5.1导数的概念及其意义　项目式单元教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦导数的概念及意义，通过学生展示微积分史和章引言梳理知识脉络，以高台跳水实例为支架，从平均速度过渡到瞬时速度，铺垫极限思想与导数概念。 特色在于项目式任务驱动与信息技术融合，借助Excel观察平均变化率趋势、几何画板演示割线逼近切线，发展数学抽象与直观想象素养。小组合作探究瞬时速度，体现从特殊到一般的数学思维，帮助学生深化概念理解，为教师提供重难点突破的结构化教学方案。

项目式单元教学设计 ---以《5.1导数的概念及其意义》为例 一、单元项目内容设置 1.单元教学项目： 变化率的两个典型实例，导数的概念，导数的几何意义 项目分解： 项目一，高台跳水运动员的速度； 项目二，抛物线切线的斜率； 项目三，导数的概念； 项目四，导数的几何意义。 2.单元教学内容解析 导数是微积分最基础、最重要的概念之一.导数概念蕴含着微积分中运动变化、无限逼近，极限的思想. 瞬时变化率是平均变化率的极限。导数的本质是函数在某一点的瞬时变化率.函数导数可以定量的刻画了函数在局部的增减，和变化快慢.导数是研究函数性质，解决实际当中变化率问题的有效工具。 考虑到学生认知发展水平的局限，无法直接用极限去定义导数。因为导数是函数的瞬时变化率，而瞬时变化率可以用平均变化率进行逼近，而且逼近的过程在直观上比较容易理解，所以可以选择一些典型的变化率问题，引导学生经历从理解平均速度到瞬时速度，并用直观的方式引出极限，引出瞬时变化率，进而建立导数的概念。 通过瞬时速度、切线的斜率这些特殊的瞬时变化率抽象出导数概念的过程中，蕴含着极限思想，其中呈现的动态的、逼近的、最终却是确定的结果的过程可以培养学生的辩证思维，也有利于数学抽象、直观想象素养的发展；其中也蕴含着数形结合、从特殊到一般的思想与方法，对导数几何意义的探究，有助于学生理解导数的意义，提升直观想象素养。 二、单元项目目标设置 1.单元教学目标 通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达、体会导数的内涵与思想。 体会极限思想。 通过函数图象直观理解导数的几何意义。 2.单元教学目标解析 达成上述目标的标志是： （1）能结合具体问题情境，通过从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，得出导数的概念，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，会用具体例子解释导数的内涵与思想。 （2）能解释导数的几何意义，能举例说明以直代曲思想；能通过求函数在某一点导数，得出函数图象在对应点的切线斜率，进而求出切线的方程。 （3）能通过实例分析，直观感知瞬时速度是平均速度的极限，切线斜率是割线斜率的极限；结合导数的概念和几何意义，说明函数在一点处的导数是一个特殊的极限值和确定的数；会求简单函数在一点处的导数 三、单元学情分析 认知基础：通过初、高中的学习,学生知道用速度描述运动快慢。在学习无理指数幂时,学生对极限有一些直观、朴素的认识。这些知识经验为本单元学习提供了一定认知基础。 学生可能遇到困难: 对极限思想的理解是难点。学生对极限思想的认识需要经历较长的时间,需要在典型的变化率实例加深理解。因此,教学中要特别重视教材的两个本源性案例,让学生充分经历由“平均变化率”过渡到“瞬时变化率”的过程。具体来说,要从excel进行“数值”逼近和“解析式”或趋近于0两个维度,形成平均速度的极限就是瞬时速度、割线斜率的极限就是切线斜率的思维表象.为抽象出导数概念奠定基础. 四、单元重难点分析 教学重点：导数的概念及其几何意义、极限思想 教学难点：导数概念的理解、导数的符号化表达 五、教学策略分析 教学中应借助信息技术工具,比如Excel表格、几何画板、计算器等,使学生通过列表观察平均变化率的变化趋势、通过图象直观观察割线无限趋近于切线,从而感受极限的“逼近”过程,以此降低认识导数的难度。 六、课时教学设计： 项目一《5.1.1变化率问题（第一课时）》 高台跳水中运动员的平均速度与瞬时速度 1.课时教学内容 平均速度 瞬时速度 2.课时教学目标 （1）通过描述高台跳水过程中运动员运动快慢程度的问题情境，经历平均速度“逼近”瞬时速度的过程，认识瞬时速度的本质是平均速度的极限，初步体会极限思想 （2）能通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法 3.教学重点与难点 （1）重点：瞬时速度和极限思想，体会过程的动态性“运动变化与逼近的思想”和结果的确定性（极限思想） （2）难点：在瞬时速度计算过程中体会极限思想 4.教学方法 教师创设合适的问题情境，项目式任务引领； 自主探究、小组合作交流 5教学过程设计 任务一 整体介绍 新课引入 设计意图：通过班级小组同学展示前期课前合作查找和梳理的关于介绍微积分创立者牛顿和莱布尼茨的故事以及微积分产生的背景激发全班通学的学习兴趣. 与此同时,简要介绍本章将要学习的知识和可以解决的问题, 发挥好章引言的“先行组织者”、“导游图”的作用. 任务二 从平均速度到瞬时速度，体验极限思想 问题1 ：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间 存在函数关系 . 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 师生活动： 首先,教师播放奥运会中郭晶晶的跳水视频，让学生对跳水过程中速度的变化过程再次有强烈的直观感受，为高台跳水这个经典例子在本节课和本章教学发挥作用作好铺垫。 其次,从数学的角度来进行探究: 教师引导学生回忆，运动快慢，是用“速度”来表示的，复习, 教师举例并板演：当时，平均速度=2.35m/s； 学生模仿完成：当时，平均速度=-9.9m/s； 教师引导学生分析：2.35m/s和-9.9m/s所刻画的运动员的运动状态什么？ 设计意图：给学生作示范，让学生模仿并自主完成，并且体会利用函数关系求平均速度方法，突破“符号语言”的不习惯，并且学着用数学的语言刻画现实世界。 问题2：计算运动员在这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 师生活动：学生独立计算这段时间里的平均速度，并发现平均速度是0.请同学解释0的含义从而引发认知冲突.学生会意识到，平均速度有时不足以有效刻画运动状态，如何能够精确刻画运动员运动状态？学生自然地想到用“瞬时速度”. 追问1：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在s时的瞬时速度吗？ 师生活动： 引导学生自主分析瞬时速度与平均速度的关系.并通过小组的讨论交流总结出区别，在于一个时间段内的速度和某一个时刻速度；联系在于当时间间隔足够小时，平均速度接近瞬时速度。 教师画图： 时间轴上，某一时刻，天才的牛顿引入符号“”，表示无限趋近于0的无穷小量。 当时构造时间段时间段（）和时间段（）进行计算和分析。 学生根据ppt完成表格第一、第二行 教师与学生一起计算：时时间段的平均速度 学生自己推导：时间段时间段（）的平均速度 追问2根据excel表格,当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？ 师生活动： 教师借助excel演示当无限趋近于0时，平均速度的变化规律，引导学生观察、分析. 引导学生根据表格说出当无限趋近于0时，平均速度不论是从的左边还是右边都无限趋近于确定的常数-5. 而且从 来看，当时，趋近于0，所以趋近于-5. （在运动变化中体会逼近的思想，体会“极限”是确定的常数.） 追问3：这个常数不能是别的数比如-5.000049或者-4.999951？（进一步直观理解极限的含义,选择性提问） 给极限下直观定义： 在数学中，我们把这个确定的常数-5称为 “当无限趋近于0时，平均速度的极限” 记作：=-5. 从物理的角度来看，当无限趋近于0时，平均速度无限接近于的瞬时速度， 学生可以发现平均速度的极限就是瞬时速度（引导学生积极思考和发现，并通过小组合作交流，结合ppt展示） 并且学生明白，求运动物体的瞬时速度，就是求平均速度的极限值。 当无限趋近于0时 平均速度（数学） 无限趋近于 极限值 平均速度（物理） 无限趋近于 瞬时速度 结论 平均速度的极限值就是瞬时速度 问题：如何求某一时刻瞬时速度？基本步骤是什么？ 设计意图：学生回顾总结求瞬时速度的步骤： 1.表示平均速度，2.求极限值 注意：符号“”，表示无限趋近于0，但不等于0的无穷小量.（在第一步可以约分，在第二部可以忽略不记.） 任务三 由具体到抽象，由特殊到一般求瞬时速度 问题3： （1）求运动员在s时的瞬时速度； （2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？ 设计意图： （1）复习巩固求瞬时速度的步骤。 （2）由特殊到一般，从运算角度体会求瞬时速度的过程，提升数学运算素养，并为后续抽象导数（瞬时变化率）概念做好铺垫. 任务四 目标检测设计： 1.火箭发射 s后，其高度（单位：m）为.求： (1)在这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2)发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度. 2.一个小球从5 m的高度自由下落，其运动方程为.求s时小球的瞬时速度. 设计意图：复习巩固本节课所学习的知识、方法、思想，检测所学知识是否完全掌握.学生独立完成，并分小组展示交流。 课堂评价 课堂小结反思提升： 1.平均速度和瞬时速度关系是什么？ 2.你能说出求瞬时速度的过程，方法？ 3.你体会到了那些思想和方法？ 设计意图： 引导学生从几个关键的问题回顾本节课所学的知识，以小组展示，其他小组或同学补充说明的形式进行。进一步弄清瞬时速度是平均速度的极限值；求瞬时速度就是要先求平均速度，再求当趋近于0时的极限值；进一步体会本节课蕴含的运动变化思想，逼近的思想，极限的思想，为抽象导数的概念做好准备。 板书设计： 课题：5.1.1变化率问题（第一课时） -------高台跳水运动员的速度 教师板书 当时， 平均速度=2.35m/s； 时间段时间段（）内 平均速度 学生板演 当时， 平均速度=0 m/s； 思考：（1）求运动员在s时的瞬时速度； 平均速度 瞬时速度 =-5 = = 平均速度的极限是瞬时速度 课后反思： 1.本教学设计以项目式任务驱动、自主探究小组合作的学习方式引导教学，建立在该教学设计上的课堂教学好很的达成了课程标准的要求，学生经历了由平均变化率到瞬时变化率的过渡，为导数概念的理解和教学打好的基础。学生体会了无限逼近的极限思想. 2.在教学过程中自主探究和小组合作交流学习对于重难点的突破起到了很好的作用，课堂上学生参与度高，课堂生成丰富，有深度，真正实现了深度学习. 学科网（北京）股份有限公司 $