专题17 全等三角形中的八类重要模型（几何模型讲义）数学人教版2024八年级上册

专题17.全等三角形中的八类重要模型 本专题包含全等三角形中的八大重要模型，主要有：倍长中线、截长补短、一线三等角（K字型）、手拉手模型、半角模型、对角互补模型、十字架模型、角平分线的全等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1.（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（  ）个      A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知：如图，在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①；②；③，④． 其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.（24-25八年级上·山东·期末）如图，在等边中，在边上取两点、，使．若，，，则以、、为边长的三角形的形状为（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 5．（2024·安徽·一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，，，，则DE的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，小马用高度都是的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点重合，直角三角板的直角顶点与点，均在水平地面上，点，在同一竖直平面内．已知，，则两面木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下江苏期中）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 8.（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变；②；③的长度不变；④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 9．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则 ． 10．（24·25浙江八年级期中）如图，将一块边长为 12 cm 正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至DC 边上的 E 点，使 DE＝5，折痕为 PQ，则 PQ 的长为 cm． 11．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图所示，，是等腰的斜边上的两个动点，,且．(1)求证：；(2)求证；． 12．（24-25八年级下·浙江·假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 13.（24-25八年级上·广西·期末）已知：正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，当绕点A旋转到时，线段，和的等量关系是______． (2)当绕点A旋转到时，如图2，请问（1）中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(3)当绕点A旋转到如图3位置时，请直接写出线段，和的等量关系． 14.（24-25八年级上·黑龙江·期末）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、. 当绕点旋转到时（如图1），易证：.（不必证明） (1)当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：. (2)当绕点旋转到时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 15．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，在直角中，，点D、F分别在边和上，，垂足为E，且，．    (1)求证：平分；(2)当时，求的度数． 16.（24-25八年级下·湖南永州·期中）已知中，，，D为AB边的中点，，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． (1)当∠EDF绕D点旋转到于E时（如图①），则______（请在“＞、＝、＜”中选择一个填空）．(2)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．(3)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图③这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明． 17．（24-25七年级下·广东佛山·期末）综合与实践：和是两个全等的等腰直角三角形．，．当点落在中点上时，绕着点旋转，、分别与、分别交于点、，令． (1)如图1，若点落在边上，则四边形的面积为 ；(2)如图2，在旋转过程中，求四边形的面积；(3)在旋转过程中，当是等腰三角形时，求的值． 18．（2025·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°． (1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明． 19．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，在中，．点分别是上的点，且，若，求证：． 20．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P．①求证：；②求证：． 21．（24·25下·重庆·九年级期中）如图，在正方形中，、、、分别为、、、边上的点，与相交于点，若，证明：． 22.（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．       解决此问题可以用如下方法：延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”．（2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度． 23.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，中，点，在边上，，过作交于点．判断是否平分？请说明理由． 下面起两位同学的做法： 如图2，小美同学从线段FE的角度去考虑，倍长，使，连接； 如图3，小丽同学从线段AE的角度去与虑，倍长，使，连接； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）如图4，在中，是的中线，．请判断与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】（3）如图5，在中，分别以为直角边向内作等腰直角三角形，是边上的中线，已知，求的长． 24.（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】(1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分，， 在和中，， （ ① ），，． ，． 是的一个外角，， ， ② ，（ ③ ） ，． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 25.（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】(2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】(3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 26.（24-25浙江·八年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 27.（24-25八年级上·广西·开学考试）【问题背景】在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】如图4，在四边形ABCD中，，，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若，请直接写出与的数量关系．    28．（2024·山东·一模）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用：如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． 29.（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知，D，A，E三点在直线m上，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】（1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系并说明理由． 【类比迁移】（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，与的面积之和为2，请直接写出的面积． 30.（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）理解证明：如图1，，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，的外角．已知，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.全等三角形中的八类重要模型 本专题包含全等三角形中的八大重要模型，主要有：倍长中线、截长补短、一线三等角（K字型）、手拉手模型、半角模型、对角互补模型、十字架模型、角平分线的全等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1.（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（  ）个      A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：①等边和等边， ，，，， 在和中，，，；故①正确； ③（已证），， （已证），，， 在与中，，，；故③正确； ②，，是等边三角形， ，，∴；故②正确； ④，， 等边，，∴，， ．故④正确； ，，又，是等边三角形，故⑤正确； ⑥如图，过点作于，于， ，，，平分，，， ∵，∴，∴，∴， 当平分，∴，∵，， ∴，∴，互相矛盾，⑥错误，故选：B． 2．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知：如图，在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①；②；③，④． 其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：，中，，，， ，都为等腰直角三角形，， ,， 在与中 （SAS），所以①正确； 由可得，，=， ，，所以③，④正确； 在与中，有为公共边，，但不能证明，所以无法证明与全等，即不能证明，所以②错误；综上，正确的有①，③，④三个，故选：C． 3.（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①过点作于， 平分，平分，，，， ，，，， ，，，，， 与不一定相等，与不一定相等，点不一定是的中点， 与不一定相等，故①不正确； ②，，，， ，， ，，，，②正确； ③平分，平分， ，，，③正确； ④由①可知， ，，，故④正确，故选：C． 4.（24-25八年级上·山东·期末）如图，在等边中，在边上取两点、，使．若，，，则以、、为边长的三角形的形状为（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【详解】解：如图所示：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知，，，，， ∵是等边三角形，∴，∵，∴， ∴，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，，∴， ∴以、、为边长的三角形的形状为钝角三角形,故选：C． 5．（2024·安徽·一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，，，，则DE的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：延长BD交AC于点F，如图 AD平分， D是BF的中点， E是BC中点，故选：D． 6．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，小马用高度都是的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板，且直角三角板斜边的两个端点分别与点重合，直角三角板的直角顶点与点，均在水平地面上，点，在同一竖直平面内．已知，，则两面木墙之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：，，， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，故选：C． 7．（24-25九年级下江苏期中）如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 【答案】4 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：4． 8.（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变；②；③的长度不变；④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【详解】解：作于，于，如图所示： ，， ，，， 平分，于，于，， 在和中，，∴，， 在和中，，，，， ，为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵，∴，∴，故②正确； ∵，，定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的，的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④．故答案为：①②④． 9．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则 ． 【答案】6 【详解】解：∵是等边三角形，边长为4，∴，， 如图，过点作，设与交于点， ∴，∴， 又∵，，∴， 又∵点为的中点，且，∴是的中位线，∴， 在和中，，∴，∴， 又∵， ∴．故答案为：6． 10．（24·25浙江八年级期中）如图，将一块边长为 12 cm 正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至DC 边上的 E 点，使 DE＝5，折痕为 PQ，则 PQ 的长为 cm． 【答案】13 【详解】过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ， ∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD ∴△PQM≌△ADE∴PQ=AE=故答案是：13. 11．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）如图所示，，是等腰的斜边上的两个动点，,且．(1)求证：；(2)求证；． 【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，∴． （2）证明：由（1）知，∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴． 12．（24-25八年级下·浙江·假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)，；(2)(3)，，理由见解析． 【详解】（1）（1）解：，，， 在和中，，，故答案为：，； （2）解：等边和等边， ，，， ，， 在和中，，，， ， ，故答案为：； （3）解：且，理由如下：如下图所示， ，，即， 在和中，，，，， ，，∴． 13.（24-25八年级上·广西·期末）已知：正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，当绕点A旋转到时，线段，和的等量关系是______． (2)当绕点A旋转到时，如图2，请问（1）中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(3)当绕点A旋转到如图3位置时，请直接写出线段，和的等量关系． 【答案】(1)(2)成立，证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图，连接，交于点．               四边形为正方形，且， ，且平分，且，∴， ，即，， 在和中，， ，同理可得，， ．故答案为：； （2）解：成立，理由如下：如图，在的延长线上，截取，连接， 在和中，，，， ，，，， 在和中，，， 又，． （3）解：，如图，在上截取，连接， 和中，， ，，，即， ，， 在和中，， ，，． 14.（24-25八年级上·黑龙江·期末）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、. 当绕点旋转到时（如图1），易证：.（不必证明） (1)当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：. (2)当绕点旋转到时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)不成立， 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接， ，， 在和中，，，， ，， ，即，， 在和中，，，， ，． （2）不成立， 证明如下：如图，在上截取，连接， ，， 在和中，，，， ，， ，， 在和中，，，， ，即． 15．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，在直角中，，点D、F分别在边和上，，垂足为E，且，．    (1)求证：平分；(2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴平分； （2）解：∵，，∴， ∴，由（1）可得，∴． 16.（24-25八年级下·湖南永州·期中）已知中，，，D为AB边的中点，，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． (1)当∠EDF绕D点旋转到于E时（如图①），则______（请在“＞、＝、＜”中选择一个填空）．(2)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．(3)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图③这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明． 【答案】(1)“＝”(2)成立，证明见解析(3)不成立；它们的关系是：；理由见解析 【详解】（1）解： ∵DE⊥AC ，∴∠DEC＝90°，又∵∠EDF＝90°，，∴四边形CEDF是矩形， ∵D为AB中点，∴E为AC中点，∴，同理可得， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： 证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°， 又∵∠C＝90°，∴DM∥BC，DN∥AC， ∵D为AB边的中点，由中位线定理可知：DN＝AC，MD＝BC，∵AC＝BC，∴MD＝ND， ∵∠EDF＝90°，∴∠MDE+∠EDN＝90°，∠NDF+∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF， 在△DME与△DNF中， ，∴△DME≌△DNF（ASA）， ∴S△DME＝S△DNF，∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF+S△CEF， 由以上可知S四边形DMCN＝S△ABC，∴S△DEF+S△CEF＝S△ABC； （3）解：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC，理由如下：连接DC， 证明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°， ∴S△DEF＝S五边形DBFEC＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC． 故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC． 17．（24-25七年级下·广东佛山·期末）综合与实践：和是两个全等的等腰直角三角形．，．当点落在中点上时，绕着点旋转，、分别与、分别交于点、，令． (1)如图1，若点落在边上，则四边形的面积为 ；(2)如图2，在旋转过程中，求四边形的面积；(3)在旋转过程中，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或或 【详解】（1）解：连接，如图所示： 在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则， 由等腰三角形三线合一性质可得平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，故答案为：； （2）连接，如图所示： 在等腰中，为的中点，即是斜边上的中线，则， 由等腰三角形三线合一性质可得平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴； （3）解：当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，∵，∴； ②当时，∴，∴； ③当时，； 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或或． 18．（2025·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°． (1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)AD⊥CB′；；(2)①∠BAC=2∠DAE，理由见解析；②BE=CD+DE，理由见解析 【解析】（1）解：∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴AD⊥CB′； 过点A作AF⊥BC于点F，　 ∵AB=AC，∴CF=BF=BC=，∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，∴AF= AD，∴△ADC≌△AFC(HL)， ∴CD=CF=，故答案为：AD⊥CB′；； （2）解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下： 设∠ACB′=∠ACB=α=∠B，∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC， ∵∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ACD=90°-∠DAE=α，∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，∴∠BAC=2∠DAE； ②BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，　 在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD(SAS)，∴AG=AD，∠BAG=∠CAD， ∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，∴∠BAC=∠GAD， ∵∠BAC=2∠DAE，∴∠GAD=2∠DAE，∴∠GAE=∠DAE， 在△GAE和△DAE中，，∴△GAE≌△DAE (SAS)， ∴GE=DE，∴BE=BG+GC=CD+DE． 19．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，在中，．点分别是上的点，且，若，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：且，， 又，，，， 在和中，，，． 20．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P．①求证：；②求证：． 【答案】(1)(2)(3)①见解析；②见解析 【详解】（1）证明：如图1， ∵于点D，于点E．∴， ∵，∴ 又∵，∴， 在和中∴∴； （2）解：∵，．∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中∴∴； （3）证明：①∵，∴，由（2）得，∴ ∵，∴∴； ②∵，∴，∵F为的中点，∴，∴， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴． 21．（24·25下·重庆·九年级期中）如图，在正方形中，、、、分别为、、、边上的点，与相交于点，若，证明：． 【答案】见解析 【详解】证明：如解图，过点作于点，过点作于点． ∵四边形为正方形，∴，，∴， ∵，∴，又∵，∴， 又∵，∴，∴． 22.（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．       解决此问题可以用如下方法：延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”．（2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）由题意，， ∴，∴，∴， 即：，∴．故答案为：． （2）如图，延长至点E，使，连接．因为D为的中点，所以．    在和中，，所以，所以． 因为，且，，所以，所以． 因为线段的长度为整数，所以． 23.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，中，点，在边上，，过作交于点．判断是否平分？请说明理由． 下面起两位同学的做法： 如图2，小美同学从线段FE的角度去考虑，倍长，使，连接； 如图3，小丽同学从线段AE的角度去与虑，倍长，使，连接； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）如图4，在中，是的中线，．请判断与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】（3）如图5，在中，分别以为直角边向内作等腰直角三角形，是边上的中线，已知，求的长． 【答案】（1）平分，理由见解析；（2），理由见解析；（3）． 【详解】解：（1）①小美同学的解题思路，延长至G，使连接，如图： 在和中， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴平分； ②小丽同学的解题思路，延长至G，使，连接， 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴平分； （2），理由如下：延长到F，使，连接，如图： ∵是的中线，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∵，∴； （3）延长至G，使，连接，如图： ∵是边上的中线，∴， 在和中，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，在和中， ． 24.（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】(1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分，， 在和中，， （ ① ），，． ，． 是的一个外角，， ， ② ，（ ③ ） ，． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【答案】(1)；；等角对等边(2) 【详解】（1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分，，在和中，， ，，，，， 是的一个外角，，，（等角对等边）， ，．故答案为：；；等角对等边； （2）在上截取，连接， 由题意可得， ，， 在和中，，，， ，，， ，， 在和中，，，， ，，． 25.（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】(2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】(3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 【答案】(1)；(2) ，证明见解析；(3)证明见解析． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴， 在和中，，，，∴ ∴，， ∵，∴，∴，∴，∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，，，∴，∴， ∵，∴； （2）在上取，连接，∵于∴∴ ∵，∴，∴ ∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，， ∴∴，∴ ∴∴ 过作，交于点，∴， ∵是的中点，∴，又∴ ∴ ，，而， ∴， 又∵∴∴    即　． 26.（24-25浙江·八年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，在上截取 平分 平分 27.（24-25八年级上·广西·开学考试）【问题背景】在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】如图4，在四边形ABCD中，，，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若，请直接写出与的数量关系．    【答案】初步探索：；探索延伸：仍然成立，证明见解析；结论运用：此时两舰艇之间的距离是210海里；问题发现：． 【详解】初步探索：线段、、之间的数量关系为：； 证明：延长到，使，连接，如图1：       在和中，，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， 故线段、、之间的数量关系为：．故答案为：． 探索延伸：仍然成立；证明：如图2，延长到，使，连接， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴.∴， 在和中，，∴∴， ∴；故结论仍然成立． 结论运用：解：连接，延长交于点，如图3：       ∵，，∴， ∵，∴， ∴符合探索延伸中的条件，∴结论成立， 即海里，答：此时两舰艇之间的距离是210海里； 问题发现：延长到H，使，如图4， ∵，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴，即， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴． 28．（2024·山东·一模）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用：如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析． 【详解】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示， ∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中，∵，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案为：1＜AD＜5， （2）BE+CF＞EF；证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示． 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF， ∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF； （3）AF+CF＝AB．如图③，延长AE，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G， 在△ABE和△GCE中  CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC， ∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠GAF， ∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB． 29.（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知，D，A，E三点在直线m上，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】（1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系并说明理由． 【类比迁移】（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，与的面积之和为2，请直接写出的面积． 【答案】（1），见解析；（2）（1）中的结论成立，见解析；（3） 【详解】解：（1）， ，，， 在和中， ，， ，，，即； （2）仍然成立，理由如下：， ，，， 在和中， ，， ，，； （3），， ，，， 在和中， ，，， ∵与的面积之和为2，∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为，， ． 30.（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）理解证明：如图1，，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，的外角．已知，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）14 【详解】解：（1）∵，， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴． （2）∵，，，∴， ∵，，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴； （3）如图，∵在等腰三角形ABC中，，， ∴与等高，底边比值为：．∴与面积比为：．    ∵的面积为21，∴与面积分别为：7，14．∵，∴． ∵，，，∴．∴． ∵，，．∴．∴与面积相等， ∴与的面积之和为的面积．∴与的面积之和为14． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $