期中专项训练03 有理数的运算（简便运算与规律）专题复习（8大专项题型） 2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册

专练03 有理数的简便计算 【题型1】凑整法简便计算 1．（2024-2025•西安月考）简便计算：． 2．（2024-2025•凤翔区月考）用简便方法计算：． 3．（2024-2025•辉县市校级月考）用简便方法计算： （1）5﹣14+11﹣6+39+15； （2）35+47﹣23﹣47+23； （3）（+6.25）（﹣0.75）﹣（﹣22）． 4．（2024-2025•西峰区校级月考）利用简便方法计算下列各题： （1）6.6+（﹣4.5）﹣（﹣3.4）﹣（+15.5）； （2）； （3）． 【题型2】带分数拆项法计算 5．（2024-2025•如皋市校级月考）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1； 例2． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： （1）； （2）． 6．（2024-2025•宝安区校级月考）阅读下列材料： 计算：． 解：原式 叫[（﹣3）+（﹣1）+2+2]+　 　 ＝0+　 　 ＝　 　 ． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： （1）请补全以上计算过程． （2）类比上面的方法计算：． 7．（2024-2025•泸县校级月考）阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式 上面这种解题方法叫拆项法． 仿照上述解题过程计算：． 8．（2024-2025•新罗区校级月考）数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： （1）； （2）． 【题型3】裂项相消法求分数数列 9．（2024-2025•顺德区校级月考）观察下列各式：；…我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似地，对于，可以用裂项的方法变形为.类比上述方法，解答下列各题： （1）　 　 ﹣　 　 ． （2）计算：　 　 ． （3）计算：． 10．（2024-2025•铁西区校级月考）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们其持征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． （1）猜想并写出： 　 　 ． （2）探究并计算下列各式： ①； ②． 11．（2024-2025•昆山市月考）【情景创设】 ，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 我们思考并发现：，，，那么： （1）根据规律可知：第6个数是 　 　 ，是第 　 　 个数； （2）根据规律填空： 　 　 ； 【方法展示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算：． 12．（2024-2025•东坡区校级月考）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减． 例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类比上述方法，解决以下问题． （1）猜想并写出：　 　 ． （2）探究并计算下列各式： ①； ②． 【题型4】含绝对值的裂项与化简 13．（2024-2025•东莞市校级期中）【阅读理解】 因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当a≥0时|a|＝a，当a＜0时|a|＝﹣a例如：，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把式子写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： 　 　 ； 【拓广应用】 （2）计算：． 14．（2024•杭州模拟）学习了绝对值的概念后、我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a≤0时，|a|＝﹣a．根据以上阅读完成下面的问题： （1）|2﹣3|＝　 　 ． （2）若有理数a＜b，则|a﹣b|＝　 　 ． （3）请利用你探究的结论计算下面的式子：． 15．（2024-2025•高安市期中）学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当a≤0时，|a|＝﹣a，根据以上阅读完成下面的问题： （1）|2﹣3|＝　 　 ； （2）|3.14﹣π|＝　 　 ； （3）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝　 　 ； （4）请利用你探究的结论计算下面式子： ． 16．（2024-2025•晋江市校级期中）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a＞0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉．例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；；． （1）根据上面的规律，|3﹣π|＝ 　 　 ；（写成去掉绝对值符号的形式不算出结果） （2）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝ 　 　 ； （3）请利用你探究的结论计算：． 【题型5】乘法分配律（逆用）简便计算 17．（2024-2025•河西区校级月考）要使计算简便，可运用（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法分配律 18．（2024-2025•旌阳区校级模拟）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为A，为B， 则原式＝B（1+A）﹣A（1+B）＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A． 请用上面的方法计算： （1）； （2）． 19．（2024-2025•越秀区校级月考）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容．阅读下列材料，完成后面任务． 关于“用拆分法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：计算． 研究思路：直接运算太麻烦了！观察算式，可得原式可分为，再利用乘法分配律运算能简单很多． 研究方法：先利用拆分法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） ＝▲． 任务： （1）上述研究报告中的依据1是指　 　 ，依据2是指　 　 ． （2）研究报告中，“▲”处空缺的内容是　 　 ． （3）请用拆分法，计算：． 20．（2024-2025•清城区校级月考）利用运算律进行简便计算，例如： ①98×12＝（100﹣2）×12＝1200﹣24＝1176； ②57×99+44×99﹣99＝99×（57+44﹣1）＝99×100＝9900． 参考①、②的例子，用运算律简便计算： （1）999×（﹣15）； （2）999×118+999×（﹣17）﹣999； （3）． 【题型6】倒数法简化复杂除法运算 21．（2024-2025•志丹县月考）用简便方法计算：． 22．（2024-2025•乡宁县期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 ． 解法②：原式 ． 解法③：原式的倒数为 ， 故原式． 任务：（1）上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 　 　 是错误的．（填序号） （2）在正确的解法中，你认为解法 　 　 比较简便．（填序号） （3）请你进行简便计算：． 23．（2024-2025•衡阳月考）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 方法1：原式； 方法2：原式的倒数，所以原式． 任务： （1）材料中的方法1是先求括号内的　 　 运算，再求括号外的　 　 运算（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”）； （2）小明联想到材料的方法，给出了如下解法． 答案解：原式① ② ③ ④ ．⑤ 显然小明的解法是错误的，从第　 　 步开始出现错误（填序号）； （3）根据材料中的方法2计算：． 24．（2024-2025•金沙县期末）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【题型7】错项相减法求等比数列和 25．（2024-2025•金华校级期中）求1+2+22+23+…+22024的值，可令S＝1+2+22+23+…+22024，则2S＝2+22+23+24+…+22025，因此2S﹣S＝22025﹣1．仿照以上方法，计算出1+5+52+53+…+52024的值为（　　） A．52024﹣1 B．52025﹣1 C． D． 26．（2024-2025•荔城区校级期中）阅读材料：求1+2+22+23+24+⋯+22019的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+⋯+22019①， 将等式两边同时乘2，得2S＝2+22+23+24+⋯+22019+22020②， 由②﹣①，得：2S﹣S＝22020﹣1， 所以1+2+22+23+24+⋯+22019＝22020﹣1， 请你仿照以上解法，计算：1+5+52+53+54+⋯+5n． 27．（2024-2025•李沧区校级月考）阅读下面一段： 计算1+5+52+53…+599+5100． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设S＝1+5+52+53…+599+5100，① 则5S＝5+52+…+5100+5101，② ②﹣①得4S＝5101﹣1，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： （1）1+6+62+63+⋯+6100； （2）． 28．（2024-2025•拱墅区校级月考）阅读材料，回答问题． 材料一：因为23＝2×2×2，22＝2×2，所以23×22＝（2×2×2）×（2×2）＝25． 材料二：求31+32+33+34+35+36的值． 解：设S＝31+32+33+34+35+36①．则3S＝32+33+34+35+36+37②， 用②﹣①得3S﹣S＝（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）＝37﹣3， 所以2S＝37﹣3，即．所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． （1）填空：5×52＝5（）． （2）“棋盘摆米”是一个著名的数学故事；阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏． 阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒… 按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放　 　 粒米． ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． （3）5+2×52+3×53+4×54+⋯+8×58． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专练03 有理数的简便计算 【题型1】凑整法简便计算 1．（2024-2025•西安月考）简便计算：． 【答案】﹣1． 【分析】根据有理数加减混合运算法则，结合加法的交换律和结合律，进行简便运算即可． 【解答】解：原式 ＝﹣1+0 ＝﹣1． 【点评】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握加法的交换律和结合律，是解题的关键． 2．（2024-2025•凤翔区月考）用简便方法计算：． 【答案】0． 【分析】直接利用运算律把原式化为，再计算即可． 【解答】解：原式 ＝1+（﹣1） ＝0． 【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法运算法则是关键． 3．（2024-2025•辉县市校级月考）用简便方法计算： （1）5﹣14+11﹣6+39+15； （2）35+47﹣23﹣47+23； （3）（+6.25）（﹣0.75）﹣（﹣22）． 【答案】（1）50；（2）35；（3）54． 【分析】（1）运用加法结合律进行运算即可； （2）运用加法结合律进行运算即可； （3）运用加法结合律进行运算即可． 【解答】解：（1）5﹣14+11﹣6+39+15 ＝（5+15）+（﹣14﹣6）+（11+39） ＝20﹣20+50 ＝50； （2）35+47﹣23﹣47+23 ＝35+（47﹣47）+（﹣23+23） ＝35； （3）6.25）（﹣0.75）﹣（﹣22） ＝（1722）+8（6.25﹣0.75） ＝40+8.5+5.5 ＝54． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握加法结合律是解答本题的关键． 4．（2024-2025•西峰区校级月考）利用简便方法计算下列各题： （1）6.6+（﹣4.5）﹣（﹣3.4）﹣（+15.5）； （2）； （3）． 【答案】（1）﹣10； （2）﹣20； （3）． 【分析】根据有理数的汇合运算法则，利用结合律，交换律等计算求值即可． 【解答】解：（1）6.6+（﹣4.5）﹣（﹣3.4）﹣（+15.5）＝6.6+3.4（﹣4.5）+（﹣15.5）＝10﹣20＝﹣10． （2）（）12﹣18+4.5+5.5 ＝﹣30+10＝﹣20． （3）（）（） ＝（）（）． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是关键． 【题型2】带分数拆项法计算 5．（2024-2025•如皋市校级月考）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1； 例2． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）仿照例1求解即可； （2）仿照例2求解即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． 6．（2024-2025•宝安区校级月考）阅读下列材料： 计算：． 解：原式 叫[（﹣3）+（﹣1）+2+2]+　　 ＝0+　　 ＝　　 ． 上面这种方法叫拆项法． 回答下列问题： （1）请补全以上计算过程． （2）类比上面的方法计算：． 【答案】（1）；；；（2）． 【分析】（1）将一个带分数拆分成整数部分和分数部分的和，然后分别求出所有整数部分和分数部分的和，再计算求解； （2）将一个带分数拆分成整数部分和分数部分的和，然后分别求出所有整数部分和分数部分的和，再计算求解． 【解答】解：（1）原式 ． 故答案为：；；； （2）原式 【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法的运算法则是关键． 7．（2024-2025•泸县校级月考）阅读下面的解题过程： 计算：． 解：原式 上面这种解题方法叫拆项法． 仿照上述解题过程计算：． 【答案】0． 【分析】本题主要考查了有理数加减法运算，仿照上述解答过程，先拆项，再根据有理数的加减法法则计算即可． 【解答】解： ＝2+（﹣2） ＝0． 【点评】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键按照示例方法将每一个带分数化成整数和分数的和． 8．（2024-2025•新罗区校级月考）数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： （1）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝1+（﹣1） ＝0． 【点评】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法． 【题型3】裂项相消法求分数数列 9．（2024-2025•顺德区校级月考）观察下列各式：；…我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似地，对于，可以用裂项的方法变形为.类比上述方法，解答下列各题： （1）　　 ﹣　　 ． （2）计算：　　 ． （3）计算：． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）将所给各式进行变形，再结合上面发现的规律进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为；…， 所以第n个等式可表示为：． 当n＝9时， ． 故答案为：； （2）由（1）知， 原式 ． 故答案为：； （3）由题知， 原式 ． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． 10．（2024-2025•铁西区校级月考）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们其持征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． （1）猜想并写出： 　　 ． （2）探究并计算下列各式： ①； ②． 【答案】（1）； （2）①；②． 【分析】（1）观察所给等式各部分的变化，发现规律即可解决问题； （2）①结合（1）中发现的规律进行计算即可；②结合（1）中发现的规律进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为，…， 所以猜想； 当n＝9时， ． 故答案为：； （2）①由（1）知， 原式 ； ②原式 ． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给等式，发现各部分的变化规律是解题的关键． 11．（2024-2025•昆山市月考）【情景创设】 ，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 我们思考并发现：，，，那么： （1）根据规律可知：第6个数是 　　 ，是第 　11　 个数； （2）根据规律填空： 　　 ； 【方法展示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算：． 【答案】（1），11； （2）； （3）． 【分析】（1）观察式子左右两边的数字，即可求解； （2）观察式子左右两边的数字，即可求解； （3）观察数字的变化寻找规律即可求得结果． 【解答】解：（1）第6等式：； ， 故答案为：，11； （2）； （3）原式（1... （1） ． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 12．（2024-2025•东坡区校级月考）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减． 例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类比上述方法，解决以下问题． （1）猜想并写出：　　 ． （2）探究并计算下列各式： ①； ②． 【答案】（1）； （2）①，②． 【分析】（1）根据题中例子可写出相应的等式； （2）①根据式子特点，采用裂项的方法进行计算即可； ②将原式变形，然后采用裂项方法求解即可． 【解答】解：（1）猜想， 故答案为：； （2）①原式 ； ②． （） （1） （1） ． 【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题中裂项方法是解答的关键． 【题型4】含绝对值的裂项与化简 13．（2024-2025•东莞市校级期中）【阅读理解】 因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当a≥0时|a|＝a，当a＜0时|a|＝﹣a例如：，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把式子写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： 　　 ； 【拓广应用】 （2）计算：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先比较出，再化简绝对值即可； （2）先化简绝对值，再根据有理数的加减计算法则求解即可． 【解答】解：（1）∵， ∴． 故答案为：； （2）原式 ． 【点评】本题主要考查了有理数的减法，相反数，绝对值，掌握有理数的减法的运算法则是关键． 14．（2024•杭州模拟）学习了绝对值的概念后、我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a≤0时，|a|＝﹣a．根据以上阅读完成下面的问题： （1）|2﹣3|＝　1　 ． （2）若有理数a＜b，则|a﹣b|＝b﹣a ． （3）请利用你探究的结论计算下面的式子：． 【答案】（1）1； （2）b﹣a； （3）． 【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义化简，计算，即可求出值； （2）判断a﹣b的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算，即可求出值； （3）原式利用绝对值的代数意义化简，再根据有理数的加减法合并，最后计算即可求出值． 【解答】解：（1）|2﹣3|＝3﹣2＝1， 故答案为：1； （2）∵a＜b，即a﹣b＜0， ∴|a﹣b|＝b﹣a， 故答案为：b﹣a； （3）原式． 【点评】此题考查了绝对值．熟练掌握绝对值的代数意义，相反数意义，有理数加减法法则，是解本题的关键． 15．（2024-2025•高安市期中）学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当a≤0时，|a|＝﹣a，根据以上阅读完成下面的问题： （1）|2﹣3|＝　1　 ； （2）|3.14﹣π|＝　π﹣3.14　 ； （3）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝b﹣a ； （4）请利用你探究的结论计算下面式子： ． 【答案】（1）1；（2）π﹣3.14；（3）b﹣a；（4）． 【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （3）判断a﹣b的正负，利用绝对值的代数意义计算即可求出值； （4）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出值． 【解答】解：（1）|2﹣3|＝3﹣2＝1． 故答案为：1； （2）|3.14﹣π|＝π﹣3.14． 故答案为：π﹣3.14； （3）∵a＜b，即a﹣b＜0， ∴|a﹣b|＝b﹣a． 故答案为：b﹣a； （4）原式＝1 ＝1 ． 【点评】此题考查了有理数减法，相反数，绝对值，掌握相应的运算法则是解本题的关键． 16．（2024-2025•晋江市校级期中）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a＞0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉．例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；；． （1）根据上面的规律，|3﹣π|＝ 　π﹣3　 ；（写成去掉绝对值符号的形式不算出结果） （2）如果有理数a＜b，则|a﹣b|＝ b﹣a ； （3）请利用你探究的结论计算：． 【答案】（1）π﹣3；（2）b﹣a；（3）． 【分析】（1）根据绝对值的意义，化简绝对值即可； （2）根据绝对值的意义，化简绝对值即可； （3）先化简绝对值，再进行计算即可． 【解答】解：（1）∵3﹣π＜0， ∴|3﹣π|＝π﹣3； 故答案为：π﹣3； （2）∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∴|a﹣b|＝﹣（a﹣b）＝b﹣a． 故答案为：b﹣a； （3）原式 ． 【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值，相反数，掌握有理数的减法运算法则，绝对值的意义是关键． 【题型5】乘法分配律（逆用）简便计算 17．（2024-2025•河西区校级月考）要使计算简便，可运用（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】根据分数分母特点，以及乘法交换律和结合律的特点，即可解题． 【解答】解：根据题意可知，要使计算简便，可运用乘法交换律和结合律． 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 18．（2024-2025•旌阳区校级模拟）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为A，为B， 则原式＝B（1+A）﹣A（1+B）＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A． 请用上面的方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）按照小明的方法，设A，设B，则原式＝（1+A）B﹣（1+B）A＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A； （2）按照小明的方法，设A，设B，则原式＝（1+A）B﹣（1+B）A＝B+AB﹣A﹣AB＝B﹣A＝B﹣A． 【解答】解：（1）设A，设B， 则原式＝（1+A）B﹣（1+B）A ＝B+AB﹣A﹣AB ＝B﹣A ； （2）按照小明的方法，设A，设B， 则原式＝（1+A）B﹣（1+B）A ＝B+AB﹣A﹣AB ＝B﹣A ＝B﹣A ． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚所给的方法并灵活运用． 19．（2024-2025•越秀区校级月考）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习的部分内容．阅读下列材料，完成后面任务． 关于“用拆分法计算”的研究报告 博学小组 研究对象：计算． 研究思路：直接运算太麻烦了！观察算式，可得原式可分为，再利用乘法分配律运算能简单很多． 研究方法：先利用拆分法，再利用乘法分配律． 研究步骤：解：原式（依据1） （依据2） ＝▲． 任务： （1）上述研究报告中的依据1是指　加法法则　 ，依据2是指　乘法分配律　 ． （2）研究报告中，“▲”处空缺的内容是　　 ． （3）请用拆分法，计算：． 【答案】（1）加法法则；乘法分配律； （2）； （3）． 【分析】（1）根据乘法分配律解答即可； （2）根据乘法分配律解答即可； （3）根据有理数乘法分配律解答即可． 【解答】解：（1）上述研究报告中的依据1是指加法法则；依据2是指乘法分配律； 故答案为：加法法则；乘法分配律； （2） ， 故研究报告中，“▲”处空缺的内容是； 故答案为：； （3）原式 ． 【点评】本题主要查了有理数乘法分配律：熟练掌握以上知识点是关键． 20．（2024-2025•清城区校级月考）利用运算律进行简便计算，例如： ①98×12＝（100﹣2）×12＝1200﹣24＝1176； ②57×99+44×99﹣99＝99×（57+44﹣1）＝99×100＝9900． 参考①、②的例子，用运算律简便计算： （1）999×（﹣15）； （2）999×118+999×（﹣17）﹣999； （3）． 【答案】（1）﹣14985； （2）99900； （3）100788． 【分析】（1）先变形，然后根据乘法分配律计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先变形，然后根据乘法分配律计算即可． 【解答】解：（1）999×（﹣15） ＝（1000﹣1）×（﹣15） ＝1000×（﹣15）﹣1×（﹣15） ＝﹣15000+15 ＝﹣14985； （2）999×118+999×（﹣17）﹣999 ＝999×[118+（﹣17）﹣1] ＝999×100 ＝99900； （3） ＝222×4×118222×2×（）﹣222×18 ＝222×[472（）﹣18] ＝222×454 ＝100788． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用． 【题型6】倒数法简化复杂除法运算 21．（2024-2025•志丹县月考）用简便方法计算：． 【答案】﹣5． 【分析】先将除法运算转化为乘法运算，然后利用乘法分配律进行计算，即得答案． 【解答】解：原式 ＝﹣10﹣3+8 ＝﹣5． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 22．（2024-2025•乡宁县期中）阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 ． 解法②：原式 ． 解法③：原式的倒数为 ， 故原式． 任务：（1）上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 　①　 是错误的．（填序号） （2）在正确的解法中，你认为解法 　③　 比较简便．（填序号） （3）请你进行简便计算：． 【答案】（1）①； （2）③； （3）． 【分析】（1）根据解题过程进行判断即可； （2）根据解题过程进行判断即可； （3）先求得（）÷（）的值，然后求结果的倒数即可． 【解答】解：（1）由解题过程可得解法①是错误的， 故答案为：①； （2）由解题过程可得解法③比较简便， 故答案为：③； （3）原式的倒数为（）÷（） ＝（）×（﹣24） （﹣24）（﹣24）（﹣24）（﹣24） ＝﹣12+16﹣20+54 ＝38， 原式． 【点评】本题考查有理数的混合运算，倒数，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 23．（2024-2025•衡阳月考）阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 方法1：原式； 方法2：原式的倒数，所以原式． 任务： （1）材料中的方法1是先求括号内的　减法　 运算，再求括号外的　除法　 运算（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”）； （2）小明联想到材料的方法，给出了如下解法． 答案解：原式① ② ③ ④ ．⑤ 显然小明的解法是错误的，从第　①　 步开始出现错误（填序号）； （3）根据材料中的方法2计算：． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则判断即可； （2）根据除法法则解答即可； （3）仿照材料中的方法2计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，材料中的方法1是先求括号内的减法运算，再求括号外的除法运算． 故答案为：减法；除法； （2）小明从第①步开始出现错误． 故答案为：①； （3）原式的倒数为： ＝﹣10+12﹣1 ＝1， ∴原式＝1． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 24．（2024-2025•金沙县期末）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）有理数除法计算以及乘法分配律的运用．通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值； （2）有理数的加减混合运算中的拆项法．考查学生对拆项法这种特殊运算方法的理解和运用能力，利用该方法将复杂的有理数加减运算简化． 【解答】解：（1）原式的倒数为： ＝﹣21， ∴； （2）原式 ． 【点评】本题考查了有理数运算四则混合运算相关考点，解题关键在于掌握特定运算方法并灵活运用，具体解题思路围绕材料所给方法展开． 【题型7】错项相减法求等比数列和 25．（2024-2025•金华校级期中）求1+2+22+23+…+22024的值，可令S＝1+2+22+23+…+22024，则2S＝2+22+23+24+…+22025，因此2S﹣S＝22025﹣1．仿照以上方法，计算出1+5+52+53+…+52024的值为（　　） A．52024﹣1 B．52025﹣1 C． D． 【答案】C 【分析】理解范例给出的方法，再使用相同的方法进行计算． 【解答】解：设S＝1+5+52+53+…+52024， 则5S＝5+52+53+…+52025， 所以，5S﹣S＝52025﹣1， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解数列的求和方法是解题的关键． 26．（2024-2025•荔城区校级期中）阅读材料：求1+2+22+23+24+⋯+22019的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+⋯+22019①， 将等式两边同时乘2，得2S＝2+22+23+24+⋯+22019+22020②， 由②﹣①，得：2S﹣S＝22020﹣1， 所以1+2+22+23+24+⋯+22019＝22020﹣1， 请你仿照以上解法，计算：1+5+52+53+54+⋯+5n． 【答案】． 【分析】设S＝1+5+52+53+54+⋯+5n，则得出5S﹣S＝5n+1﹣1，即可求出S的值． 【解答】解：设S＝1+5+52+53+54+⋯+5n①， 则5S＝5+52+53+54+⋯+5n+5n+1②， ②﹣①，得5S﹣S＝5n+1﹣1， 解得． 即． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，有理数混合运算，根据原式得出正确的倍数关系是解题的关键． 27．（2024-2025•李沧区校级月考）阅读下面一段： 计算1+5+52+53…+599+5100． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设S＝1+5+52+53…+599+5100，① 则5S＝5+52+…+5100+5101，② ②﹣①得4S＝5101﹣1，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： （1）1+6+62+63+⋯+6100； （2）． 【答案】（1）； （2）2． 【分析】（1）运用类比的方法，等式两边同时乘6，再利用错位相减法即可求得结果； （2）运用类比的方法，等式两边同时乘，再利用错位相减法即可求得结果． 【解答】解：（1）设S＝1+6+62+63+⋯+6100①， 则6S＝6+62+63+⋯+6101②， ②﹣①得5S＝6101﹣1， 解得S； （2）设S①， 则S ②， ①﹣②得S＝1， 解得S＝2． 【点评】本题考查数字的规律变化，解题的关键是熟练掌握运用错位相减法． 28．（2024-2025•拱墅区校级月考）阅读材料，回答问题． 材料一：因为23＝2×2×2，22＝2×2，所以23×22＝（2×2×2）×（2×2）＝25． 材料二：求31+32+33+34+35+36的值． 解：设S＝31+32+33+34+35+36①．则3S＝32+33+34+35+36+37②， 用②﹣①得3S﹣S＝（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）＝37﹣3， 所以2S＝37﹣3，即．所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． （1）填空：5×52＝5（）． （2）“棋盘摆米”是一个著名的数学故事；阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏． 阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒… 按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放　263 粒米． ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． （3）5+2×52+3×53+4×54+⋯+8×58． 【答案】（1）3； （2）①263； ②264﹣1； （3）3784180． 【分析】（1）利用同底数幂乘法法则计算即可； （2）①根据题意找出规律即可； ②将各数相加，利用错位相减法即可求得答案； （3）设M＝5+2×52+3×53+4×54+⋯+8×58，则5M＝52+2×53+3×54+4×55+⋯+8×59，将它们作差后可得﹣4M＝5+52+53+54+⋯+58﹣8×59，再利用错位相减法计算即可． 【解答】解：（1）5×52＝53， 故答案为：3； （2）①第一格放一粒米，即1＝20， 第二格放二粒米，即2＝21， 第三格放四粒米，即4＝22， 第四格放八粒米，即8＝23， ……， 第64格中应放263粒米， 故答案为：263； ②由题意可得S＝20+21+22+23+…+263①， 则2S＝21+22+23+24+…+264②， ②﹣①得：S＝264﹣1； （3）设M＝5+2×52+3×53+4×54+⋯+8×58①， 则5M＝52+2×53+3×54+4×55+⋯+8×59②， ①﹣②得：﹣4M＝5+52+53+54+⋯+58﹣8×59， 设K＝5+52+53+54+⋯+58③， 则5K＝52+53+54+55+⋯+59④， ④﹣③得：4K＝59﹣5， 则K， 那么﹣4M8×59， 则﹣4M， 因此M3784180． 【点评】本题考查有理数的混合运算，数学常识，列代数式，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/31 18:02:44；用户：陈剑清（小初高数学）；邮箱：18659079182；学号：39903391 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $