专题06 线段中的五类动态模型（几何模型讲义）数学北师大版2024七年级上册

专题06.线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为．(1)当时，若，的长为______；(2)当时，若，试说明点为的中点；(3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 例2（24-25七年级上·江苏·期末）如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可）(2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 例3（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________；(2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 例2（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时，①出发多少秒后，？②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值； 例3（2024七年级上·重庆·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 例2（24-25七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 例3（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段上运动，当时，______；(2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，P是线段上任一点，两点分别从同时向A点运动，且C点的运动速度为点的运动速度为，运动的时间为． (1)若，①运动后，求的长．②当D在线段运动上时，探究与的数量关系． ， ，， ， ，与的数量关系为 ． (2)如果时，，直接写出的值． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒，①当t为何值时，？②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ． 例3（24-25七年级上·重庆·专题练习）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s．(1) ．(2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 例2（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 例3（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）直线l上有三个点A、B，C，，，点M从点A已发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；点N从点B出发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后停止，若运动过程中某一时刻满足（且为正整数），则称此时是点M、N的一次“n时刻”．点M，N同时出发，直到点M返回点A运动结束，设运动时间为ts．(1)当时，点M，N到达“______分时刻；(2)当t为何值时，点M，N到达”3分时刻”？ (3)当______时，点 M、N到达“8分时刻”？(4)进一步探究发现点M、N到达“n分时刻”的次数随着n的变化而变化，请直接写出对于n的每一个值点M、N到达“n分时刻”的次数． 1．（24-25七年级上·重庆·期末）已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（    ）    A．5 B． C．或 D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（   ）秒时，点是线段的中点． A． B． C．1 D． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 4．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，P是线段上任意一点，，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为，D点的运动速度为．若运动时间为3s时，，则 ． 5.（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 6.（24-25七年级下·广东湛江·开学考试）如图，是线段上任意一点，，，两点分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为．（其中一点到达点时，两点停止运动） (1)若．①运动后，求的长．②若点在线段上运动，问经过多长时间，？ (2)如果时，，试探索的长． 7．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，．(1)____________；(2)若点是直线上一点，且满足，求的长；(3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 8．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，P是线段上任一点，，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为：，D点的运动速度为，运动的时间为． (1)若，①运动后，求的长．②当D在线段上运动时，探究与的数量关系． ______，， ______； ∴与的数量关系为______． (2)如果时，，求的值． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知线段，点、点都是线段上的点． (1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ； (2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； (3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． 10．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 11．（24-25七年级下·湖北恩施·开学考试）如图所示，线段点从点出发以的速度沿向左运动，点从点出发以的速度沿向左运动（在线段上，在线段上） (1)若运动到任意时刻都有，求出在上的位置； (2)在（1）的条件下，是直线上一点，若，求的值； (3)在（1）的条件下，若运动了一段时间后恰有，这时点停止运动，点继续在线段上运动，分别是的中点，求出的值． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， (1)若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长；②当点C是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求． 13．（24-25七年级上·山东临沂·期末）（1）如图，已知点在线段上，线段，，点，分别是，的中点，求线段的长度； （2）在（1）的条件下，动点、分别从，同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，当运动多少秒时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（直接写出答案即可） 14．（24-25·江苏·七年级校考期中）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，． (1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由． 15．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，．(1)____________；(2)若点是直线上一点，且满足，求的长；(3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 16．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）如图1，已知直线l上从左往右依次有A，B，C，D四点，其中，，且m，n满足． (1)填空：__________，__________； (2)如图2，M，N分别为线段的中点，线段以每秒4个单位长度向右运动． ①若线段以每秒l个单位长度也向右运动，当运动6秒后，，求运动前线段的长； ②若线段固定不动，且运动前．已知在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值，请求出这个定值，并直接写出为定值时所持续的时间长度． 17．（24-25七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 18．（24-25·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 19．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 20．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06.线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或1 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，． （2）解：设运动时间为t，则，，，， 又，，即， ，，； （3）解：当点N在线段上时，如图 ，又，，，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ，又，，即． 综上所述的值为或． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 【答案】(1)   (2)①　②　③ 【详解】（1）解：因为，所以． 因为，所以．所以．故答案为：    （2）①设，则，． 根据题意，得 解得 ．．所以． ②根据题意，得，．，． 根据题意，得解得 ③设．当点在点的左侧时：，，， ，可得解得；所以． 当点在点的右侧时：，，． ．可得 解得 所以．综上所述，或．故答案为：或 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为．(1)当时，若，的长为______；(2)当时，若，试说明点为的中点；(3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，，故，即， 当时，，即， 若，则，可得出， 则．故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，，即， 若，则，可得出， 则，即，故点为的中点． （3）解：由（1）可得，即， 若点，运动到任一时刻，总有，即， 整理得，∴，故的长为． 例2（24-25七年级上·江苏·期末）如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为   ．（直接写出答案即可）(2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？ (3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可） 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：如图所示， ∵，，∴， ∵点Q运动到的位置恰好是线段的中点，∴， ∴，， ∴点运动的时间为，∴点的速度为，故答案为：； （2）解：当点没有运动到了点时，假设点运动的时间为，，，∴， 根据题意得，①解得，，符合题意， 所以，经过P、Q两点相距； ②解得，∵，该种情况不符合题意，舍去； 当点运动到了点，停止运动时，此时，，根据题意得， 点运动的时间为， 综上，经过或P、Q两点相距； （3）解：①如图所示，当点位于点左侧，点位于点左侧时， ∵和的中点为E、F，∴， 令，则，∴， ，，， ∴； ②如图所示，当点位于点左侧，点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F，∴， 令，则，∴， ，，， ∴； ③如图所示，当点位于点右侧时， ∵和的中点为E、F，∴， 令，则，∴， ，，， ∴；综上，． 例3（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)(2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度(3) 【详解】（1）解：∵点在线段上，，， ∴，依题意，， 当点与点相遇时，解得：； （2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，，解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则，解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （3）∵，当在线段上时，，此时， ∵，∴，解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵，∴，解得：，∴ 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________；(2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 【答案】(1)4；3(2)或(3)，定值为5 【详解】（1）解：∵，点以的速度运动，∴时，，， ∵是线段的中点，∴故答案为： （2）解：∵是线段的中点，∴， ∵，∴，∴，， 当点从时， 当点从时，∵点沿的路线需要故 综上所述，当为或时，． （3）解：如图，由题意得：点的速度是，点速度为 ∵，∴点在点右侧，由题意可知∴ ∵是线段的中点∴即 ∵线段的长度始终是一个定值∴故解得，定值为5 例2（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时，①出发多少秒后，？②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析(2)①长度不变，； 【详解】（1）解：①设出发秒后，则，， 为中点， ，，解得：，出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，；理由：如图 设，为中点，，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化；①长度不变，． 例3（2024七年级上·重庆·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)或(2)(3)是，见解析 【详解】（1）解：∵，，， ，解得：，， 若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ，，； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ，； 综上所述：线段的长为或． （2）解：设，如图2所示： ，∵点分别是线段的中点， ， ，∴， ∴； （3）解：为定值，理由如下：设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧，∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图3所示： ∴，∴， ∴．∴为定值． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时，(2)(3)能重合，(4) 【详解】（1）解：根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，∴，∴； 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，，∴即． （2）解：根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为， 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，∴，∴； ∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动． ∴秒过后，点Q运动的路程为， ∵点B是线段的中点．∴，∴，解得， 即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点． （3）解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则， ∴．解得：；故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合． （4）解：当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等． 当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得，解得：．当时，线段与线段的长度相等． 例2（24-25七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值． 【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数， ∴，，∴； 线段的中点表示的数为；故答案为：；； （）秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵点是线段的中点，∴点表示的数是，故答案为：； 当点为中点时，则，解得，不合，舍去； 当点为中点时，则，解得； 当点为中点时，则，解得；∴运动时间的值为或； 当点在点左侧时，，， ∴， 当时，∴，此时，定值． 例3（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段上运动，当时，______；(2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1)3(2)当时，点的运动时间的值为或20(3) 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，， ∴，∴， ∵线段，∴，∴．故答案为：3． （2）当点在线段上，，如图， 为的中点，∴，解得， 当点在线段的延长线上，，如图， 同理：解得， 综上所述，当时，点的运动时间的值为或20； （3）当点在线段的反向延长线上时，，理由如下：如图， 为的中点，为的中点， 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，P是线段上任一点，两点分别从同时向A点运动，且C点的运动速度为点的运动速度为，运动的时间为． (1)若，①运动后，求的长．②当D在线段运动上时，探究与的数量关系． ， ，， ， ，与的数量关系为 ． (2)如果时，，直接写出的值． 【答案】(1)①；②4，，(2)9或11 【详解】（1）①由题意可知：，， ∵，，∴，∴； ②∵，， ∴，，∴， ∴，∴； （2）当时，，， 当点D在C的右边时，如图所示： 由于，∴，∴，， 当点D在C的左边时，如图所示： ∴，∴，综上所述，或11． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒，①当t为何值时，？②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ． 【答案】(1)10或30 (2)①t为1或5；②2或4 【详解】（1）解：点C在线段上，∵，，∴； 点C在线段的延长线上，∵，， ∴∴．综上分析可知：或30． （2）解：①点Q在点D的左侧，依题意有，解得； 点Q在点D的右侧，依题意有，解得． 综上分析可知：当t为1或5时，； ②根据题意可知：∵点D在线段上，，∴，点P，R相遇时， ，解得， 点P，R相遇前，即当时，，，， 点P，R相遇后，即当时，，， ， 综上可得； 当时，，； 点P到达点B时，，解得， 当点P到达点B前，即当时，， 当点P到达点B后，即当时，， 综上可得； 点P，R相遇前，即当时，，， 点P，R相遇后，即当时，，， 综上可得； 当时，分三种情况： 当点P，R相遇前，即当时，依题意有，解得； 当点P，R相遇后，且点P到达点B前，即当时， 依题意有，解得（舍去）； 当点P，R相遇后，且点P到达点B后，即当时， 依题意有，解得． 综上分析可知：或4．故答案为：2或4． 例3（24-25七年级上·重庆·专题练习）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s．(1) ．(2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在，当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点 【详解】（1）线段，C为的中点， ． （2）存在．依题意得：， 由（1）可知：， 分三种情况讨论如下： ①当点C为的中点时：则，如图1所示： ，， ，解得：（不合题意，舍去）； ②当点P为的中点时，则，如图1所示： ，， ，，解得：； ③当Q为的中点时，则，如图2所示： ，，，解得：． 综上所述：当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【详解】解：（1），根据题意得，，∴表示的数是； （2）①点C在线段上时，如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N，∴， 又，∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点，∴，∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下：①如图所示，当时，根据题意得，，解得； ②如图所示，当时，根据题意得，解得； ③如图所示，当时，根据题意得，解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得，解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 例2（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴，∴点是线段的的“巧点”，故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点，∴则最长时，满足， 即，∴，故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点∴或，或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 例3（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）直线l上有三个点A、B，C，，，点M从点A已发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；点N从点B出发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后停止，若运动过程中某一时刻满足（且为正整数），则称此时是点M、N的一次“n时刻”．点M，N同时出发，直到点M返回点A运动结束，设运动时间为ts．(1)当时，点M，N到达“______分时刻；(2)当t为何值时，点M，N到达”3分时刻”？ (3)当______时，点 M、N到达“8分时刻”？(4)进一步探究发现点M、N到达“n分时刻”的次数随着n的变化而变化，请直接写出对于n的每一个值点M、N到达“n分时刻”的次数． 【答案】(1)2(2)或(3)或或或(4)见解析 【详解】（1）解：当时，，，如图： ， ，∴．点M，N到达“2分时刻”．故答案为：2； （2）解∶当时，； 当时，； 当时，； 当M、N两点重合时，或，解得或， 点M，N到达“3分时刻”，． ①当 时，，∴，解得 ； ②当时，，∴， 解得 ，不合题意，舍去； ③当 时，，∴， 解得 ，不合题意，舍去； ④当时，，∴，解得 ； ⑤当时，，∴，解得 （舍去）； 综上所述，当t为或时，点M、N达到“3分时刻”； （3）解∶ 当时，； 当时，； 当时， ； 若时，则， 当M、N两点重合时， 或，解得或， ①当 时，，∴，解得 ； ②当时，，∴，解得 ； ③当 时，，∴，解得 ； ④当时，，∴，解得 ； ⑤当时，，∴，解得 （舍去）； 综上所述，当t为或或或时，点M、N达到“8分时刻”；故答案为：或或或； （4）解∶ 同（3）的方法可知，当时，有2个对应的t； 当时，有3个对应的t； 当时，有4个对应的t． 1．（24-25七年级上·重庆·期末）已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（    ）    A．5 B． C．或 D． 【答案】B 【详解】设，则，∴．∵，∴．设， 当点E在线段之间时，如图，    ∴，∴． ∵，∴，∴， ∴，∴； 当点E在线段之间时，如图，    ∴，∴． ∵，∴，解得：，不符合题意，舍；综上可得．故选B． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（   ）秒时，点是线段的中点． A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：设秒时，点是线段的中点，此时，,根据题意可得，解得， 即秒时，点是线段的中点，故选：D 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 【答案】3或6 【详解】解：，，．设点的运动时间为 ， 当时，，，根据题意得：，解得：； 当时，，，根据题意得：，解得：． 综上所述，当点出发或时，，两点重合．故答案为：3或6． 4．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，P是线段上任意一点，，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为，D点的运动速度为．若运动时间为3s时，，则 ． 【答案】6或16 【详解】解：由题意可知：， 当点D在C的右边时，如图所示： ∵，∴， ∴，∴， 当点D在C的左边时，如图所示： ∴，∴， 综上所述，或，故答案为：6或16． 5.（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 【答案】或1 【详解】解：设运动时间为t， ∵，，，，， ∴，∴， ∴，∴， 当N点在线段上时，如图所示， ∵，，∴，∴，即； 当N点在线段的延长线上时，如图所示， ∵，，∴，∴，即； 综上所述，或1．故答案为：或1． 6.（24-25七年级下·广东湛江·开学考试）如图，是线段上任意一点，，，两点分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为．（其中一点到达点时，两点停止运动） (1)若．①运动后，求的长．②若点在线段上运动，问经过多长时间，？ (2)如果时，，试探索的长． 【答案】(1)①；②(2)或 【详解】（1）①当时，，， ∵，，∴，∴； ②∵，，∴，∵，， ∴，，∴， ∵，∴，解得∴经过后，； （2）当时，，， 当点D在C的右边时，如图： ∴，∴，∴； 当点D在C的左边时，如图： ∴，∴， ∴；综上可得，的长为或． 7．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，．(1)____________；(2)若点是直线上一点，且满足，求的长；(3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 【答案】(1)24；12(2)或(3)或 【详解】（1）∵， ∵，解得，，故答案为：24；12； （2）设的长是，依题意有： ①当点在线段上时，，解得，； ②当点在线段上时，，解得，（舍去）； ③当点在线段的延长线上时，，解得，， 故的长为或； （3）当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为， 当时，， ，， 当时，有，解得，； 当时，有，解得， 故当为或时，． 8．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，P是线段上任一点，，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为：，D点的运动速度为，运动的时间为． (1)若，①运动后，求的长．②当D在线段上运动时，探究与的数量关系． ______，， ______； ∴与的数量关系为______． (2)如果时，，求的值． 【答案】(1)①；②；； (2)或 【详解】（1）解：①由题意可知：， ，，； ②，，， ，．故答案为：；；； （2）解：当时，， 当点D在C的右边时，如图所示： 由于，， ，， 当点D在C的左边时，如图所示： ，， 综上所述，或11.5cm． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知线段，点、点都是线段上的点． (1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ； (2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； (3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． 【答案】(1)(2)见解析，或(3)或 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，∴，， ∵，∴；故答案为： ； （2）如图，点在点的左侧， ∵点是线段的中点，点是线段的中点，∴，， ∴ 如图，点在点的右侧， ∵点是线段的中点，点是线段的中点，∴，， ∴， 综上，的长为或； （3）运动秒后，， ∵为的中点，∴，∴， ∵，为的中点，∴， 又∵，∴，或， 由得：或，解得：或． 10．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 【答案】(1)是；是(2)或或(3)或或，理由见解析 【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”；故答案为：是；是． （2）解：∵当点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”， ∴，或， 或．故答案为：或或． （3）解：由题意得：，，，t的范围应该在秒之间， ∵点P为的巧点，∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在秒之间， 当时，P为的巧点，∴ ，解得：； 当时，P为的巧点，∴，解得：； 当时，P为的巧点，∴ ，解得：； 所以当t为或或时，点Р为线段的“巧点”． 11．（24-25七年级下·湖北恩施·开学考试）如图所示，线段点从点出发以的速度沿向左运动，点从点出发以的速度沿向左运动（在线段上，在线段上） (1)若运动到任意时刻都有，求出在上的位置； (2)在（1）的条件下，是直线上一点，若，求的值； (3)在（1）的条件下，若运动了一段时间后恰有，这时点停止运动，点继续在线段上运动，分别是的中点，求出的值． 【答案】(1)点P在线段上的离A较近的处(2)或(3) 【详解】（1）根据的运动速度知：， ∵，∴，即， ∴点P在线段上的离A点较近的处； （2）如图：∵，∴； 又∵，∴，∴； 当点∵ ，且 ，，    ∴ ．综上所述，长为或； （3）的值不变，理由：如图2, 当点停止运动时，有，∴ ， D点继续运动，设，，， ∴． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， (1)若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长；②当点C是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求． 【答案】(1)①7；②或(2)或． 【详解】（1）∵，∴， ①∵E为中点，∴，∵，∴，∴； ②∵点C是线段的三等分点，，∴或， ∴或，∴或； （2）当点E在线段之间时，如图， 设，则，∴，∵，∴，设， ∴，∴ ∵，∴，∴， ∴x，∴； 当点E在点A的左侧，如图， 设，同理，设，∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∴∴， 当点E在线段上及点E在点B右侧时，无解， 综上所述的值为或． 13．（24-25七年级上·山东临沂·期末）（1）如图，已知点在线段上，线段，，点，分别是，的中点，求线段的长度； （2）在（1）的条件下，动点、分别从，同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，当运动多少秒时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（直接写出答案即可） 【答案】（1）（2）当或或时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点 【详解】解：（1）∵，，点，分别是，的中点， ∴∴ （2）以点为原点，射线方向为正方向，构造数轴，如图所示： 则点表示的数为：；点表示的数为：；点表示的数为：； 若点为线段的中点：，解得：； 若点为线段的中点：，解得：； 若点为线段的中点：，解得：； 综上所述：当或或时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点 14．（24-25·江苏·七年级校考期中）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，． (1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由． 【答案】(1)-6(2)8(3)秒或秒 【解析】（1）AB=12，且，两点表示的数互为相反数，点表示的数是，故答案为：； （2）AB=12，，，，设经过秒点是的中点， 根据题意列方程得，解得，故答案为：8； （3）设点运动了秒时， ①当点在点左侧时，即，根据题意列方程得，解得； ②当点在点右侧时，即，根据题意列方程得，解得； 综上，当运动了秒或秒时． 15．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，．(1)____________；(2)若点是直线上一点，且满足，求的长；(3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，． 【答案】(1)24；12(2)或(3)或 【详解】（1）∵，∵， 解得，，故答案为：24；12； （2）设的长是，依题意有： ①当点在线段上时，，解得，； ②当点在线段上时，，解得，（舍去）； ③当点在线段的延长线上时，，解得，， 故的长为或； （3）当运动时间为时，点表示的数为，点表示的数为， 当时，， ，， 当时，有，解得，； 当时，有，解得， 故当为或时，． 16．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）如图1，已知直线l上从左往右依次有A，B，C，D四点，其中，，且m，n满足． (1)填空：__________，__________； (2)如图2，M，N分别为线段的中点，线段以每秒4个单位长度向右运动． ①若线段以每秒l个单位长度也向右运动，当运动6秒后，，求运动前线段的长； ②若线段固定不动，且运动前．已知在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值，请求出这个定值，并直接写出为定值时所持续的时间长度． 【答案】(1)4，8 (2)①或8；②定值为6，当时，为定值 【详解】（1）解：，，，，，故答案为4，8； （2）解：由（1）可知：，， ∵M，N分别为线段的中点，∴， ∴若6秒后，在点左边时，由， 即，解得：， 若6秒后，在点右边时，则， 即，解得：， ②运动秒后，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，为定值． 17．（24-25七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7(2)点Q的运动速度是或者(3)不变，值为2 【详解】（1）解：因为所以， 因为b是最小的正整数，所以； （2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点， ∴点Q表示的数是，此时，由，可分两种情况： ①当点P在上时，得，此时； ∴点P运动的时间为，∴点Q的运动速度； ②当点P在上时，得，此时， ∴点P的运动时间是，∴点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是或者； （3）解：不变，理由如下：设运动时间为t秒，此时，， ∵点E是的中点，∴，∵点F是的中点，，∴， ∴，∴． 18．（24-25·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1)(2)8或24(3)，见解析 【解析】（1）解：∵ M为AP的中点，，∴ ， ∵线段，N为BP的中点，∴．故答案是：2； （2）解：①当点P在线段AB上，时，如图， ∵，，∴，解得：． ②当点P在线段AB的延长线上，时，如图， ∵，，∴，解得：． 综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24． （3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，， ∵，， ∴． 19．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 【答案】(1)是；是(2)或或(3)或或，理由见解析 【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”；故答案为：是；是． （2）解：∵当点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”， ∴，或，或． 故答案为：或或． （3）解：由题意得：，，，t的范围应该在秒之间， ∵点P为的巧点，∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在秒之间， 当时，P为的巧点，∴ ，解得：； 当时，P为的巧点，∴，解得：； 当时，P为的巧点，∴ ，解得：； 所以当t为或或时，点Р为线段的“巧点”． 20．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①5，；②M点为，N点为 (2)为，为(3)存在，n为5，为 【详解】（1）解：①∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴， 又∵，， ∴M点为5，N点为，故答案为：5，． ②∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴，且中点所对应的数为1， 又∵，∴中点所对应的数也为1， ∵，， ∴M点为，即，N点为，即； （2）解：由（1）中②可得M点为，N点为，点和也关于中点1对称， ∴．∴， ∴．∴为，为． （3）解：存在，理由：∵，A，B两点完成了n次“准相向运动”， ∴， ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴的中点所表示的数为1， ∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴，∴点，到的中点的距离相等， 当n为1时，根据（1）得：此时点为5，为， 当n为2时，为，为， 当n为3时，为，为， 当n为4时，为，为， 以此类推发现n为奇数时，为正数，而正数的规律是， 令，∴， ∴，∴． ． 当表示的数为65时，，解得：． 又∵和关于1对称，∴为． 答：存在次数n使得为65，此时n为5，为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $