得： 解得：，（舍去），即，故选：B． 例3（24-25九年级上·宁夏银川·期末）任意三角形的面积都有如下结论：中，所对应的边分别为a，b，c，则三角形的面积可以表示为，对于这个结论，小明进行了实践探究： (1)实践探究：请你利用如图①所示的已知条件验证上述结论是否正确，并说明理由： (2)拓展、延伸：某工业区为了扩大绿化面积，准备在如图②所示的荒地上铺满草坪，经过测量，长为15米，长为20米，之间的夹角为，请运用上面的结论求草坪的面积．（参考数据：结果精确到米） 【答案】(1)正确，见解析(2)草坪的面积约为 【详解】（1）解：正确．理由如下：如图，过点A作于点D， ，，； （2）解：，由题中三角形的面积可以表示为， ．答：草坪的面积约为． 例4（2024·湖北·九年级专题练习）【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①；②；③．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1)求的值；(2)如图，一架直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高； (3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点处往正东方向飞多远，居民在点处看飞机的仰角恰好是． 【答案】(1)(2)84米(3)飞机再飞168米可使点看飞机的仰角为 【详解】（1）解： ； （2）解：如图，延长交于点， ∵，米， ∴米， ∵，米∴、垂直距离为ED=米， ∴米．答：建筑物的高为84米． （3）解：延长交于点，作交于点，并使， ∴米，由（2）得、垂直距离米， ∵，， ∴，∴米，∴米． 答：飞机再飞168米可使点看飞机的仰角为． 例5（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）一般地，当，为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：；． 例如． 类似地， 求的值． 【答案】，，； 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算；根据公式结合特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： ； 故答案为：，，． ； 或 ．即 例6（2025·河北·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ，， ，， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析(2)成立，见解析(3) 【详解】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下：在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下：在中，，，， ∴，∴． 例7（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．类似的：可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）． 如图2，在中，，顶角A的正对记作，这时， 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的；根据上述角的正对的定义，解答下列问题： (1)直接写出的值为 ；(2)若为钝角，则的正对值的取值范围是 ； (3)已知其中为锐角，求的值；(4)在中，，，求的值． 【答案】(1)1(2)(3)(4) 【详解】（1）解：根据题意得，，故答案为：1； （2）解：如图3所示，当时，； 当时，点为线段的中点，此时，接近于2； ∴的取值范围是，故答案为：； （3）解：如图所示，由得，，令， 则由勾股定理得， 延长至点，使，∴， 由勾股定理得，∴； （4）解：如图所示，在上截取， ∵，∴， ∴，∴， ∴，，∴， 令，设，则， 即，解得，（负值已舍），∴． 例8（24-25九年级·山东滨州·自主招生）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ．    阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． (1)如图3，，，若，则______，______； (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， 由三角函数的定义可得，， 由材料可得：，故答案为：， （2）解：取的中点，连接，过点作于点，如下图：    则，，，， 在中，，，， ，在中，， ，，． 例9（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)的值为或(3) 【详解】（1）解：如图1，，点在第四象限，，， ，，，， 、、中的正值是，故答案为：． （2）解：直线经过原点和第一、第三象限，且角的终边与直线重合， 点在第一象限或第三象限，且可以表示为，作轴于点． 如图2，点在第一象限，则，， ，； 如图3，点在第三象限，则，， ，； 综上所述，的值为或． （3）解：如图4，角是钝角，且点是角终边上一点，点在第二象限， 作轴于点，，且，，解得：， ，，， 1．（2024·四川宜宾·模拟预测）阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到，所以类．类比这种方法，请你计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图：在中，使得，，延长到点D，使，连接， ∵是的一个外角，∴． ∵，∴，∴， 设，则，∴， 在中，．故选：A． 2．（2025·广西河池·一模）【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则，∴， ∴． 同理可得，，即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里． (1)求的面积；(2)求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意知：海里，海里，由结论①知： ． ∴的面积为平方海里． （2）解：如图：由（1）知， ∴是等边三角形，∴海里， 又∵，∴，由题意知， ∴，由题意可得：， ∴海里． 3（2024·湖南衡阳·模拟预测）【材料阅读】如图1，在△ABC中，设的对边分别为a，b，c，过点A作，垂足为D，会有，则=，即，同理，．有以上三式可得： 正弦定理：，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理 如图2，在中，设的对边分别为a，b，c，则① ② ③ 用以上的公式和定理解决问题： 【简单应用】（1）在锐角中，设的对边分别为a，b，c，且，求； （2）如图3，在中，，，求的面积与周长． 【灵活应用】（3）如图4，在中，角所对的边分别为，已知，的面积为，设为的中点，且，求的周长．（参考数据：）    【答案】（1）；（2）的面积为，周长为18；（3） 【详解】解：（1）∵，∴， ∵，∴，即，∴； （2）∵在中，，，∴， ，∴（负值舍去）， ∴周长； （3）∵在中，，的面积为， ∴，则，延长，使得，连接，      ∵为的中点，∴，又，∴， ∴，，∴，则， 在中，，， ∴，则， ∴在中，，∴（负值舍去）， ∵,∴（负值舍去）， ∴的周长为． 4．（2024·山西大同·三模）阅读与思考 阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角中，，，的对边分别是a，b，c，过C作于E（如图1），则，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图1，在中，，，，则______； (2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号） (3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号） 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：由题意可知：， ∵，，，∴，即，∴，故答案为：． （2）解：如图：由题意可知，，，海里，， ∴，∴，即， ∴，∴B处与灯塔的距离为海里，故答案为：． （3）解：如图：由题可知，海里，，∴， ∵，，∴，，∴， 在中，海里，海里， 在中， 海里，∴海里， 由前面定理可知：，则， ∴，∴的正弦值． 5．（24-25九年级下·湖南株洲·自主招生）如图，在中，已知为锐角，、、所对的边分别为a、b、c．(1)求证：；(2)若，，且，求的面积；(3)在（2）的条件下，若，求的长．（参考公式：） 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：过点作于点， ∴在中，，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∴，∴， ∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 由（1）得，过点作于点， ∴，∴， ∴， （3）解：过点作于点，∵，∴， ∴，， ∴，∴． 6．（2025·安徽马鞍山·二模）“一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．(1)已知α，β两角和的余弦公式为：，请利用公式计算的值；(2)求风叶的长度． 【答案】(1)(2)风叶的长度为米 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴； （2）解：过点A作，连接，，如图所示，由题意得：米，，    ∴米，，米， ∵三片风叶两两所成的角为，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴米， ∵，，∴，由（1）得：， ∴米，∵，，， ∴四边形是矩形，∴米， ∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等，∴， ∴米，∴风叶的长度为米． 7．（2025·广东·一模）【问题背景】在中，，记 【构造联系】（1）在为锐角的情况下，利用，求证：； 【深入研究】（2）利用（1）中得到的结论，若锐角满足，求的值． 【答案】（1）见解析（2）或 【详解】解：依题可知 ，，∴， 由勾股定理可知，∴； （2）∵，∴， ∵，∴，    即，    解得或，∴或． 8．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图1所示的直角三角形中，是锐角，那么锐角A的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数分别为： ，，，． 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角的三角函数规定为：，，，，我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，而与点P在角的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)若，则在角的三角函数值、、、中，它们的相反数取负值的是______； (2)若角的终边与直线重合，则______； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，则______； (4)若，求的取值范围． 【答案】(1)它们的相反数取负值的是；(2)或；(3)；(4)． 【详解】（1）解：，，， 角的三角函数值、、、，其中取正值的是，取负值的是、、． 它们的相反数取负值的是； （2）解：角的终边与直线重合，如图1中， ①当点P在第一象限时，作轴于E．设，则， ∴，， ∴； ②当点P在第三象限时，作轴于E．设，则， ∴，∴同理可得，， ∴；综上所述，或； （3）解：如图2中，作轴于E． 由题意，，∴∴，∴； （4）解：若，设，则， 当时，， 当时，根据三角形的两边之和大于第三边，则， ∴∴，∴； ∴∴∴ ∴ ∴；∴；∴；． 9．（24-25九年级上·山西·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，．(1)利用锐角三角函数的定义求证：；(2)若，求的值． 【答案】(1)见解析(2)3 【详解】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，，∴，∴． （2）解：∵，∴， ∴． 10．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）【知识迁移】：对于钝角α，定义它的三角函数值如下：，．(1)求，，的值； (2)若一个三角形的三个内角的比是，和是这个三角形的两个内角，且、是方程的两个不相等的实数根，求和的度数及m的值． 【答案】(1)；；(2)， 【详解】（1）解：由题意得：，，； （2）解：∵一个三角形的三个内角的比是， ∴三个内角分别为：， ∵、是方程的两个不相等的实数根，∴， 当，则、，∴，解得：； 当，则、，不满足，故舍； 当，则、，不满足，故舍， 综上所述：， 11．（24-25九年级上·湖南郴州·期末）阅读材料解决问题：在锐角中，的对边分别为，作 于点，在中，，，在中，，，即，． (1)证明：；(2)如图二，求（结果保留根号）；(3)如图三，在锐角中，，，又，垂足为，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)(3)10 【详解】（1）解：过点作于点，在中，，， 又，，即； （2）解：如图：，， 由得，，， 如图一：作于点，在中，由于，， 在中，由于，，， ； （3）解：由，可设，则 ，，又，，， 又，，，， 由勾股定理可得：，． 12．（24-25·山西·九年级专题练习）阅读与思考．请仔细阅读并完成相应的任务． 利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角中，，，的对边分别是，，过点作于点，则，即，于是．在中，，在中，，，整理得． 任务：(1)__________，__________； (2)已知中，，，所对边分别是，，，，，，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）根据进行类比，可得 ，， 故答案为：，； （2），，，， ∴，即， 解得，（舍去），． 13．（24-25·重庆九龙坡·九年级统考期末）问题：阅读下面材料，解决后面的问题： 我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高，在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对，a，b，c分别为，，的对边，则其面积 (1)在中，，，，求b边对应的高的长度． (2)如图，在中，已知，，D为上一点，证明：. (3)正数a，b，c，d，e，f满足，证明：． 【答案】(1)(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：在中，，，边对应的高的长度为：； （2）证明：， ， ， ，，； （3）证明：如图：是边长为1的等边三角形， ，；， ， ，． 14．（2024·重庆·校考一模）关于三角函数有如下的公式： ①②； ③ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：    (1) ； ．(2)求的值； (3)如图，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为42米，求建筑物的高． 【答案】(1)，(2)(3)建筑物的高为米 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：； （3）如图，过点作于点，则， ∵，∴四边形是矩形，∴， ，， ∵在中，，∴米，    ∴米．答：建筑物的高为米． 15．（24-25·广东·九年级专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(4)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1(2)1(3)证明见解析(4) 【详解】（1）解：， ，，故答案为：1，1，1； （2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有，故答案为：1； （3）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到，，； （4）解：，， ，，． 16．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）． 如图①：在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ；(2)对于，的正对值的取值范围是 ； (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）解：根据正对定义可得：当顶角为时，等腰三角形底角为， 则三角形为等边三角形，底边腰长，故答案为：1； （2）解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0， 当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近， 的正对值的取值范围是，故答案为：； （3）解：如图：在中，， ， 令，，则， ∴，， 在上取点，使，连接，作，为垂足， ∴，， ，∴， ． 17．（24-25九年级下·四川达州·期中）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，． (1)如图③ ，若，则__，_____；． (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式．（用含的式子表示） 【答案】(1)；；(2) 【详解】（1）由勾股定理可得： 由三角函数的定义可得， 由材料可得：故答案为；； （2）取的中点，连接，过点作于点，如下图： 则，，， 在中，，在中，， 在中，，则 则 故答案为． 18．（24-25九年级上·安徽·阶段练习）（1）如图，中，，，平分交于点．利用这个图形可以求的值（结果保留根号）．小明是这样做的：“过点作于，令，……”请按照小明的思路，帮助小明写出完整的解答过程； （2）我们规定：对于锐角，．请根据上述规定求的值，验证（1）中结论的正确性． 【答案】（1）；（2）（1）中计算结果正确，验证见解析 【详解】（1）∵，∠B=45°，∴△BDE为等腰直角三角形， 根据角平分线的性质可得CD=DE=1，∴，∴BC=AC=BD+CD=， 又∵∠BAC=45°，AD平分线∠BAC，∴∠DAC=22.5°， ∴在Rt△ADC中，，∴； （2）∵，∴根据题意有： ，，∴（1）中计算结果正确． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02.解直角三角形模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.新定义模型 5 15 该模型通过初中几何方法诠释高中三角函数定理（如正弦定理、余弦定理等），将复杂三角关系转化为可操作的几何结构‌。例如，通过作高将任意三角形拆分为直角三角形，利用边长比例关系推导正弦定理，揭示三角形边角统一性‌。中考命题者将高中数学概念（如向量、解析几何）初中化处理，通过“知识包装”形式设计试题，既保留初中数学特点，又融入高中思维深度‌。典型如将坐标系与三角函数结合，构建跨学段解题逻。 （2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，  ∴， 在中，，  ∴， ∴，即， 同理，在中，_____，在中，_____，∴___________， 即，∴； 【结论应用】（2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】（3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】（4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 模型1.新定义模型 例1（2025·安徽蚌埠·三模）【阅读理解】（1）已知∶如图1，在中，， 于点D． 在中， 在中， ，   ．，即 进一步可得正弦定理： 即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 【问题解决】（2）结合正弦定理，尝试求解如下问题： 某校学生利用正弦定理知识进行数学实践活动．如图2，A处有一栋大楼，该学生选择B，C两处作为测量点，测得的距离为， ，在C 处测得大楼楼顶D的仰角α为 求大楼的高度．(需运用正弦定理求解，结果保留整数，参考数据： ) 例2（24-25九年级上·湖南常德·期末）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为： ；； 现已知在中，，， ，则等于（      ） A． B． C． D． 例3（24-25九年级上·宁夏银川·期末）任意三角形的面积都有如下结论：中，所对应的边分别为a，b，c，则三角形的面积可以表示为，对于这个结论，小明进行了实践探究： (1)实践探究：请你利用如图①所示的已知条件验证上述结论是否正确，并说明理由： (2)拓展、延伸：某工业区为了扩大绿化面积，准备在如图②所示的荒地上铺满草坪，经过测量，长为15米，长为20米，之间的夹角为，请运用上面的结论求草坪的面积．（参考数据：结果精确到米） 例4（2024·湖北·九年级专题练习）【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①；②；③．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1)求的值；(2)如图，一架直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高； (3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点处往正东方向飞多远，居民在点处看飞机的仰角恰好是． 例5（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）一般地，当，为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：；． 例如． 类似地， 求的值． 例6（2025·河北·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ，， ，， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 例7（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．类似的：可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）． 如图2，在中，，顶角A的正对记作，这时， 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的；根据上述角的正对的定义，解答下列问题： (1)直接写出的值为 ；(2)若为钝角，则的正对值的取值范围是 ； (3)已知其中为锐角，求的值；(4)在中，，，求的值． 例8（24-25九年级·山东滨州·自主招生）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ．    阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． (1)如图3，，，若，则______，______； (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 例9（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 1．（2024·四川宜宾·模拟预测）阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到，所以类．类比这种方法，请你计算的值为（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·广西河池·一模）【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则，∴， ∴． 同理可得，，即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里． (1)求的面积；(2)求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 3（2024·湖南衡阳·模拟预测）【材料阅读】如图1，在△ABC中，设的对边分别为a，b，c，过点A作，垂足为D，会有，则=，即，同理，．有以上三式可得： 正弦定理：，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理 如图2，在中，设的对边分别为a，b，c，则① ② ③ 用以上的公式和定理解决问题： 【简单应用】（1）在锐角中，设的对边分别为a，b，c，且，求； （2）如图3，在中，，，求的面积与周长． 【灵活应用】（3）如图4，在中，角所对的边分别为，已知，的面积为，设为的中点，且，求的周长．（参考数据：）    4．（2024·山西大同·三模）阅读与思考 阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角中，，，的对边分别是a，b，c，过C作于E（如图1），则，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图1，在中，，，，则______； (2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号） (3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号） 5．（24-25九年级下·湖南株洲·自主招生）如图，在中，已知为锐角，、、所对的边分别为a、b、c．(1)求证：；(2)若，，且，求的面积；(3)在（2）的条件下，若，求的长．（参考公式：） 6．（2025·安徽马鞍山·二模）“一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角．(1)已知α，β两角和的余弦公式为：，请利用公式计算的值；(2)求风叶的长度． 7．（2025·广东·一模）【问题背景】在中，，记 【构造联系】（1）在为锐角的情况下，利用，求证：； 【深入研究】（2）利用（1）中得到的结论，若锐角满足，求的值． 8．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图1所示的直角三角形中，是锐角，那么锐角A的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数分别为： ，，，． 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角的三角函数规定为：，，，，我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，而与点P在角的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)若，则在角的三角函数值、、、中，它们的相反数取负值的是______； (2)若角的终边与直线重合，则______； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，则______； (4)若，求的取值范围． 9．（24-25九年级上·山西·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，．(1)利用锐角三角函数的定义求证：；(2)若，求的值． 10．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）【知识迁移】：对于钝角α，定义它的三角函数值如下：，．(1)求，，的值； (2)若一个三角形的三个内角的比是，和是这个三角形的两个内角，且、是方程的两个不相等的实数根，求和的度数及m的值． 11．（24-25九年级上·湖南郴州·期末）阅读材料解决问题：在锐角中，的对边分别为，作 于点，在中，，，在中，，，即，． (1)证明：；(2)如图二，求（结果保留根号）；(3)如图三，在锐角中，，，又，垂足为，，求的长度． 12．（24-25·山西·九年级专题练习）阅读与思考．请仔细阅读并完成相应的任务． 利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角中，，，的对边分别是，，过点作于点，则，即，于是．在中，，在中，，，整理得． 任务：(1)__________，__________； (2)已知中，，，所对边分别是，，，，，，求． 13．（24-25·重庆九龙坡·九年级统考期末）问题：阅读下面材料，解决后面的问题： 我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高，在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对，a，b，c分别为，，的对边，则其面积 (1)在中，，，，求b边对应的高的长度． (2)如图，在中，已知，，D为上一点，证明：. (3)正数a，b，c，d，e，f满足，证明：． 14．（2024·重庆·校考一模）关于三角函数有如下的公式： ①②； ③ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：    (1) ； ．(2)求的值； (3)如图，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为42米，求建筑物的高． 15．（24-25·广东·九年级专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(4)若，且，求的值． 16．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）． 如图①：在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ；(2)对于，的正对值的取值范围是 ； (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 17．（24-25九年级下·四川达州·期中）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，． (1)如图③ ，若，则__，_____；． (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式．（用含的式子表示） 18．（24-25九年级上·安徽·阶段练习）（1）如图，中，，，平分交于点．利用这个图形可以求的值（结果保留根号）．小明是这样做的：“过点作于，令，……”请按照小明的思路，帮助小明写出完整的解答过程； （2）我们规定：对于锐角，．请根据上述规定求的值，验证（1）中结论的正确性． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $