精品解析：陕西省渭南市某校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

陕西省渭南市某校2025-2026学年高二上学期10月月考 数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，过点（2，0）且斜率为﹣1的直线不经过（　 　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若直线与圆相切，则（ ） A. 13 B. 5 C. －5 D. －13 3. 设不同直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 直线与直线间的距离是（ ） A. B. C. D. １ 5. 已知直线:，直线:，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆和，且经过的焦点，的两个焦点与的顶点重合，设的离心率分别为，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 若圆过点，，且被直线截得的弦长为，则圆的方程是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下： 若两直线中至少有一条与圆相切， 则称该位置关系为 “平行相切”；若两直线都与圆相离， 则称该位置关系为 “平行相离”； 否则称为 “平行相交”. 已知直线，与圆的位置关系是 “平行相交”，则实数的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的离心率，则m的值为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过点（1，1） B. 若直线与轴的夹角为30°，则或 C. 直线的斜率可以等于0 D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则或 11. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题，其中正确命题是（ ） A. 在太极图中黑色阴影部分的面积是整体的； B. 当时，直线与白色部分有公共点； C. 黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为2； D. 设点，点在此太极图上，使得，的取值范围是. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线l在x轴上的截距为3，且l的一个法向量为，则l的方程为________． 13. 已知直线.及点，.为上任意一点，则的最小值是__________. 14. 直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线交于点． （1）求过点且平行于直线的直线的方程；（结果都写成一般方程形式） （2）求过点的所有直线中使原点到此直线的距离最大的直线的方程． 16. 已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. （1）若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； （2）求面积的最小值及此时直线的方程. 17. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 19. 已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为． （1）求边所在直线方程； （2）以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省渭南市某校2025-2026学年高二上学期10月月考 数学试卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，过点（2，0）且斜率为﹣1的直线不经过（　 　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线方程后再求出它与坐标轴的交点即可确定． 【详解】由题意直线方程为，即，它与坐标轴的交点为，因此直线不过第三象限． 故选：C. 【点睛】本题考查直线方程，属于基础题． 2. 若直线与圆相切，则（ ） A. 13 B. 5 C. －5 D. －13 【答案】B 【解析】 【分析】 先求得圆心坐标为，半径，根据直线与圆的位置关系，得到，即可求解. 【详解】由题意，圆可化为， 可得圆心坐标为，半径， 因为直线和圆相切，则圆的半径， 即，解得. 故选：B． 3. 设不同直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件，求得的值，根据充分条件与必要条件的概念，即可判定出结果. 【详解】当时，代入两直线方程中，易知两直线平行， 即充分性成立时，显然， 从而有，解得或， 但当时，两直线重合，不合要求，故必要性成立． 故选：C. 【点睛】本题考查了两条直线平行的条件和充要条件这两个知识点，属于常考题型. 4. 直线与直线间的距离是（ ） A. B. C. D. １ 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 5. 已知直线:，直线:，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线的垂直，即可求出tanα=2，再根据二倍角公式即可求出． 【详解】因为l1⊥l2，所以， 所以tanα=2， 所以. 故选：B． 【点睛】本题考查了两直线的垂直的充要条件，以及正切二倍角公式，属于容易题. 6. 已知椭圆和，且经过的焦点，的两个焦点与的顶点重合，设的离心率分别为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题得出的半焦距为2，短半轴长为2，进而得出长半轴长为，再根据离心率公式得出，即可求解． 【详解】由的方程可得的半焦距为，短半轴长为2， 故由题意可得的半焦距为2，短半轴长为2， 所以的长半轴长为， 所以，则， 故选：C． 7. 若圆过点，，且被直线截得的弦长为，则圆的方程是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的性质可知圆心必在直线上，可设圆心，半径为，利用垂径定理可构造出关于的方程，解方程求得，进而可得圆的方程. 【详解】由，中点为，则圆心必在直线上 设圆心，半径为 则圆心到直线的距离，半径 ，解得：或 当时，圆心，半径为 圆方程为，即 当时，圆心，半径为 圆方程为，即 综上所述：圆的方程为或 故选： 【点睛】本题考查圆的方程的求解问题，关键是能够利用垂径定理构造方程求得圆心和半径，需明确直线被圆截得的弦长为. 8. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下： 若两直线中至少有一条与圆相切， 则称该位置关系为 “平行相切”；若两直线都与圆相离， 则称该位置关系为 “平行相离”； 否则称为 “平行相交”. 已知直线，与圆的位置关系是 “平行相交”，则实数的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，求得a值，将圆配方，可得圆心和半径，由题意，分别求出“平行相切”与“平行相离”时b的范围，综合分析，即可得到答案. 【详解】由已知得直线与平行， 则，解得 或 ， 当 时，两直线方程相同，两直线重合，不合题意； 当 时，检验符合题意，所以 ， 此时两直线方程分别为和. 将配方整理得， 所以圆心坐标为 ，半径为， 当两条平行直线与圆 “平行相切” 时，或； 当两条平行直线与圆“平行相离”时，且 ， 即 ； 当两条平行直线与圆“平行相交”时， 且 . 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的离心率，则m的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】讨论椭圆的焦点位置，确定，根据离心率求得m的值，可得答案. 【详解】当椭圆的焦点坐标在x轴上时， ， 由可得：，解得； 当椭圆的焦点坐标在y轴上时，， 可得：，解得， 综上可知m的值为3或， 故选：AD 10. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过点（1，1） B. 若直线与轴的夹角为30°，则或 C. 直线的斜率可以等于0 D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误；. 【详解】直线的方程可化为，所以直线过定点，故A选项正确； ∵直线与轴的夹角为30°， ∴直线的倾斜角为60°或120°，而直线的斜率为， ∴或，∴或，故B选项正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为，不可能等于0，故C选项错误； 当时，直线，在轴上的截距不存在， 当时，令，得，令，得， 令，得，故D选项正确． 故选：ABD． 11. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形.其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题，其中正确命题是（ ） A. 在太极图中黑色阴影部分的面积是整体的； B. 当时，直线与白色部分有公共点； C. 黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则的最大值为2； D. 设点，点在此太极图上，使得，的取值范围是. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据几何概型概率计算，判断A.根据直线和圆的位置关系，判断B的正确性.根据线性规划的知识求得的最大值，由此判断C的正确性.将转化为过的两条切线所成的角大于等于，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围，从而判断出D的正确性. 【详解】对于A，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，A正确； 对于B，当时，直线, 过点，所以直线与白色部分在第I和第IV象限部分没有公共点. 圆的圆心为，半径为，圆心到直线， 即直线的距离为， 所以直线与白色部分在第III象限的部分没有公共点.综上所述， 直线y＝ax+2a与白色部分没有公共点，B错误； 对于C，设，由线性规划知识可知，当直线l与圆相切时，z最大， 由解得（舍去），C错误； 对于D，要使得，即需要过点P的两条切线所成角大于等于， 所以，即，于是，解得，故D正确． 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线l在x轴上的截距为3，且l的一个法向量为，则l的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再由直线的斜截式方程求出l的方程. 【详解】由l的一个法向量为，得直线的斜率为， 又因为直线l在x轴上的截距为3， 所以直线l的方程为，即. 故答案为： 13. 已知直线.及点，.为上任意一点，则的最小值是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，线段与直线的交点为，最小值为. 【详解】 如图，设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，即， 则直线的方程为，联立解得，即交点为， 此时，的值最小，最小值为. 故答案为：5. 14. 直线：与直线：交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两点间距离公式求出，再分析得到最值即可. 【详解】因为：与直线：的交点坐标为， 所以， 若最大，则最小，则最小， 而，当且仅当时取等，此时， 所以的最大值是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线交于点． （1）求过点且平行于直线的直线的方程；（结果都写成一般方程形式） （2）求过点的所有直线中使原点到此直线的距离最大的直线的方程． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先求点坐标，再根据直线与直线平行的关系求出直线的的斜率，最后根据直线点斜式方程即可写出的方程； （2） 当时，原点到直线的距离最大． 【小问1详解】 由得， 直线与直线交于点， 由已知得直线的斜率为， 故直线的方程为，即． 【小问2详解】 当时，原点到此直线的距离最大． 又，则直线的斜率为， 故直线的方程为，即． 16. 已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. （1）若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； （2）求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1） （2）24， 【解析】 【分析】（1）根据题意，假设直线的方程为，代入所经过点即可得解； （2）利用直线的截距式方程，结合基本不等式求得，从而得到的面积的最小值与直线的方程，从而得解. 【小问1详解】 由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即. 【小问2详解】 依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即. 17. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立，解得， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. （1）若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； （2）若，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 19. 已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为． （1）求边所在直线方程； （2）以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助中线的性质与高的性质计算可得、两点坐标，即可得直线方程； （2）借助切线的性质与面积公式计算可得时，四边形面积最小，结合两圆公共弦的求法可得直线的方程. 【小问1详解】 因为边上的高线所在直线的方程为， 且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即， 联立直线和直线的方程可得，解得，即点， 设点，则线段的中点为， 由题意可得，解得， 即点，则，即； 【小问2详解】 因为， ， ， 则， 故圆的半径为， 所以，圆的方程为， 由与圆相切，故, 又，故取最小值，四边形面积最小， 则当为点到直线的距离时， 即时，四边形面积最小， 设，有， 解得，故，由与圆相切，故、、、四点共圆， 切该圆以为直径，圆心为，即，半径为， 即该圆方程为，即， 又圆的方程为，即， 两圆方程作差得， 即直线为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $