专题06 线段中的五类动态模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题06.线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是，。①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度；②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式；②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______；(2)求出的值，并说明理由：(3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 例3（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·成都·单元测试）如图，P是线段AB上任意一点，，点C，D分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为，点D的运动速度为，运动的时间为t． (1)若．①运动后，求的长；②当点D在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ；(2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．①求运动多少秒时，线段重合的长度为2；②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 例3（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____；(2)若，请求出的长；(3)若点是直线上一点，且，求的值；(4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）如图：点O是线段上一点，且，P，Q两点分别从点O，M同时出发以，的速度沿直线向右运动，后，点P，Q恰好分别为，的中点．(1)求的长度；(2)试求与的数量关系；(3)若运动后，P，Q两点到O点的距离相等，求t的值． 例2（24-25七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 例3（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】（1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系．线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】（2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】（3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·四川达州·期末）如图，P是线段上一点，，C、D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长；(2)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出的长；(3)在（2）的条件下，Q是直线上一点，且，求的长． 例2（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知线段，点、在上且满足，点从点出发沿射线方向以的速度运动，同时，点从出发沿射线方向以的速度运动，设运动时间为秒，点、分别为、的中点，当时，则 ． 例3（24-25七年级上·湖北·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长；(2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒．①当为何值时，点与点重合？②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 例2（24-25七年级上·福建龙岩·期末）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）下列说法正确的有 ． ①若点C是线段的中点，则点C是的巧点； ②若点D在线段上，且，则点D是的巧点． （2）已知点C，D都是线段的巧点，且点C是线段的中点，，，求线段的长； 【解决问题】（3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？请你说明理由． 例3（24-25·湖南岳阳·七年级统考期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义． 初步感知：(1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用：(3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变； ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·开学考试）（多选）如图，已知点、点是直线上的两点，厘米，点在线段上，且厘米．点、点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米/秒，点的速度为2厘米/秒．点、分别从点、点同时出发在直线上运动，则经过（   ）秒时线段的长为6厘米． A．1 B．3 C．6 D．9 4．（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位/秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动 秒时，． 5．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，C，D，E，F为线段上的四点，其中，，在直线上，线段以每秒1个单位长度的速度向左运动．同时，线段以每秒2个单位长度的速度向右运动，则运动 秒时，点C到点A的距离与点F到点B的距离相等． 6．（24-25·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 7．（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位/秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动 秒时，． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知线段，点、点都是线段上的点． (1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ； (2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； (3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． 9．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．    (1)如图1，当为中点时，求的长； (2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长． 10．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长；②当点是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则_________． 11．（24-25·江苏·七年级期末）【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”. （1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） ②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果） 【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”； （3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值. 12．（24-25·江苏七年级期中）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”， （1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”） （2）（初步应用）如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ； （3）（解决问题）如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”． 13．（24-25·江苏·七年级校考期末）如图，线段厘米，点D和点C在线段AB上，且，．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒． （1）求线段AD的长度；（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；（3）当厘米时，求t的值． 14．（24-25七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点，如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个，依此类推，一条线段的四等分点有三个． (1)已知：如图2，，点P是的三等分点，直接写出_________； (2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒．①若点P、点Q同时出发，且当时，求t的值； ②若点P、点Q同时出发，且当点P是线段的四等分点时，直接写出t的值为______． 16．（24-25七年级上·云南·期末）如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则______．（直接写出答案即可） 17．（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）。(1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 18．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：数轴上有点A，表示的数为a，且满足关于x的方程为一元一次方程．数轴上还存在线段和线段（点M始终在点N左边，点P始终在点Q左边）．(1)当三点重合，且，时，求的值及所表示的数． (2)如图，若线段的中点为，线段的中点为，求的值． (3)在（1）的条件下，点M从A点出发，使线段以1个单位每秒的速度向右匀速运动，点P从A点出发，使线段以3个单位每秒的速度向右匀速运动，当点P与点N重合时，线段以原速返回向左运动，当点Q与点M相遇时，线段再次以原速向右运动……当点N所表示的数为时，求点P与点N共相遇了多少次？ 19．（24-25七年级上·重庆长寿·期末）如图，P是定长线段上一点，两点分别从出发以、的速度沿直线先向左运动（C在线段上，D在线段上）．    (1)若运动到任一时刻时，总有，请说明； (2)在（1）的条件下，Q是直线上一点，且，求的值； (3)在（1）的条件下，若运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段上），分别是的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 20．（24-25·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究：（1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______ （2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______ 拓展与延伸：（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06.线段中的五类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 4 模型2动态线段中的‌定值模型 7 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 10 模型4.动态线段中的分类讨论模型 13 模型5.动态线段中的新定义模型 16 21 动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。 （24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或1 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，． （2）解：设运动时间为t，则，，，， 又，，即， ，，； （3）解：当点N在线段上时，如图 ，又，，，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ，又，，即． 综上所述的值为或． （24-25七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____． (2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____． 【答案】(1)   (2)①　②　③ 【详解】（1）解：因为，所以． 因为，所以．所以．故答案为：    （2）①设，则，． 根据题意，得 解得 ．．所以． ②根据题意，得，．，． 根据题意，得解得 ③设．当点在点的左侧时：，，， ，可得解得；所以． 当点在点的右侧时：，，． ．可得 解得 所以．综上所述，或．故答案为：或 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型） 例1（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是，。①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度；②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 【答案】（1）①；②；（2） 【详解】（1）① C，D运动了 ； ②根据题意得， 点C为的中点，点D为的中点； （2）设运动时间为，则 ． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点P是定长线段上一点，从点从点B同时出发分别以每秒厘米的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），并满足下列条件： ①关于m、n的单项式与的和仍为单项式；②在运动过程中，总有． (1)直接写出：_______，_______；(2)求出的值，并说明理由：(3)在运动过程中，分别是的中点，运动t秒时，恰好满足，求此时的值． 【答案】(1)1，2(2)3(3) 【详解】（1）解：∵关于、的单项式与的和仍为单项式， ∴单项式与是同类项，∴，故答案为：1，2； （2）设运动了t秒，则设，则，     故答案为：3； （3）设，由（2）知，， ①当点在线段上时，，解得：， ②当点在线段的延长线上时，，解得：，(不合题意，舍去)， 综上所述，． 例3（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)(2)当或时，点与点之间的距离为个单位长度(3) 【详解】（1）解：∵点在线段上，，， ∴，依题意，， 当点与点相遇时，解得：； （2）解：相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，，解得：， 相遇前点与点之间的距离为个单位长度时，则，解得：， 综上所述，当或时，点与点之间的距离为个单位长度； （3）∵，当在线段上时，，此时， ∵，∴，解得：（舍去） 当在线段上时，，此时， ∵，∴，解得：，∴ 模型2.动态线段中的‌定值模型 例1（24-25七年级上·成都·单元测试）如图，P是线段AB上任意一点，，点C，D分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为，点D的运动速度为，运动的时间为t． (1)若．①运动后，求的长；②当点D在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①；②见解析(2)或 【详解】（1）①由题意可知，． 因为，所以，所以． ②因为，所以，所以， 所以，所以． （2）当时，． ①当点在点的右边时，如图， 因为，所以，所以，所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有，所以． 综上所述，的长度为或． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点A，B，C，D是同一直线上从左到右依次排列的四点，，，且a，b满足：，． (1) ， ；(2)线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．①求运动多少秒时，线段重合的长度为2；②当点B和C重合时，线段立即以原来2.5倍的速度向右运动，线段的运动状态不变，若线段向右运动过程中，式子的值为定值n，请求m和n的值． 【答案】(1)6；3(2)①秒或秒；② 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，，∴；故答案为6，3； （2）解：①设运动时间为t秒， 当时，∵点经过的路程为，点经过的路程为t，， ∴，解得； 当时，∵，∴，解得； 故运动秒或秒时，线段重合的长度为2； ②设相遇后运动时间为x秒，∵运动路程为，运动路程为，则， ∴，， ∴， ∵的值为定值n，∴，∴，∴．故． 例3（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____；(2)若，请求出的长；(3)若点是直线上一点，且，求的值；(4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，3(2)(3)的值为或1(4)不变， 【详解】（1）解：∵，∴，∴，； （2）由（1）和题意可知：， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：当点Q在线段上时，∵，∴， ∵，∴，由（2）知：， ∴∴，∴； 当点Q在线段的延长线上时，∵，∴，∴； 综上，的值为或1； （4）不变； 当时，点C停止运动，此时，， 由（2）可知，，∴， ∴，∴； ①如图，当M，N在点P的同侧时    ； ②如图，当M，N在点P的异侧时    ． ， 当点C停止运动，D点继续运动时，的值不变，∴，值不变． 模型3.动态线段中的存在性模型（探究型） 例1（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）如图：点O是线段上一点，且，P，Q两点分别从点O，M同时出发以，的速度沿直线向右运动，后，点P，Q恰好分别为，的中点．(1)求的长度；(2)试求与的数量关系；(3)若运动后，P，Q两点到O点的距离相等，求t的值． 【答案】(1)40cm(2)(3) 【详解】（1）解：由题意得，后，， 点恰好分别为的中点，； （2）解：∵∴，∴， 当点在线段上时，，； 当点在线段的延长线上时，，，综上，； （3）解：当点是线段的中点时，两点到点的距离相等， ∴，解得； 当点重合时，点在线段的延长线上，，解得（不合题意，舍去）．综上，． 例2（24-25七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值． 【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数， ∴，，∴； 线段的中点表示的数为；故答案为：；； （）秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵点是线段的中点，∴点表示的数是，故答案为：； 当点为中点时，则，解得，不合，舍去； 当点为中点时，则，解得； 当点为中点时，则，解得；∴运动时间的值为或； 当点在点左侧时，，， ∴， 当时，∴，此时，定值． 例3（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】（1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系．线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】（2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】（3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点，∴，， ∵，∴， 当，．∴，，，∴， 当，．∴，，，∴，∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点，∴，， ∵，∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点，∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边，∴， ∵点M为中点，点N为中点，∴，， ∴， 如图，当在的左边，在的右边时，∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ，∴， 如图，当都在的左边时， ∵点M为中点，点N为中点，∴，， ∴ ，综上：. 模型4.动态线段中的分类讨论模型 例1（24-25七年级上·四川达州·期末）如图，P是线段上一点，，C、D两点分别从P、B出发以的速度沿直线向左运动（C在线段上，D在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长；(2)若C、D运动到任一时刻时，总有，请求出的长；(3)在（2）的条件下，Q是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1)(2)(3)的长为或 【详解】（1）解：当时，根据C，D的运动速度知：，则， ∵，∴，即， ∵，∴； （2）由题意得：，∴， ∵，∴，即，∴； （3）分四种情况：①当点Q在线段上时，如图1， ∵， ∴，∴； ②当点Q在线段上时，如图2， ∵，∴，∴（舍）； ③当点Q在点A的左边时，如图3， ∵，∴，∴； ④当在点B的右边时，如图4， ∵，∴，∴（舍）； 综上所述，的长为或． 例2（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知线段，点、在上且满足，点从点出发沿射线方向以的速度运动，同时，点从出发沿射线方向以的速度运动，设运动时间为秒，点、分别为、的中点，当时，则 ． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，以点A为原点，射线的方向为正方形，为1个单位长度建立数轴， ∴点A表示的数为0，点B表示的数为5，点C表示的数为20，点D表示的数为50； 由题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点、分别为、的中点， ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴，， ∵，∴，解得或， ∴或， 综上所述，的长为或，故答案为；或。 例3（24-25七年级上·湖北·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长；(2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒．①当为何值时，点与点重合？②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 【答案】(1)，(2)①4或；②2或10 【详解】（1）解：∵，，∴，∴， ∵点D为线段的中点，∴， ∴，∴综上所述，，； （2）解：①点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒， 依题意得，当时，，则， ∵点与点重合，∴，即，解得：； 当时，，，则， ∵点与点重合，∴，即，解得：； ∴当为4或时，点与点重合； ②当时，，， ∵点，分别为线段，的中点，∴，， ∵，∴，即，解得：或（舍去），∴； 当，，，∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵，∴，即，解得：（舍去）或，∴； ∴综上所述，时，的值为2或10． 模型5.动态线段中的新定义模型 例1（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【详解】解：（1），根据题意得，，∴表示的数是； （2）①点C在线段上时，如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N，∴， 又，∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点，∴，∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下：①如图所示，当时，根据题意得，，解得； ②如图所示，当时，根据题意得，解得； ③如图所示，当时，根据题意得，解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得，解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 例2（24-25七年级上·福建龙岩·期末）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）下列说法正确的有 ． ①若点C是线段的中点，则点C是的巧点； ②若点D在线段上，且，则点D是的巧点． （2）已知点C，D都是线段的巧点，且点C是线段的中点，，，求线段的长； 【解决问题】（3）如图②，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？请你说明理由． 【答案】（1）①②；（2）；（3）当t为，3，， ，s时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点 【详解】解：①∵点C是线段的中点，∴，∴点C是的巧点，①正确； ②∵点D在线段上，且，∴， ∴点D是的巧点，②正确．故答案为：①②． （2）∵，点C是线段的中点，∴ ∵∴∴，∴线段的长为． （3）t秒后，， ①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除． ②当P为A、Q的巧点时， Ⅰ．，即，解得； Ⅱ．，即，解得； Ⅲ．，即，解得； ③当Q为A、P的巧点时， Ⅰ．，即，解得（舍去）； Ⅱ．，即，解得；． Ⅲ．，即，解得． 综上所述，当t为，3，，，时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点． 例3（24-25·湖南岳阳·七年级统考期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义． 初步感知：(1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用：(3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 【答案】(1)，(2)；； (3)存在t为4或，使等式成立 【详解】（1）解：根据题意得：，∵，∴，故答案为：， （2）解：∵，∴，∵∴， ∴，∴； （3）解：当点Q到达点A之前时， ∵∴， ∵∴，∴， ∵，∴，         解得：； 当点Q到达点A返回时，此时，∴ ∵，∴，∵∴   ∴                              ∴存在t的值为4或，使等式成立． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变； ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：运动后，，， M为的中点，，，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点，， ，的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，，， 的值不变，故③正确；，， ，解得：，故④正确；故选：D 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点P的运动速度是点Q的一半，， ，，，， ，故选C． 3．（24-25七年级下·重庆·开学考试）（多选）如图，已知点、点是直线上的两点，厘米，点在线段上，且厘米．点、点是直线上的两个动点，点的速度为1厘米/秒，点的速度为2厘米/秒．点、分别从点、点同时出发在直线上运动，则经过（   ）秒时线段的长为6厘米． A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】ABD 【详解】解：设经过秒时线段的长为6厘米； （1）点P、Q都向右运动时，，解得：； （2）点P、Q都向左运动时，或，解得：； （3）点P向左运动，点Q向右运动时，，解得：； （4）点P向右运动，点Q向左运动时，，解得：． ∴经过3或9或1秒时线段的长为6厘米．故选：． 4．（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位/秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动 秒时，． 【答案】2或18 【详解】设线段运动的时间为t秒，则，，，，∵点N是线段的中点，． ①当M点在N点左侧时，，， ，，解得． ②当M点在N点右侧时，，， ，，解得． 综上，线段运动2秒或18秒时，．故答案为：2或18． 5．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，C，D，E，F为线段上的四点，其中，，在直线上，线段以每秒1个单位长度的速度向左运动．同时，线段以每秒2个单位长度的速度向右运动，则运动 秒时，点C到点A的距离与点F到点B的距离相等． 【答案】2或4/4或2 【详解】解：设运动时间为t，当C和F都在线段上时，由题意得：，解得:, 当C在线段上，F在的延长线上时，由题意得，解得：，故答案为：2或4． 6．（24-25·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 【答案】 7.2 【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒， 点从，运动时间为秒， ∵，∴当点到达终点时，点运动路程为， ∵，∴点在边上，故答案为：； （2）解：由题意知，，故答案为：； （3）解：由题意知，，解得，，故答案为：7.2． 7．（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位/秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动 秒时，． 【答案】2或18 【详解】设线段运动的时间为t秒，则，，，，∵点N是线段的中点，． ①当M点在N点左侧时，，， ，，解得． ②当M点在N点右侧时，，， ，，解得． 综上，线段运动2秒或18秒时，．故答案为：2或18． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知线段，点、点都是线段上的点． (1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ； (2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长； (3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值． 【答案】(1)(2)见解析，或(3)或 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，∴，， ∵，∴；故答案为： ； （2）如图，点在点的左侧， ∵点是线段的中点，点是线段的中点，∴，， ∴ 如图，点在点的右侧， ∵点是线段的中点，点是线段的中点，∴，， ∴， 综上，的长为或； （3）运动秒后，， ∵为的中点，∴，∴， ∵，为的中点，∴， 又∵，∴，或， 由得：或，解得：或． 9．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．    (1)如图1，当为中点时，求的长； (2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)(2)的长为或 【详解】（1）解：∵，，∴，∴，， ∵为中点时，∴，∴，∴； （2）解：当点在点的左侧，   ， ∵，，∴，∴是的中点，∴，∴， ∵，∴，∵，∴图2（）这种情况求不出； 当点在点的右侧，   ， ∵，，∴，∵，∴， ∵，∴图3（）这种情况求不出；综上所述，的长为或． 10．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长；②当点是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则_________． 【答案】(1)①15；②19或14 (2)或 【详解】（1）解：①，， 为中点，， ，的长为15； ②点是线段的三等分点，或， 当时，，则， ，，， 当时，，则，， ，，，的长为19或14； （2）设，则，，， ①当点在线段之间时，如图，    设，则，， ， ，，， ，， ②当点在点的左侧时，如图，    设，则， ，， ，，， ，， ③当点在线段上及点在点右侧时，无解，综上所述，或． 11．（24-25·江苏·七年级期末）【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”. （1）①一条线段的中点 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） ②若线段，是线段的“二倍点”，则 （写出所有结果） 【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒.（2）问为何值时，点是线段的“二倍点”； （3）同时点从点的位置开始，以每秒1的速度向点运动，并与点同时停止.请直接写出点是线段的“二倍点”时的值. 【答案】（1）①是；②10或或；（2）5或或；（3）8或或 【详解】解：（1）①因为线段的中点把该线段分成相等的两部分， 该线段等于2倍的中点一侧的线段长．∴一条线段的中点是这条线段的“二倍点”故答案为：是. ②∵，是线段的“二倍点”， 当时，；当时，； 当时，；故答案为：10或或； （2）当AM=2BM时，20-2t=2×2t，解得：t=； 当AB=2AM时，20=2×（20-2t），解得：t=5； 当BM=2AM时，2t=2×（20-2t），解得：t=； 答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”； （3）当AN=2MN时，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8； 当AM=2NM时，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=； 当MN=2AM时，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=； 答：t为或8或时，点M是线段AN的“二倍点”． 12．（24-25·江苏七年级期中）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”， （1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”） （2）（初步应用）如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ； （3）（解决问题）如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”． 【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或；当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或． 【详解】（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半， 根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．故答案是：是； （2）是线段CD的“奇妙点” 根据定义，此题共分为三种情况． 当，即N为CD的中点时，有CN=12cm． 当，即N为靠近C点的三等分点时，有CN=8cm． 当，即N为靠近D点的三等分点时，有CN=16cm．故答案为：8或12或16． （3）解：由题意可知，A点不可能是“奇妙点”，故P或Q点是“奇妙点”． t秒后，，． 当P点是“奇妙点”时，． 由“奇妙点”定义可分三种情况． 当时，有 解得 当时，有 解得 当时，有 解得 当Q点是“奇妙点”时，． 当时，有 解得 当时，有 解得 当时，有 解得 综上所述：当点P为AQ的“奇妙点”时，或4或； 当点Q为AP的“奇妙点”时，或6或． 13．（24-25·江苏·七年级校考期末）如图，线段厘米，点D和点C在线段AB上，且，．点P从点A出发以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点P到达点C所在位置后立即按照原路原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，点Q到达点D所在的位置后停止运动．点P和点Q同时出发，点Q运动的时间为t秒． （1）求线段AD的长度；（2）当点C恰好为PQ的中点时，求t的值；（3）当厘米时，求t的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）、、8， 【详解】（1）∵，∴ ∵∴ ∴ （2）∵点Q从点B出发以1厘米/秒的速度沿着射线BC的方向运动，∴， P到达C之前时 ∵点C恰好为PQ的中点∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ ∴解得 P到达C之后时 ∵点C恰好为PQ的中点∴此时P在C左边，Q在C右边，且CP=CQ ∴解得 故当点C恰好为PQ的中点时或 （3）当P、Q到达C之前时， ， ∴解得 当P到达C之后、Q到达C之前时， ， ∴ 解得 当P到达D点时此时，，， 当P到达D点以后、Q到达D之前，，解得 综上当厘米时，、、8， 14．（24-25七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， ∵，∴，∴， ∵，∴；       （2）解：设运动时间为，则，，∴，， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴． （3）解：∵，∴，，， ∵，∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时，∴， ∵，∴，∴，∴． 当点P在点B右边时，∵，， ∴，∴；综上，或． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点，如图1，点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个，依此类推，一条线段的四等分点有三个． (1)已知：如图2，，点P是的三等分点，直接写出_________； (2)已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒．①若点P、点Q同时出发，且当时，求t的值； ②若点P、点Q同时出发，且当点P是线段的四等分点时，直接写出t的值为______． 【答案】(1)30或15 (2)①4秒或14秒；②秒或秒或135秒 【详解】（1）当时，；当时，． 综上所述：的长为或．故答案为30或15； （2）①当点P、点Q相遇前，由题意得，，解得； 当点P、点Q相遇后，由题意得，，解得． 综上可知，t的值为4秒或14秒； ②当时，．点P、点Q相遇前， 当时，由题意，得，解得； 当时，由题意，得，解得； 点P、点Q相遇后，当时，由题意，得，解得； 当时，由题意，得，解得（舍去）； 综上可知，t的值为秒或秒或135秒．故答案为：秒或秒或135秒． 16．（24-25七年级上·云南·期末）如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可） 【答案】(1)(2)经过2秒，秒，P、Q两点相距；(3) 【详解】（1）解：∵点P在线段上时，，， ∴，而，∴，∴， ∵点Q是线段的中点∴，而， ∴，∴点Q的运动速度为； （2）解：设运动时间为t秒，则， ∵点Q运动到O点时停止运动∴点Q最多运动时间为 依题意，分以下两种情况：①当点P、Q相遇前，，即，解得 ②当点P、Q相遇后，，，解得：，经检验不符合题意，舍去； 当时，与重合，停止运动，此时， 当再运动时，相距，此时， 综上，经过2秒，秒，P、Q两点相距； （3）解：如图，设， 点P在线段上，则，即， 点E、F分别为和的中点，， ，则． 17．（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）。(1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)；(2)(3)(4)或1 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，，∴， ∴，，故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵，∴；故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵，∴，即， ∵，∴，∴，故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵，又∵∴， ∴∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵，又∵，∴，∴；综上所述：或1． 18．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：数轴上有点A，表示的数为a，且满足关于x的方程为一元一次方程．数轴上还存在线段和线段（点M始终在点N左边，点P始终在点Q左边）．(1)当三点重合，且，时，求的值及所表示的数． (2)如图，若线段的中点为，线段的中点为，求的值． (3)在（1）的条件下，点M从A点出发，使线段以1个单位每秒的速度向右匀速运动，点P从A点出发，使线段以3个单位每秒的速度向右匀速运动，当点P与点N重合时，线段以原速返回向左运动，当点Q与点M相遇时，线段再次以原速向右运动……当点N所表示的数为时，求点P与点N共相遇了多少次？ 【答案】(1)；点表示的数为；点表示的数为(2)(3) 【详解】（1）解：∵关于x的方程为一元一次方程 ∴解得： ∵三点重合∴， ∴点表示的数为：；点表示的数为： （2）解：∵线段的中点为，线段的中点为∴， ∴∴ （3）解：在（1）的条件下表示的数为，当点所表示的数为时； ∴线段的总运动时间为：（秒） 点与点第一次重合所用时间为：（秒） 从点与点第一次重合到点与点第二次重合所需时间为： （秒） 即从点与点第一次重合后的每秒，点与点相遇一次； 故点与点共相遇：（次） 答：当点所表示的数为时，求点与点共相遇了次． 19．（24-25七年级上·重庆长寿·期末）如图，P是定长线段上一点，两点分别从出发以、的速度沿直线先向左运动（C在线段上，D在线段上）．    (1)若运动到任一时刻时，总有，请说明； (2)在（1）的条件下，Q是直线上一点，且，求的值； (3)在（1）的条件下，若运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段上），分别是的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】(1)见解析(2)或(3)②正确， 【详解】（1）设C，D运动的时间是秒． ∵，∴， ∴，∴，∴； （2）当点Q在线段上时，∵，∴， ∵，∴，∴，∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵，∴，∴；综上，的值为或1； （3）②的值不变，正确，理由如下： 若C、D运动5秒后，则，，由（1）知， 设，则．∵，∴，解得，∴， 当M、N分别是的中点时，的值不变． 设当C点停止后D点继续运动秒． 则， ∴， ∴，∴． 20．（24-25·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究：（1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______ （2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______ 拓展与延伸：（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？ 【答案】（1）；；（2）或；（3）11或13 【详解】解：（1）线段长为，点从点A以的速度向点运动， ，，故答案为：，； （2），，动点以的速度从A点沿着运动， 当点P在上时，，当点P在上时，， 故答案为：或； （3）当点在点的左边时，，即，，解得， 当点在点的右侧时，，，解得，故为11或13时，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $